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2024年高考一轮复习精细讲义第16讲 功 功率(原卷版+解析)
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这是一份2024年高考一轮复习精细讲义第16讲 功 功率(原卷版+解析)，共43页。试卷主要包含了做功的两个必要条件，公式，功的正负判断，额定功率与实际功率等内容，欢迎下载使用。
考点一 功的正负判断和计算
一．功
1．做功的两个必要条件
力和物体在力的方向上发生的位移．
2．公式
W＝Flcs α，适用于恒力做功，其中α为F、l方向间夹角，l为物体对地的位移．
3．功的正负判断
考向1：功的正负的判断方法
(1)恒力做功的判断：若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断．
(2)曲线运动中功的判断：若物体做曲线运动，依据F与v的方向夹角来判断．当0≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功．
(3)依据能量变化来判断：根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功．此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断．
考向2：恒力做功的计算
(1)单个力做的功：直接用W＝Flcs α计算．
(2)合力做的功
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcs α求功．
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功．
【典例1】(多选)如图所示，重物P放在一长木板OA上，将长木板绕O端转过一个小角度的过程中，重物P相对于木板始终保持静止．关于木板对重物P的摩擦力和支持力做功的情况是( )
A．摩擦力对重物不做功
B．摩擦力对重物做负功
C．支持力对重物不做功
D．支持力对重物做正功
【典例2】 (多选)如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带至高处，在此过程中，下列说法中正确的是( )
A．摩擦力对物体做正功
B．摩擦力对物体做负功
C．支持力对物体不做功
D．合力对物体做正功
【典例3】．(多选)如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是( )
A．人对车的推力F做的功为FL
B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为(F＋ma)L
【典例4】一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速率v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示，设在第1 s内、第2 s内、第3 s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是( )
A．W1＝W2＝W3 B．W1C．W1【典例5】(多选)质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离s，如图所示，物体m相对斜面静止．则下列说法正确的是( )
A．重力对物体m做正功
B．合力对物体m做功为零
C．摩擦力对物体m做负功
D．支持力对物体m做正功
【典例6】如图所示，甲、乙、丙三个物体分别在大小相等、方向不同的力F的作用下，向右移动相等的位移x，关于F对甲、乙、丙做功的大小W1、W2、W3判断正确的是( )
A．W1>W2>W3B．W1＝W2>W3
C．W1＝W2＝W3 D．W1考点二 变力功的计算
方法一 利用“微元法”求变力的功
物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和．此法在中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题．
【典例1】如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB，槽道由半径分别为eq \f(R,2)和R的两个半圆构成，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿滑槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )
A．0 B．FR
C.eq \f(3,2)πFR D．2πFR
方法二 化变力的功为恒力的功
若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W＝Flcs α求解．此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中．
【典例2】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则( )
A．W1＞W2
B．W1＜W2
C．W1＝W2
D．无法确定W1和W2的大小关系
方法三 利用Fx图象求变力的功
在Fx图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)．
【典例3】如图甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时F做的总功为( )
A．0 B．eq \f(1,2)Fmx0
C.eq \f(π,4)Fmx0 D.eq \f(π,4)xeq \\al(2,0)
方法四 利用平均力求变力的功
在求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝eq \f(F1＋F2,2)的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W＝Flcs α求此力所做的功．
【典例4】把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k.问此钉子全部进入木板需要打击几次？
方法五 利用动能定理求变力的功
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功．使用动能定理可根据动能的变化来求功，是求变力做功的一种方法．
【典例5】如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g.质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
A.eq \f(1,4)mgR B.eq \f(1,3)mgR
C.eq \f(1,2)mgR D.eq \f(π,4)mgR
考点三 功率的计算
一．功率
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值．
2．物理意义：描述做功的快慢．
3．公式
(1)P＝eq \f(W,t)，P为时间t内的平均功率．
(2)P＝Fvcs α(α为F与v的夹角)
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
4．额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率．
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率．
1．平均功率的计算
(1)利用P＝eq \f(W,t).
(2)利用P＝Fvcs α，其中v为物体运动的平均速度．
2．瞬时功率的计算
(1)利用公式P＝Fvcs α，其中v为t时刻物体的瞬时速度．
(2)利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度．
(3)利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力．
3．计算功率的3个注意
(1)要弄清楚是平均功率还是瞬时功率．
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率．
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率．求解瞬时功率时，如果F与v不同向，可用力F乘以F方向的分速度，或速度v乘以速度方向的分力求解．
【典例1】在光滑的水平面上，用一水平拉力F使物体从静止开始移动x，平均功率为P，如果将水平拉力增加为4F，使同一物体从静止开始移动x，则平均功率为( )
A．2P B．4P
C．6P D．8P
【典例2】一个质量为m的物块，在几个共点力的作用下静止在光滑水平面上．现把其中一个水平方向的力从F突然增大到3F，并保持其他力不变，则从这时开始到t秒末，该力的瞬时功率是( )
A.eq \f(3F2t,m)B．eq \f(4F2t,m)
C.eq \f(6F2t,m) D.eq \f(9F2t,m)
【典例3】(多选)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器．舰载机总质量为3.0×104 kg，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105 N；弹射器有效作用长度为100 m，推力恒定．要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80 m/s.弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则( )
A．弹射器的推力大小为1.1×106 N
B．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108 J
C．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107 W
D．舰载机在弹射过程中的加速度大小为32 m/s2
【典例4】如图所示，质量相同的两物体从同一高度由静止开始运动，A沿着固定在地面上的光滑斜面下滑，B做自由落体运动．两物体分别到达地面时，下列说法正确的是( )
A．重力的平均功率eq \x\t(P)A>eq \x\t(P)B
B．重力的平均功率eq \x\t(P)A＝eq \x\t(P)B
C．重力的瞬时功率PA＝PB
D．重力的瞬时功率PA求解功率时应注意的“三个”问题
(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率；
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率；
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率
考点四 机车启动问题
1.模型综述
物体在牵引力(受功率和速度制约)作用下，从静止开始克服一定的阻力，加速度不变或变化，最终加速度等于零，速度达到最大值．
2.两种模型的比较
（1）两种启动方式的比较
（2）三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝eq \f(P,Fmin)＝eq \f(P,f)(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力f)．
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝eq \f(P,F)(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理：Pt－fs＝ΔEk.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小.
【典例1】一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示．假定汽车所受阻力的大小Ff恒定不变．下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是( )
【典例2】(多选)汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，牵引力为F0，t1时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动．下列能正确表示这一过程中汽车牵引力F随时间t、速度v随时间t变化的图象是( )
【典例3】一辆汽车从静止出发，在平直的公路上加速前进，如果发动机的牵引力保持恒定，汽车所受阻力保持不变，在此过程中( )
A．汽车的速度与时间成正比
B．汽车的位移与时间成正比
C．汽车做变加速直线运动
D．汽车发动机做的功与时间成正比
【典例4】质量为1.0×103 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动(g＝10 m/s2)．求：
(1)汽车做匀加速运动的时间t1；
(2)汽车所能达到的最大速率；
(3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前，已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多长时间？
解决机车启动问题的4个注意
(1)机车启动的方式不同，运动的规律就不同，即其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律不同，分析图象时应注意坐标轴的意义及图象变化所描述的规律．
(2)在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力，正是基于此，牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度，即P＝Ffvm.
(3)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速过程，匀变速直线运动的公式不适用了，这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)．
(4)以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt计算(因为功率P是变化的)．
1. 如图所示，木块B上表面是水平的，当木块A置于B上，并与B保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中( )
A．A所受的合外力对A不做功
B．B对A的弹力做正功
C．B对A的摩擦力做正功
D．A对B做正功
2. (多选)如图所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力F阻的大小不变，则下列说法正确的是( )
A．重力做功为mgL
B．绳的拉力做功为0
C．空气阻力F阻做功为－mgL
D．空气阻力F阻做功为－eq \f(1,2)F阻πL
3．(多选) 如图所示，B物体在拉力F的作用下向左运动，在运动过程中，A、B之间有相互作用的摩擦力，则这对摩擦力做功的情况，下列说法中正确的是( )
A．A、B都克服摩擦力做功
B．摩擦力对A不做功
C．摩擦力对B做负功
D．摩擦力对A、B都不做功
4. 如图所示，用与水平方向成θ角的力F，拉着质量为m的物体沿水平地面匀速前进位移s，已知物体和地面间的动摩擦因数为μ.则在此过程中F做的功为( )
A．mgs B．μmgs
C.eq \f(μmgs,cs θ＋μsin θ) D.eq \f(μmgs,1＋μtan θ)
5．如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置．现用水平拉力F将小球缓慢拉到细线与竖直方向成θ角的位置．在此过程中，拉力F做的功为( )
A．FLcs θ B．FLsin θ
C．FL(1－cs θ) D．mgL(1－cs θ)
6. 如图所示，质量为m的小球以初速度v0水平抛出，恰好垂直打在倾角为θ的斜面上，则球落在斜面上时重力的瞬时功率为(不计空气阻力)( )
A．mgv0tan θ B.eq \f(mgv0,tan θ)
C.eq \f(mgv0,sin θ) D．mgv0cs θ
7. 如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则小球从A到C的过程中弹簧弹力做功是( )
A．mgh－eq \f(1,2)mv2 B.eq \f(1,2)mv2－mgh
C．－mgh D．－(mgh＋eq \f(1,2)mv2)
8．质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为eq \f(v,3)时，汽车的瞬时加速度的大小为( )
A.eq \f(P,mv) B.eq \f(2P,mv)
C.eq \f(3P,mv) D.eq \f(4P,mv)
9．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( )
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的功率大小为42 W
D．4 s内F做功的平均功率为42 W
10. 当前我国“高铁”事业发展迅猛．假设一辆高速列车在机车牵引力和恒定阻力作用下，在水平轨道上由静止开始启动，其vt图象如图所示，已知在0～t1时间内为过原点的倾斜直线，t1时刻达到额定功率P，此后保持功率P不变，在t3时刻达到最大速度v3，以后匀速运动．下述判断正确的是( )
A．从0至t3时间内，列车一直匀加速直线运动
B．t2时刻的加速度大于t1时刻的加速度
