湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题(学生版+解析)

这是一份湖北省武汉市部分重点中学2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题(学生版+解析)，共29页。试卷主要包含了 已知双曲线C， 以下说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

试卷满分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 样本数据的平均数为4，方差为1，则样本数据的平均数，方差分别为( )
A. 9，4B. 9，2C. 4，1D. 2，1
2. 某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮次，每罚进一球记分，不进记分，已知该同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为( )
A. B. C. D.
3. 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为( )
A. B. C. D.
4. 某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量(单位：克)分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是( )
A. 的数据较更集中
B.
C. 甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于
D.
5. 若在和处有极值，则函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
6. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P为第一象限内一点，且点P在双曲线C的一条渐近线上，，且，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
7. 一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为( )
A. B. C. D.
8. 已知正三棱锥的高为，且，其各个顶点在同一球面上，且该球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为( )
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 以下说法正确的是( )
A. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
B. 若两组数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强
C. 决定系数越小，模型的拟合效果越差
D. 有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是
10. 爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用3D投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为，则( )
A. 事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥
B. “放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为
C. 表演成功的环节个数的期望为3
D. 在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为
11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 以为直径的圆与准线相交
C. 设，则
D. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条
12. 如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处平面，若为线段的中点，二面角大小为，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是( )

A. 存在某个位置，使得
B. 面积的最大值为
C. 三棱锥体积最大是
D. 当为锐角时，存在某个位置，使得
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是______．
14. 某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
若与线性相关，且线性回归方程为，则__________.
15. 已知函数， 若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是_________
16. 近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线.某外卖小哥每天来往于4个外卖店(外卖店的编号分别为)，约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，显然，则__________，__________(第二空精确到0.01).
四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知正项等比数列的前项和为，且，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记为数列的前项和，正数恒成立，求的取值范围.
18. 国内某企业，研发了一款环保产品，为保证成本，每件产品售价不低于43元，经调研，产品售价(单位：元/件)与月销售量(单位：万件)的情况如下表所示：
(1)求相关系数(结果保留两位小数)；
(2)建立关于的经验回归方程，并估计当售价为55元/件时，该产品的月销售量约为多少件？
参考公式：对于一组数据，相关系数，其回归直线斜率和截距的最小二乘估计分别为：
19. 某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的台新能源汽车车主，统计得到以下列联表，经过计算可得.
(1)完成表格并求出值，并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；
(2)采用比例分配的分层抽样法从调查的不喜欢和喜欢新能源汽车的车主中随机抽取12人，再从抽取的12人中抽取4人，设被抽取的4人中属于不喜欢新能源汽车的人数为，求的分布列及数学期望.
附：，其中.
20. 已知椭圆的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上，，若的周长为6，面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由．
21. 王老师打算在所教授的两个班级中举行数学知识竞赛，分为个人晋级赛和团体对决赛.个人晋级赛规则：每人只有一次挑战机会，电脑随机给出5道题，答对3道或3道以上即可晋级.团体对决赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：
方式一：将班级选派的个人平均分成组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这个小组都闯关成功，则该班级挑战成功.
方式二：将班级选派的个人平均分成2组，每组人，电脑随机分配给同组个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这2个小组至少有一个小组闻关成功则该班级挑战成功.
(1)甲同学参加个人晋级赛，他答对前三题概率均为，答对后两题的概率均为，求甲同学能晋级的概率；
(2)在团体对决赛中，假设某班每位参赛同学对给出试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明你的理由.
22. 已知函数，．
(1)若，证明：当时；
(2)当时，，求a的取值范围．
武汉市部分重点中学2022—2023学年度下学期期末联考
高二数学试卷
试卷满分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 样本数据的平均数为4，方差为1，则样本数据的平均数，方差分别为( )
A. 9，4B. 9，2C. 4，1D. 2，1
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均数和方差的性质运算求解.
【详解】因为样本数据的平均数为4，
所以样本数据的平均数为；
因为样本数据的方差为1，
所以样本数据的方差为.
故选：A
2. 某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮次，每罚进一球记分，不进记分，已知该同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项分布数学期望公式可求得该同学罚球命中次数的数学期望，结合罚球得分的规则可计算得到结果.
【详解】记该同学罚球命中的次数为，则，，
该同学得分的数学期望为.
故选：D.
3. 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为( )
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先列基本事件，再列满足条件的基本事件，最后根据古典概型求解.
【详解】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为，10种情况，
若这三个数之积为偶数有，9种情况，
它们之和大于8共有 ，5种情况，
从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为.
故选:D.
4. 某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量(单位：克)分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是( )
A. 的数据较更集中
B.
C. 甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正态分布曲线的性质和特点求解.
【详解】对于A，Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确；
对于B，因为c与 之间的与密度曲线围成的面积 与密度曲线围成的面积 ，
，正确；
对于C， ， 甲种茶青每500克超过 的概率 ，正确；
对于D，由B知： ，错误；
故选：D.
5. 若在和处有极值，则函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导函数，依题意且，即可得到方程组，从而求出、的值，再利用导数求出函数的单调递增区间.
【详解】因为，所以，
由已知得 ，解得，
所以，所以，
由，解得，所以函数的单调递增区间是.
故选：C．
6. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P为第一象限内一点，且点P在双曲线C的一条渐近线上，，且，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可知，再由直角三角形中线的性质可得，
利用二倍角正切公式计算即可.
【详解】如图，

