湖北省部分市州2022-2023学年高二下学期7月期末联考数学试题(学生版+解析)

这是一份湖北省部分市州2022-2023学年高二下学期7月期末联考数学试题(学生版+解析)，共28页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 已知，，，则等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角
A. B. C. D.
2. 已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数a等于( )
A. B. C. 1D. 2
3. 下列命题中，错误的是( )
A. 若随机变量，则
B. 若随机变量，且，则
C. 在回归分析中，若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好
D. 在回归分析中，若样本相关系数越大，则成对样本数据的线性相关程度越强
4. “拃”是我国古代的一种长度单位，最早见于金文时代，“一拃”指张开大拇指和中指两端间的距离.某数学兴趣小组为了研究右手一拃长(单位：厘米)和身高(单位：厘米)的关系，从所在班级随机抽取了名学生，根据测量数据的散点图发现和具有线性相关关系，其经验回归直线方程为，且，.已知小明的右手一拃长为厘米，据此估计小明的身高为( )
A 厘米B. 厘米C. 厘米D. 厘米
5. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚向上的点数为奇数”，“第二枚向上的点数为3的倍数”，“向上的点数之和为8”，则( )
A. 与互斥B. 与对立
C. 与相互独立D. 与相互独立
6. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行校园厨艺总决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你和甲的名次相邻.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况种数为( )
A. 54B. 48C. 42D. 36
7. 已知等差数列，的前项和分别为，，且，则( )
A. B. C. D.
8. 已知，，，则( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 第8项的系数为36
B. 常数项为
C. 各二项式系数之和为512
D. 各项系数之和为0
10. “嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则以下说法正确的是( )

A. 椭圆轨道Ⅱ的焦距为
B. 椭圆轨道Ⅱ的短轴长为
C. 若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大
D. 若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大
11. 某校高二年级在一次研学活动中，从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观，要求所有景点全部参观且不重复.记“第站参观甲地的景点”为事件，，2，…，7，则( )
A. B.
C. D.
12. 在三棱锥中，，，设三棱锥的体积为，直线与平面所成的角为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的最大值为
B. 若，则最大值为
C. 若直线，与平面所成的角分别为，，则不可能为
D. 若直线，与平面所成的角分别为，，则的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，4%，5%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为______.
14. 6名大学毕业生到绿水村、青山村、人和村担任村官，每名毕业生只去一个村，绿水村安排2名，青山村安排1名，人和村安排3名，则不同的安排方法共有______种.
15. 已知双曲线.则其渐近线方程为______；设，分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上一点.若的斜率为1，则______.
16. 若时，不等式恒成立，则整数的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 在等比数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列前n项和.
18. 已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若在区间上有极值点，求实数a的取值范围.
19. 如图1，在等腰梯形中，∥，，.将沿折起，使得，如图2.