C．在t3时刻以后，机车的牵引力为零
D．该列车所受的恒定阻力大小为eq \f(P,v3)
11．有一种太阳能驱动的小车，当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中产生的电流经电动机带动小车前进．若质量为m的小车在平直的水泥路上从静止开始沿直线加速行驶，经过时间t前进的距离为x，且速度达到最大值vm.设这一过程中电动机的功率恒为P，小车所受阻力恒为f，那么这段时间内( )
A．小车做匀加速运动
B．小车受到的牵引力逐渐增大
C．小车受到的合外力所做的功为Pt
D．小车受到的牵引力做的功为fx＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)
12．放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间图象和该拉力的功率与时间图象分别如图所示，下列说法正确的是( )
A．0～6 s内物体位移大小为36 m
B．0～6 s内拉力做的功为30 J
C．合外力在0～6 s内做的功与0～2 s内做的功相等
D．滑动摩擦力大小为5 N
13．一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的功率达到最大值P，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升，物体上升的高度为h，则整个过程中，下列说法正确的是( )
A．钢绳的最大拉力为eq \f(P,v2)
B．钢绳的最大拉力为mg
C．重物匀加速的末速度为eq \f(P,mg)
D．重物匀加速运动的加速度为eq \f(P,mv1)－g
14．(多选)两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量．两球在空气中由静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关．若它们下落相同的距离，则( )
A．甲球用的时间比乙球长
B．甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小
C．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D．甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功
15．一起重机用钢绳提起静止在地面上的重物，开始在竖直方向上做匀加速运动，然后做匀速运动。重物上升高度为h，运动时间为t，加速度为a，动能为Ek，起重机功率为P，下列图像能描述上述过程的是（ ）
A． B．
C． D．
16．如图所示，固定于竖直面内的粗糙斜杆长为1m，杆与水平方向的夹角为30°，质量为1kg的小球套在杆上，小球与杆间的动摩擦因数为，小球在恒定拉力F作用下，沿杆由底端匀速运动到顶端。已知拉力F的方向与杆在同一竖直平面内，且与水平方向的夹角大于30°，重力加速度g=10m/s2。则下列说法错误的是（ ）
A．拉力F与杆之间的夹角为30°时，F的值最小
B．拉力F的最小值为
C．拉力F的大小可能为15N
D．拉力F做功的最小值为5J
17．如图所示，在光滑水平面上静置着一个质量为，倾角为的斜面体C，质量均为的A、B两物体叠放在一起以一定的初速度先沿光滑的斜面向上滑，然后沿斜面向下滑，该过程中一直用水平力作用于斜面体上使斜面体静止不动。已知A、B间的动摩擦因数为，重力加速度为，则（ ）
A．水平力
B．A、B相对斜面上滑时A所受摩擦力对A做正功
C．A、B沿斜面下滑时，B物体对A做正功
D．欲使A、B速度减为零后能与斜面保持相对静止，作用力应突变为
18．我国新能源汽车发展迅速，2022年仅比亚迪新能源汽车全年销量为186.35万辆，位列全球第一、如图所示为比亚迪某型号汽车某次测试行驶时的加速度和车速倒数的关系图像。若汽车质量为，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30m/s，则（ ）
A．汽车匀加速所需时间为5s
B．汽车以恒定功率启动
C．汽车所受阻力为
D．汽车在车速为5m/s时，功率为
19．（多选）若升降机速度由v1增大至v2的过程重物上升高度为h，所用时间为t，此过程中忽略摩擦阻力及空气阻力，重力加速度为g．有关此过程下列说法正确的是 ( )
A．钢丝绳的最大拉力为
B．升降机的最大速度
C．升降机速度由v1增大至v2的过程中，起重机对重物做功为
D．升降机速度由v1增大至v2的过程中，起重机对重物做功为
20．（多选）如图所示，质量m=2kg的物体（可看质点）静置在倾角为37°粗糙斜面上的A点，现利用固定在B点的电动机通过跨过斜面顶端光滑小定滑轮的轻绳将该物体从A点拉升到斜面顶端O点，轻绳均与所在的斜面和平面平行。物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.25，轻绳可承受最大的力F=20N，电动机的额定功率P=320W，AO的距离s=175m。若要用最短的时间将物体拉到斜面顶端O点，且物体到达O点前已经达到最大速度。则（已知sin37°=0.6，重力加速度取g=10m/s2）（ ）
A．物体运动过程中的最大速度v=16m/s
B．物体上升过程中最大的加速度am=2m/s2
C．在将物体从A拉到O点的过程中，电动机共做功3200J
D．物体从A运动到O共用时14s
21．（多选）汽车从静止开始以加速度a0匀加速启动，最后做匀速运动。已知汽车的额定功率为P0，运动过程中所受的阻力恒为F，汽车的速度v随时间t及加速度a、牵引力F和功率P随速度v变化的图象如图所示，其中可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
夹角
功的正负
α<90°
力对物体做正功
α>90°
力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功
α＝90°
力对物体不做功
两种模型
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图和v－t图
OA段
过程分析
v↑⇒F＝eq \f(P不变,v)↓⇒a＝eq \f(F－f,m)↓
a＝eq \f(F－F阻,m)不变⇒F不变eq \(⇒,\s\up6(v↑))P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝eq \f(v1,a)
AB
段
过程分析
F＝f⇒a＝0
⇒f＝eq \f(P,vm)
v↑⇒F＝eq \f(P额,v)↓
⇒a＝eq \f(F－f,m)↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
无
F＝f⇒a⇒0⇒
以vm＝eq \f(P额, f)匀速运动
第16讲 功 功率
——划重点之精细讲义系列
考点一 功的正负判断和计算
一．功
1．做功的两个必要条件
力和物体在力的方向上发生的位移．
2．公式
W＝Flcs α，适用于恒力做功，其中α为F、l方向间夹角，l为物体对地的位移．
3．功的正负判断
考向1：功的正负的判断方法
(1)恒力做功的判断：若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断．
(2)曲线运动中功的判断：若物体做曲线运动，依据F与v的方向夹角来判断．当0≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功．
(3)依据能量变化来判断：根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功．此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断．
考向2：恒力做功的计算
(1)单个力做的功：直接用W＝Flcs α计算．
(2)合力做的功
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcs α求功．
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功．
【典例1】(多选)如图所示，重物P放在一长木板OA上，将长木板绕O端转过一个小角度的过程中，重物P相对于木板始终保持静止．关于木板对重物P的摩擦力和支持力做功的情况是( )
A．摩擦力对重物不做功
B．摩擦力对重物做负功
C．支持力对重物不做功
D．支持力对重物做正功
解析：选AD.由做功的条件可知：只要有力，并且物体在力的方向上通过位移，则力对物体做功．由受力分析知，支持力FN做正功，摩擦力Ff不做功，选项A、D正确．
【典例2】 (多选)如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带至高处，在此过程中，下列说法中正确的是( )
A．摩擦力对物体做正功
B．摩擦力对物体做负功
C．支持力对物体不做功
D．合力对物体做正功
解析：选AC.物体P匀速向上运动过程中，受静摩擦力作用，方向沿皮带向上，对物体做正功，支持力垂直于皮带，做功为零，物体所受的合力为零，做功也为零，故A、C正确，B、D错误．
【典例3】．(多选)如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是( )
A．人对车的推力F做的功为FL
B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为(F＋ma)L
解析：选AD.由做功的定义可知选项A正确；对人进行受力分析，人受重力以及车对人的力，合力的大小为ma，方向水平向左，故车对人的作用力大小应为eq \r(ma 2＋mg2)，选项C错误；上述过程重力不做功，合力对人做的功为maL，所以车对人做的功为maL，由相互作用力及人、车的位移相同可确定，人对车做的功为－maL，选项B错误；对人由牛顿第二定律知，在水平方向上有Ff－F＝ma，摩擦力做的功为(F＋ma)L，选项D正确．
【典例4】一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速率v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示，设在第1 s内、第2 s内、第3 s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是( )
A．W1＝W2＝W3 B．W1C．W1解析：选B.力F做的功等于每段恒力F与该段滑块运动的位移数值的乘积，滑块的位移即vt图象中图象与坐标轴围成的面积，第1 s内，位移大小为一个小三角形面积S；第2 s内，位移大小也为一个小三角形面积S；第3 s内，位移大小为两个小三角形面积2S，故W1＝S，W2＝3S，W3＝4S，所以W1【典例5】(多选)质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离s，如图所示，物体m相对斜面静止．则下列说法正确的是( )
A．重力对物体m做正功
B．合力对物体m做功为零
C．摩擦力对物体m做负功
D．支持力对物体m做正功
解析：选BCD.物体的受力及位移如图所示，支持力FN与位移x的夹角α<90°，故支持力做正功，D正确；重力垂直位移，故重力不做功，A错误；摩擦力Ff与x夹角β>90°，故摩擦力做负功，C正确；合力为零，合力不做功，B正确．
【典例6】如图所示，甲、乙、丙三个物体分别在大小相等、方向不同的力F的作用下，向右移动相等的位移x，关于F对甲、乙、丙做功的大小W1、W2、W3判断正确的是( )
A．W1>W2>W3B．W1＝W2>W3
C．W1＝W2＝W3 D．W1解析：选C.由功的公式可得，这三种情况下做的功分别为W1＝Fxcs α、W2＝Fxcs α、W3＝－Fxcs α，又因为功的正、负不表示大小，所以C正确．
考点二 变力功的计算
方法一 利用“微元法”求变力的功
物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和．此法在中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题．
【典例1】如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB，槽道由半径分别为eq \f(R,2)和R的两个半圆构成，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿滑槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )
A．0 B．FR
C.eq \f(3,2)πFR D．2πFR
解析 虽然拉力方向时刻改变，但力与运动方向始终一致，用微元法，在很小的一段位移内可以看成恒力，小球的路程为πR＋πeq \f(R,2)，则拉力做的功为eq \f(3,2)πFR，故C正确．
答案 C
方法二 化变力的功为恒力的功
若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W＝Flcs α求解．此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中．
【典例2】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则( )
A．W1＞W2
B．W1＜W2
C．W1＝W2
D．无法确定W1和W2的大小关系
解析 绳子对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力的功转化为恒力的功；因绳子对滑块做的功等于拉力F对绳子做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl为绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位移，大小等于滑轮左侧绳长的缩短量，由图可知，ΔlAB＞ΔlBC，故W1＞W2，A正确．
答案 A
方法三 利用Fx图象求变力的功
在Fx图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)．
【典例3】如图甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时F做的总功为( )
A．0 B．eq \f(1,2)Fmx0
C.eq \f(π,4)Fmx0 D.eq \f(π,4)xeq \\al(2,0)
解析 F为变力，根据Fx图象包围的面积在数值上等于F做的总功来计算．图线为半圆，由图线可知在数值上Fm＝eq \f(1,2)x0，故W＝eq \f(1,2)π·Feq \\al(2,m)＝eq \f(1,2)π·Fm·eq \f(1,2)x0＝eq \f(π,4)Fmx0.
答案 C
方法四 利用平均力求变力的功
在求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝eq \f(F1＋F2,2)的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W＝Flcs α求此力所做的功．
【典例4】把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k.问此钉子全部进入木板需要打击几次？
解析 在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功．
钉子在整个过程中受到的平均阻力为：
F＝eq \f(0＋kl,2)＝eq \f(kl,2)
钉子克服阻力做的功为：
WF＝Fl＝eq \f(1,2)kl2
设全过程共打击n次，则给予钉子的总能量：
E总＝nE0＝eq \f(1,2)kl2，所以n＝eq \f(kl2,2E0)
答案 eq \f(kl2,2E0)
方法五 利用动能定理求变力的功
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功．使用动能定理可根据动能的变化来求功，是求变力做功的一种方法．
【典例5】如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g.质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
A.eq \f(1,4)mgR B.eq \f(1,3)mgR
C.eq \f(1,2)mgR D.eq \f(π,4)mgR
解析 在Q点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有FN－mg＝meq \f(v2,R)，FN＝2mg，联立解得v＝eq \r(gR)，下落过程中重力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理可得mgR－Wf＝eq \f(1,2)mv2，解得Wf＝eq \f(1,2)mgR，所以克服摩擦力做功eq \f(1,2)mgR，C正确．
答案 C
考点三 功率的计算
一．功率
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值．
2．物理意义：描述做功的快慢．
3．公式
(1)P＝eq \f(W,t)，P为时间t内的平均功率．
(2)P＝Fvcs α(α为F与v的夹角)
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
4．额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率．
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率．
1．平均功率的计算
(1)利用P＝eq \f(W,t).
