27，广东省云浮市云安区云安中学2024届高三下学期开学考试数学试卷

这是一份27，广东省云浮市云安区云安中学2024届高三下学期开学考试数学试卷，共21页。试卷主要包含了请将各题答案填在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填在答题卡上．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题知，，再求集合交集运算即可.
【详解】解：因为，所以，即，
因为，解得，所以，
所以，.
故选：D
2. 已知i为虚数单位，若复数对应的点在复平面的虚轴上，则实数（ ）
A. B. C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的除法运算整理一般式，可得答案.
【详解】由，您看到的资料都源自我们平台，20多万份最新小初高试卷，家威鑫 MXSJ663 免费下载 结合题意，则，解得.
故选：D.
3. 若半径为的小球可以在棱长均为的四棱锥内部自由转动，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据球与四棱锥内切的条件，即可判断选项.其中：
解法一：利用“等体积法”，即可求解；
解法二：根据内切球半径满足的条件，将其放在三角形中，通过已知条件列方程，结合解三角形知识即可求解.
【详解】解法一：记该四棱锥为四棱锥，如图：

由四棱锥的棱长均为8，得其表面积，高为，则其体积．
当小球的半径最大时，小球与四棱锥的5个面均相切，设此时小球的球心为，半径为，
即为球心到四棱锥四个侧面和底面的高，
四棱锥的体积又可表示为
，
，
，
所以，解得.
故的最大值为．
故选：C.
解法二：记该四棱锥为四棱锥，如图：

连接，，交于点，连接，则该四棱锥的内切球球心在线段上．
设内切球与侧面相切于点，球的半径为，连接，
则平面，且．
连接并延长，交于点，连接，
则为的中点，，．
由四棱锥的棱长均为8，可知，，．
易知，
所以，
即，得，故的最大值为.
故选：C．
4. 已知数列满足，，记，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据递推公式求出数列的前几项，即可判断A、B，依题意可得，即，从而求出数列的通项公式，即可判断C、D.
【详解】因为，，且，
所以，，
所以，故A错误；，故B错误；
又，
故，即，
所以为首项为，公差为的等差数列，故，所以C正确，D错误，
故选：C
5. 在中，，，，则（ ）
A. B. 16C. D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】由得，两边平方后得到，从而利用求出答案.
【详解】由题意得在中，，
故由，，，
得，，
即，
即，
故.
故选：D.
6. 甲乙两人在数独APP上进行“对战赛”，每局两人同时解一道题，先解出题的人赢得一局，假设无平局，且每局甲乙两人赢的概率相同，先赢3局者获胜，则甲获胜且比赛恰进行了4局的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以独立事件同时发生的概率公式去解决即可.
【详解】甲乙两人各自解题是相互独立事件，又知每局中甲乙两人赢的概率相同，
即甲赢的概率为，甲输的概率为.
则甲获胜且比赛恰进行了4局的比赛情况是：甲在前三局中赢了两局，第四局赢了.
其概率是
故选：D
7. 已知奇函数的图象关于直线对称，且在区间上单调，则的值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由条件结合余弦型函数的性质列关系式求.
【详解】因为函数为奇函数，所以，，
又函数的图象关于直线对称，所以，，所以，，
由函数为奇函数且在区间上单调，所以函数在区间，所以函数的周期，所以，又，所以，
故选：C.
8. 已知为坐标原点，是双曲线：的左焦点，为的右顶点，过作的渐近线的垂线，垂足为，且与轴交于点.若直线经过的靠近的三等分点，则的离心率为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，可求得直线的方程，可求得点坐标，进而求出靠近点的三等分点的坐标，再联立直线与渐近线方程，求得的坐标，根据与斜率相等，和双曲线的性质，建立关于离心率的方程，由此即可求出结果.
【详解】由题意，，，，则直线的方程为，
令，得，则，所以靠近点的三等分点的坐标为，
联立，解得，又点，，在一条直线上，
所以，即，化简整理得，
即，即，解得或（舍去），
所以双曲线的离心率为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是求得的坐标，从而得到关于的齐次方程，从而得解.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
9. 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ）
A. 这10年粮食年产量的极差为15
B. 这10年粮食年产量的第65百分位数为33
C. 这10年粮食年产量的中位数为29
D. 前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差
【答案】ABC
【解析】
【分析】ABC选项，由极差，百分位数和中位数的定义求出答案；D选项，根据图形及方差的意义得到D错误.