(1)求证：平面平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
20. 某年级对“热爱篮球运动与性别是否有关”作了一次调查，被调查的男、女生人数均为，其中男生热爱篮球运动的人数占被调查男生人数的，女生热爱篮球运动的人数占被调查女生人数的若根据独立性检验认为热爱篮球运动与性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05.
(1)求被调查的学生中男生人数的所有可能结果；
(2)当被调查的学生人数取最小值时，现从被调查的热爱篮球运动的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取10人参加某篮球赛事的志愿活动，再从这10人中任选4人担任助理裁判.设4名助理裁判中女生人数为，求X的分布列和均值.
附：，其中.
21. 已知抛物线，点在抛物线上，且点到抛物线的焦点的距离为.
(1)求；
(2)设圆，点是圆上的动点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两点，求的面积的最大值.
22. 已知函数和有相同的最小值.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
湖北省部分市州2023年7月高二年级联合调研考试
数学试卷
本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系，求得.
【详解】可得直线的斜率为，
由斜率和倾斜角的关系可得，
又∵
∴
故选：A.
【点睛】本小题主要考查直线倾斜角与斜率，属于基础题.
2. 已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数a等于( )
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由导数的几何意义求解即可.
【详解】因为，所以，
则曲线在点处的切线斜率为，
又因为直线斜率为，
所以，即.
故选：C.
3. 下列命题中，错误的是( )
A. 若随机变量，则
B. 若随机变量，且，则
C. 在回归分析中，若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好
D. 在回归分析中，若样本相关系数越大，则成对样本数据的线性相关程度越强
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项分布计算出则可判断A；根据正态分布的对称性计算出可判断B；根据残差的平方和的定义可判断C；根据样本相关系数的定义可判断D.
【详解】对于A，若随机变量，则，故A正确；
对于B，若随机变量，且，则，故B正确；
对于C，在回归分析中，若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好，故C正确；
对于D，在回归分析中，若样本相关系数越大，则成对样本数据的线性相关程度越强，故D错误.
故选：D.
4. “拃”是我国古代的一种长度单位，最早见于金文时代，“一拃”指张开大拇指和中指两端间的距离.某数学兴趣小组为了研究右手一拃长(单位：厘米)和身高(单位：厘米)的关系，从所在班级随机抽取了名学生，根据测量数据的散点图发现和具有线性相关关系，其经验回归直线方程为，且，.已知小明的右手一拃长为厘米，据此估计小明的身高为( )
A. 厘米B. 厘米C. 厘米D. 厘米
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出，，进而可得回归直线方程，再将代入，即可求解.
【详解】由题意，，，
又，即，解得，
故经验回归直线方程为，
当时，，估计小明的身高为厘米,
故选：B
5. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚向上的点数为奇数”，“第二枚向上的点数为3的倍数”，“向上的点数之和为8”，则( )
A. 与互斥B. 与对立
C. 与相互独立D. 与相互独立
【答案】C
【解析】
【分析】利用互斥事件，对立事件，相互独立事件的性质依次判断即可.
【详解】选项：当第一枚向上的点数为3，第二枚向上的点数为3，∴与同时发生，∴与不互斥，∴选项错误；
选项：当第一枚向上的点数为5，第二枚向上的点数为3，此时向上的点数之和为8，则与同时发生，∴与不对立，∴选项错误；
选项：该实验的样本空间有36个元素，事件，
，，
事件，，
事件
则, ,,
∴，∴与相互独立，∴选项正确；
选项：事件，事件,
则，,,
∴,∴与不是相互独立，∴选项错误；
故选:.
6. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行校园厨艺总决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你和甲的名次相邻.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况种数为( )
A. 54B. 48C. 42D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分两种情况讨论：乙是冠军，乙不是冠军，再安排其他人，由加法计数原理可得答案.
【详解】由题意，第一种情况：乙是冠军，则甲在第二位，剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况；
第二种情况：先从丙、丁、戊中选1人为冠军，再排甲，乙两人，再把甲和乙捆绑与其他人排列，共有种；
综上可得共有种不同的情况.
故选：C.
7. 已知等差数列，的前项和分别为，，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列的前项和公式求解.
【详解】由已知得，可设，，
则，，
即，
故选：.
8. 已知，，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过构造，，三个函数，将三个数与进行比较，得到，；
再通过构造，，通过二次求导的方法比较b和c的大小即可得到答案.
【详解】先比较和的大小：
构造，
则对恒成立，则在单调递增，
此时，当且仅当时取等，
所以，则；
构造，
则对恒成立，则在单调递减，
此时，当且仅当时取等，
所以，则；
构造，
则对恒成立，则在单调递减，
此时，当且仅当时取等，
所以，则；
则，；
下面比较b和c的大小：
设，，
，
设，，，
易知在上单调递增，则，
所以在上单调递减，，
即在上恒成立，则在上单调递减，
由，则，即，则.
综上，
故选：B
【点睛】方法点睛：本题考查通过导数的综合运用.比大小问题要熟悉各类常见的放缩，找出结构的相同之处，通过构造函数，运用导数这一工具，对数据进行大小的比较.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 第8项的系数为36
B. 常数项为
C. 各二项式系数之和为512
D. 各项系数之和为0
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据通项可判断A,B；根据二项式系数之和为可判断C，令可得各项系数之和可判断D.
【详解】的通项为，
对于A，令，则，所以第8项的系数为，故A错误；
对于B，令得，所以常数项为，故B正确；
对于C， 二项式系数之和为512，故C正确；
对于D，令可得各项系数之和为，故D正确；
故选：BCD.
10. “嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则以下说法正确的是( )