(2)利用P＝Fvcs α，其中v为物体运动的平均速度．
2．瞬时功率的计算
(1)利用公式P＝Fvcs α，其中v为t时刻物体的瞬时速度．
(2)利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度．
(3)利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力．
3．计算功率的3个注意
(1)要弄清楚是平均功率还是瞬时功率．
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率．
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率．求解瞬时功率时，如果F与v不同向，可用力F乘以F方向的分速度，或速度v乘以速度方向的分力求解．
【典例1】在光滑的水平面上，用一水平拉力F使物体从静止开始移动x，平均功率为P，如果将水平拉力增加为4F，使同一物体从静止开始移动x，则平均功率为( )
A．2P B．4P
C．6P D．8P
解析：选D.设第一次运动时间为t，则其平均功率表达式为P＝eq \f(Fx,t)；第二次加速度为第一次的4倍，由x＝eq \f(1,2)at2 可知时间为eq \f(t,2)，其平均功率为eq \f(4Fx,\f(t,2))＝eq \f(8Fx,t)＝8P，D正确．
【典例2】一个质量为m的物块，在几个共点力的作用下静止在光滑水平面上．现把其中一个水平方向的力从F突然增大到3F，并保持其他力不变，则从这时开始到t秒末，该力的瞬时功率是( )
A.eq \f(3F2t,m)B．eq \f(4F2t,m)
C.eq \f(6F2t,m) D.eq \f(9F2t,m)
解析：选C.物块受到的合力为2F，根据牛顿第二定律有2F＝ma，在合力作用下，物块做初速度为零的匀加速直线运动，速度v＝at，该力大小为3F，则该力的瞬时功率P＝3Fv，解以上各式得P＝eq \f(6F2t,m)，C正确．
【典例3】(多选)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器．舰载机总质量为3.0×104 kg，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105 N；弹射器有效作用长度为100 m，推力恒定．要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80 m/s.弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则( )
A．弹射器的推力大小为1.1×106 N
B．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108 J
C．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107 W
D．舰载机在弹射过程中的加速度大小为32 m/s2
解析：选ABD.对舰载机应用运动学公式v2－0＝2ax，代入数据得加速度a＝32 m/s2，D正确；设总推力为F，对舰载机应用牛顿第二定律可知：F－20%F＝ma，得F＝1.2×106 N，而发动机的推力为1.0×105 N，则弹射器的推力为F推＝(1.2×106－1.0×105)N＝1.1×106 N，A正确；弹射器对舰载机所做的功为W＝F推·l＝1.1×108 J，B正确；弹射过程所用的时间为t＝eq \f(v,a)＝eq \f(80,32) s＝2.5 s，平均功率P ＝eq \f(W,t)＝eq \f(1.1×108,2.5)W＝4.4×107W，C错误．
【典例4】如图所示，质量相同的两物体从同一高度由静止开始运动，A沿着固定在地面上的光滑斜面下滑，B做自由落体运动．两物体分别到达地面时，下列说法正确的是( )
A．重力的平均功率eq \x\t(P)A>eq \x\t(P)B
B．重力的平均功率eq \x\t(P)A＝eq \x\t(P)B
C．重力的瞬时功率PA＝PB
D．重力的瞬时功率PA解析：选D.根据功的定义可知重力对两物体做功相同即WA＝WB，自由落体时满足h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,B)，沿斜面下滑时满足eq \f(h,sin θ)＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,A)sin θ，其中θ为斜面倾角，故tA>tB，由P＝eq \f(W,t)知eq \x\t(P)A求解功率时应注意的“三个”问题
(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率；
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率；
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率
考点四 机车启动问题
1.模型综述
物体在牵引力(受功率和速度制约)作用下，从静止开始克服一定的阻力，加速度不变或变化，最终加速度等于零，速度达到最大值．
2.两种模型的比较
（1）两种启动方式的比较
（2）三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝eq \f(P,Fmin)＝eq \f(P,f)(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力f)．
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝eq \f(P,F)(3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理：Pt－fs＝ΔEk.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小.
【典例1】一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示．假定汽车所受阻力的大小Ff恒定不变．下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是( )
解析：选A.由Pt图象知：0～t1内汽车以恒定功率P1行驶，t1～t2内汽车以恒定功率P2行驶．设汽车所受牵引力为F，则由P＝Fv得，当v增加时，F减小，由a＝eq \f(F－Ff,m)知a减小，又因速度不可能突变，所以选项B、C、D错误，A正确．
【典例2】(多选)汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，牵引力为F0，t1时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动．下列能正确表示这一过程中汽车牵引力F随时间t、速度v随时间t变化的图象是( )
解析：选AD.到t1时刻功率立即减小一半，但速度减小有一个过程，不能直接变为原来的一半，所以牵引力立即变为原来的一半，根据公式P＝Fv，之后保持该功率继续行驶，速度减小，牵引力增大，根据a＝eq \f(Ff－F,m)，摩擦力恒定，所以加速度逐渐减小，即vt图象的斜率减小，当加速度为零时，做匀速直线运动，故选项A、D正确．
【典例3】一辆汽车从静止出发，在平直的公路上加速前进，如果发动机的牵引力保持恒定，汽车所受阻力保持不变，在此过程中( )
A．汽车的速度与时间成正比
B．汽车的位移与时间成正比
C．汽车做变加速直线运动
D．汽车发动机做的功与时间成正比
解析：选A.由F－Ff＝ma可知，因汽车牵引力F保持恒定，故汽车做匀加速直线运动，C错误；由v＝at可知，A正确；而x＝eq \f(1,2)at2，故B错误；由WF＝F·x＝F·eq \f(1,2)at2可知，D错误．
【典例4】质量为1.0×103 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动(g＝10 m/s2)．求：
(1)汽车做匀加速运动的时间t1；
(2)汽车所能达到的最大速率；
(3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前，已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多长时间？
解析：(1)由牛顿第二定律得
F－mgsin 30°－Ff＝ma
设匀加速过程的末速度为v，则有P＝Fv
v＝at1
解得t1＝7 s
(2)当达到最大速度vm时，a＝0，则有
P＝(mgsin 30°＋Ff)vm
解得vm＝8 m/s
(3)汽车匀加速运动的位移x1＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,1)
在后一阶段对汽车由动能定理得
Pt2－(mgsin 30°＋Ff)x2＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)－eq \f(1,2)mv2
又有x＝x1＋x2
解得t2＝15 s
故汽车运动的总时间为t＝t1＋t2＝22 s
答案：(1)7 s (2)8 m/s (3)22 s
解决机车启动问题的4个注意
(1)机车启动的方式不同，运动的规律就不同，即其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律不同，分析图象时应注意坐标轴的意义及图象变化所描述的规律．
(2)在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力，正是基于此，牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度，即P＝Ffvm.
(3)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速过程，匀变速直线运动的公式不适用了，这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)．
(4)以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt计算(因为功率P是变化的)．
1. 如图所示，木块B上表面是水平的，当木块A置于B上，并与B保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中( )
A．A所受的合外力对A不做功
B．B对A的弹力做正功
C．B对A的摩擦力做正功
D．A对B做正功
解析：选C.AB一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，加速度为gsin θ.由于A速度增大，由动能定理，A所受的合外力对A做功，B对A的摩擦力做正功，B对A的弹力做负功，选项A、B错误C、正确．A对B不做功，选项D错误．
2. (多选)如图所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力F阻的大小不变，则下列说法正确的是( )
A．重力做功为mgL
B．绳的拉力做功为0
C．空气阻力F阻做功为－mgL
D．空气阻力F阻做功为－eq \f(1,2)F阻πL
解析：选ABD.小球下落过程中，重力做功为mgL，A正确；绳的拉力始终与速度方向垂直，拉力做功为0，B正确；空气阻力F阻大小不变，方向始终与速度方向相反，故空气阻力F阻做功为－F阻·eq \f(1,2)πL，C错误，D正确．
3．(多选) 如图所示，B物体在拉力F的作用下向左运动，在运动过程中，A、B之间有相互作用的摩擦力，则这对摩擦力做功的情况，下列说法中正确的是( )
A．A、B都克服摩擦力做功
B．摩擦力对A不做功
C．摩擦力对B做负功
D．摩擦力对A、B都不做功
解析：选BC.对A、B受力分析如图所示，物体A在Ff2作用下没有位移，所以摩擦力对A不做功，故B正确；对物体B，Ff1与位移夹角为180°，做负功，故C正确，A、D错误．
4. 如图所示，用与水平方向成θ角的力F，拉着质量为m的物体沿水平地面匀速前进位移s，已知物体和地面间的动摩擦因数为μ.则在此过程中F做的功为( )
A．mgs B．μmgs
C.eq \f(μmgs,cs θ＋μsin θ) D.eq \f(μmgs,1＋μtan θ)
解析：选D.物体受力平衡，有Fsin θ＋FN＝mg，Fcs θ－μFN ＝0，在此过程中F做的功W＝Fscs θ＝eq \f(μ mgs,1＋μtan θ)，D正确．
5．如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置．现用水平拉力F将小球缓慢拉到细线与竖直方向成θ角的位置．在此过程中，拉力F做的功为( )
A．FLcs θ B．FLsin θ
C．FL(1－cs θ) D．mgL(1－cs θ)
解析：选D.用F缓慢地拉，则显然F为变力，只能用动能定理求解，由动能定理得WF－mgL(1－cs θ)＝0，解得WF＝mgL(1－cs θ)，D正确．
6. 如图所示，质量为m的小球以初速度v0水平抛出，恰好垂直打在倾角为θ的斜面上，则球落在斜面上时重力的瞬时功率为(不计空气阻力)( )
A．mgv0tan θ B.eq \f(mgv0,tan θ)
C.eq \f(mgv0,sin θ) D．mgv0cs θ
解析：选B.小球落在斜面上时重力的瞬时功率为P＝mgvy，而vytan θ＝v0，所以P＝eq \f(mgv0,tan θ)，B正确．
7. 如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则小球从A到C的过程中弹簧弹力做功是( )
A．mgh－eq \f(1,2)mv2 B.eq \f(1,2)mv2－mgh
C．－mgh D．－(mgh＋eq \f(1,2)mv2)
解析：选A.小球从A点运动到C点的过程中，重力和弹簧的弹力对小球做负功，由于支持力与位移始终垂直，则支持力对小球不做功，由动能定理，可得WG＋WF＝0－eq \f(1,2)mv2，重力做功为WG＝－mgh，则弹簧的弹力对小球做功为WF＝mgh－eq \f(1,2)mv2，所以正确选项为A.
