31，湖南省怀化市雅礼实验学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题

这是一份31，湖南省怀化市雅礼实验学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题，共20页。

1．本试卷共26题，满分120分，考试时量：120分钟；
2．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号、座位号等信息在答题卡上填写清楚；
3．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
一、单项选择题（每小题只有一个选项正确，请按题号用2B铅笔在答卷上填涂方框．该题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 分式的值为零，则的值为（ ）
A. B. 2C. D. 0或2
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零即可解答．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得： ．
故选：B．
【点睛】本题考查分式值为零的条件，掌握分式值为零的条件“分子为零，分母不为零” 是解题关键．
2. 如果将分式中的字母x与y的值分别扩大为原来的5倍，那么这个分式的值（ ）
A. 扩大为原来的5倍B. 扩大为原来的10倍
C. 缩小为原来的D. 不改变
【答案】D
【解析】
【分析】将的字母x与y的值分别扩大为原来的5倍，与原式比较即可．
【详解】解：的字母x与y的值分别扩大为原来的5倍得：您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高
所以，分式值不变．
故选D
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质是解题关键．
3. 下列三个数中，能组成一组勾股数的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. 12，15，9D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此求解即可．
【详解】解：A、三边，，，不是正整数，故本选项不符合题意；
B、三边为1，2，9，且，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
C、，三边是正整数，且符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意．
D、三边，，，不是正整数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股数问题，满足的三个正整数，称为勾股数．
4. 如图，在中，，，是边的垂直平分线，连结，则等于（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理及垂直平分线的性质，根据三角形内角和定理可得，再由垂直平分线性质求得，即可计算出的度数，熟记垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”是解题关键．
【详解】解：，，
，
是边的垂直平分线，
，
，
，
故选：C．
5. 若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理和三个内角的度数之比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的度数进行判断即可．
【详解】解：∵三角形三个内角度数的比为，
∴三个内角分别为：、、，
∴三角形是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和和三角形的分类，熟练掌握三角形的内角和是和三角形的分类是解题的关键．
6. 把不等式x﹣1＜2的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】移项，求出不等式的解集，判断选项；
【详解】解：移项得，x＜1+2，
得，x＜3．
在数轴上表示为：
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解不等式时尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．
7. 若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（ ）
A. 3B. 5C. 3或5D. 3或4
【答案】D
【解析】
【分析】解带参数m的分式方程，得到，即可求得整数m的值．
【详解】解：，
两边同时乘以得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
若m为整数，且分式方程有正整数解，则或，
当时，是原分式方程的解；
当时，是原分式方程的解；
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．
8. 如图，的角平分线与的角平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则两平行线与间的距离为（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质以及平行线之间的距离，先由角平分线的性质得，结合，且，，故点F、P、G三点共线，即可作答．
【详解】解：作于F，于G，
∵是的角平分线，，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，
∵，且，
即点F、P、G三点共线，
∴两平行线与间的距离为，
故选C．
9. 如图，在中，，，是两条中线，P是上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短．由等腰三角形的性质得，则，即最小值是线段的长，从而可得答案．
【详解】连接，
∵，是中线，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴最小值的是．
故选：D．
10. 如图，若点M是等边的边上任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，且点M在边上，连接，则下列结论：，，，，其中正确的个数有个．（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】此题重点考查等边三角的判定与性质、旋转的性质、平行线的判定等知识，证明是等边三角形是解题的关键．设交于点，由等边三角形的性质得 由旋转得，则可证明所以是等边三角形，则 ， 可判断③符合题意； 若则求得 ， 与点是边上任意一点这一条件不符，可判断①不符合题意；若则，与点是边上任意一点这一条件不符，可判断②不符合题意；由得，可知与不一定平行， 可判断④不符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：设交于点，
∵是等边三角形，
∴，
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴
∴，，
∴是等边三角形，
∴，故③符合题意；
若则
与点是边上任意一点这一条件不符，
∴与不一定垂直，故①不符合题意；
若则，
与点是边上任意一点这一条件不符，
不一定等于故②不符合题意；
∴与不一定平行，故④不符合题意，
故选：A．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 有一种新冠病毒直径为0.000000012米，数0.000000012用科学记数法表示为________．
【答案】1.2×10-8
【解析】
【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解．
【详解】解：0.000000012=1.2×10-8．
故答案为：1.2×10-8
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键．
12. 已知等腰三角形的两条边长分别是8和3，则此等腰三角形的周长是_________．
【答案】
【解析】
【分析】将8和3分别作为腰分类讨论即可．
【详解】解：当8为腰时，三边为：8，8，3，
则周长为，
当3为腰时，三边为：8，3，3，
根据三角形三边关系：，
故不能构成三角形．
故答案为：
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，相关知识点有：三角形三边关系，准确分类讨论是解题关键．
13. 如图，在中，，点D是的中点，，则________．