【详解】A选项，将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，
这10年的粮食年产量极差为，故A正确；
B选项，，结合A选项可知第65百分位数为第7个数33，故B正确；
C选项，从小到大，选取第5个和第6个的数的平均数作为中位数，
这10年的粮食年产量的中位数为，故C正确；
D选项，结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，
所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D错误；
故选：ABC.
10. 已知，则下列选项中正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最大值为
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项结合指数函数的单调性来判断正确性，BCD选项结合基本不等式来判断正确性.
【详解】因为
所以，
所以.
对于项，因为
所以，故A项错误;
对于B项，，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为，
故B项正确;
对于C项，因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故C项正确，
对于D项，因为，
当且仅当，即，时等号成立，
这与矛盾，故D项错误.
故选：BC
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数是偶函数B. 函数是奇函数
C. 函数在上为增函数D. 函数的值域为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用函数单调性的定义及判定方法，可判定A正确，B错误；利用复合函数的单调性可判定C不正确，D正确.
【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称，
又由，
所以函数是偶函数，所以A正确，B错误；
由函数，
当时，，且单调递增，
所以在区间单调递减；
当时，，且单调递增，所以在区间单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
所以函数的值域为，所以C不正确，D正确.
故选：AD.
12. 如图，在长方体中，，点E为的中点，点F为侧面（含边界）上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A. 存在点F，使得B. 满足的点F的轨迹长度为
C. 的最小值为D. 若平面，则线段长度的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设F点坐标，利用空间向量法判断直线的位置关系可判断A；根据，推出F点的坐标满足的关系，可求得F的轨迹长度，判断C；利用点的对称点，结合空间两点的距离公式可判断C；求出平面的法向量，根据空间位置关系的向量证法求出，结合空间两点间距离公式以及二次函数性质，可判断D.
【详解】以A为原点，分别以所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
对于选项A，若，则，
又，所以，
即，此方程无解，所以不存在点F，使得，故A错误；
对于选项B，由，得，
化简可得，即F点轨迹为矩形内的线段，
又，所以当时，得，
当时，得，即满足点F的轨迹长度为，故B正确；
对于选项C，设点C关于平面的对称点为G，则G的坐标为，
则，共线时取等号，故C错误；
对于选项D，，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，
所以平面的一个法向量为，
因为平面，所以，即，
又点，所以，
当时，取得最小值，故D正确．
故选：BD．
【点睛】关键点睛：本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法判断线线和线面位置关系，对于D选项还需结合二次函数性质从而得到其最值.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用角的变换，结合诱导公式，即可求解.
详解】.
故答案为：
14. 在数列中，，，则数列的通项公式为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件可得数列是等差数列，求出其通项即可计算作答.
【详解】由得：，而，
于是得数列是以为首项，为公差的等差数列，
则有，
所以数列的通项公式为：.
故答案为：
15. 将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C三项不同的公益活动中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加A活动，则不同的分配方法有___________种．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分为三种情况：甲单独参加，甲和其中一人和甲和其中两人参加，结合排列组合的知识，即可求解.
【详解】由题意，可分为三种情况：
当甲单独参加A项活动，则有种安排方法；
当甲和其中一人参加A项活动，则有种安排方法；
当甲和其中两人参加A项活动，则有种安排方法，
所以不同的分配方法有种不同的安排方法.
故答案为：.
16. 若对任意，关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为________．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】不等式化为恒成立，由于都是任意实数，因此不等式右边相当于两个函数相加：和，后者设，由导数求得其最小值，前者由二次函数性质得最小值，两者相加即得最小值，从而得的范围，得出结论．
【详解】原不等式化为恒成立，
由于是任意实数，也是任意实数，∴与是任意实数，它们之间没有任何影响，
，当且仅当时等号成立，
设，则，
时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，
所以的最小值是1，
所以的最小值是，
从而，的最大值是．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：不等式恒成立求参数范围问题，一般可采用分离参数法转化为求函数的最值，本题分离参数后，关键是对变量的理解，本题中由于都是任意实数，因此题中与可以看作是两个不同的变量，因此不等式右边转化为两个函数的和，分别求出其最小值后得出结论．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列为等差数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设出等差数列的公差，由求解出公差，则等差数列通项公式可求，则的通项公式可求；
（2）先将通项写成裂项的形式，然后采用裂项相消法求得，根据的结果即可完成证明.
小问1详解】
设等差数列的公差为d，
因为，所以，
所以，
所以．
【小问2详解】
证明：因为，
所以
，
因为，所以.