8．质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为eq \f(v,3)时，汽车的瞬时加速度的大小为( )
A.eq \f(P,mv) B.eq \f(2P,mv)
C.eq \f(3P,mv) D.eq \f(4P,mv)
解析：选B.当汽车匀速行驶时，有f＝F＝eq \f(P,v)，根据P＝F′eq \f(v,3)，得F′＝eq \f(3P,v)，由牛顿第二定律得a＝eq \f(F′－f,m)＝eq \f(\f(3P,v)－\f(P,v),m)＝eq \f(2P,mv)，故B正确，A、C、D错误．
9．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( )
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的功率大小为42 W
D．4 s内F做功的平均功率为42 W
解析：选C.由图乙可知，物体的加速度a＝0.5 m/s2，由2F－mg＝ma可得：F＝10.5 N，A、B均错误；4 s末力F的作用点的速度大小为vF＝2×2 m/s＝4 m/s，故4 s末拉力F做功的功率为P＝F·vF＝42 W，C正确；4 s内物体上升的高度h＝4 m，力F的作用点的位移l＝2h＝8 m，拉力F所做的功W＝F·l＝84 J,4 s内拉力F做功的平均功率eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝21 W，D错误．
10. 当前我国“高铁”事业发展迅猛．假设一辆高速列车在机车牵引力和恒定阻力作用下，在水平轨道上由静止开始启动，其vt图象如图所示，已知在0～t1时间内为过原点的倾斜直线，t1时刻达到额定功率P，此后保持功率P不变，在t3时刻达到最大速度v3，以后匀速运动．下述判断正确的是( )
A．从0至t3时间内，列车一直匀加速直线运动
B．t2时刻的加速度大于t1时刻的加速度
C．在t3时刻以后，机车的牵引力为零
D．该列车所受的恒定阻力大小为eq \f(P,v3)
解析：选D.0～t1时间内，列车匀加速运动，t1～t3时间内，加速度变小，故A、B错；t3以后列车匀速运动，牵引力等于阻力，故C错；匀速运动时f＝F牵＝eq \f(P,v3)，故D正确．
11．有一种太阳能驱动的小车，当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中产生的电流经电动机带动小车前进．若质量为m的小车在平直的水泥路上从静止开始沿直线加速行驶，经过时间t前进的距离为x，且速度达到最大值vm.设这一过程中电动机的功率恒为P，小车所受阻力恒为f，那么这段时间内( )
A．小车做匀加速运动
B．小车受到的牵引力逐渐增大
C．小车受到的合外力所做的功为Pt
D．小车受到的牵引力做的功为fx＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)
解析：选D.小车在运动方向上受牵引力F和阻力f，因为v增大，P不变，由P＝Fv，F－f＝ma，得出F逐渐减小，a也逐渐减小，当v＝vm时，a＝0，故A、B均错；合外力做的功W外＝Pt－fx，由动能定理得Pt－fx＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)，故C错误，D正确．
12．放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间图象和该拉力的功率与时间图象分别如图所示，下列说法正确的是( )
A．0～6 s内物体位移大小为36 m
B．0～6 s内拉力做的功为30 J
C．合外力在0～6 s内做的功与0～2 s内做的功相等
D．滑动摩擦力大小为5 N
解析：选C.由P＝Fv，对应vt图象和Pt图象可得30＝F·6,10＝f·6，解得：F＝5 N，f＝eq \f(5,3) N，D错误；0～6 s内物体的位移大小为(4＋6)×6×eq \f(1,2) m＝30 m，A错误；0～6 s内拉力做功W＝F·x1＋f·x2＝5×6×2×eq \f(1,2) J＋eq \f(5,3)×6×4 J＝70 J，B错误；由动能定理可知，C正确．
13．一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的功率达到最大值P，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升，物体上升的高度为h，则整个过程中，下列说法正确的是( )
A．钢绳的最大拉力为eq \f(P,v2)
B．钢绳的最大拉力为mg
C．重物匀加速的末速度为eq \f(P,mg)
D．重物匀加速运动的加速度为eq \f(P,mv1)－g
解析：选D.加速过程物体处于超重状态，钢绳拉力较大，匀速运动阶段钢绳的拉力为eq \f(P,v2)，故A错误；加速过程重物处于超重状态，钢绳拉力大于重力，故B错误；重物匀加速运动的末速度不是运动的最大速度，此时钢绳对重物的拉力大于其重力，故其速度小于eq \f(P,mg)，故C错误；重物匀加速运动的末速度为v1，此时的拉力为F＝eq \f(P,v1)，由牛顿第二定律得：a＝eq \f(F－mg,m)＝eq \f(P,mv1)－g，故D正确．
14．(多选)两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量．两球在空气中由静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关．若它们下落相同的距离，则( )
A．甲球用的时间比乙球长
B．甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小
C．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D．甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功
解析：选BD.设f＝kR，则由牛顿第二定律得F合＝mg－f＝ma，而m＝eq \f(4,3)πR3·ρ，故a＝g－eq \f(k,\f(4,3)πR2·ρ)，由m甲>m乙、ρ甲＝ρ乙可知a甲>a乙，故C错误；因甲、乙位移相同，由v2＝2ax可知，v甲>v乙，B正确；由x＝eq \f(1,2)at2可知，t甲f乙，则W甲克服>W乙克服，D正确．
15．一起重机用钢绳提起静止在地面上的重物，开始在竖直方向上做匀加速运动，然后做匀速运动。重物上升高度为h，运动时间为t，加速度为a，动能为Ek，起重机功率为P，下列图像能描述上述过程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A．重物开始在竖直方向上做匀加速运动，则
图像是开口向上的抛物线，故A错误；
B．重物开始在竖直方向上做匀加速运动，然后做匀速运动。图像先是与时间轴平行且不为零的直线，然后加速度为零，故B错误；
C．重物开始在竖直方向上做匀加速运动时，由牛顿第二定律得
解得起重机的拉力
起重机的功率
图像是过原点的倾斜的直线；重物匀速运动时，起重机的拉力
起重机的功率
则起重机的功率为定值，故C正确；
D．重物开始在竖直方向上做匀加速运动时的动能
图像是过原点的倾斜的直线，故D错误。
故选C。
16．如图所示，固定于竖直面内的粗糙斜杆长为1m，杆与水平方向的夹角为30°，质量为1kg的小球套在杆上，小球与杆间的动摩擦因数为，小球在恒定拉力F作用下，沿杆由底端匀速运动到顶端。已知拉力F的方向与杆在同一竖直平面内，且与水平方向的夹角大于30°，重力加速度g=10m/s2。则下列说法错误的是（ ）
A．拉力F与杆之间的夹角为30°时，F的值最小
B．拉力F的最小值为
C．拉力F的大小可能为15N
D．拉力F做功的最小值为5J
【答案】C
【详解】AB．若F的值较小，则杆对小球的弹力方向垂直于杆向上，小球匀速运动，令F与沿杆方向的夹角为，根据平衡条件有
Fcsα=mgsin30°+μN，N=mgcs30°-Fsinα
整理得
Fcsα+μFsinα=10N
即有
令
y=csα+μsinα
对函数求导
当该导数等于0时，解得
，
则有
即拉力F与杆之间的夹角为30°时，拉力F的最小值为，AB正确，不符合题意；
C．当F=15N时，设力F与杆之间的夹角为θ，小球匀速运动，结合上述，根据平衡条件，在沿杆方向上有
Fcsθ=mgsin30°+μ（mgcs30°﹣Fsinθ）
整理得
Fcsθ+μFsinθ=mg
根据三角函数关系可得
由于小球沿杆向上做匀速运动，则有
0<θ<60°
可知方程
无解，即拉力F的大小不可能为15N，C错误，符合题意；
D．当拉力F做功最小时，摩擦力为零，则有
mgcs30°-Fsinα=0，Fcsα=mgsin30°
解得
F=mg，α=60°
拉力的最小功为
W=Flsin30°=5J
D正确，不符合题意。
故选C。
17．如图所示，在光滑水平面上静置着一个质量为，倾角为的斜面体C，质量均为的A、B两物体叠放在一起以一定的初速度先沿光滑的斜面向上滑，然后沿斜面向下滑，该过程中一直用水平力作用于斜面体上使斜面体静止不动。已知A、B间的动摩擦因数为，重力加速度为，则（ ）
A．水平力
B．A、B相对斜面上滑时A所受摩擦力对A做正功
C．A、B沿斜面下滑时，B物体对A做正功
D．欲使A、B速度减为零后能与斜面保持相对静止，作用力应突变为
【答案】D
【详解】A．无论A、B沿斜面上滑或者下滑，A、B对C都只有垂直斜面向下方向的压力，对C分析，水平方向上满足
对A、B整体分析有
根据牛顿第三定律有
解得
A错误；
B．A、B相对斜面上滑时，A、B整体向上做减速运动，加速度方向沿斜面向下，因此A所受摩擦力一定水平向左，而A速度方向沿斜面向上，位移方向沿斜面向上，摩擦力和位移之间夹角大于90°，根据
，
由于夹角大于90°时，做功为负值，即A、B相对斜面上滑时A所受摩擦力对A做负功，B错误；
C．A、B沿斜面下滑时，A、B整体向下做加速运动，加速度方向沿斜面向下，在此过程中，A的加速度大小和A、B整体的加速度大小相同，大小为
由于A所受重力沿斜面的分力产生的加速度也为，可知A所受的摩擦力和支持力的合力一定与斜面垂直，即B物体对A物体不做功，C错误；
D．A、B速度减为零后能与斜面保持相对静止，只有A、B、C一起向左做匀加速直线运动，对A、B分析有
对A、B、C整体分析有
解得
D正确。
故选D。
18．我国新能源汽车发展迅速，2022年仅比亚迪新能源汽车全年销量为186.35万辆，位列全球第一、如图所示为比亚迪某型号汽车某次测试行驶时的加速度和车速倒数的关系图像。若汽车质量为，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30m/s，则（ ）
A．汽车匀加速所需时间为5s
B．汽车以恒定功率启动
C．汽车所受阻力为
D．汽车在车速为5m/s时，功率为
【答案】A
【详解】B．由图知，汽车以恒定加速度启动，汽车匀加速运动的加速度为2m/s2，故B错误；
A．汽车匀加速运动的末速度
解得
v=10m/s
匀加速运动的时间
故A正确；
C．由图可知汽车的最大速度为30m/s，此时汽车做匀速直线运动，有
F=f
则
P=f×30
当时，a＝2m/s2，根据牛顿第二定律得
即
联立解得
，P=6×104W
故C错误；
D．根据牛顿第二定律，汽车匀加速运动时有
F-f=ma
代入数据得
F＝f+ma＝2×103N+2×103×2N＝6×103N
车速为5m/s时，功率为
P＝Fv＝6×103×5W＝3×104W
