2021北京166中学高一下学期期中数学试卷及答案

这是一份2021北京166中学高一下学期期中数学试卷及答案，共14页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题）.
1．一支游泳队有男运动员16人，女运动员12人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为7的样本，则抽取男运动员的人数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．已知sinα＝ ，则cs2α＝（ ）
A．﹣ B． C． D．
3．在△ABC中，，若，，则＝（ ）
A．B．C．D．
4．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．设，为非零向量，则“”是“与方向相同”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（a+b）2﹣c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．2
7．已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcsC＝a+ccsB，则该三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰或直角三角形
8．将函数y＝sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，得到的图象恰好关于直线对称，则φ的一个值是（ ）
A．B．C．D．
9．重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合．已知拱桥部分长552m，两端引桥各有190m，主桁最高处距离桥面89.5m，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是（ ）
A．y＝0.45csxB．y＝4.5csx
C．y＝0.9csD．y＝9cs
10．如图，已知圆O的半径为2，AB是圆O的一条直径，EF是圆O的一条弦，且EF＝2，点P在线段EF上，则的最小值是（ ）
A．1B．﹣2C．﹣3D．﹣1
二、填空题（共30分）
11．已知向量，，若，则x＝ ．
12．已知一组数1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数的方差为
13．每年5月17口为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐1的客户可获得优惠200元，选择套餐2的客户可获得优惠500元，选择套餐3的客户可获得优惠300元．根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率．则两位客户选择同一套餐的概率为 ．
14．三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，则＝ ．
15．平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，E是BC的中点，F是AE的中点，则向量＝ ．
16．定义：对于实数m和两定点M，N，在某图形上恰有n（n∈N*）个不同的点Pi，使得，称该图形满足“n度契合”．若边长为4的正方形ABCD中，＝2，＝3，且该正方形满足“4度契合”，则实数m的取值范围是 ．
三、解答题（共80分）
17．已知向量，，且与的夹角为．
（1）求m及；
（2）若与垂直，求实数λ的值．
18．如图，在四边形ABCD中，△ACB与∠D互补，cs∠ACB＝，AC＝BC＝2，AB＝4AD．
（1）求AB的长；
（2）求sin∠ACD．
19．校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．
（Ⅰ）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；
（Ⅱ）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；
（Ⅲ）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？
20．已知函数．
（1）求函数f（x）在区间上的值域；
（2）设，，求sinα的值．
21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角C；
（2）若c＝2，求△ABC面积的最大值．
22．借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图象的旋转问题．试解答下列问题．
（1）在直角坐标系中，点A（，﹣1），将点A绕坐标原点O按逆时针方向旋转到点B．如果终边经过点A的角记为α，那么终边经过点B的角记为+α．试用三角比知识，求点B的坐标；
（2）如图，设向量＝（h，k），把向量按逆时针方向旋转θ角得到向量，求向量的坐标；
（3）设A（a，a），B（m，n）为不重合的两定点，将点B绕点A按逆时针方向旋转θ角得点C，判断C是否能够落在直线y＝x上，若能，试用a，m，n表示相应θ的值，若不能，说明理由．
2021北京166中学高一（下）期中数学
参考答案
一、选择题（共40分）
1．解：由题意知，应抽取男运动员的人数为16×＝4（人）．
故选：B．
2．解：∵sinα＝ ，则cs2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝，
故选：B．
3．解：在△ABC中，，，，如图，则D为BC的一个3等分点，作平行四边形，
则＝＝．
故选：C．
4．解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．
∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P＝+＝．
故选：A．
5．解：对于非零向量，，由⇒与方向相同或相反，
反之，与方向相同⇒，
则“”是“与方向相同”的必要而不充分条件．
故选：B．
6．解：∵csC＝＝＝cs120°＝﹣，
且（a+b）2﹣c2＝4，
∴＝﹣，
即8﹣4ab＝﹣2ab，即ab＝4，
则S△ABC＝absinC＝×4×＝．
故选：C．
7．解：已知△ABC中，满足bcsC＝a+ccsB，
利用正弦定理整理得：sinBcsC＝sinA+sinCcsB，
转换为sin（B﹣C）＝sin（B+C），
故B﹣C＝B+C，整理得C＝0，与三角形的内角相矛盾，
故B﹣C＝π﹣B﹣C，