设双曲线C的焦距为2c，由可得，
所以，即，
所以．
故选：A．
7. 一堆苹果中大果与小果的比例为，现用一台水果分选机进行筛选．已知这台分选机把大果筛选为小果的概率为，把小果筛选为大果的概率为．经过一轮筛选后，现在从这台分选机筛选出来的“大果”里面随机抽取一个，则这个“大果”是真的大果的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】记事件放入水果分选机的苹果为大果，事件放入水果分选机的苹果为小果，记事件水果分选机筛选的苹果为“大果”，利用全概率公式计算出的值，再利用贝叶斯公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件放入水果分选机的苹果为大果，事件放入水果分选机的苹果为小果，
记事件水果分选机筛选的苹果为“大果”，
则，，，，
由全概率公式可得，
，
因此，
故选：A.
8. 已知正三棱锥的高为，且，其各个顶点在同一球面上，且该球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设底面三角形的边长为a，在中，利用勾股定理得到h和a的关系，得到三棱锥的体积，再利用导数法求解最值.
【详解】解：因为外接球的表面积为，
所以外接球的半径为，
如图所示：

设底面三角形的边长为a，且为等边三角形的中心，则，
在中， ，
解得，
所以 ，
则 ，
令 ，得 ，
当 时， ，单调递增，
当 时， ，单调递减，
所以当 时， 取得最大值为，
故选：A.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 以下说法正确的是( )
A. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
B. 若两组数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的相关性较强
C. 决定系数越小，模型的拟合效果越差
D. 有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是
【答案】ACD
【解析】
【分析】A. 由残差的几何意义判断；B.由相关系数的绝对值大小判断；C.由决定系数判断；D.利用古典概型的概率求解判断.
【详解】A. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好，故正确；
B.若两组数据的样本相关系数分别为，且，则组数据比组数据的相关性较弱，故错误；
C.决定系数越小，模型的拟合效果越差，故正确；
D.有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率是，故正确；
故选：ACD
10. 爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用3D投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为，则( )
A. 事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥
B. “放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为
C. 表演成功的环节个数的期望为3
D. 在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据互斥事件的概念判断A；根据相互独立事件的乘法公式判断B；根据二项分布的期望公式判断C；根据条件概率的计算公式判断D.
【详解】事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”可以同时发生，故不互斥，A错误；
“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为，B正确；
记表演成功的环节个数为X，则，期望为，C正确；
记事件M：“表演成功的环节恰为3个”，事件N：“迎新春环节表演成功”.
，
由条件概率公式，D正确，
故选：BCD
11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 以为直径的圆与准线相交
C. 设，则
D. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据焦点弦公式即可判断A；求出线段的中点坐标及圆的半径，从而可判断B；根据抛物线的定义可得，即可判断C；分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合根的判别式即可判断D.
【详解】抛物线焦点，准线，
由题意，故A正确；
因为，则以为直径的圆的半径，
线段的中点坐标为，则线段的中点到准线的距离为，
所以以为直径的圆与准线相切，故B错误；
抛物线的焦点为，，
当且仅当三点共线时，取等号，所以，故C正确；
对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个公共点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，消得，
当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，
当时，则，解得，
综上所述，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，故D正确．
故选：ACD．
12. 如图，矩形中，为边的中点，沿将折起，点折至处平面，若为线段的中点，二面角大小为，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是( )