故D错误。
故选A。
19．（多选）若升降机速度由v1增大至v2的过程重物上升高度为h，所用时间为t，此过程中忽略摩擦阻力及空气阻力，重力加速度为g．有关此过程下列说法正确的是 ( )
A．钢丝绳的最大拉力为
B．升降机的最大速度
C．升降机速度由v1增大至v2的过程中，起重机对重物做功为
D．升降机速度由v1增大至v2的过程中，起重机对重物做功为
【答案】BC
【详解】A、匀加速阶段拉力最大，故最大拉力为；故A错误．
B、当重力等于拉力时，速度最大为：，故B正确．
C、D、速度由v1增大至v2的过程中，功率为：，故速度由v1增大至v2的过程，起重机对重物做功为，或者根据动能定理得出，起重机对重物做功为：,故C正确，D错误．
故选BC．
【点睛】本题考查的是汽车的启动方式，对于汽车的两种启动方式，恒定加速度启动和恒定功率启动，对于每种启动方式的汽车运动的过程一定要熟悉．
20．（多选）如图所示，质量m=2kg的物体（可看质点）静置在倾角为37°粗糙斜面上的A点，现利用固定在B点的电动机通过跨过斜面顶端光滑小定滑轮的轻绳将该物体从A点拉升到斜面顶端O点，轻绳均与所在的斜面和平面平行。物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.25，轻绳可承受最大的力F=20N，电动机的额定功率P=320W，AO的距离s=175m。若要用最短的时间将物体拉到斜面顶端O点，且物体到达O点前已经达到最大速度。则（已知sin37°=0.6，重力加速度取g=10m/s2）（ ）
A．物体运动过程中的最大速度v=16m/s
B．物体上升过程中最大的加速度am=2m/s2
C．在将物体从A拉到O点的过程中，电动机共做功3200J
D．物体从A运动到O共用时14s
【答案】BCD
【详解】A．对物体受力分析，当
拉力最小，速度最大，根据
代入数据解得
故A错误；
B．根据
物体向上加速，拉力F越来越小，故当F=20N时，加速度最大，根据牛顿第二定律有
代入数据解得
故B正确；
C．根据功能关系，可知在将物体从A拉到O点的过程中，电动机共做功为
故C正确；
D．若要用最短的时间将物体拉到斜面顶端O点，则物体必须先以最大加速度做匀加速运动，再做变加速运动，最后做匀速运动；设经过，物体做匀加速运动的速度达到最大，此时功率也刚好达到额定功率，根据
解得匀加速直线运动的最大速度为
则匀加速运动的时间为
则匀加速运动的位移为
设再经过达到O点，此过程功率保持不变，为额定功率，根据动能定理有
解得
故物体从A运动到O的总时间为
故D正确。
故选BCD。
21．（多选）汽车从静止开始以加速度a0匀加速启动，最后做匀速运动。已知汽车的额定功率为P0，运动过程中所受的阻力恒为F，汽车的速度v随时间t及加速度a、牵引力F和功率P随速度v变化的图象如图所示，其中可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】B．汽车开始做初速度为零的匀加速直线运动，当达到额定功率时，匀加速过程结束，然后做加速度逐渐减小的加速运动，直至最后做匀速运动，加速度为零，故B错误。
ACD．在匀加速阶段，有
故
为恒力；功率
随速度均匀增大，设匀加速过程结束时的速度为，有
故
最后做匀速运动（速度为）时，加速度
牵引力
额定功率
故
匀加速运动结束后，汽车以额定功率行驶，到汽车匀速行驶前，汽车的牵引力F随速度的增大而减小，满足
综上所述，可知选项A、C、D均可能正确，故ACD正确。
故选ACD。
夹角
功的正负
α<90°
力对物体做正功
α>90°
力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功
α＝90°
力对物体不做功
两种模型
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图和v－t图
OA段
过程分析
v↑⇒F＝eq \f(P不变,v)↓⇒a＝eq \f(F－f,m)↓
a＝eq \f(F－F阻,m)不变⇒F不变eq \(⇒,\s\up6(v↑))P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝eq \f(v1,a)
AB
段
过程分析
F＝f⇒a＝0
⇒f＝eq \f(P,vm)
v↑⇒F＝eq \f(P额,v)↓
⇒a＝eq \f(F－f,m)↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
无
F＝f⇒a⇒0⇒
以vm＝eq \f(P额, f)匀速运动
考点一 功的正负判断和计算
一．功
1．做功的两个必要条件
力和物体在力的方向上发生的位移．
2．公式
W＝Flcs α，适用于恒力做功，其中α为F、l方向间夹角，l为物体对地的位移．
3．功的正负判断
考向1：功的正负的判断方法
(1)恒力做功的判断：若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断．
(2)曲线运动中功的判断：若物体做曲线运动，依据F与v的方向夹角来判断．当0≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功．
(3)依据能量变化来判断：根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功．此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断．
考向2：恒力做功的计算
(1)单个力做的功：直接用W＝Flcs α计算．
(2)合力做的功
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcs α求功．
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功．
【典例1】(多选)如图所示，重物P放在一长木板OA上，将长木板绕O端转过一个小角度的过程中，重物P相对于木板始终保持静止．关于木板对重物P的摩擦力和支持力做功的情况是( )
A．摩擦力对重物不做功
B．摩擦力对重物做负功
C．支持力对重物不做功
D．支持力对重物做正功
【典例2】 (多选)如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带至高处，在此过程中，下列说法中正确的是( )
A．摩擦力对物体做正功
B．摩擦力对物体做负功
C．支持力对物体不做功
D．合力对物体做正功
【典例3】．(多选)如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是( )
A．人对车的推力F做的功为FL
B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为(F＋ma)L
【典例4】一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速率v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示，设在第1 s内、第2 s内、第3 s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是( )
A．W1＝W2＝W3 B．W1
A．重力对物体m做正功
B．合力对物体m做功为零
C．摩擦力对物体m做负功
D．支持力对物体m做正功
【典例6】如图所示，甲、乙、丙三个物体分别在大小相等、方向不同的力F的作用下，向右移动相等的位移x，关于F对甲、乙、丙做功的大小W1、W2、W3判断正确的是( )
A．W1>W2>W3B．W1＝W2>W3
C．W1＝W2＝W3 D．W1
方法一 利用“微元法”求变力的功
物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和．此法在中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题．
【典例1】如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB，槽道由半径分别为eq \f(R,2)和R的两个半圆构成，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿滑槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )
A．0 B．FR
C.eq \f(3,2)πFR D．2πFR
方法二 化变力的功为恒力的功
若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W＝Flcs α求解．此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中．
【典例2】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则( )
A．W1＞W2
B．W1＜W2
C．W1＝W2
D．无法确定W1和W2的大小关系
方法三 利用Fx图象求变力的功
在Fx图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)．
【典例3】如图甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时F做的总功为( )
A．0 B．eq \f(1,2)Fmx0
C.eq \f(π,4)Fmx0 D.eq \f(π,4)xeq \\al(2,0)
方法四 利用平均力求变力的功
在求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝eq \f(F1＋F2,2)的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W＝Flcs α求此力所做的功．
【典例4】把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k.问此钉子全部进入木板需要打击几次？
方法五 利用动能定理求变力的功
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功．使用动能定理可根据动能的变化来求功，是求变力做功的一种方法．
【典例5】如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g.质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
A.eq \f(1,4)mgR B.eq \f(1,3)mgR
C.eq \f(1,2)mgR D.eq \f(π,4)mgR
考点三 功率的计算
一．功率
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值．
2．物理意义：描述做功的快慢．
3．公式
(1)P＝eq \f(W,t)，P为时间t内的平均功率．
(2)P＝Fvcs α(α为F与v的夹角)
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
4．额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率．
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率．
1．平均功率的计算
(1)利用P＝eq \f(W,t).
