2024中考数学几何压轴专题训练-专题01三角形之全等、相似问题（含解析）

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专题01 三角形之全等、相似问题
训练题01【2023·河南·中考真题】
如图，与相切于点A，交于点B，点C在上，且．若，，则的长为 ．
训练题02【2023·浙江杭州·中考真题】
在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点．
(1)若，求的长．
(2)求证：．
(3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长．
训练题03【2023·广东深圳·联考二模】
如图，在中，点在边上，，，交的延长线于点，若，，则 ．
训练题04【2023·湖北十堰·中考真题】
如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．

训练题05【2023·辽宁营口·中考真题】
如图，在中，，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则 ．

训练题06【2022·江苏苏州·中考母题】
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以A，B为旋转中心，把边AC，BA逆时针旋转60°，得到线段AE，BD，连接BE，CD相交于点P，已知AB=3，AC=2，∠APB=120°，则PA+PB+PC的大小为 ．
训练题07【2022·湖北鄂州·中考真题】
如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ．
训练题08【2022·山东日照·中考真题】
如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于点E，F．设CM＝a，CN＝b，且ab＝8．
（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
（2）①如图2，当a＝b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
A
C
B
M
E
P
F
N
图1
A
C
B
M
E
P
F
N
图2
训练题09【2021·上海·南汇一模】
如图，在矩形中，，垂足为，动点 分别在上，则的长为 ，的最小值为 ．
训练题10【2021·湖北天门·中考真题】
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，点D为平面内一点，AD＝1，连接DC，将线段DC绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE，若BE∥AC，则DC的长为_________．
A
B
C
E
D
题型训练
答案&解析
训练题01【2023·河南·中考真题】
【答案】
【分析】连接，证明，设，则，再证明，列出比例式计算即可．
【详解】如图，连接，
∵与相切于点A，
∴；
∵,
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
解得，
故的长为，
故答案为：．
训练题02【2023·浙江杭州·中考真题】
【答案】(1)(2)见解析(3)
【详解】（1）解：由题知，，
若，则．
四边形是正方形，
，
又，
，
，
即，
．
（2）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
．
（3）解：设，
则，．
在中，，
即，解得．
训练题03【2023·广东深圳·联考二模】
【答案】
【详解】解：如图所示，延长至使，作交于，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
训练题04【2023·湖北十堰·中考真题】
【答案】6
【详解】解：连接，交于点O，如图所示：

∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
设，则有，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
同理可得，即，
∴，∴
训练题05【2023·辽宁营口·中考真题】
【答案】
【详解】解：连接，

