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河南省名校联盟2024届高三下学期开学摸底考试数学试卷
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这是一份河南省名校联盟2024届高三下学期开学摸底考试数学试卷，共4页。试卷主要包含了下列说法正确的是，2），则P＝0等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝｛x｜－≤0｝，B＝｛x｜≥1｝，则A∩B＝
A．［0，］ B．（0，］ C．（0，1］ D．［0，1］
2．复数z＝（a∈R）在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．命题“x＜－1，＞0”的否定为
A．x＜－1，≤0 B．x≥－1，＞0
C．x≥－1， ＞0 D．x＜－1，≤0
4．若双曲线（a＞0，b＞0）的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点F到一条渐近线的距离为
A． B． C．1 D．2
5．已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上、下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为
A． B． C． D．
6．已知实数m，n满足1＞m＞n＞0，设a＝，b＝，c＝，则
A．a＝b＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞a＝b
7．在△ABC中，D为边BC上一点，∠DAC＝，AD＝4，AB＝2BD，且△ADC的面积为，则sin∠ABD＝
A． B． C． D．
8．已知等差数列｛｝的前n项和为，若m≠n，且＋＝，＋＝，则 ＝
A． B． C．－ D．－
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是
A．若随机变量X～B（2，0．2），则P（X＝2）＝0．2
B．若经验回归方程＝＋中的＞0，则变量x与y正相关
C．若随机变量～N（0，），且P（＜）＝p，则P（0＜＜）＝－p
D．若事件A与B为互斥事件，则A的对立事件与B的对立事件一定互斥
10．已知函数f（x）＝，则以下结论正确的是
A．为f（x）的一个周期
B．f（x）在（，）上有2个零点
C．f（x）在x＝处取得极小值
D．对，∈R，｜｜≤
11．已知定义在R上的函数y＝f（2x＋2）为奇函数，且对x∈R，都有f（x＋）＝
f（－x），定义在R上的函数为f（x）的导函数，则以下结论一定正确的是
A．f（x＋2）为奇函数 B．＝
C．＝ D．为偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．小明上学要经过两个有红绿灯的路口，已知小明在第一个路口遇到红灯的概率为，若他在第一个路口遇到红灯，第二个路口没有遇到红灯的概率为，在第一个路口没有遇到红灯，第二个路口遇到红灯的概率为，则小明在第二个路口遇到红灯的概率为_______．
13．已知∈（0，），若P＝sinsin＋cscs，则P的最大值为_______．
14．已知抛物线C：＝2py（p＞0）的焦点为F，直线l与抛物线C相切于点P（异于坐标原点O），与x轴交于点Q，若｜PF｜＝2，｜FQ｜＝1，则p＝_______；向量与的夹角为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数f（x）＝ax＋．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若直线y＝1与曲线y＝f（x）相切，求a的值．
16．（15分）如图，在三棱台ABC－中，AB＝AC＝＝＝，＝＝，∠BAC＝．
（1）证明：⊥；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17．（15分）某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从10个数字1，2，3，…，10中随机抽取的3个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：若3个数的积为3的倍数且不为5的倍数时，中三等奖；若3个数的积为5的倍数且不为3的倍数时，中二等奖；若3个数的积既为3的倍数，又为4的倍数，且为7的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖．
（1）随机抽取一张彩票，求这张彩票中奖的概率；
（2）假设每张彩票售价为a（a∈）元，且三、二、一等奖的奖金分别为5元，10元，50元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求a的最小值．
18．（17分）已知椭圆C：的右焦点为F，A为椭圆上一点，O为坐标原点，直线
OA与椭圆交于另一点B，直线AF与椭圆交于另一点D（点B、D不重合）．
（1）设直线AD，BD的斜率分别为，，证明：·＝；
（2）点P为直线x＝4上一点，记PA，PF，PD的斜率分别为，若＋＋ ＝4，求点P的坐标．
19．（17分）在数列｛｝中，若存在常数t，使得＝…＋t（n∈）恒成立，则称数列｛｝为“H（t）数列”．
（1）若＝1＋，试判断数列｛｝是否为“H（t）数列”，请说明理由；