A. 椭圆轨道Ⅱ的焦距为
B. 椭圆轨道Ⅱ的短轴长为
C. 若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大
D. 若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大
【答案】AC
【解析】
【分析】根据图中几何关系列方程组求出a，c，然后可得b，可判断AB；分离常数，利用反比例函数的性质可判断CD.
【详解】在椭圆中，由图可知，解得，
所以，所以，A正确，B错误；
，当不变时，由反比例函数的性质可知，函数在上单调递增，C正确；
，当不变时，由反比例函数的性质可知，函数在上单调递减，D错误.
故选：AC
11. 某校高二年级在一次研学活动中，从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观，要求所有景点全部参观且不重复.记“第站参观甲地的景点”为事件，，2，…，7，则( )
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据古典概型的概率公式可判断A,C选项，继而根据条件概率的计算公式可判断B选项，结合对立事件判断D选项.
【详解】由题意可得 A正确；
，故B正确；
由于，C错误；
,所以D错误.
故选：AB.
12. 在三棱锥中，，，设三棱锥的体积为，直线与平面所成的角为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的最大值为
B. 若，则的最大值为
C. 若直线，与平面所成的角分别为，，则不可能为
D. 若直线，与平面所成的角分别为，，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据椭圆点P的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，在空间中，点P的轨迹为椭球面(点P不在平面上)可判断A；当过点的直线与圆相切时取最大值，求出此时得的最大值可判断B；若时根据直线，与平面所成的角相等可判断C；作平面，设，由知，求出可判断D.
【详解】对于选项A，在平面中，若，点P的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，其中，，
那么在空间中，点P的轨迹为椭球面(点P不在平面上)，
所以当三棱锥的高为其体积最大，所以，A错误；
对于选项B，当过点的直线与以的中点为圆心半径为的圆相切时，取最大值，
此时，且为锐角，所以的最大值为，B正确；
对于选项C，若，则平面，
因，则直线，与平面所成角相等，不合题意，C正确；
对于选项D，作平面，O为垂足，则，，
设，则，，由知，
即，则，D正确.
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：若，点P的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，那么在空间中，点P的轨迹为椭球面(点P不在平面上)，考查了形式的空间想象能力.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，4%，5%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为______.
【答案】##0.052
【解析】
【分析】有三个地区的人数比设出三个地区的人数，求出三个地区患了流感的人数，利用古典概型的概率计算公式求解即可.
【详解】因为A，B，C三个地区的人口数的比为，
所以设A，B，C三个地区的人口数分别为，
则这三个地区患了流感的人数分别为，，.
现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为：
.
故答案为：.
14. 6名大学毕业生到绿水村、青山村、人和村担任村官，每名毕业生只去一个村，绿水村安排2名，青山村安排1名，人和村安排3名，则不同的安排方法共有______种.
【答案】60
【解析】
【分析】利用组合以及分步计数原理求解.
【详解】先从6名大学毕业生选出2名安排到绿水村，有种方法；再从剩余的4名大学毕业生选出1名安排到青山村，有种方法；最后剩余的3名大学毕业生安排到人和村，有1种方法，
根据分步计数原理可知不同的安排方法共有种，
故答案为：60.
15. 已知双曲线.则其渐近线方程为______；设，分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上一点.若的斜率为1，则______.
【答案】 ① ②. ##0.5
【解析】
【分析】①根据双曲线方程即渐近线公式可直接求得；
②根据条件写出直线的斜率，利用双曲线方程，可求得又进一步求出，再利用两角差的正切公式即可求解.
【详解】双曲线的
所以双曲线的渐近线方程为，
设，由题意
又
即
又
故答案为：①；②
16. 若时，不等式恒成立，则整数的最大值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】方法1：参变分离可得恒成立，设，，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解；
方法2：设，，求出函数的导函数，考虑的情形，利用导数求出函数的最小值，即可得解.
【详解】法1：不等式可化为，由，知，则时，恒成立.
设，，，
设，，则，所以在上单调递增，
又，，则在上存在唯一的零点，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，且，化简得，
因，则，则整数的最大值为.
法2：设，，，要求整数的最大值，
则直接考虑的情形，
由得，由得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，令，，，
则在上单调递减，，，则整数的最大值为2；
故答案为：
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
17. 在等比数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据已知列方程求出和q，然后可得通项公式；
(2)利用裂项相消法求解可得.
【小问1详解】
设数列的公比为，则，
解得，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】

则
所以.
18. 已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若在区间上有极值点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)的单调递增区间为，，单调递减区间
(2)
【解析】
【分析】(1)求导函数，利用导数大于0或小于0，可得的单调区间；
(2)在区间上有极值点，等价于在区间有变号零点，再利用分离参数法即可求解.
【小问1详解】
，由得或.
则的单调递增区间为，，单调递减区间；
【小问2详解】
依题知，在上有变号零点
由，得，令
在上单调递增，在上单调递减
且，，，
则.
.
19. 如图1，在等腰梯形中，∥，，.将沿折起，使得，如图2.