∵将绕着点C按顺时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
设，则，
取的中点H，连接，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
即，
∴，
∴，
∴
训练题06【2022·江苏苏州·中考母题】
【答案】
【分析】连接AD=CE，利用旋转的性质得到△ABD和△ACE是等边三角形，可推出∠DAC=∠EAB，利用SAS证明△ADC≌△ABE，利用全等三角形的性质可证得∠AEB=∠ACD，可得到∠APF=60°，在PE上截取PF=PA，可推出△APF是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到∠PAF=60°；再证明∠EAF=∠PAC，可推出△AFE≌△APC，由此可证得AP+BP+CP=BE；过点E作EG⊥BA，交BA的延长线于点G，利用勾股定理求出GE，AG的长，从而可求出BG的长，然后利用勾股定理求出BE的长，进而即可求解．
【详解】连接AD，CE，
∵分别以A，B为旋转中心，把边AC，BA逆时针旋转60°，得到线段AE，BD，
∴AB=BD，AE=AC，∠ABD=∠EAC=60°，
∴△ABD和△ACE是等边三角形，
∴∠DAC=∠EAB=90°+60°=150°，
在△ADC和△ABE中
∵，
∴△ADC≌△ABE（SAS）
∴∠AEB=∠ACD，
∵∠APB=120°，
∴∠APF=60°，
在PE上截取PF=PA，
∴△APF是等边三角形，
∴∠PAF=60°，
∴∠EAF+∠BAP=150°-60°=90°，∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°，
∴∠EAF=∠PAC，
∵AE=AC，∠AEB=∠ACD，
∴△AFE≌△APC，
∴PC=FE
∴AP+BP+CP=PF+BP+FE=BE
过点E作EG⊥BA，交BA的延长线于点G，
∵∠GAE=180°-150°=30°，
∵AE=AC=，
∴GE= ， ，
∴BG=AB+AG=3+3=6，
∴，
∴AP+BP+CP=．
故答案为：．
训练题07【2022·湖北鄂州·中考真题】
【答案】
【详解】
法一图所示，过点E作EF⊥AB于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，
∵CE=BD=2，AB=AC=6，
∴AE=4，
∴，
∴BF=4，
∴，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，
又∵∠BDP=∠ADB，
∴△BDP∽△ADB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△ABP的周长，
故答案为：．
法二：【解析】过点A作AH⊥BC于点H．
A
B
C
H
D
E
P
则BH＝＝3，AH＝．
∵BD＝2，∴DH＝1，∴AD＝＝．
∵AB＝BC，∠ABD＝∠C，BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠PBD．
∵∠ADB＝∠BDP，∴△ABD∽△BPD，
∴＝＝，∴＝＝，
∴BP＝，PD＝，∴AP＝，
∴△ABP的周长＝＝．
训练题08【2022·山东日照·中考真题】
【分析】（1）由条件可得S矩形PMCN ＝S△ABC，则S△PEF ＝S△AEM ＋ S△BFN，＝，由线段AE，EF，BF组成的三角形是直角三角形；（2）①过点C作CH⊥EF于点H．当a＝b时，可得CM＝CN＝CH，△CEM≌△CEH，△CFN≌△CFH，则∠ECM＝∠ECH，∠FCN＝∠FCH，∠ECF＝∠ECH＋∠FCH＝∠ACB＝45°；②将△ACE绕点C顺时针旋转90°得到△BCG，连接FG．可证△CEF≌△CGF，则①中的结论成立．
【详解】（1）由线段AE，EF，BF组成的三角形是直角三角形，理由如下：
∵S△ABC＝＝8，S矩形PMCN ＝ab＝8，
∴S△ABC＝S矩形PMCN，∴S△PEF ＝S△AEM ＋ S△BFN，
∴＝，∴＝，
∴由线段AE，EF，BF组成的三角形是直角三角形．
（2）①当a＝b时，＝8，∴CM＝CN＝a＝．
如图1，过点C作CH⊥EF于点H．
∵AC＝BC＝4，∴CH＝，∴CM＝CN＝CH，
∴△CEM≌△CEH，△CFN≌△CFH，
∴∠ECM＝∠ECH，∠ECN＝∠FCH，
∴∠ECF＝∠ECH＋∠FCH＝∠ACB＝45°．
②当a≠b时，①中的结论仍然成立，理由如下：
如图2，将△ACE绕点C顺时针旋转90°得到△BCG，连接FG．
则∠FBG＝90°，∴＝＝．
∵＝，∴EF＝FG．
∵CE＝CG，CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，
∴∠ECF＝∠GCF＝∠ECG＝∠ACB＝45°．
A
C
B
M
E
P
F
N
图1
H
A
C
B
M
E
P
F
N
G
图2
训练题09【2021·上海·南汇一模】
【答案】
【分析】在中，利用三角形相似可求得的长，设A点关于的对称点A′，当时，的值最小，进而求得即可．
【详解】解：设，则，
∵四边形为矩形，且，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得，
∴， ，
如图，设A点关于的对称点为，连接，
则，
∴当三点在一条线上，且时，最小，
∴由三角形的面积公式知，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
训练题10【2021·湖北天门·中考真题】
【答案】5或
【解析】∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∠EDC＝90°，DE＝DC，
∴BC＝，EC＝，∠ACB＝∠DCE＝45°，
∴∠ECB＝∠DCA，∴△BCE∽△ACD，
∴∠BEC＝∠ADC，∠EBC＝∠DAC．
设AD交BC于点F．
当点D在△ABC外部时，如图1．
∵BE∥AC，∴∠ACE＝∠BEC，∴∠ACE＝∠ADC，
∴∠CAF＝∠DCE＝45°，∴∠AFC＝90°，
A
B
C
E
F
图1
A
B
C
E
D
F
图2
D
∴AF＝CF＝＝3．
∵AD＝1，∴DF＝4，
∴DC＝＝＝5．
当点D在△ABC内部时，如图2．
∵BE∥AC，∴∠EBC＝∠ACB＝45°，
∴∠DAC＝∠EBC＝45°，∴∠AFC＝90°，
∴AF＝CF＝3，∴DF＝2，
∴DC＝＝＝．
综上所述，DC的长为5或．