(2)利用P＝Fvcs α，其中v为物体运动的平均速度．
2．瞬时功率的计算
(1)利用公式P＝Fvcs α，其中v为t时刻物体的瞬时速度．
(2)利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度．
(3)利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力．
3．计算功率的3个注意
(1)要弄清楚是平均功率还是瞬时功率．
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率．
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率．求解瞬时功率时，如果F与v不同向，可用力F乘以F方向的分速度，或速度v乘以速度方向的分力求解．
【典例1】在光滑的水平面上，用一水平拉力F使物体从静止开始移动x，平均功率为P，如果将水平拉力增加为4F，使同一物体从静止开始移动x，则平均功率为( )
A．2P B．4P
C．6P D．8P
【典例2】一个质量为m的物块，在几个共点力的作用下静止在光滑水平面上．现把其中一个水平方向的力从F突然增大到3F，并保持其他力不变，则从这时开始到t秒末，该力的瞬时功率是( )
A.eq \f(3F2t,m)B．eq \f(4F2t,m)
C.eq \f(6F2t,m) D.eq \f(9F2t,m)
【典例3】(多选)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器．舰载机总质量为3.0×104 kg，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105 N；弹射器有效作用长度为100 m，推力恒定．要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80 m/s.弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则( )
A．弹射器的推力大小为1.1×106 N
B．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108 J
C．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107 W
D．舰载机在弹射过程中的加速度大小为32 m/s2
【典例4】如图所示，质量相同的两物体从同一高度由静止开始运动，A沿着固定在地面上的光滑斜面下滑，B做自由落体运动．两物体分别到达地面时，下列说法正确的是( )
A．重力的平均功率eq \x\t(P)A>eq \x\t(P)B
B．重力的平均功率eq \x\t(P)A＝eq \x\t(P)B
C．重力的瞬时功率PA＝PB
D．重力的瞬时功率PA
(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率；
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率；
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率
考点四 机车启动问题
1.模型综述
物体在牵引力(受功率和速度制约)作用下，从静止开始克服一定的阻力，加速度不变或变化，最终加速度等于零，速度达到最大值．
2.两种模型的比较
（1）两种启动方式的比较
（2）三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝eq \f(P,Fmin)＝eq \f(P,f)(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力f)．
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝eq \f(P,F)
【典例1】一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示．假定汽车所受阻力的大小Ff恒定不变．下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是( )
【典例2】(多选)汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，牵引力为F0，t1时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动．下列能正确表示这一过程中汽车牵引力F随时间t、速度v随时间t变化的图象是( )
【典例3】一辆汽车从静止出发，在平直的公路上加速前进，如果发动机的牵引力保持恒定，汽车所受阻力保持不变，在此过程中( )
A．汽车的速度与时间成正比
B．汽车的位移与时间成正比
C．汽车做变加速直线运动
D．汽车发动机做的功与时间成正比
【典例4】质量为1.0×103 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动(g＝10 m/s2)．求：
(1)汽车做匀加速运动的时间t1；
(2)汽车所能达到的最大速率；
(3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前，已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多长时间？
解决机车启动问题的4个注意
(1)机车启动的方式不同，运动的规律就不同，即其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律不同，分析图象时应注意坐标轴的意义及图象变化所描述的规律．
(2)在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力，正是基于此，牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度，即P＝Ffvm.
(3)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速过程，匀变速直线运动的公式不适用了，这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)．
(4)以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt计算(因为功率P是变化的)．
1. 如图所示，木块B上表面是水平的，当木块A置于B上，并与B保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中( )
A．A所受的合外力对A不做功
B．B对A的弹力做正功
C．B对A的摩擦力做正功
D．A对B做正功
2. (多选)如图所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力F阻的大小不变，则下列说法正确的是( )
A．重力做功为mgL
B．绳的拉力做功为0
C．空气阻力F阻做功为－mgL
D．空气阻力F阻做功为－eq \f(1,2)F阻πL
3．(多选) 如图所示，B物体在拉力F的作用下向左运动，在运动过程中，A、B之间有相互作用的摩擦力，则这对摩擦力做功的情况，下列说法中正确的是( )
A．A、B都克服摩擦力做功
B．摩擦力对A不做功
C．摩擦力对B做负功
D．摩擦力对A、B都不做功
4. 如图所示，用与水平方向成θ角的力F，拉着质量为m的物体沿水平地面匀速前进位移s，已知物体和地面间的动摩擦因数为μ.则在此过程中F做的功为( )
A．mgs B．μmgs
C.eq \f(μmgs,cs θ＋μsin θ) D.eq \f(μmgs,1＋μtan θ)
5．如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置．现用水平拉力F将小球缓慢拉到细线与竖直方向成θ角的位置．在此过程中，拉力F做的功为( )
A．FLcs θ B．FLsin θ
C．FL(1－cs θ) D．mgL(1－cs θ)
6. 如图所示，质量为m的小球以初速度v0水平抛出，恰好垂直打在倾角为θ的斜面上，则球落在斜面上时重力的瞬时功率为(不计空气阻力)( )
A．mgv0tan θ B.eq \f(mgv0,tan θ)
C.eq \f(mgv0,sin θ) D．mgv0cs θ
7. 如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则小球从A到C的过程中弹簧弹力做功是( )
A．mgh－eq \f(1,2)mv2 B.eq \f(1,2)mv2－mgh
C．－mgh D．－(mgh＋eq \f(1,2)mv2)
8．质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为eq \f(v,3)时，汽车的瞬时加速度的大小为( )
A.eq \f(P,mv) B.eq \f(2P,mv)
C.eq \f(3P,mv) D.eq \f(4P,mv)
9．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( )
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的功率大小为42 W
D．4 s内F做功的平均功率为42 W
10. 当前我国“高铁”事业发展迅猛．假设一辆高速列车在机车牵引力和恒定阻力作用下，在水平轨道上由静止开始启动，其vt图象如图所示，已知在0～t1时间内为过原点的倾斜直线，t1时刻达到额定功率P，此后保持功率P不变，在t3时刻达到最大速度v3，以后匀速运动．下述判断正确的是( )
A．从0至t3时间内，列车一直匀加速直线运动
B．t2时刻的加速度大于t1时刻的加速度
C．在t3时刻以后，机车的牵引力为零
D．该列车所受的恒定阻力大小为eq \f(P,v3)
11．有一种太阳能驱动的小车，当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中产生的电流经电动机带动小车前进．若质量为m的小车在平直的水泥路上从静止开始沿直线加速行驶，经过时间t前进的距离为x，且速度达到最大值vm.设这一过程中电动机的功率恒为P，小车所受阻力恒为f，那么这段时间内( )
A．小车做匀加速运动
B．小车受到的牵引力逐渐增大
C．小车受到的合外力所做的功为Pt
D．小车受到的牵引力做的功为fx＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)
12．放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间图象和该拉力的功率与时间图象分别如图所示，下列说法正确的是( )
A．0～6 s内物体位移大小为36 m
B．0～6 s内拉力做的功为30 J
C．合外力在0～6 s内做的功与0～2 s内做的功相等
D．滑动摩擦力大小为5 N
13．一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的功率达到最大值P，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升，物体上升的高度为h，则整个过程中，下列说法正确的是( )
A．钢绳的最大拉力为eq \f(P,v2)
B．钢绳的最大拉力为mg
C．重物匀加速的末速度为eq \f(P,mg)
D．重物匀加速运动的加速度为eq \f(P,mv1)－g
14．(多选)两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量．两球在空气中由静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关．若它们下落相同的距离，则( )
A．甲球用的时间比乙球长
B．甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小
C．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D．甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功
15．一起重机用钢绳提起静止在地面上的重物，开始在竖直方向上做匀加速运动，然后做匀速运动。重物上升高度为h，运动时间为t，加速度为a，动能为Ek，起重机功率为P，下列图像能描述上述过程的是（ ）
A． B．
C． D．
16．如图所示，固定于竖直面内的粗糙斜杆长为1m，杆与水平方向的夹角为30°，质量为1kg的小球套在杆上，小球与杆间的动摩擦因数为，小球在恒定拉力F作用下，沿杆由底端匀速运动到顶端。已知拉力F的方向与杆在同一竖直平面内，且与水平方向的夹角大于30°，重力加速度g=10m/s2。则下列说法错误的是（ ）
A．拉力F与杆之间的夹角为30°时，F的值最小
B．拉力F的最小值为
C．拉力F的大小可能为15N
D．拉力F做功的最小值为5J
17．如图所示，在光滑水平面上静置着一个质量为，倾角为的斜面体C，质量均为的A、B两物体叠放在一起以一定的初速度先沿光滑的斜面向上滑，然后沿斜面向下滑，该过程中一直用水平力作用于斜面体上使斜面体静止不动。已知A、B间的动摩擦因数为，重力加速度为，则（ ）
A．水平力
B．A、B相对斜面上滑时A所受摩擦力对A做正功
C．A、B沿斜面下滑时，B物体对A做正功
D．欲使A、B速度减为零后能与斜面保持相对静止，作用力应突变为
18．我国新能源汽车发展迅速，2022年仅比亚迪新能源汽车全年销量为186.35万辆，位列全球第一、如图所示为比亚迪某型号汽车某次测试行驶时的加速度和车速倒数的关系图像。若汽车质量为，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30m/s，则（ ）
A．汽车匀加速所需时间为5s
B．汽车以恒定功率启动
C．汽车所受阻力为
D．汽车在车速为5m/s时，功率为
19．（多选）若升降机速度由v1增大至v2的过程重物上升高度为h，所用时间为t，此过程中忽略摩擦阻力及空气阻力，重力加速度为g．有关此过程下列说法正确的是 ( )
A．钢丝绳的最大拉力为
B．升降机的最大速度
C．升降机速度由v1增大至v2的过程中，起重机对重物做功为
D．升降机速度由v1增大至v2的过程中，起重机对重物做功为
20．（多选）如图所示，质量m=2kg的物体（可看质点）静置在倾角为37°粗糙斜面上的A点，现利用固定在B点的电动机通过跨过斜面顶端光滑小定滑轮的轻绳将该物体从A点拉升到斜面顶端O点，轻绳均与所在的斜面和平面平行。物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.25，轻绳可承受最大的力F=20N，电动机的额定功率P=320W，AO的距离s=175m。若要用最短的时间将物体拉到斜面顶端O点，且物体到达O点前已经达到最大速度。则（已知sin37°=0.6，重力加速度取g=10m/s2）（ ）
A．物体运动过程中的最大速度v=16m/s
B．物体上升过程中最大的加速度am=2m/s2
C．在将物体从A拉到O点的过程中，电动机共做功3200J
D．物体从A运动到O共用时14s
21．（多选）汽车从静止开始以加速度a0匀加速启动，最后做匀速运动。已知汽车的额定功率为P0，运动过程中所受的阻力恒为F，汽车的速度v随时间t及加速度a、牵引力F和功率P随速度v变化的图象如图所示，其中可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
夹角
功的正负
α<90°
力对物体做正功
α>90°
力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功
α＝90°
力对物体不做功
两种模型
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图和v－t图
OA段
过程分析
v↑⇒F＝eq \f(P不变,v)↓⇒a＝eq \f(F－f,m)↓
a＝eq \f(F－F阻,m)不变⇒F不变eq \(⇒,\s\up6(v↑))P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝eq \f(v1,a)
AB
段
过程分析
F＝f⇒a＝0
⇒f＝eq \f(P,vm)
v↑⇒F＝eq \f(P额,v)↓
⇒a＝eq \f(F－f,m)↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
无
F＝f⇒a⇒0⇒
以vm＝eq \f(P额, f)匀速运动
第16讲 功 功率
——划重点之精细讲义系列
考点一 功的正负判断和计算
一．功
1．做功的两个必要条件
力和物体在力的方向上发生的位移．
2．公式
W＝Flcs α，适用于恒力做功，其中α为F、l方向间夹角，l为物体对地的位移．
3．功的正负判断
考向1：功的正负的判断方法
(1)恒力做功的判断：若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断．
(2)曲线运动中功的判断：若物体做曲线运动，依据F与v的方向夹角来判断．当0≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功．
(3)依据能量变化来判断：根据功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功．此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断．
考向2：恒力做功的计算
(1)单个力做的功：直接用W＝Flcs α计算．
(2)合力做的功
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcs α求功．
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功．
【典例1】(多选)如图所示，重物P放在一长木板OA上，将长木板绕O端转过一个小角度的过程中，重物P相对于木板始终保持静止．关于木板对重物P的摩擦力和支持力做功的情况是( )
A．摩擦力对重物不做功
B．摩擦力对重物做负功
C．支持力对重物不做功
D．支持力对重物做正功
解析：选AD.由做功的条件可知：只要有力，并且物体在力的方向上通过位移，则力对物体做功．由受力分析知，支持力FN做正功，摩擦力Ff不做功，选项A、D正确．
【典例2】 (多选)如图所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带至高处，在此过程中，下列说法中正确的是( )
A．摩擦力对物体做正功
B．摩擦力对物体做负功
C．支持力对物体不做功
D．合力对物体做正功
解析：选AC.物体P匀速向上运动过程中，受静摩擦力作用，方向沿皮带向上，对物体做正功，支持力垂直于皮带，做功为零，物体所受的合力为零，做功也为零，故A、C正确，B、D错误．
【典例3】．(多选)如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车，车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是( )
A．人对车的推力F做的功为FL
B．人对车做的功为maL
C．车对人的作用力大小为ma
D．车对人的摩擦力做的功为(F＋ma)L
解析：选AD.由做功的定义可知选项A正确；对人进行受力分析，人受重力以及车对人的力，合力的大小为ma，方向水平向左，故车对人的作用力大小应为eq \r(ma 2＋mg2)，选项C错误；上述过程重力不做功，合力对人做的功为maL，所以车对人做的功为maL，由相互作用力及人、车的位移相同可确定，人对车做的功为－maL，选项B错误；对人由牛顿第二定律知，在水平方向上有Ff－F＝ma，摩擦力做的功为(F＋ma)L，选项D正确．
【典例4】一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速率v随时间的变化规律分别如图甲和乙所示，设在第1 s内、第2 s内、第3 s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是( )
A．W1＝W2＝W3 B．W1
A．重力对物体m做正功
B．合力对物体m做功为零
C．摩擦力对物体m做负功
D．支持力对物体m做正功
解析：选BCD.物体的受力及位移如图所示，支持力FN与位移x的夹角α<90°，故支持力做正功，D正确；重力垂直位移，故重力不做功，A错误；摩擦力Ff与x夹角β>90°，故摩擦力做负功，C正确；合力为零，合力不做功，B正确．
【典例6】如图所示，甲、乙、丙三个物体分别在大小相等、方向不同的力F的作用下，向右移动相等的位移x，关于F对甲、乙、丙做功的大小W1、W2、W3判断正确的是( )
A．W1>W2>W3B．W1＝W2>W3
C．W1＝W2＝W3 D．W1
考点二 变力功的计算
方法一 利用“微元法”求变力的功
物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做元功的代数和．此法在中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题．
【典例1】如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB，槽道由半径分别为eq \f(R,2)和R的两个半圆构成，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿滑槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( )
A．0 B．FR
C.eq \f(3,2)πFR D．2πFR
解析 虽然拉力方向时刻改变，但力与运动方向始终一致，用微元法，在很小的一段位移内可以看成恒力，小球的路程为πR＋πeq \f(R,2)，则拉力做的功为eq \f(3,2)πFR，故C正确．
答案 C
方法二 化变力的功为恒力的功
若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W＝Flcs α求解．此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中．
【典例2】如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升．若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则( )
A．W1＞W2
B．W1＜W2
C．W1＝W2
D．无法确定W1和W2的大小关系
解析 绳子对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力的功转化为恒力的功；因绳子对滑块做的功等于拉力F对绳子做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl为绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位移，大小等于滑轮左侧绳长的缩短量，由图可知，ΔlAB＞ΔlBC，故W1＞W2，A正确．
答案 A
方法三 利用Fx图象求变力的功
在Fx图象中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)．
【典例3】如图甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时F做的总功为( )
A．0 B．eq \f(1,2)Fmx0
C.eq \f(π,4)Fmx0 D.eq \f(π,4)xeq \\al(2,0)
解析 F为变力，根据Fx图象包围的面积在数值上等于F做的总功来计算．图线为半圆，由图线可知在数值上Fm＝eq \f(1,2)x0，故W＝eq \f(1,2)π·Feq \\al(2,m)＝eq \f(1,2)π·Fm·eq \f(1,2)x0＝eq \f(π,4)Fmx0.
答案 C
方法四 利用平均力求变力的功
在求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝eq \f(F1＋F2,2)的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W＝Flcs α求此力所做的功．
【典例4】把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k.问此钉子全部进入木板需要打击几次？
解析 在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功．
钉子在整个过程中受到的平均阻力为：
F＝eq \f(0＋kl,2)＝eq \f(kl,2)
钉子克服阻力做的功为：
WF＝Fl＝eq \f(1,2)kl2
设全过程共打击n次，则给予钉子的总能量：
E总＝nE0＝eq \f(1,2)kl2，所以n＝eq \f(kl2,2E0)
答案 eq \f(kl2,2E0)
方法五 利用动能定理求变力的功
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功也适用于求变力做功．使用动能定理可根据动能的变化来求功，是求变力做功的一种方法．
【典例5】如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g.质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
A.eq \f(1,4)mgR B.eq \f(1,3)mgR
C.eq \f(1,2)mgR D.eq \f(π,4)mgR
解析 在Q点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有FN－mg＝meq \f(v2,R)，FN＝2mg，联立解得v＝eq \r(gR)，下落过程中重力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理可得mgR－Wf＝eq \f(1,2)mv2，解得Wf＝eq \f(1,2)mgR，所以克服摩擦力做功eq \f(1,2)mgR，C正确．
答案 C
考点三 功率的计算
一．功率
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值．
2．物理意义：描述做功的快慢．
3．公式
(1)P＝eq \f(W,t)，P为时间t内的平均功率．
(2)P＝Fvcs α(α为F与v的夹角)
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
4．额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率．
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率．
1．平均功率的计算
(1)利用P＝eq \f(W,t).
