2023-2024学年广东省佛山市三水区西南中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省佛山市三水区西南中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中是一元二次方程的是( )
A. 2x+1=0B. y2+x=1C. x2+1=0D. 1x+x2=1
2.下列四边形中，是中心对称而不是轴对称图形的是( )
A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形
3.一元二次方程x2−mx−2=0的一个根为2，则m的值是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.根据下列表格中的对应值：
判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数)的一个解x的范围是( )
A. 35.小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是
( )
A. 23B. 12C. 13D. 29
6.用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可化为( )
A. (x+4)2=9B. (x−4)2=9C. (x+8)2=23D. (x−8)2=9
7.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.若∠AOB=60°，BD=8，则AB的长为( )
A. 3B. 4C. 4 3D. 5
8.已知菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长等于( )
A. 10cmB. 8cmC. 6cmD. 5cm
9.若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为x2−12x+m=0的两根，则m的值为( )
A. 32B. 36C. 32或36D. 不存在
10.如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P，若PM=PC，则AM的长为( )
A. 3( 3−1)
B. 3(3 3−2)
C. 6( 3−1)
D. 6(3 3−2)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.一元二次方程x2=3x的根是______．
12.设m是方程x2−x+2023=0的一个根，m2−m+1的值为______．
13.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE/​/AC交AB于E，DF/​/AB交AC于F，若AF=6，则四边形AEDF的周长是______．
14.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为______．
15.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE、DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE=DF；②CE⊥DF；③∠AGE=∠CDF；④∠EAG=30°.其中正确的结论是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解方程：x2−4x−3=0．
17.(本小题8分)
已知：菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE/​/OD，DE//OC.求证：四边形OCED是矩形．
18.(本小题8分)
一只不透明的袋子中装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外都相同.搅匀后从中随机取出1个球，记录颜色后放回.再次搅匀后，从中随机取出1个球.用画树状图(或列表)的方法，求两次取到的球恰好为1个白球和1个红球的概率．
19.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2m−1)x+m2=0．
(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若x1，x2满足x1x2+x1+x2=4.求m的值．
20.(本小题9分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF/​/BC交CE的延长线于点F．
(1)求证：四边形ADBF是菱形；
(2)若AB=8，菱形ADBF的面积为40.求AC的长．
21.(本小题9分)
由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上开，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包14.4元．
(1)求出这两次价格上调的平均增长率；
(2)在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为315元时，且让顾客获得更大的优惠，应该降价多少元？
22.(本小题12分)
阅读材料：我们都知道a2+2ab+b2=(a+b)2，a2−2ab+b2=(a−b)2．
于是，−2x2+40x+5=−2(x2−20x)+5
=−2(x2−2⋅x⋅10+102−102)+5
=−2[(x−10)2−100]+5
=−2(x−10)2+205．
又因为a2≥0，所以，(x−10)2≥0，−2(x−10)2≤0，−2(x−10)2+205≤205．
所以，−2x2+40x+5有最大值205．
如图，某农户准备用长34米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈ABCD和一个边长为1米的正方形狗屋CEFG.设AB=x米．
(1)请用含x的代数式表示BC的长______(直接写出结果)；
(2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；(写出过程)
(3)求出山羊活动范围面积S的最大值．
23.(本小题12分)
(1)【探究发现】如图①，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形；
(2)【类比应用】如图②，直线EF分别交矩形ABCD的边AD，BC于点E，F，将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB=3，BC=4，求四边形ABFE的周长；
(3)【拓展延伸】如图③，直线EF分别交平行四边形ABCD的边AD，BC于点E，F，将平行四边形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB=2 2，BC=4，∠C=45°，求EF的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据一元二次方程的定义可得出方程x2+1=0为一元二次方程，