(1)求证：平面平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【解析】
【分析】(1)证法一：在等腰梯形中，由已知可求得，即，而，则由线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得结论，证法二：在中由余弦定理求出，再在中由正弦定理可求出，从而可得，即，而，则由线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得结论，
(2)以C为原点，CA，CB所在直线为x，y轴，过C且垂直于底面所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可.
【小问1详解】
证法一：因为在等腰梯形中，∥，，，
所以，,
所以，即.
在图2中，由，，，平面，
所以平面
因为平面，所以平面平面.
证法二：因为在等腰梯形中，∥，，，
所以,
在中，，，
由余弦定理得
，
所以，
在中，由正弦定理知，
所以，得，
因为为锐角，
所以，
所以，即，
因为，，平面，
所以平面
因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
以C为原点，CA，CB所在直线为x，y轴，过C且垂直于底面所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，，则
设平面的法向量为，
则有，即，
则，令，，所以，
设平面的法向量为，
则有，令，则，
所以，
，化简得，
解得或(舍)，则存在这样的点，且.

20. 某年级对“热爱篮球运动与性别是否有关”作了一次调查，被调查的男、女生人数均为，其中男生热爱篮球运动的人数占被调查男生人数的，女生热爱篮球运动的人数占被调查女生人数的若根据独立性检验认为热爱篮球运动与性别有关，且此推断犯错误的概率超过0.01但不超过0.05.
(1)求被调查的学生中男生人数的所有可能结果；
(2)当被调查的学生人数取最小值时，现从被调查的热爱篮球运动的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取10人参加某篮球赛事的志愿活动，再从这10人中任选4人担任助理裁判.设4名助理裁判中女生人数为，求X的分布列和均值.
附：，其中.
【答案】(1)男生人数可能为32、36、40、44、48
(2)分布列见解析，
【解析】
【分析】根据题意，列出列联表，通过的值建立不等关系，即可解出；
根据分层抽样选出男生和女生数后，利用超几何分布即可求出X的分布列和均值.
【小问1详解】
整理得到如下列联表：
则
由解得，则
故男生人数可能为32、36、40、44、48.
【小问2详解】
由(1)知，共调查64人，热爱篮球运动的男生、女生各有24人、16人.
参加志愿活动的10人中，男生有6人，女生有4人.
由题意知X服从超几何分布.
概率分布为，，1，2，3，4.
均值.
(2)中概率分布的另外形式：X可取0，1，2，3，4
，， ，
，，
则X的分布列为
.
21. 已知抛物线，点在抛物线上，且点到抛物线的焦点的距离为.
(1)求；
(2)设圆，点是圆上动点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两点，求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据抛物线的定义，即可求解.
(2)根据已知直线方程，和抛物线联立方程，结合韦达定理，求出点的坐标，从而求出直线的方程，根据弦长公式，求得，结合圆上一点到直线的距离的最大值为，从而求出的面积的最大值.
【小问1详解】
由题知准线方程为，则，得.
【小问2详解】
抛物线的方程为，把点代入到抛物线方程，，又，
所以，则点的坐标为，
依题知过点的直线斜率必存在，
设过点的直线方程为，
设，，的圆心为，半径，
则圆心到该直线的距离为，
由直线与圆相切，所以，解得，，
联立，消y得，，则，又，
不妨设，同理，
故，，得，
所以直线：，即，
(定值)，
要使的面积最大，则中边上的高最大即可，
又因为圆心到直线的距离为，
则圆上一点到直线的距离的最大值为，
即中边上的高的最大值为,
所以.

22. 已知函数和有相同的最小值.
(1)求；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)由导数确定函数的单调性，得最小值，由最小值相等得参数值 ；
(2)结合图象分析可知，当直线过曲线和的交点时，满足题意，结合可得出三个交点的横坐标之间的关系，从而证得结论成立.
【小问1详解】
，令得，
，令得.
当时，在单调递减，在单调递增，所以
在单调递减，在单调递增，所以，
由，得.
当时，在单调递增，在单调递减，无最小值，不合题意.
综上所述，.
【小问2详解】
由(1)知，在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调递增，，则直线与、最多有4个交点.

当时，令，则在上单调递增，当时，，，则在上有唯一的零点，即存在，使得，
取满足题意，使得直线与、恰有三个交点，
分别记，，，不妨设，由得，即.
要证，即证，
而，即.
由得，即，
又，，，而在单调，所以.
又由得，即，
又，，而在单调，所以.
由，得，原命题得证.
【点睛】本题考查用导数求函数的最值，用导数研究方程的根的问题，属于难题.对于方程的根的问题，难点在于寻找两个方程的根之间的关系，首先第一步由确定一个交点，其次通过和找到交点横坐标之间的关系，再根据等比数列的性质证明结论成立.
01
0.05
0.01
0.005
0001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
篮球运动
合计
热爱
不热爱
男生
女生
合计
X
0
1
2
3
4
P