(2)利用P＝Fvcs α，其中v为物体运动的平均速度．
2．瞬时功率的计算
(1)利用公式P＝Fvcs α，其中v为t时刻物体的瞬时速度．
(2)利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度．
(3)利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力．
3．计算功率的3个注意
(1)要弄清楚是平均功率还是瞬时功率．
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率．
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率．求解瞬时功率时，如果F与v不同向，可用力F乘以F方向的分速度，或速度v乘以速度方向的分力求解．
【典例1】在光滑的水平面上，用一水平拉力F使物体从静止开始移动x，平均功率为P，如果将水平拉力增加为4F，使同一物体从静止开始移动x，则平均功率为( )
A．2P B．4P
C．6P D．8P
解析：选D.设第一次运动时间为t，则其平均功率表达式为P＝eq \f(Fx,t)；第二次加速度为第一次的4倍，由x＝eq \f(1,2)at2 可知时间为eq \f(t,2)，其平均功率为eq \f(4Fx,\f(t,2))＝eq \f(8Fx,t)＝8P，D正确．
【典例2】一个质量为m的物块，在几个共点力的作用下静止在光滑水平面上．现把其中一个水平方向的力从F突然增大到3F，并保持其他力不变，则从这时开始到t秒末，该力的瞬时功率是( )
A.eq \f(3F2t,m)B．eq \f(4F2t,m)
C.eq \f(6F2t,m) D.eq \f(9F2t,m)
解析：选C.物块受到的合力为2F，根据牛顿第二定律有2F＝ma，在合力作用下，物块做初速度为零的匀加速直线运动，速度v＝at，该力大小为3F，则该力的瞬时功率P＝3Fv，解以上各式得P＝eq \f(6F2t,m)，C正确．
【典例3】(多选)我国科学家正在研制航母舰载机使用的电磁弹射器．舰载机总质量为3.0×104 kg，设起飞过程中发动机的推力恒为1.0×105 N；弹射器有效作用长度为100 m，推力恒定．要求舰载机在水平弹射结束时速度大小达到80 m/s.弹射过程中舰载机所受总推力为弹射器和发动机推力之和，假设所受阻力为总推力的20%，则( )
A．弹射器的推力大小为1.1×106 N
B．弹射器对舰载机所做的功为1.1×108 J
C．弹射器对舰载机做功的平均功率为8.8×107 W
D．舰载机在弹射过程中的加速度大小为32 m/s2
解析：选ABD.对舰载机应用运动学公式v2－0＝2ax，代入数据得加速度a＝32 m/s2，D正确；设总推力为F，对舰载机应用牛顿第二定律可知：F－20%F＝ma，得F＝1.2×106 N，而发动机的推力为1.0×105 N，则弹射器的推力为F推＝(1.2×106－1.0×105)N＝1.1×106 N，A正确；弹射器对舰载机所做的功为W＝F推·l＝1.1×108 J，B正确；弹射过程所用的时间为t＝eq \f(v,a)＝eq \f(80,32) s＝2.5 s，平均功率P ＝eq \f(W,t)＝eq \f(1.1×108,2.5)W＝4.4×107W，C错误．
【典例4】如图所示，质量相同的两物体从同一高度由静止开始运动，A沿着固定在地面上的光滑斜面下滑，B做自由落体运动．两物体分别到达地面时，下列说法正确的是( )
A．重力的平均功率eq \x\t(P)A>eq \x\t(P)B
B．重力的平均功率eq \x\t(P)A＝eq \x\t(P)B
C．重力的瞬时功率PA＝PB
D．重力的瞬时功率PA
(1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率；
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率；
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率
考点四 机车启动问题
1.模型综述
物体在牵引力(受功率和速度制约)作用下，从静止开始克服一定的阻力，加速度不变或变化，最终加速度等于零，速度达到最大值．
2.两种模型的比较
（1）两种启动方式的比较
（2）三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝eq \f(P,Fmin)＝eq \f(P,f)(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力f)．
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝eq \f(P,F)
【典例1】一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图所示．假定汽车所受阻力的大小Ff恒定不变．下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是( )
解析：选A.由Pt图象知：0～t1内汽车以恒定功率P1行驶，t1～t2内汽车以恒定功率P2行驶．设汽车所受牵引力为F，则由P＝Fv得，当v增加时，F减小，由a＝eq \f(F－Ff,m)知a减小，又因速度不可能突变，所以选项B、C、D错误，A正确．
【典例2】(多选)汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为P，牵引力为F0，t1时刻，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半，并保持该功率继续行驶，到t2时刻，汽车又恢复了匀速直线运动．下列能正确表示这一过程中汽车牵引力F随时间t、速度v随时间t变化的图象是( )
解析：选AD.到t1时刻功率立即减小一半，但速度减小有一个过程，不能直接变为原来的一半，所以牵引力立即变为原来的一半，根据公式P＝Fv，之后保持该功率继续行驶，速度减小，牵引力增大，根据a＝eq \f(Ff－F,m)，摩擦力恒定，所以加速度逐渐减小，即vt图象的斜率减小，当加速度为零时，做匀速直线运动，故选项A、D正确．
【典例3】一辆汽车从静止出发，在平直的公路上加速前进，如果发动机的牵引力保持恒定，汽车所受阻力保持不变，在此过程中( )
A．汽车的速度与时间成正比
B．汽车的位移与时间成正比
C．汽车做变加速直线运动
D．汽车发动机做的功与时间成正比
解析：选A.由F－Ff＝ma可知，因汽车牵引力F保持恒定，故汽车做匀加速直线运动，C错误；由v＝at可知，A正确；而x＝eq \f(1,2)at2，故B错误；由WF＝F·x＝F·eq \f(1,2)at2可知，D错误．
【典例4】质量为1.0×103 kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N，汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W，开始时以a＝1 m/s2的加速度做匀加速运动(g＝10 m/s2)．求：
(1)汽车做匀加速运动的时间t1；
(2)汽车所能达到的最大速率；
(3)若斜坡长143.5 m，且认为汽车到达坡顶之前，已达到最大速率，则汽车从坡底到坡顶需多长时间？
解析：(1)由牛顿第二定律得
F－mgsin 30°－Ff＝ma
设匀加速过程的末速度为v，则有P＝Fv
v＝at1
解得t1＝7 s
(2)当达到最大速度vm时，a＝0，则有
P＝(mgsin 30°＋Ff)vm
解得vm＝8 m/s
(3)汽车匀加速运动的位移x1＝eq \f(1,2)ateq \\al(2,1)
在后一阶段对汽车由动能定理得
Pt2－(mgsin 30°＋Ff)x2＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)－eq \f(1,2)mv2
又有x＝x1＋x2
解得t2＝15 s
故汽车运动的总时间为t＝t1＋t2＝22 s
答案：(1)7 s (2)8 m/s (3)22 s
解决机车启动问题的4个注意
(1)机车启动的方式不同，运动的规律就不同，即其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律不同，分析图象时应注意坐标轴的意义及图象变化所描述的规律．
(2)在机车功率P＝Fv中，F是机车的牵引力而不是机车所受合力，正是基于此，牵引力与阻力平衡时达到最大运行速度，即P＝Ffvm.
(3)恒定功率下的启动过程一定不是匀加速过程，匀变速直线运动的公式不适用了，这种加速过程发动机做的功可用W＝Pt计算，不能用W＝Fl计算(因为F为变力)．
(4)以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W＝Fl计算，不能用W＝Pt计算(因为功率P是变化的)．
1. 如图所示，木块B上表面是水平的，当木块A置于B上，并与B保持相对静止，一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑过程中( )
A．A所受的合外力对A不做功
B．B对A的弹力做正功
C．B对A的摩擦力做正功
D．A对B做正功
解析：选C.AB一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，加速度为gsin θ.由于A速度增大，由动能定理，A所受的合外力对A做功，B对A的摩擦力做正功，B对A的弹力做负功，选项A、B错误C、正确．A对B不做功，选项D错误．
2. (多选)如图所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力F阻的大小不变，则下列说法正确的是( )
A．重力做功为mgL
B．绳的拉力做功为0
C．空气阻力F阻做功为－mgL
D．空气阻力F阻做功为－eq \f(1,2)F阻πL
解析：选ABD.小球下落过程中，重力做功为mgL，A正确；绳的拉力始终与速度方向垂直，拉力做功为0，B正确；空气阻力F阻大小不变，方向始终与速度方向相反，故空气阻力F阻做功为－F阻·eq \f(1,2)πL，C错误，D正确．
3．(多选) 如图所示，B物体在拉力F的作用下向左运动，在运动过程中，A、B之间有相互作用的摩擦力，则这对摩擦力做功的情况，下列说法中正确的是( )
A．A、B都克服摩擦力做功
B．摩擦力对A不做功
C．摩擦力对B做负功
D．摩擦力对A、B都不做功
解析：选BC.对A、B受力分析如图所示，物体A在Ff2作用下没有位移，所以摩擦力对A不做功，故B正确；对物体B，Ff1与位移夹角为180°，做负功，故C正确，A、D错误．
4. 如图所示，用与水平方向成θ角的力F，拉着质量为m的物体沿水平地面匀速前进位移s，已知物体和地面间的动摩擦因数为μ.则在此过程中F做的功为( )
A．mgs B．μmgs
C.eq \f(μmgs,cs θ＋μsin θ) D.eq \f(μmgs,1＋μtan θ)
解析：选D.物体受力平衡，有Fsin θ＋FN＝mg，Fcs θ－μFN ＝0，在此过程中F做的功W＝Fscs θ＝eq \f(μ mgs,1＋μtan θ)，D正确．
5．如图所示，质量为m的小球用长L的细线悬挂而静止在竖直位置．现用水平拉力F将小球缓慢拉到细线与竖直方向成θ角的位置．在此过程中，拉力F做的功为( )
A．FLcs θ B．FLsin θ
C．FL(1－cs θ) D．mgL(1－cs θ)
解析：选D.用F缓慢地拉，则显然F为变力，只能用动能定理求解，由动能定理得WF－mgL(1－cs θ)＝0，解得WF＝mgL(1－cs θ)，D正确．
6. 如图所示，质量为m的小球以初速度v0水平抛出，恰好垂直打在倾角为θ的斜面上，则球落在斜面上时重力的瞬时功率为(不计空气阻力)( )
A．mgv0tan θ B.eq \f(mgv0,tan θ)
C.eq \f(mgv0,sin θ) D．mgv0cs θ
解析：选B.小球落在斜面上时重力的瞬时功率为P＝mgvy，而vytan θ＝v0，所以P＝eq \f(mgv0,tan θ)，B正确．
7. 如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则小球从A到C的过程中弹簧弹力做功是( )
A．mgh－eq \f(1,2)mv2 B.eq \f(1,2)mv2－mgh
C．－mgh D．－(mgh＋eq \f(1,2)mv2)
解析：选A.小球从A点运动到C点的过程中，重力和弹簧的弹力对小球做负功，由于支持力与位移始终垂直，则支持力对小球不做功，由动能定理，可得WG＋WF＝0－eq \f(1,2)mv2，重力做功为WG＝－mgh，则弹簧的弹力对小球做功为WF＝mgh－eq \f(1,2)mv2，所以正确选项为A.
