[数学]河南省名校联盟2025届高三上学期开学摸底联考试题(解析版)

这是一份[数学]河南省名校联盟2025届高三上学期开学摸底联考试题(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由集合，
可得.
故选：B.
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题知，所以．
故选:D．
3. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为抛物线的标准方程为： ，
焦点在轴正半轴上，且 ，所以焦点坐标为，
故选:B.
4. 双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，所以，
即双曲线的离心率．
故选：B．
5. 将正整数1，2，3，…按从小到大的顺序分组，第组含个数，分组如下：，则2025在第（ ）组．
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】C
【解析】由题意可设前组里含有的正整数的个数为，
则，
由于，，
故2025在第11组．
故选：C．
6. 在中，内角的对边分别为，且的面积，若的平分线交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由可知，，所以，所以．
在中，由等面积法得，
即，
即，解得，故正确
故选:A.
7. 已知面积为的正三角形的所有顶点都在球的球面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设球的半径为外接圆圆心为，半径为的边长为．
因为是面积为的等边三角形，所以，解得，
所以，所以，
解得，
则，则球的表面积为，故正确.
故选：B.
8. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为，则函数在上的零点个数为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
故，
因为当时，
由于，所以
在上的值域为，
所以解得，
即的零点即为的根，
则或，即或，
所以函数在上的零点有，共8个．
故选：C．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知命题“”为真命题，则实数的值可以是（ ）
A. 2B. 0C. D.
【答案】CD
【解析】因为命题“”为真命题，
所以．
令，
根据增函数减去减函数知：为增函数，
当时，有最小值，
故实数的取值范围为．
故选：CD．
10. 已知随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由随机变量，
得，，，，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
两个随机变量的均为120，由正态分布特点知D正确．
故选：ABD．
11. 若定义在R上的偶函数y=fx，对任意两个不相等的实数，都有，则称y=fx为“函数”．下列函数为“函数”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】根据题意，对任意两个不相等的实数，
都有，
变形可得，
即．
若，则，可得，
即在0,+∞上单调递减．
又为偶函数，所以fx在上单调递增．
对A：定义域为，且，则fx为偶函数，
根据二次函数性质可得fx在上单调递减，在上单调递增，符合题意，故正确；
对：定义域为，
且，则fx为偶函数，
函数，在上单调递增，在上单调递减，函数为增函数，
根据复合函数定义可知函数在上单调递增，在上单调递减，故不符合题意，故错误；
对C：，定义域为，且，则fx为偶函数，
且，则fx在上单调递减，在上单调递增，故符合题意，故C正确；
对D：，定义域为，且满足，则fx为偶函数，
当x>0时，，由为减函数，为增函数，
则在上单调递减，同理可得fx在上单调递增，故符合题意，故正确.
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在的展开式中，含的项的系数为____________．
【答案】
【解析】由题意可得的二项展开式的通项公式为，
令，可得，所以，故含的项的系数为80.
13. 已知函数，若当时，函数存在最小值，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】由题意可得fx在时有最小值，即在1,2上有极小值即可，
因为在上单调递增，所以只需
即解得，
这时存在x0∈1,2，使得在区间上单调递减，在区间上单调递增，
即函数在区间上有极小值也即是最小值．所以的取值范围是．
14. 如图，已知圆的半径为4，是圆的一条直径．两点均在圆上，，点为线段上一动点，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】如图，为圆心，连接，
则
．
因为点在线段上且，则圆心到直线的距离，所以，所以，
则，即取值范围是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点．在对某品牌10个子工厂投资及利润的统计后，得到如下表格，分别表示第个子工厂的投资（单位：万元）和纯利润（单位：万元）．
（1）依据表中的统计数据，请判断投资与纯利润是否具有较强的线性相关程度？（参考：若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较强．计算时精确度为0.01）
（2）求关于的经验回归方程（精确到0.01）．
参考数据：，．
参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
解：（1）依题意知，，
所以相关系数，
所以与之间具有较强的线性相关关系.
（2）依题意知，
又因为，
所以，
所以，
所以关于的经验回归方程为.
16. 已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
解：（1）当时，，即，
当时，①，②，
①-②得，即，所以．
因为，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列．
则，即．
（2）由（1）得，，
所以，
，
故，
所以．
17. 如图，在三棱柱中，平面．

（1）求证：平面；
（2）设点满足，若平面与平面的夹角为，求实数．
（1）证明：平面平面，．
又，且平面，
平面．
平面．
又平面，
平面．
（2）解：由（1）知四边形为正方形，即，且有，
以点为原点，以所在直线分别为轴，以过点和平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则．
，
．
设平面的一个法向量为，由得：
，取．
由（1）知平面平面的一个法向量为，
，解得.
所以.
18. 已知函数，当时，fx的值域为.
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性；
（3）设，证明：对任意两个不等实数，不等式恒成立.
（1）解：由在都单调递增，
所以在上单调递增，
由当时，fx的值域为，可知，即.
（2）解：由（1）知，的定义域为.
令，
所以f'x>0，所以在上单调递增.
（3）证明：.不妨设，
则要证明x1-x2>gx1-gx2x1x2+x1+x2+1．
只需证明x1+1-x2+1>lnx1+1-lnx2+1x1+1x2+1,
即x1+12-2x1+1x2+1+x2+12x1+1x2+1>lnx1+1x2+12,
即证x1+1x2+1-2+x2+1x1+1>lnx1+1x2+12．
设，则只需证明.化简得.
设.则在1,+∞上恒成立，
在1,+∞上单调递增，
当时，，即，得证.
19. 定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：有两个点满足“共轭点对”，并求出的坐标；
（3）设（2）中的两个点分别是，设为坐标原点，点在椭圆上，且，顺时针排列且，证明：四边形的面积小于．
（1）解：由题，椭圆的另一焦点为F21,0，
因此，
所以，
所以椭圆标准方程为．
（2）证明：设“共轭点对”中点的坐标为Bx,y，
根据“共轭点对”定义：
点的坐标满足所以或
于是有两个点满足，且点的坐标为．
（3）解：设．
设所在直线为，则的方程为．
设点，则
两式相减得．
又，于是，则，所以线段的中点在直线上．
所以线段被直线平分．
设点到直线的距离为，
则四边形的面积．
又，则有．

设过点且与直线平行的直线的方程为，则当与相切时，取得最大值．
由消去得
令，解得．
当时，方程为，即，解得，
则此时点或点必有一个和点重合，不符合条件，
从而直线与不可能相切，
即小于直线和平行直线（或）距离，
所以．投入万元
32
31
33
36
37
38
39
43
45
46
纯利润万元
25
30
34
37
39
41
42
44
48
50