故选：C．
根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”，对照四个选项即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，正确理解定义是解题关键．根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断．
【解答】
解：A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项正确；
B、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误；
C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误；
D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项错误．
故选：A．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入方程x2−mx−2=0可得到关于m的一次方程，然后解此一次方程即可．
【解答】
解：把x=2代入方程，得4−2m−2=0，
解得m=1，
故选：A．
4.【答案】C
【解析】解：∵x=3.24时，ax2+bx+c=−0.02；x=3.25时，ax2+bx+c=0.03，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是3.24故选：C．
根据表中数据得到x=3.24时，ax2+bx+c=−0.02；x=3.25时，ax2+bx+c=0.03，则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c=0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的范围是3.24本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
5.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了列表法和树状图法求概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的情况数，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，
∴小华获胜的概率是：39=13．
故选C．
6.【答案】A
【解析】【分析】
将常数项移动方程右边，方程两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．此题考查了解一元二次方程−配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】
解：x2+8x+7=0，
移项得：x2+8x=−7，
配方得：x2+8x+16=9，即(x+4)2=9．
故选：A．
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，且BD=8，
∴OA=OB=OC=OD=BD2=4，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，OA=AB=4，
故选：B．
先由矩形的性质得出OA=OB，结合题意证明△AOB是等边三角形即可．
本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质及等边三角形的判定方法，熟练掌握矩形性质是解决本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图：∵菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，
∴OD=12BD=4cm，OA=12AC=3cm，
在直角三角形AOD中AD= OD2+AO2= 42+32=5cm．
故选：D．
根据菱形的性质求得OD，OA的长，再根据勾股定理求得边长AD的长．
此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．
9.【答案】B
【解析】解：设方程x2−12x+m=0的两根为x1，x2，
由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2=12，x1x2=m，
若x1=4，则x2=8，不成立(根据三角形两边之和大于第三边)，
所以x1=x2=6，
则m=36，
故选：B．
设方程x2−12x+m=0的两根为x1，x2,由于等腰三角形一边为4，有两种情况，腰为4或者底为4，分开讨论，当腰为4时，x1=4，x2=8，不成立；当底为4时，x1=x2=6，即可得到m的值．
本题考查了一元二次方程的应用，根与系数的关系：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．
10.【答案】C
【解析】解：方法1：
∵PM=PC，
∴∠PMC=∠PCM，
∴∠DPA=∠PMC+∠PCM=2∠PCM=2∠PAD，
∵∠DPA+∠PAD=90°，
∴∠APD=60°，∠PAD=30°，
∴PD=AD 3=2 3，∠CPM=120°，
∴CP=CD−PD=6−2 3，
在△PCM中，∠CPM=120°，PM=PC，
∴CM= 3CP=6 3−6，
由正方形对称性知AM=CM=6( 3−1)，
故选：C．
方法2：
以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：
∵正方形ABCD边长为6，
∴A(0,6)，D(6,6)，C(6,0)，
由B(0,0)，D(6,6)可得直线BD解析式为y=x，
设M(m,m)，
由A(0,6)，M(m,m)得直线AM解析式为y=m−6mx+6，
在y=m−6mx+6中，令x=6得y=12m−36m，
∴P(6,12m−36m)，
∵PM=PC，
∴(m−6)2+(m−12m−36m)2=(12m−36m)2，
∴m2−12m+36+m2−2(12m−36)+(12m−36m)2=(12m−36m)2，
整理得m2−18m+54=0，
解得m=9+3 3(不符合题意，舍去)或m=9−3 3，
∴M(9−3 3,9−3 3)，
∴AM= (9−3 3)2+(9−3 3−6)2=6( 3−1)，
故选：C．
以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，由正方形ABCD边长为6，可知A(0,6)，D(6,6)，C(6,0)，直线BD解析式为y=x，设M(m,m)，可得直线AM解析式为y=m−6mx+6，即得P(6,12m−36m)，由PM=PC，有(m−6)2+(m−12m−36m)2=(12m−36m)2，解得m=9+3 3(不符合题意，舍去)或m=9−3 3，故M(9−3 3,9−3 3)，从而求出AM=6( 3−1)．