【答案】4
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求解即可．
【详解】解：∵，点D是的中点，，
∴，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
14. 若a，b为有理数，且，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，实数的性质．熟练掌握二次根式的化简，合并同类二次根式，实数的性质，是解题的关键．实数的性质：如果两个实数相等，那么这两个实数的有理数部分和无理数部分分别相等．
先把等式的左边化简，合并同类二次根式，再利用实数的性质可得答案．
【详解】∵，
且，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
15. 不等式组的解集为，则m的取值范围为_______．
【答案】m≤2
【解析】
【分析】先求出不等式①的解集，再根据已知条件判断m范围即可．
【详解】解：，
解①得：，
又因为不等式组的解集为x>2
∵x>m，
∴m≤2，
故答案为：m≤2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m的范围是解此题的关键．
16. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm，S△ABC＝30cm2，则AB＝___.
【答案】
【解析】
【分析】先根据直角三角形的面积公式求出另一条直角边AC，再根据勾股定理即可求得结果．
【详解】∵，
∴，得，
则．
故答案为：．
考点：本题考查的是直角三角形的面积公式，勾股定理
【点睛】解答本题的关键是掌握好直角三角形的面积公式，灵活运用勾股定理解决问题．
17. 若关于x的方程有增根，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到的值，代入整式方程进行求解．
【详解】解，
去分母，得：，
整理，得：，
∵方程有增根，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查含参数的分式方程．解题的关键是掌握增根的定义：使整式方程成立，分式无意义的未知数的值，是解题的关键．
18. 一列数，其中， ， ，， ，则______．
【答案】1010
【解析】
【分析】本题考查数字的变化类，根据题意，可以写出这列数的前几个数，然后即可发现数字的变化特点，从而可以求得所求式子的值．解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．
【详解】解：由题意可得，
，
故上面的数据以为一个循环，依次出现，
∴

故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. （1）计算：
（2）解方程：．
【答案】（1）0；（2）
【解析】
【分析】（1）根据零指数幂、算术平方根、负整数指数幂的法则计算即可；
（2）去分母化为整式方程，解方程后检验即可得到答案．
【详解】解：（1）
（2）
方程两边同乘，得
，
解得．
检验：当时，，
∴原方程的解为．
【点睛】此题考查了实数的混合运算和解分式方程，熟练掌握零指数幂、算术平方根、负整数指数幂的法则以及分式方程的解法是解题的关键．
20. 先化简，再代入求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先对算式进行化简，再把代入到化简后的结果中进行计算即可求解，掌握分式的运算是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
，
，
，
把代入得，
原式．
21. 对于不等式组．
（1）求这个不等式组的解集，并在数轴上表示出来；
（2）写出这个不等式组的整数解．
【答案】（1），在数轴上表示见解析
（2）3，4
【解析】
【分析】（1）先求出每个不等式的解集，再取其公共部分即得不等式组的解集，进而可在数轴上表示；
（2）根据不等式组的解集解答即可．
【小问1详解】
，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为；
不等式组的解集在数轴上表示如下：
【小问2详解】
不等式组的整数解为：3，4．
【点睛】本题考查了不等式组的解集和在数轴上表示不等式组的解集，属于基础题型，熟练掌握解一元一次不等式的方法是关键．
22. 如图，已知，点在上，，垂足分别为，．
（1）求证：．
（2）如果，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的性质得到，再利用直角三角形全等判定定理证明即可；
（2）根据全等三角形的性质，将四边形的面积转化为两个三角形的面积计算即可．
【小问1详解】
证明：∵，，，
∴．
在和中，
，
∴．
【小问2详解】
解：∵
∴
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练运用全等三角形的性质以及面积公式是解决本题的关键．
23. 如图，中，AB=9cm，AC=6cm，两内角平分线BO和CO相交于点O．

（1）若∠A=70º，求∠BOC的度数．
（2）若直线DE过点O，与AB、AC分别相交于点D、E，且DE//BC，求的周长．
【答案】（1）；（2）15cm
【解析】
【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
（2）根据平行线的性质和角平分线的性质，得到∠DBO=∠DOB，则BD=OD，同理可得OE=EC，即可求出三角形的周长.
【详解】解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°∠A=180°70°=110°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线BO，CO相交于点O，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×110°=55°，
在△BOC中，∠BOC=180°（∠OBC+∠OCB）=180°55°=125°．
（2）如图：

∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC，
又∵BO是∠ABC的角平分线，
∴∠DBO=∠OBC，
∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=OD，
同理：OE=EC，
∴△ADE的周长=AD+OD+OE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=15cm．
【点睛】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定及性质，角平分线的性质和三角形内角和定理，正确证明△OBD、△EOC均为等腰三角形是关键．
24. 市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．
（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天需付费用3万元，乙队工作一天需付费用2.4万元，如需改造的道路全长900米，改造总费用不超过63万元，至少安排甲队工作多少天？
【答案】（1）甲工程队每天能改造道路45米，乙工程队每天能改造道路30米．（2）至少安排甲队工作15天．
【解析】
【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据总费用=甲队每天所需费用×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过63万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲工程队每天能改造道路的长度为45米，乙工程队每天能改造道路的长度为30米；
（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，
根据题意得：，
解得：，
答：至少安排甲队工作15天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
25. 观察下列等式：
，，，…….
（1）猜想并写出： ．
（2）试计算的值．
（3）直接写出下面式子的计算结果：
① ；
②
【答案】（1）
（2）
（3）①②（或）
【解析】
【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中式子的变化特点，求出所求式子的值．
（1）根据题目中的式子可以写出第n个式子的结果；
（2）根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值；
（3）①根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值；②根据题目中的式子的特点和（1）中的结果，可以求得所求式子的值；
【小问1详解】
由，
故答案为：；
【小问2详解】
由（1）得，
；
【小问3详解】
①
；
②
；
26. 问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请你给出证明；
变式拓展：如图2，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F．试解决下列问题：
①与还相等吗？为什么？
②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】问题情境：相等，理由见解析；变式拓展：①，见解析；②，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，角平分线的性质；
问题情境：过点作于，于．根据角平分线的性质定理可得，，从而证得，即可求证；
变式拓展：①过点作于，于．根据角平分线性质定理可得，，从而证得，即可求解；
②先证得，可得，再由，可得，从而得到，再由直角三角形的性质，即可求解．
【详解】问题情境：证明：如图1，过点作于，于．
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
变式拓展：解：①结论：．理由如下：
如图2，过点作于，于．
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②结论：．理由如下：
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．