整理得：2B＝π，解得B＝．
故△ABC为直角三角形，
故选：B．
8．解：函数y＝sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，得到g（x）＝sin（2x+2φ）的图象，
该图象恰好关于直线对称，
故g（）＝sin（2φ）＝±1，
对于A：当φ＝时，函数g（）＝，故A错误；
对于B：当φ＝时，函数g（）＝，故B错误；
对于C：当φ＝时，函数g（）＝，故B错误；
对于D：当φ＝时，函数g（）＝1，故D正确；
故选：D．
9．解：由题意，建立平面直角坐标系，如图所示；
则f（x）＝Acsωx；
其中A＝≈45，
T＝552+190+190＝932≈900，
若按100：1的比例缩小，
则A′＝0.45，T′＝9，ω＝≈＝，
所以函数y＝0.45csx．
故选：A．
10．解：＝（）•（）＝（）•（﹣）＝﹣4，
当P为EF中点时，||min＝＝，
则的最小值为：3﹣4＝﹣1．
故选：D．
二、填空题（共30分）
11．解：∵，，
∴9x﹣18＝0，解得x＝2．
故答案为：2．
12．解：数据1，2，m，6，7的平均数为4，
则＝×（1+2+m+6+7）＝4，
解得m＝4，
所以这组数的方差为
s2＝×[（1﹣4）2+（2﹣4）2+（4﹣4）2+（6﹣4）2+（7﹣4）2]＝．
故答案为：．
13．解：现将频率视为概率．则两位客户选择同一套餐的概率为：
P＝＝．
故答案为：．
14．解：如图，
设BC＝x，AC＝y，
则，解得．
∴tanθ＝．
∴＝．
故答案为：．
15．解：如图，∵ABCD是平行四边形，E是BC的中点，F是AE的中点，
∴，＝＝＝，
且AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，
∴向量＝（）•（）＝＝2﹣﹣＝﹣8．
故答案为：﹣8．
16．【解答】解，如图建立平面直角坐标系，可得N（0，1），M（4，2），
设Pi（x，y），由，可得（x﹣2）2+（y﹣）2＝，
即点Pi的运动轨迹是以（2，）为圆心，半径r＝的圆，只需该圆与正方形有4个交点即可．
如图：当r＝2，即m＝﹣时（图中从内往外第一个圆），有4个交点；
当动圆在图中第二个与第三个之间（从内往外第一个圆）时有4个交点，此时：
＝，∴2＜m＜6．
∴答案为：m＝﹣或2＜m＜6．
三、解答题（共80分）
17．解：（1）根据题意，向量，，
则•＝m，||＝1，||＝，
又由与的夹角为，则有•＝||||csθ，即m＝×，
解可得：m＝1，
则﹣2＝（﹣1，﹣2），故|﹣2|＝＝；
（2）由（1）的结论，m＝1，则＝（1，1），
若与垂直，则（）•＝1+2λ＝0，
解可得：λ＝﹣．
18．解：（1）在△ABC中，由余弦定理得：
AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BCcs∠ACB＝16．
∴AB＝4．
（2）AD＝＝1．
∵∠ACB与∠D互补，∴csD＝﹣cs∠ACB＝﹣．
∴sinD＝．
在△ACD中，由正弦定理得：，
∴sin∠ACD＝＝．
19．解：（1）其它组的频率为
（0.01+0.07+0.06+0.02）×5＝0.8，
所以第4组的频率为0.2，
频率分布图如图：
（2）设样本的中位数为x，则5×0.01+5×0.07+（x﹣85）×0.06＝0.5，
解得x＝，
∴样本中位数的估计值为，平均数为77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10＝87.25；
（3）依题意良好的人数为40×0.4＝16人，优秀的人数为40×0.6＝24人
优秀与良好的人数比为3：2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人，
记“从这5人中选2人至少有1人是优秀”为事件M，
将考试成绩优秀的三名学生记为A，B，C，考试成绩良好的两名学生记为a，b，
从这5人中任选2人的所有基本事件包括：
AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10个基本事件，
事件M含的情况是：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共9个，
所以P（M）＝＝0.9．
20．解：（1），
当x∈[0，]时，，
即当2x+＝时，函数取得最小值为y＝2sin＝﹣，
当2x+＝时，函数取得最大值为y＝2sin＝2，
所以，此时f（x）的值域为．
（2）因为，
所以，，
所以，＝．
21．解：（1）因为，
所以3（sinB﹣sinCcsA）＝sinAsinC，
所以3sinB＝sinAsinC+3sinCcsA＝3sin（A+C），
所以3sinAcsC+3sinCcsA＝sinAsinC+3sinCcsA，
整理得3sinAcsC＝sinAsinC，
因为sinA＞0，
所以sinC＝csC，即tanC＝，
由C为三角形内角得，C＝，
（2）由余弦定理得c2＝a2+b2﹣ab≥ab，当且仅当a＝b时取等号，
故ab≤4，S△ABC＝＝，
故△ABC面积的最大值．
22．解：（1）因为A 坐标为 ，
终点经过点A的角记为 ，
那么可知tan ＝，
将点A绕坐标原点O按逆时针方向旋转言到点B，且终边经过B的角记为 ，
设B坐标为 （x，y），那么
，
因为＝＝＝，
所以，即 x＝2y，
又因为，故 x2+y2＝5，
所以（2y）2+y2＝5，解之得 y1＝﹣1，y2＝1，
于是可知对应 x1＝2y1＝2×（﹣1）＝﹣2，x2＝2y2＝2×1＝2，
又因为B点为 A 点逆时针旋转 ，且 A 点坐标为 ，在第四象限
可知 B 在第四象限或第一象限，故 x＝2，y＝1，
可知 B 坐标为 （2，1）．
（2）过点A作直线AD∥x轴，如图
设
所以h＝r•cs∠BAD，k＝r•sin∠BAD，
所以可知 ，
设，
所以x＝r•cs（∠BAD+θ）
＝
＝，
y＝r•sin（∠BAD+θ）
＝
＝，
因此＝（h•csθ﹣ksinθ，kcsθ+hsinθ）．
（3）因为A（a，a），B（m，n），A，B 不重合，
所以，
由（2）知将点 B 绕 A 逆时针旋转 θ1角后得 C 点 ，
，
因为C 在直线 y＝x 上，又 A 在直线 y＝x 上，
所以 也在直线 y＝x 上，
故 （m﹣a）csθ1﹣（n﹣a）sinθ1＝（m﹣a）sinθ1+（n﹣a）csθ1，
所以（m﹣a）•csθ1﹣（m﹣a）sinθ1＝（n﹣a）csθ1+（n﹣a）sinθ1，
所以（m﹣a）（csθ1﹣sinθ1）＝（n﹣a）•（csθ1+sinθ1），
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
因此．