本题考查正方形性质及应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出M的坐标．
11.【答案】x1=0，x2=3
【解析】解：原方程可化为x2−3x=0，
x( x−3)=0，
x1=0，x2=3．
故答案为：x1=0，x2=3．
移项后，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式x(x−3)=0，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
本题考查了一元二次方程的解法，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键．
12.【答案】−2022
【解析】解：∵m是方程x2−x+2023=0的一个根，
∴m2−m+2023=0，
∴m2−m=−2023，
∴m2−m+1=−2023+1=−2022，
故答案为：−2022．
由m是方程x2−x+2023=0的一个根，可得m2−m=−2023，再整体代入法进行计算即可．
本题考查的是一元二次方程的解的含义，熟练的利用整体代入法求解代数式的值是解本题的关键．
13.【答案】24
【解析】解：∵DE/​/AC，DF/​/AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD=∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD=∠FDA，
∴DF=AF，
∴平行四边形AEDF为菱形．
∴AE=DE=DF=AF=6，
∴C菱形AEDF=4AF=4×6=24，
即四边形AEDF的周长是24，
故答案为：24．
证明四边形AEDF为平行四边形，再证明DF=AF，然后证明平行四边形AEDF为菱形，得AE=DE=DF=AF=6，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
14.【答案】20
【解析】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
∴OM=12CD=12AB=2.5，
∵AB=5，AD=12，
∴AC= 52+122=13，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴BO=12AC=6.5，
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，
故答案为：20．
根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．
本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．
15.【答案】①②③
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE=12AB，CF=12BC，
∴BE=CF，
在△CBE与△DCF中，
BC=CD∠B=∠BCDBE=CF，
∴△CBE≌△DCF(SAS)，
∴∠ECB=∠CDF，CE=DF，
故①正确，符合题意；
∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠ECD+∠CDF=90°，
∴∠CGD=90°，
∴CE⊥DF，
故②正确，符合题意；
∴∠EGD=90°，
延长CE交DA的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠AHE=∠BCE，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE，
∵∠AHE=∠BCE，∠AEH=∠CEB，AE=BE，
∴△AEH≌△BEC(AAS)，
∴BC=AH=AD，
∴AG是Rt△DHG斜边的中线，
∴AG=12DH=AD，
∴∠ADG=∠AGD，
∵∠AGE+∠AGD=90°，∠CDF+∠ADG=90°，
∴∠AGE=∠CDF，
故③正确，符合题意；
∵CF=12BC=12CD，
∴∠CDF≠30°，
∴∠ADG≠60°，
∵AD=AG，
∴△ADG不是等边三角形，
∴∠EAG≠30°，
故④错误，不符合题意；
故答案为：①②③．
根据正方形的性质得到AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，得到BE=12AB，CF=12BC，根据全等三角形的性质得到∠ECB=∠CDF，CE=DF，故①正确；求得∠CGD=90°，根据垂直的定义得到CE⊥DF，故②正确；延长CE交DA的延长线于H，根据线段中点的定义得到AE=BE，根据全等三角形的性质得到BC=AH=AD，由AG是斜边的中线，得到AG=12DH=AD，求得∠ADG=∠AGD，根据余角的性质得到∠AGE=∠CDF.故③正确．根据CF=12BC=12CD，可得∠CDF≠30°，所以∠ADG≠60°，所以△ADG不是等边三角形，故④错误．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
16.【答案】解：移项得x2−4x=3，
配方得x2−4x+4=3+4，
即(x−2)2= 7，
开方得x−2=± 7，
∴x1=2+ 7，x2=2− 7．
【解析】本题考查配方法解一元二次方程．
根据配方法即可解．
17.【答案】证明：∵CE/​/OD，DE//OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
【解析】先证四边形OCED是平行四边形，再由菱形的性质得∠DOC=90°，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定和菱形的性质是解题的关键．
18.【答案】解：画树状图如下：

一共有9种等可能的结果，其中两次取到的球恰好为1个白球和1个红球的结果数有4种可能，
∴P(两次取到的球恰好为1个白球和1个红球)=49．
【解析】用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两次取到的球恰好为1个白球和1个红球的结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
本题考查列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)由题意得Δ=(2m−1)2−4m2≥0，
∴m≤14．
故实数m的取值范围为m≤14；
(2)依题意有x1+x2=−(2m−1)，x1x2=m2，
∵x1x2+x1+x2=4，
∴m2−(2m−1)=4，
解得m1=−1，m2=3(舍去)．
故m的值是−1．
【解析】(1)根据Δ≥0，解不等式即可；