8．质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为eq \f(v,3)时，汽车的瞬时加速度的大小为( )
A.eq \f(P,mv) B.eq \f(2P,mv)
C.eq \f(3P,mv) D.eq \f(4P,mv)
解析：选B.当汽车匀速行驶时，有f＝F＝eq \f(P,v)，根据P＝F′eq \f(v,3)，得F′＝eq \f(3P,v)，由牛顿第二定律得a＝eq \f(F′－f,m)＝eq \f(\f(3P,v)－\f(P,v),m)＝eq \f(2P,mv)，故B正确，A、C、D错误．
9．如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( )
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的功率大小为42 W
D．4 s内F做功的平均功率为42 W
解析：选C.由图乙可知，物体的加速度a＝0.5 m/s2，由2F－mg＝ma可得：F＝10.5 N，A、B均错误；4 s末力F的作用点的速度大小为vF＝2×2 m/s＝4 m/s，故4 s末拉力F做功的功率为P＝F·vF＝42 W，C正确；4 s内物体上升的高度h＝4 m，力F的作用点的位移l＝2h＝8 m，拉力F所做的功W＝F·l＝84 J,4 s内拉力F做功的平均功率eq \x\t(P)＝eq \f(W,t)＝21 W，D错误．
10. 当前我国“高铁”事业发展迅猛．假设一辆高速列车在机车牵引力和恒定阻力作用下，在水平轨道上由静止开始启动，其vt图象如图所示，已知在0～t1时间内为过原点的倾斜直线，t1时刻达到额定功率P，此后保持功率P不变，在t3时刻达到最大速度v3，以后匀速运动．下述判断正确的是( )
A．从0至t3时间内，列车一直匀加速直线运动
B．t2时刻的加速度大于t1时刻的加速度
C．在t3时刻以后，机车的牵引力为零
D．该列车所受的恒定阻力大小为eq \f(P,v3)
解析：选D.0～t1时间内，列车匀加速运动，t1～t3时间内，加速度变小，故A、B错；t3以后列车匀速运动，牵引力等于阻力，故C错；匀速运动时f＝F牵＝eq \f(P,v3)，故D正确．
11．有一种太阳能驱动的小车，当太阳光照射到小车上方的光电板时，光电板中产生的电流经电动机带动小车前进．若质量为m的小车在平直的水泥路上从静止开始沿直线加速行驶，经过时间t前进的距离为x，且速度达到最大值vm.设这一过程中电动机的功率恒为P，小车所受阻力恒为f，那么这段时间内( )
A．小车做匀加速运动
B．小车受到的牵引力逐渐增大
C．小车受到的合外力所做的功为Pt
D．小车受到的牵引力做的功为fx＋eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)
解析：选D.小车在运动方向上受牵引力F和阻力f，因为v增大，P不变，由P＝Fv，F－f＝ma，得出F逐渐减小，a也逐渐减小，当v＝vm时，a＝0，故A、B均错；合外力做的功W外＝Pt－fx，由动能定理得Pt－fx＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,m)，故C错误，D正确．
12．放在粗糙水平面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s内其速度与时间图象和该拉力的功率与时间图象分别如图所示，下列说法正确的是( )
A．0～6 s内物体位移大小为36 m
B．0～6 s内拉力做的功为30 J
C．合外力在0～6 s内做的功与0～2 s内做的功相等
D．滑动摩擦力大小为5 N
解析：选C.由P＝Fv，对应vt图象和Pt图象可得30＝F·6,10＝f·6，解得：F＝5 N，f＝eq \f(5,3) N，D错误；0～6 s内物体的位移大小为(4＋6)×6×eq \f(1,2) m＝30 m，A错误；0～6 s内拉力做功W＝F·x1＋f·x2＝5×6×2×eq \f(1,2) J＋eq \f(5,3)×6×4 J＝70 J，B错误；由动能定理可知，C正确．
13．一起重机的钢绳由静止开始匀加速提起质量为m的重物，当重物的速度为v1时，起重机的功率达到最大值P，以后起重机保持该功率不变，继续提升重物，直到以最大速度v2匀速上升，物体上升的高度为h，则整个过程中，下列说法正确的是( )
A．钢绳的最大拉力为eq \f(P,v2)
B．钢绳的最大拉力为mg
C．重物匀加速的末速度为eq \f(P,mg)
D．重物匀加速运动的加速度为eq \f(P,mv1)－g
解析：选D.加速过程物体处于超重状态，钢绳拉力较大，匀速运动阶段钢绳的拉力为eq \f(P,v2)，故A错误；加速过程重物处于超重状态，钢绳拉力大于重力，故B错误；重物匀加速运动的末速度不是运动的最大速度，此时钢绳对重物的拉力大于其重力，故其速度小于eq \f(P,mg)，故C错误；重物匀加速运动的末速度为v1，此时的拉力为F＝eq \f(P,v1)，由牛顿第二定律得：a＝eq \f(F－mg,m)＝eq \f(P,mv1)－g，故D正确．
14．(多选)两实心小球甲和乙由同一种材料制成，甲球质量大于乙球质量．两球在空气中由静止下落，假设它们运动时受到的阻力与球的半径成正比，与球的速率无关．若它们下落相同的距离，则( )
A．甲球用的时间比乙球长
B．甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小
C．甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小
D．甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功
解析：选BD.设f＝kR，则由牛顿第二定律得F合＝mg－f＝ma，而m＝eq \f(4,3)πR3·ρ，故a＝g－eq \f(k,\f(4,3)πR2·ρ)，由m甲>m乙、ρ甲＝ρ乙可知a甲>a乙，故C错误；因甲、乙位移相同，由v2＝2ax可知，v甲>v乙，B正确；由x＝eq \f(1,2)at2可知，t甲
15．一起重机用钢绳提起静止在地面上的重物，开始在竖直方向上做匀加速运动，然后做匀速运动。重物上升高度为h，运动时间为t，加速度为a，动能为Ek，起重机功率为P，下列图像能描述上述过程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A．重物开始在竖直方向上做匀加速运动，则
图像是开口向上的抛物线，故A错误；
B．重物开始在竖直方向上做匀加速运动，然后做匀速运动。图像先是与时间轴平行且不为零的直线，然后加速度为零，故B错误；
C．重物开始在竖直方向上做匀加速运动时，由牛顿第二定律得
解得起重机的拉力
起重机的功率
图像是过原点的倾斜的直线；重物匀速运动时，起重机的拉力
起重机的功率
则起重机的功率为定值，故C正确；
D．重物开始在竖直方向上做匀加速运动时的动能
图像是过原点的倾斜的直线，故D错误。
故选C。
16．如图所示，固定于竖直面内的粗糙斜杆长为1m，杆与水平方向的夹角为30°，质量为1kg的小球套在杆上，小球与杆间的动摩擦因数为，小球在恒定拉力F作用下，沿杆由底端匀速运动到顶端。已知拉力F的方向与杆在同一竖直平面内，且与水平方向的夹角大于30°，重力加速度g=10m/s2。则下列说法错误的是（ ）
A．拉力F与杆之间的夹角为30°时，F的值最小
B．拉力F的最小值为
C．拉力F的大小可能为15N
D．拉力F做功的最小值为5J
【答案】C
【详解】AB．若F的值较小，则杆对小球的弹力方向垂直于杆向上，小球匀速运动，令F与沿杆方向的夹角为，根据平衡条件有
Fcsα=mgsin30°+μN，N=mgcs30°-Fsinα
整理得
Fcsα+μFsinα=10N
即有
令
y=csα+μsinα
对函数求导
当该导数等于0时，解得
，
则有
即拉力F与杆之间的夹角为30°时，拉力F的最小值为，AB正确，不符合题意；
C．当F=15N时，设力F与杆之间的夹角为θ，小球匀速运动，结合上述，根据平衡条件，在沿杆方向上有
Fcsθ=mgsin30°+μ（mgcs30°﹣Fsinθ）
整理得
Fcsθ+μFsinθ=mg
根据三角函数关系可得
由于小球沿杆向上做匀速运动，则有
0<θ<60°
可知方程
无解，即拉力F的大小不可能为15N，C错误，符合题意；
D．当拉力F做功最小时，摩擦力为零，则有
mgcs30°-Fsinα=0，Fcsα=mgsin30°
解得
F=mg，α=60°
拉力的最小功为
W=Flsin30°=5J
D正确，不符合题意。
故选C。
17．如图所示，在光滑水平面上静置着一个质量为，倾角为的斜面体C，质量均为的A、B两物体叠放在一起以一定的初速度先沿光滑的斜面向上滑，然后沿斜面向下滑，该过程中一直用水平力作用于斜面体上使斜面体静止不动。已知A、B间的动摩擦因数为，重力加速度为，则（ ）
A．水平力
B．A、B相对斜面上滑时A所受摩擦力对A做正功
C．A、B沿斜面下滑时，B物体对A做正功
D．欲使A、B速度减为零后能与斜面保持相对静止，作用力应突变为
【答案】D
【详解】A．无论A、B沿斜面上滑或者下滑，A、B对C都只有垂直斜面向下方向的压力，对C分析，水平方向上满足
对A、B整体分析有
根据牛顿第三定律有
解得
A错误；
B．A、B相对斜面上滑时，A、B整体向上做减速运动，加速度方向沿斜面向下，因此A所受摩擦力一定水平向左，而A速度方向沿斜面向上，位移方向沿斜面向上，摩擦力和位移之间夹角大于90°，根据
，
由于夹角大于90°时，做功为负值，即A、B相对斜面上滑时A所受摩擦力对A做负功，B错误；
C．A、B沿斜面下滑时，A、B整体向下做加速运动，加速度方向沿斜面向下，在此过程中，A的加速度大小和A、B整体的加速度大小相同，大小为
由于A所受重力沿斜面的分力产生的加速度也为，可知A所受的摩擦力和支持力的合力一定与斜面垂直，即B物体对A物体不做功，C错误；
D．A、B速度减为零后能与斜面保持相对静止，只有A、B、C一起向左做匀加速直线运动，对A、B分析有
对A、B、C整体分析有
解得
D正确。
故选D。
18．我国新能源汽车发展迅速，2022年仅比亚迪新能源汽车全年销量为186.35万辆，位列全球第一、如图所示为比亚迪某型号汽车某次测试行驶时的加速度和车速倒数的关系图像。若汽车质量为，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30m/s，则（ ）
A．汽车匀加速所需时间为5s
B．汽车以恒定功率启动
C．汽车所受阻力为
D．汽车在车速为5m/s时，功率为
【答案】A
【详解】B．由图知，汽车以恒定加速度启动，汽车匀加速运动的加速度为2m/s2，故B错误；
A．汽车匀加速运动的末速度
解得
v=10m/s
匀加速运动的时间
故A正确；
C．由图可知汽车的最大速度为30m/s，此时汽车做匀速直线运动，有
F=f
则
P=f×30
当时，a＝2m/s2，根据牛顿第二定律得
即
联立解得
，P=6×104W
故C错误；
D．根据牛顿第二定律，汽车匀加速运动时有
F-f=ma
代入数据得
F＝f+ma＝2×103N+2×103×2N＝6×103N
车速为5m/s时，功率为
P＝Fv＝6×103×5W＝3×104W
故D错误。
故选A。
19．（多选）若升降机速度由v1增大至v2的过程重物上升高度为h，所用时间为t，此过程中忽略摩擦阻力及空气阻力，重力加速度为g．有关此过程下列说法正确的是 ( )
A．钢丝绳的最大拉力为
B．升降机的最大速度
C．升降机速度由v1增大至v2的过程中，起重机对重物做功为
D．升降机速度由v1增大至v2的过程中，起重机对重物做功为
【答案】BC
【详解】A、匀加速阶段拉力最大，故最大拉力为；故A错误．
B、当重力等于拉力时，速度最大为：，故B正确．
C、D、速度由v1增大至v2的过程中，功率为：，故速度由v1增大至v2的过程，起重机对重物做功为，或者根据动能定理得出，起重机对重物做功为：,故C正确，D错误．
故选BC．
【点睛】本题考查的是汽车的启动方式，对于汽车的两种启动方式，恒定加速度启动和恒定功率启动，对于每种启动方式的汽车运动的过程一定要熟悉．
20．（多选）如图所示，质量m=2kg的物体（可看质点）静置在倾角为37°粗糙斜面上的A点，现利用固定在B点的电动机通过跨过斜面顶端光滑小定滑轮的轻绳将该物体从A点拉升到斜面顶端O点，轻绳均与所在的斜面和平面平行。物体与斜面间的动摩擦因数μ=0.25，轻绳可承受最大的力F=20N，电动机的额定功率P=320W，AO的距离s=175m。若要用最短的时间将物体拉到斜面顶端O点，且物体到达O点前已经达到最大速度。则（已知sin37°=0.6，重力加速度取g=10m/s2）（ ）
A．物体运动过程中的最大速度v=16m/s
B．物体上升过程中最大的加速度am=2m/s2
C．在将物体从A拉到O点的过程中，电动机共做功3200J
D．物体从A运动到O共用时14s
【答案】BCD
【详解】A．对物体受力分析，当
拉力最小，速度最大，根据
代入数据解得
故A错误；
B．根据
物体向上加速，拉力F越来越小，故当F=20N时，加速度最大，根据牛顿第二定律有
代入数据解得
故B正确；
C．根据功能关系，可知在将物体从A拉到O点的过程中，电动机共做功为
故C正确；
D．若要用最短的时间将物体拉到斜面顶端O点，则物体必须先以最大加速度做匀加速运动，再做变加速运动，最后做匀速运动；设经过，物体做匀加速运动的速度达到最大，此时功率也刚好达到额定功率，根据
解得匀加速直线运动的最大速度为
则匀加速运动的时间为
则匀加速运动的位移为
设再经过达到O点，此过程功率保持不变，为额定功率，根据动能定理有
解得
故物体从A运动到O的总时间为
故D正确。
故选BCD。
21．（多选）汽车从静止开始以加速度a0匀加速启动，最后做匀速运动。已知汽车的额定功率为P0，运动过程中所受的阻力恒为F，汽车的速度v随时间t及加速度a、牵引力F和功率P随速度v变化的图象如图所示，其中可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【详解】B．汽车开始做初速度为零的匀加速直线运动，当达到额定功率时，匀加速过程结束，然后做加速度逐渐减小的加速运动，直至最后做匀速运动，加速度为零，故B错误。
ACD．在匀加速阶段，有
故
为恒力；功率
随速度均匀增大，设匀加速过程结束时的速度为，有
故
最后做匀速运动（速度为）时，加速度
牵引力
额定功率
故
匀加速运动结束后，汽车以额定功率行驶，到汽车匀速行驶前，汽车的牵引力F随速度的增大而减小，满足
综上所述，可知选项A、C、D均可能正确，故ACD正确。
故选ACD。
夹角
功的正负
α<90°
力对物体做正功
α>90°
力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功
α＝90°
力对物体不做功
两种模型
以恒定功率启动
以恒定加速度启动
P－t图和v－t图
OA段
过程分析
v↑⇒F＝eq \f(P不变,v)↓⇒a＝eq \f(F－f,m)↓
a＝eq \f(F－F阻,m)不变⇒F不变eq \(⇒,\s\up6(v↑))P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速直线运动
匀加速直线运动，维持时间t0＝eq \f(v1,a)
AB
段
过程分析
F＝f⇒a＝0
⇒f＝eq \f(P,vm)
v↑⇒F＝eq \f(P额,v)↓
⇒a＝eq \f(F－f,m)↓
运动性质
以vm做匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
无
F＝f⇒a⇒0⇒
以vm＝eq \f(P额, f)匀速运动
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