A. 存在某个位置，使得
B. 面积的最大值为
C. 三棱锥体积最大是
D. 当为锐角时，存在某个位置，使得
【答案】BC
【解析】
【分析】作出辅助线，证明，又与不垂直，可得结论，A错误；利用三角形面积公式即可求解B；作出辅助线，找到，，由线段比求出答案，即可判断D；由D可得当三棱锥体积最大时，⊥平面，再根据锥体体积公式计算可得.
【详解】对于A，取的中点，连接，，
因为是的中点，所以且，
因为为中点，且，
所以，且，
故四边形为平行四边形，所以，
又与不垂直，所以不存在某个位置，使得，A错误；
对于B：，
当且仅当时，即时，等号成立，故B正确；
对于D：过点作平面于点，作于点，连接，
则是的平面角，即，
是直线与平面所成角，即，
所以，，
故为定值，
故当为锐角时，不存在某个位置，使得，故D错误；

C选项，当三棱锥体积最大时，⊥平面，
，且，所以，
所以，
即，故C正确；
故选：BC
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是______．
【答案】120
【解析】
【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性得，乘以总人数即可得出答案．
【详解】由，得正态分布曲线的对称轴为，
因为，所以，
则数学成绩为优秀的人数是，
故答案为：．
14. 某手机商城统计了最近5个月手机实际销量，如下表所示：
若与线性相关，且线性回归方程为，则__________.
【答案】0.28
【解析】
【分析】根据样本中心点求得正确答案.
【详解】，，
所以.
故答案为：
15. 已知函数， 若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是_________
【答案】
【解析】
【分析】找到直线与相切时的斜率以及与平行时的斜率，通过转动直线即可得到的范围.
【详解】过定点，
求导有，，且，
在处的切线斜率为1，
要满足与曲线有且仅有一个公共点，
当直线与平行时，此时，
转动直线可知.
故答案为：.
16. 近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市大街小巷成为一道亮丽的风景线.某外卖小哥每天来往于4个外卖店(外卖店的编号分别为)，约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，显然，则__________，__________(第二空精确到0.01).
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用条件概率公式可直接得到结果；
利用条件概率公式得到与之间的关系式，再进一步计算即可.
【详解】(1)第次取单恰好是从号店取单，由于每天第次取单都是从号店开始，根据题意，第次不可能从号店取单，所以，
第次取单恰好是从号店取单，
因此
(2)由条件概率公式
，
，故答案为
故答案为：①；②.
四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知正项等比数列的前项和为，且，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记为数列的前项和，正数恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据条件先求得和，再求出即可.
(2)利用裂项求和法求得，结合函数的单调性求得的取值范围.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，因为，
所以，解得或(舍)，故，
因为，所以，
【小问2详解】
因为，
所以
，
又是单调增函数，
又当时，，故，
因为正数恒成立，
所以.
18. 国内某企业，研发了一款环保产品，为保证成本，每件产品售价不低于43元，经调研，产品售价(单位：元/件)与月销售量(单位：万件)的情况如下表所示：
(1)求相关系数(结果保留两位小数)；
(2)建立关于的经验回归方程，并估计当售价为55元/件时，该产品的月销售量约为多少件？
参考公式：对于一组数据，相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
【答案】(1)
(2)，件
【解析】
【分析】(1)根据统计表格中的数据，结合相关系数的公式，准确计算，即可求解；
(2)根据表格数的数据，利用公式求得回归系数，得到，求得回归直线方程，令，求得的值，即可求解.
【小问1详解】
根据产品售价与月销售量的统计表格中的数据，
可得：，
，
，
，
所以相关系数.
【小问2详解】
设关于的经验回归方程为.
可得
则关于的经验回归方程为，
当时，(万件).
故当售价为元/件时，该产品的月销售量约为件.
19. 某车企随机调查了今年某月份购买本车企生产的台新能源汽车车主，统计得到以下列联表，经过计算可得.
(1)完成表格并求出值，并判断有多大的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；
(2)采用比例分配的分层抽样法从调查的不喜欢和喜欢新能源汽车的车主中随机抽取12人，再从抽取的12人中抽取4人，设被抽取的4人中属于不喜欢新能源汽车的人数为，求的分布列及数学期望.
附：，其中.
【答案】(1)列联表见解析，，有的把握
(2)分布列见解析，的数学期望1人
【解析】
【分析】(1)根据已知条件补全列联表，根据列式求解得到，根据卡方的独立性检验相关知识判断有的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关；
