2024中考数学几何压轴专题训练-专题03三角形之三角函数问题（含解析）

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专题03三角形之三角函数问题
训练题01【2023·湖南娄底·中考真题】
我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的△ABC的面积为S△ABC=12a2b2-a2+b2-c222．△ABC的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则S△ABC=12absinC=12acsinB=12bcsinA．下列结论中正确的是（ ）
A．csC=a2+b2-c22abB．csC=-a2+b2-c22ab
C．csC=a2+b2-c22acD．csC=a2+b2-c22bc
训练题02【2023·四川自贡·中考真题】
如图，分别经过原点O和点A4,0的动直线a，b夹角∠OBA=30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（ ）

A．3+66B．32C．63D．56
训练题03【2023·广西·中考真题】
如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．

(1)求证：；
(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；
(3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．
训练题04【2023·浙江金华·统考一模】
安装了软件“”的智能手机可以测量物高．其数学原理是：该软件通过测量手机离地面的高度，物体底端的俯角和顶端的仰角即可得出物体高度．如图，小明测得大树底端点俯角，顶端点的仰角，点离地面的高度米，则大树的为（ ）

A．米B．米
C．米D．米
训练题05【2023·山东济宁·联考三模】
测量旗杆的高度，在C处测得旗杆顶端的仰角为，朝旗杆方向前进20米到达D处，再次测得旗杆的仰角为，求旗杆的高度．

训练题06【2022·贵州贵阳·中考真题】
交通安全心系千万家．高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图所示的是该段隧道的截面示意图．测速仪和测速仪到路面之间的距离，测速仪和之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪处测得小汽车在隧道入口点的俯角为25°，在测速仪处测得小汽车在点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点行驶到点所用的时间为38s（图中所有点都在同一平面内）．
(1)求，两点之间的距离（结果精确到1m）；
(2)若该隧道限速22m/s，判断小汽车从点行驶到点是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：，，，，，）
训练题07【2021·江苏连云港·中考真题】
我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB=4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD=0.4m．海面与地面AD平行且相距1.2m，即DH=1.2m．
（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH=37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD=22°．求点O到岸边DH的距离；
（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD=53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO=5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°=cs53°≈35，cs37°=sin53°≈45，tan37°≈34，sin22°≈38，cs22°≈1516，tan22°≈25）
训练题08【2021·广东·统考中考真题】
如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使．
（1）若，求的周长；
（2）若，求的值．
训练题09【2022·湖南·广益中学校考】
如图1，已知直线（k为常数，k≠0）与x轴相交于点A，点B与点A关于y轴对称，点C在y轴的正半轴上，，连接AC，BC。
（1）求△ABC的面积及sin∠ACB；
（2）如图2，已知P，Q分别是线段AC，BC上的一动点，且始终满足∠POQ=60°。
①求AP·BQ的值及△CPQ面积的最大值；
②当△AOP与△OQP的面积相等时，抛物线经过P，Q两点，经过点P的直线满足：
对于任意的实数x，都有成立。记，若函数与x轴相交于M，N两点，且线段MN≤1，求a的取值范围。
训练题10【2022·江苏淮安·八年级期末考】
如图，在中，，点在边上．连接，将沿直线翻折，点落在点处，交边于点．已知，，若为直角三角形，则的面积为______．
题型训练
答案&解析
训练题01【2023·湖南娄底·中考真题】
【答案】A
【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可．
【详解】解：∵S△ABC=12a2b2-a2+b2-c222，S△ABC=12absinC，
∴12a2b2-a2+b2-c222=12absinC
即a2b2-a2+b2-c222=a2b2sin2C，
a2b21-sin2C=a2+b2-c222，
cs2C=a2+b2-c22ab2，
csC=a2+b2-c22ab
故选：A．
训练题02【2023·四川自贡·中考真题】
【答案】A
【分析】根据已知条件，∠OBA=30°，得出B的轨迹是圆，取点D8,0，则AM是△OBD的中位线，则求得∠ODB的正弦的最大值即可求解，当BD与⊙C相切时，∠ODB最大，则正弦值最大，据此即可求解．
【详解】解：如图所示，以OA为边向上作等边△OAC，过点C作CE⊥x轴于点E，则OC=OA=AC=4，
则C的横坐标为2，纵坐标为CE= OC×sin60°=23，
∴C2,23，
取点D8,0，则AM是△OBD的中位线，
∴CD=8-22+232=43，
∵∠OBA=30°，
∴点B在半径为4的⊙C上运动，
∵AM是△OBD的中位线，
∴AM∥BD，
∴∠OAM=∠ODB，当BD与⊙C相切时，∠ODB最大，则正弦值最大，
在Rt△BCD中，BD=CD2-BC2=432-42=42，
过点B作FB∥x轴，过点C作CF⊥FG于点F，过点D作DG⊥FG于点G， 则∠F=∠G
∵BD与⊙C相切，
∴BD⊥CB，
∴∠FBC+∠FCB=∠FBC+∠DBG=90°，
∴∠FCB=∠DBG，
∴△CFB∽△BGD，
∴CFGB=FBGD=BCBD=442=12
设CF=a，FB=b,
则BG=2a,DG=2b
∴F2,23+a,G8,2b
∴FG=8-2=6,DG=a+23
∴2+b+2a=8a+23=2b
解得：b=2+236
∴sin∠ODB=sin∠GBD=DGBD=2b42=3+66
∴sin∠OAM的最大值为3+66，
故选：A．
训练题03【2023·广西·中考真题】
【答案】(1)见详解
(2)
(3)当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小
【分析】（1）由题意易得，，然后根据“”可进行求证；
（2）分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，根据题意可得，，然后可得，由（1）易得，则有，进而问题可求解；
（3）由（2）和二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵是边长为4的等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图所示：