（2）若数列｛｝为“H（t）数列”，且＝2，数列｛｝为等比数列，且＝ ＋－t，求数列｛｝的通项公式；
（3）若正项数列｛｝为“H（t）数列”，且＞1，t＞0，证明：＜－1．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝｛x｜－≤0｝，B＝｛x｜≥1｝，则A∩B＝
A．［0，］ B．（0，］ C．（0，1］ D．［0，1］
2．复数z＝（a∈R）在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．命题“x＜－1，＞0”的否定为
A．x＜－1，≤0 B．x≥－1，＞0
C．x≥－1， ＞0 D．x＜－1，≤0
4．若双曲线（a＞0，b＞0）的实轴长为2，离心率为，则双曲线的左焦点F到一条渐近线的距离为
A． B． C．1 D．2
5．已知上底面半径为，下底面半径为的圆台存在内切球（与上、下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为
A． B． C． D．
6．已知实数m，n满足1＞m＞n＞0，设a＝，b＝，c＝，则
A．a＝b＞c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞a＝b
7．在△ABC中，D为边BC上一点，∠DAC＝，AD＝4，AB＝2BD，且△ADC的面积为，则sin∠ABD＝
A． B． C． D．
8．已知等差数列｛｝的前n项和为，若m≠n，且＋＝，＋＝，则 ＝
A． B． C．－ D．－
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是
A．若随机变量X～B（2，0．2），则P（X＝2）＝0．2
B．若经验回归方程＝＋中的＞0，则变量x与y正相关
C．若随机变量～N（0，），且P（＜）＝p，则P（0＜＜）＝－p
D．若事件A与B为互斥事件，则A的对立事件与B的对立事件一定互斥
10．已知函数f（x）＝，则以下结论正确的是
A．为f（x）的一个周期
B．f（x）在（，）上有2个零点
C．f（x）在x＝处取得极小值
D．对，∈R，｜｜≤
11．已知定义在R上的函数y＝f（2x＋2）为奇函数，且对x∈R，都有f（x＋）＝
f（－x），定义在R上的函数为f（x）的导函数，则以下结论一定正确的是
A．f（x＋2）为奇函数 B．＝
C．＝ D．为偶函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．小明上学要经过两个有红绿灯的路口，已知小明在第一个路口遇到红灯的概率为，若他在第一个路口遇到红灯，第二个路口没有遇到红灯的概率为，在第一个路口没有遇到红灯，第二个路口遇到红灯的概率为，则小明在第二个路口遇到红灯的概率为_______．
13．已知∈（0，），若P＝sinsin＋cscs，则P的最大值为_______．
14．已知抛物线C：＝2py（p＞0）的焦点为F，直线l与抛物线C相切于点P（异于坐标原点O），与x轴交于点Q，若｜PF｜＝2，｜FQ｜＝1，则p＝_______；向量与的夹角为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知函数f（x）＝ax＋．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若直线y＝1与曲线y＝f（x）相切，求a的值．
16．（15分）如图，在三棱台ABC－中，AB＝AC＝＝＝，＝＝，∠BAC＝．
（1）证明：⊥；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17．（15分）某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从10个数字1，2，3，…，10中随机抽取的3个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：若3个数的积为3的倍数且不为5的倍数时，中三等奖；若3个数的积为5的倍数且不为3的倍数时，中二等奖；若3个数的积既为3的倍数，又为4的倍数，且为7的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖．
（1）随机抽取一张彩票，求这张彩票中奖的概率；
（2）假设每张彩票售价为a（a∈）元，且三、二、一等奖的奖金分别为5元，10元，50元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求a的最小值．
18．（17分）已知椭圆C：的右焦点为F，A为椭圆上一点，O为坐标原点，直线
OA与椭圆交于另一点B，直线AF与椭圆交于另一点D（点B、D不重合）．
（1）设直线AD，BD的斜率分别为，，证明：·＝；
（2）点P为直线x＝4上一点，记PA，PF，PD的斜率分别为，若＋＋ ＝4，求点P的坐标．
19．（17分）在数列｛｝中，若存在常数t，使得＝…＋t（n∈）恒成立，则称数列｛｝为“H（t）数列”．
（1）若＝1＋，试判断数列｛｝是否为“H（t）数列”，请说明理由；
（2）若数列｛｝为“H（t）数列”，且＝2，数列｛｝为等比数列，且＝ ＋－t，求数列｛｝的通项公式；
（3）若正项数列｛｝为“H（t）数列”，且＞1，t＞0，证明：＜－1．
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