(2)由根与系数的关系得出x1+x2和x1x2的值，再代入x1x2+x1+x2=4得到关于m的方程计算可得．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系．
20.【答案】(1)证明：∵AF/​/BC，
∴∠AFC=∠FCD，∠FAE=∠CDE，
∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△FAE和△CDE中
∠AFE=∠DCE∠FAE=∠CDEAE=DE
∴△FAE≌△CDE(AAS)，
∴AF=CD，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴AF=BD，
又AF/​/BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=BD=12BC，
∴四边形ADBF是菱形；
(2)解：∵四边形ADBF是菱形，
∴菱形ADBF的面积=2△ABD的面积，
∵点D是BC的中点，
∴△ABC的面积=2△ABD的面积，
∴菱形ADBF的面积=△ABC的面积=40，
∴12AB⋅AC=40，
∴12×8⋅AC=40，
∴AC=10，
∴AC的长为10．
【解析】(1)利用平行线的性质可得∠AFC=∠FCD，∠FAE=∠CDE，利用中点的定义可得AE=DE，从而证明△FAE≌△CDE，然后利用全等三角形的性质可得AF=CD，再根据D是BC的中点，可得AF=BD，从而可证四边形AFBD是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得BD=AD，从而利用菱形的判定定理即可解答；
(2)利用(1)的结论可得菱形ADBF的面积=2△ABD的面积，再根据点D是BC的中点，可得△ABC的面积=2△ABD的面积，进而可得菱形ADBF的面积=△ABC的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设这两次价格上调的平均增长率为x，
依题意得：10(1+x)2=14.4，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去)．
答：这两次价格上调的平均增长率为20%．
(2)设每包应该降价m元，则每包的售价为(10−m)元，每天可售出(30+5m)包，
依题意得：(10−m)(30+5m)=315，
整理得：m2−4m+3=0，
解得：m1=1，m2=3．
又∵要让顾客获得更大的优惠，
∴m的值为3．
答：每包应该降价3元．
【解析】(1)设这两次价格上调的平均增长率为x，利用经过两次上调价格后的价格=原价×(1+这两次价格上调的平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)设每包应该降价m元，则每包的售价为(10−m)元，每天可售出(30+5m)包，根据每天该口罩的销售额为315元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合要让顾客获得更大的优惠，即可得出每包应该降价3元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】32−2x
【解析】解：(1)依题意得AB=DC=x，EF=FG=1
∵AB+DC+BC+EF+FG=34，
∴2x+BC+2=34，
∴BC=32−2x；
故答案为：32−2x；
(2)依题意得：S=S长方形ABCD−S正方形CEFG，
S=x(32−2x)−1，
S=−2x2+32x−1；
(3)S=−2x2+32x−1
=−2(x2−16x+64)+127
=−2(x−8)2+127
又因为−2<0，
所以，(x−8)2≥0，−2(x−8)2≤0，−2(x−8)2+127≤127，
所以，山羊活动范围ABGFE面积S的最大值是127平方米．
(1)依题意得AB=DC=x，EF=FG=1，根据铁栅栏总长为34米即可用x表示出BC的长；
(2)根据S=S长方形ABCD−S正方形CEFG列出S与x的函数关系式，进而求出当x=5时S的值；
(3)配方后根据完全平方式恒小于等于0，即可求出最大值以及x的值即可．
此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE//CF，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴∠AOE=∠COF=90°，AO=OC，
∴△EAO≌△FCO(ASA)，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形；
(2)解：过点F作FH⊥AD于H，
由折叠可知：AF=CF，∠AFE=∠EFC，
在Rt△ABF中，AF2=BF2+AB2，即(4−BF)2=BF2+9，
∴BF=78，
∴AF=CF=258，
∵AD/​/BC，
∴∠AEF=∠EFC=∠AFE，
∴AE=AF=258，
∵∠B=∠BAD=∠AHF=90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴AB=FH=3，AH=BF=78，
∴EH=94，
∴EF= EH2+FH2= 9+8116=154，
∴四边形ABFE的周长=AB+BF+AE+EF=3+78+258+154=434；
(3)解：过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=45°，
∴∠ABC=135°，
∴∠ABN=45°，
∵AN⊥BC，
∴∠ABN=∠BAN=45°，
∴AN=BN= 22AB=2，
由折叠的性质可知：AF=CF，∠AFE=∠EFC，
∵AD/​/BC，
∴∠AEF=∠EFC=∠AFE，
∴AE=AF，
∵AF2=AN2+NF2，
∴AF2=4+(6−AF)2，
∴AF=103，
∴AE=AF=103，
∵AN//MF，AD//BC，
∴四边形ANFM是平行四边形，
∵AN⊥BC，
∴四边形ANFM是矩形，
∴AN=MF=2，
在Rt△AMF中，AM= AF2−MF2= 1009−4=83，
∴ME=AE−AM=23，
在Rt△MFE中，EF= MF2+ME2= 49+4=2 103．
【解析】(1)通过证明△EAO≌△FCO(ASA)，得到OE=OF，可证四边形AFCE为平行四边形，再由EF⊥AC，可证平行四边形AFCE为菱形；
(2)过点F作FH⊥AD于H，先判断四边形ABFH是矩形，再求矩形的边长，进而求出周长；
(3)过点A作AN⊥BC，交CB的延长线于N，过点F作FM⊥AD于M，先证明四边形ANFM是平行四边形，再证明四边形ANFM是矩形，在Rt△AMF中，求出ME=AE−AM=23，Rt△MFE中，求出EF即可．
本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键．x
3.23
3.24
3.25
3.26
y=ax2+bx+c
−0.06
−0.02
0.03
0.09