在等边中，，，
∴，
∴，
设的长为x，则，，
∴，
∴，
同理（1）可知，
∴，
∵的面积为y，
∴；
（3）解：由（2）可知：，
∴，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
即当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小．
训练题04【2023·浙江金华·统考一模】
【答案】D
【分析】过点作，垂足为，由题意得：，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
，
由题意得：，，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
故选：D．
训练题05【2023·山东济宁·联考三模】
【答案】旗杆的高度为10米．
【分析】根据题意可得：，进而可得， 可得米，然后解即可求出答案．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
∴，
∴米，
在中，由，得：
（米）
答：旗杆的高度为10米．
训练题06【2022·贵州贵阳·中考真题】
【答案】(1)760米
(2)未超速，理由见解析
【分析】（1）分别解，求得，根据即可求解；
（2）根据路程除以速度，进而比较即可求解．
【详解】（1）
四边形是平行四边形
四边形是矩形，
在中，
在中，
答：，两点之间的距离为760米；
（2），
小汽车从点行驶到点未超速．
训练题07【2021·江苏连云港·中考真题】
【答案】（1）8.1m；（2）4.58m
【分析】（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于点E，构建Rt△ABE和Rt△BFC，在Rt△ABE中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用BE+EF求出BF，在Rt△BFC中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用CF+AE-AD=CH;
（2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，构建Rt△ABM和Rt△BNO，在Rt△ABM中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在Rt△BNO中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．
【详解】
（1）过点B作BF⊥CH，垂足为F，延长AD交BF于点E，
则AE⊥BF，垂足为E．
由cs∠BAE=AEAB，∴cs22°=AE4.8，
∴1516=AE4.8，即AE=4.5，
∴DE=AE-AD=4.5-0.4=4.1，
由sin∠BAE=BEAB，∴sin22°=BE4.8，
∴38=BE4.8，即BE=1.8，
∴BF=BE+EF=1.8+1.2=3．
又tan∠BCF=BFCF，∴tan37°=3CF，
∴34=3CF，即CF=4，
∴CH=CF+HF=CF+DE=4+4.1=8.1，
即C到岸边的距离为8.1m．
（2）过点B作BN⊥OH，垂足为N，延长AD交BN于点M，
则AM⊥BN，垂足为M．
由cs∠BAM=AMAB，∴cs53°=AM4.8，∴35=AM4.8，
即AM=2.88，∴DM=AM-AD=2.88-0.4=2.48．
