四川省绵阳市2022届高三上学期第二次诊断性考试数学（文）试题含答案

绵阳市高中 2019 级第二次诊断性考试

文科数学

注意事项：

1. 答卷前， 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后， 将答题卡交回。

一、选择题： 本大题共 12 小题， 每小题 5 分， 共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只 有一项是符合题目要求的。

1. 设集合 ， 则集合 的元素个数为
   A． 0
   B． 1
   C． 2
   D． 3
2. 下列函数既是奇函数又是增函数的是
   A．
   B．
   C．
   D．
3. 已知角 的终边过点 ， 则
   A．
   B．
   C．
   D．
4. 已知双曲线 的焦距为 4 ， 两条渐近线互相垂直， 则 的方 程为
   A．
   B．
   C．
   D．
5. 如图， 茎叶图记录了甲、乙两个家庭连续 9 个月的月用电量 (单位： 度)， 根据茎叶图，
   下列说法正确的是
   A． 甲家庭用电量的中位数为 33
   B． 乙家庭用电量的极差为 46
   C． 甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差
   D． 甲家庭用电量的平均值高于乙家庭用电量的平均值

甲 乙 

  2 1 1  

5 4 3 2 3  

3 2 7 3 4 8 9

  1 4 0 2 

  0 5 1 6 

6. 过点 ， 且与原点距离最大的直线的方程为
   A．
   B．
   C．
   D．
7. 已知平面向量 不共线， ， 则
   A． 三点共线
   B． 三点共线
   C． 三点共线
   D． 三点共线
8. 已知直线 与圆 C： 相交于 两点， 若 ， 则
   A．
   B． 5
   C． 3
   D． 4
9. 第 24 届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年在北京举办． 为了解某城市居民对冰雪运动的 关注情况， 随机抽取了该市 100 人进行调查统计， 得到如下 列联表：
   下列说法正确的是

参考公式：
，
其中 ．
附表：

A． 有 以上的把握认为 “关注冰雪运动与性别有关”
B． 有 以上的把握认为 “关注冰雪运动与性别无关”
C． 在犯错误的概率不超过 的前提下， 认为 “关注冰雪运动与性别无关”
D． 在犯错误的概率不超过 的前提下， 认为 “关注冰雪运动与性别有关”

10. 已知 是定义在 上的偶函数， 且在 上单调递减， 则
    A．
    B．
    C．
    D．
11. 若 是函数 的极大值点， 则实数 的取值范围是
    A．
    B．
    C．
    D．
12.  已知 分别为椭圆 的左， 右焦点， 上存在两点 使得梯形的高为(其中c为半焦距)，且则的离心率为

 A．

 B． ．
C．
D．

二、填空题： 本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分．

13. 设 是虚数单位， 若复数 满足 ， 则复数 的虚部为________．
14. 函数 则 ________．
15. 已知 为抛物线 上的两点， ， 若 ， 则直线 的方 程为________．
16. 已知函数 ， 若关于 的方程 在 上有三个不同 的实根， 则实数 的取值范围是________．

三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考 题， 每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题， 考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。

17. (12 分)
    已知数列 为公差大于 0 的等差数列， ， 且 成等比数列．
    (1) 求数列 的通项公式；
    (2) 设 ， 数列 的前 项和为 ， 若 ， 求 的值．
18. (12 分)
    某通讯商场推出一款新手机， 分为甲、乙、丙、丁 4 种不同的配置型号． 该店对近期 售出的 100 部该款手机的情况进行了统计， 绘制如下表格：

每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润 600 元、400 元、500 元、 450 元．
（1）根据以上 100 名消费者的购机情况， 计算该商场销售一部手机的平均利润；
（2）某位消费者随机购买了 2 部不同配置型号的该款手机， 且购买的该款手机的四种型号是等可能的， 求商场通过这两部手机获得的利润不低于 1000 元的概率．

19. (12 分)
    在 中， 内角 的对边分别为 ， 且 ．
    (1) 求角 的大小；
    (2) 若 ， 求 的面积．
20. (12 分)
    已知函数
    (1) 当 时， 求函数 的单调区间；
    (2) 若函数 有且只有一个零点， 求实数 的取值范围．
21. (12 分)
    已知椭圆 的右焦点为 ， 点 分别为右顶点和上顶点， 点 为坐标原点， 的面积为 ， 其中 为 的离心率．
    (1) 求椭圆 的方程；
    (2) 过点 异于坐标轴的直线与 交于 两点， 射线 分别与圆 ：
    交于 两点， 记直线 和直线 的斜率分别为 ， 问 是否为定值? 若是， 求出该定值； 若不是， 请说明理由．

（二）选考题： 共 10 分。请考生在第 题中任选一题做答。如果多做， 则按所做的 第一题记分。

22. [选修 4 4： 坐标系与参数方程] (10 分)
    在直角坐标系 中， 曲线 的参数方程为 ．  ( 为参数)． 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中， 直线 的方程是 ．
    (1) 求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程；
    (2) 若点 的坐标为 ， 直线 与曲线 交于 两点， 求 的值．
23. [选修 4－5： 不等式选讲] (10 分)
    已知函数 ．
    (1) 当 时， 求函数 的定义域；
    (2) 设函数 的定义域为 ， 当 时， ， 求实数 的取值范围．