18. 如图，在正四棱锥中，点，分别是，中点，点是上的一点.
（1）证明：；
（2）若四棱锥的所有棱长为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.
【小问1详解】
如图，连接SO和OE，
因为是正四棱锥，所以平面ABCD，
又因为平面ABCD，所以
因为ABCD是正方形，所以，
又因为点O，E分别是BD，BC中点，所以∥，
所以
又因为，OE、平面SOE，
所以平面SOE，
因为平面SOE，所以.
【小问2详解】
易知OB，OC，OS两两相互垂直，如图，以点O为原点，OB，OC，OS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
因为四棱锥的所有棱长为，所以，，
所以，，，，
设，得，则
，，
设平面SDE的法向量为，则
，解得，取，得，
设直线OF与平面SDE所成角为，则
，
当时，取得最小值，此时取得最大值.
19. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为，且.
（1）求B
（2）若，求的最小值，并判断此时的形状.
【答案】（1）
（2），是直角三角形
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理、两角和的正弦可得，从而可求.
（2）根据面积可得，根据向量关系结合数量积、基本等式可求取得最小值2，此时，从而可求，故可判断三角形形状.
【小问1详解】
由条件得：，
由正弦定理，得，
即，所以，
因为，所以，即，
因为为三角形内角，故，所以，因为，所以.
【小问2详解】
由（1）得，解得，
因为，
所以
，
当且仅当即时，取得最小值2，此时，
又因为，所以，整理得，
因为，所以，所以，所以是直角三角形.
20. 某企业打算处理一批产品，这些产品每箱10件，以箱为单位销售，已知这批产品中每箱都有废品.每箱的废品率只有或者两种可能，且两种可能的产品市场占有率分别为.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱，现处理价格为每箱840元，遇到废品不予更换，以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据.（运算结果保留分数）
（1）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；
（2）现允许开箱，不放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验，已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品
①求此箱是废品率为的概率；
②判断此箱是否可以购买，并说明理由.
【答案】20. 可以购买
21. ①；②可以购买.
【解析】
【分析】（1）求出正品价格的期望值进行判断；
（2）①根据超几何分布的思想分别求出事件A（发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品）及事件（抽取的是废品率为的一箱）的概率及其条件概率；②设事件：抽取的是废品率为的一箱，求出，然后求出已发现在抽取检验的2件产品中恰有一件是废品的情况下正品价格的期望，即可根据期望值进行判断.
【小问1详解】
在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望值为：
，
所以在不开箱检验的情况下，可以购买.
【小问2详解】
①设事件A：发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，
则，
设事件：抽取的是废品率为的一箱，
则，
所以发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品的条件下，此箱是废品率为的一箱的概率为；
②设正品价格的期望值为，则，
事件：抽取的是废品率为的一箱，
则，
所以,
所以在已发现抽取检验的2件产品中恰有一件是废品的情况下，此箱可以购买.
21. 已知点为椭圆的左顶点，点为右焦点，直线与轴的交点为，且，点为椭圆上异于点的任意一点，直线交于点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由，右焦点，以及关系，联立可求解出，从而得椭圆的方程；
（2）设点的坐标为，表示出直线的方程，从而得点的坐标，进而表示出和，计算得，再由，代入化简计算，即可得，所以可证明.
【小问1详解】
由题知，得，
又因为右焦点为，则，
解得，所以，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
设点的坐标为，则，
所以直线的方程是，
当时，，所以点的坐标为，
所以，，
所以.
因为点在椭圆上，所以，即，
所以
，
又因为和是锐角，
所以.
【点睛】一般椭圆中动点问题，需要设出动点坐标，然后根据题意列式计算，再由动点满足椭圆的方程代入化简，即可求出定值.
22. 已知函数，其中．
（1）当时，证明：；
（2）若对任意，都有，求k的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数求得的单调区间，进而证得不等式成立.
（2）将不等式转化为，利用构造函数法，结合多次求导的方法来求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，，所以，
当时，，，，单调递减；
当时，，，，单调递增，
所以，即不等式成立．
【小问2详解】
由题意得对任意，都有，
即，即．
令，可得恒成立，，
令，所以．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，即，所以在上单调递增，
所以恒成立，即恒成立，故只需．
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以只需，解得，所以k的取值范围是．
【点睛】方法点睛：求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间.如果一次求导无法求得函数的单调区间，可考虑利用多次求导的方法来求解.