由sin∠BAM=BMAB，∴sin53°=BM4.8，∴45=BM4.8，
即BM=3.84，∴BN=BM+MN=3.84+1.2=5.04．
∴ON=OB2-BN2=5.462-5.042=4.41=2.1，
∴OH=ON+HN=ON+DM=4.58，
即点O到岸边的距离为4.58m．
训练题08【2021·广东·统考中考真题】
【答案】（1）1；（2）
【分析】(1)作出BC的垂直平分线，连接BD，由垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周长；
(2)设，，进而求出，在Rt△ABD中使用勾股定理求得，由此即可求出的值．
【详解】解：(1)如图，连接，设垂直平分线交于点F，
∵为垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
(2)设，∴，
又∵，∴，
在中，．
∴．
训练题09【2022·湖南·广益中学校考】
【解答】解：（1）∵y＝kx+2k＝k（x+2），∴A（﹣2，0），∵OC＝，∴OC＝2，
在Rt△AOC中，∵tan∠CAB＝＝，∴∠CAB＝60°，由对称性得，OB＝OA，BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°∴sin∠ACB＝，
∴S△ABC＝AB•OC＝＝4；
（2）如图2，
①由（1）知，△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝60°，∴∠APO+∠AOP＝120°，
∵∠POQ＝60°，∴∠BOQ+∠AOP＝120°，∴∠APO＝∠BOQ，∴△AOP∽△BQO，
∴＝，∴AP•BQ＝OA•OB＝4，作PD⊥BC于D，∴PD＝PC•sin∠ACB＝PC，
∵S△CPQ＝CQ•PD＝（AC﹣AP）（BC﹣BQ）＝（4﹣AP）（4﹣BQ）＝5﹣（AP+BQ）
＝5﹣（AP+），∵（a﹣b）2≥0，∴a2+b2﹣2ab≥0，∴a2+b2≥2ab，
∴+≥2••＝4，即AP+≥4，∴当AP＝2时，S△CPQ最大＝5﹣4＝；
②如图3，
∵S△AOP＝S△OQP，∴OA•PG＝•PH，∴OA•AP•sin60°＝OQ•OP•sin60°，∴2AP＝OP•OQ，
∵△AOP∽△BQO，＝，∴OP＝•OQ，∴2AP＝•OQ2，∴OQ＝2，∴P（﹣1，）
如图4，
由题意得，b＝0，a+c＝，﹣m+n＝，∴y1＝ax2+（），y2＝mx+（m+），
∵对于任意的实数x，都有y1≥y2成立，∴ax2﹣mx﹣（m+a）＝0，Δ＝m2+4a（m+a）＝0，
∴m＝﹣2a，∴w＝ax2+（）+mx+（m+）＝ax2+（）﹣2ax﹣2a+
＝ax2﹣2ax+（2﹣3a），当ax2﹣2ax+（2﹣3a）＝0时，设M（b，0），N（c，0），∴b+c＝2，
bc＝，∵MN≤1，∴MN2≤1，∴（b﹣c）2≤1，即（b+c）2﹣4bc≤1，∴4﹣4•≤1，
又a＞0，∴0＜a≤．
训练题10【2022·江苏淮安·八年级期末考】
【答案】或
【分析】分类讨论当时和当时，再根据翻折的性质结合勾股定理即可解答．
【详解】分类讨论：①如图，当时，
∵，，，
∴，．
由翻折的性质可知，，，
∴，
设，则，
∴，，
∴．
∵在Rt中，，
∴，
解得：（舍）．
∴，
∴；
②如图，当时，此时F点与C点重合，
∵，，
∴．
设，则，
∵在Rt中，，
∴，
解得：，
∴，
∴．
综上可知的面积为或．
故答案为：或.