(2)根据分层抽样的含义，结合超几何分布的相关知识直接求解分布列和期望即可.
【小问1详解】
补充表格数据如下：
根据数表可得，
又因为，所以；
提出假设：购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别无关，
由题意，，
所以有的把握认为购车消费者对新能源车的喜欢情况与性别有关
【小问2详解】
由(1)可知，抽取喜欢新能源汽车有：9人；抽取不喜欢新能源汽车有：3人
由题的可能值为：
所以的分布列为：
的数学期望(人)，
所以的数学期望1人.
20. 已知椭圆的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上，，若的周长为6，面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由．
【答案】(1)
(2)为定值，理由见解析
【解析】
【分析】(1)根据题意得到，再解方程组即可得到答案。
(2)首先直线的方程为，与椭圆联立得到，，根据得到，同理可得，再计算即可。
【小问1详解】
设椭圆C的焦距为2c，因为的周长为6，面积为，
所以，由①得：，将此式代入②得：，
所以，所以或
当时，，，所以不满足题意；
当时，，，所以满足题意．
所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
由题可得直线斜率存在，由(1)知，设直线的方程为，
则联立，消去，整理得：，
设，则，，
又，则，
由可得，所以，同理可得，
所以
所以为定值．
21. 王老师打算在所教授的两个班级中举行数学知识竞赛，分为个人晋级赛和团体对决赛.个人晋级赛规则：每人只有一次挑战机会，电脑随机给出5道题，答对3道或3道以上即可晋级.团体对决赛规则：以班级为单位，每班参赛人数不少于20人，且参赛人数为偶数，参赛方式有如下两种可自主选择其中之一参赛：
方式一：将班级选派的个人平均分成组，每组2人，电脑随机分配给同组两个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯关成功.若这个小组都闯关成功，则该班级挑战成功.
方式二：将班级选派的个人平均分成2组，每组人，电脑随机分配给同组个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这个人都回答正确，则该小组闯关成功.若这2个小组至少有一个小组闻关成功则该班级挑战成功.
(1)甲同学参加个人晋级赛，他答对前三题的概率均为，答对后两题的概率均为，求甲同学能晋级的概率；
(2)在团体对决赛中，假设某班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数，为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明你的理由.
【答案】(1)
(2)选择方式一参赛，理由见解析
【解析】
【分析】(1)根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解；
(2)分别求方式一、方式二挑战成功的概率，并利用作差法结合函数单调性分析判断.
【小问1详解】
设甲同学成功晋级为A事件，A事件发生有以下三种情况：前三题全对；前三题对两题后两题至少答对一题；前三题答对一题后两题全对.
所以.
【小问2详解】
设选择方式一､二的班级团队挑战成功的概率分别为.
当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为，则两人中至少有一人回答正确的
概率为，所以，
当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为，则一个小组闯关不成功的概率为，
所以，
所以，
构造，
则
，
因为，则，可得，
所以，
即，所以单调递增，
又因为，
且，所以，从而，即，
所以为使本班挑战成功的可能性更大，应选择方式一参赛
22. 已知函数，．
(1)若，证明：当时；
(2)当时，，求a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【解析】
【分析】(1)令，对求导，得到的单调性可证得，令，对求导，可得在上单调递增，即可证得，即可证得；
(2)由题意分析可得要使恒成立即时，恒成立，通过放缩变形证明恒成立，即可求出a的取值范围.
【小问1详解】
当时，，所以即证：，，
先证左边：，令，，
在单调递增，∴，即．
再证右边：，令，
，
∴在上单调递增，
∴，即，
∴时，．
【小问2详解】
，
令，，
因为，所以题设等价于在恒成立，
由(1)知，当时，，于是：
①当时，恒成立；
②当时，等价于，
(i)当时，，
令，因为在上递增，
且，所以存在，使，
所以当，，即，不合题意；
(ii)当时，
令，，
则，
，
所以在上单调递增，
所以，所以，所以.
综上：a的取值范围为．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式或在不等式中求参数的取值范围的问题，常见的几种方法有：
(1)直接构造函数法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数；
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.时间
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