2024年中考数学一轮复习 考点三：方程（组）和不等式（组） 专题训练（长沙专用）

这是一份2024年中考数学一轮复习 考点三：方程（组）和不等式（组） 专题训练（长沙专用），共14页。试卷主要包含了等式的性质，方程，方程的解，二元一次方程组的解法，因式分解法，下列方程等内容，欢迎下载使用。
一元一次方程的解法（8年2考）
一元一次不等式（组）的解法及解集表示（8年7考）
方程（组）与不等式的实际应用（8年10考，选择题3次，解答题7次）
知识整合：
一次方程（组）
（一）方程和方程的解的概念
1.等式的性质
(1)等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式
(2)等式两边都乘以(或除以)同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式
2.方程:含有未知数的等式叫做方程
3.方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解;求方程的解的过程叫做解方程
（二）一元一次方程及其解法
1.一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程。它的一般形式为ax+b=0(a≠0). 注意:x前面的系数不为 0.
2.一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解
（三）二元一次方程(组)及解的概念
1.二元一次方程:含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程
2.二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解.
3.解二元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程5.二元一次方程组的解法
代入消元法:将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程
(2)加减消元法:将方程组中两个方程通过适当变形后相加(或相减)消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，
（四）一次方程(组)的应用
1.列方程(组)解应用题的 般步骤
(1)审题;(2)设出未知数;(3)列出含未知数的等式—方程;(4)解方程(组);(5)检验结果;(6)作答
2.一次方程(组)常见的应用题型
(1)销售打折问题:利润=售价-成本价;利润率=利润成本x100% ; 售价=标价x折扣; 销售额=售价x数量
(2)储蓄利息问题:利息=本金x利率x期数; 本息和=本金+利息=本金x(1+利率x期数);贷款利息=贷款额x利率x期数.
(3)工程问题:工作量=工作效率x工作时间
(4)行程问题:路程=速度x时间.
(5)相遇问题:全路程=甲走的路程+乙走的路程
(6)追及问题(同地不同时出发):前者走的路程-追者走的路程,
(7)追及问题(同时不同地出发):前者走的路程+两地间距离=追者走的路程
(8)水中航行问题:顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度-水流速度
二、不等式和不等式组
考情总结:列不等式(组)解决实际问题常与一元一次方程、一次函数等综合考查，涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等，列不等式时，要抓住关键词，如不大于、不超过、至多用:“≦”连接，不少于、不低于、至少用“≥”连接.
三、一元二次方程
（一）一元二次方程的概念
1.一元二次方程:只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程
2.一般形式:ax2 +bx+c=0(其中a,b,c为常数，a≠0)，其中ax2 、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a,b分别称为二次项系数和一次项系数.
注意:
(1)在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0，因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程;
(2)一元二次方程必须具备三个条件:①必须是整式方程;②必须只含有一个未知数;③所含未知数的最高次数是2.
（二）一元二次方程的解法
1.直接开平方法: 适合于(x±a)2 =b(b ≥0)或(ax±b)2=(cx±d)2形式的方程
2.配方法:
(1)化二次项系数为1;
(2)移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项;
(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
(4)把方程整理成(x±a)2 =b(b ≥0)的形式;
(5)运用直接开平方法解方程
3.公式法:
(1)把方程化为一般形式，即ax2 +bx+c=0;
(2)确定a,b,c的值;
(3)求出b2- 4ac 的值；
(4)将a,b,c的值带入x=−b±b2−4ac2a 即可。
4.因式分解法:基本思想是把方程化成(ax+b)(cx+d)=0的形式，可得ax+b=0或cx+d=0
（三）一元二次方程根的判别式及根与系数关系
1.根的判别式:一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)是否有实数根，由b2- 4ac的符号来确定，我们把b2- 4ac 叫做一元二次方程根的判别式
2.根与系数关系:对于一元二次方程ax2 +bx+c=0(其中a,b,c为常数，a≠0)，设其两根分别为x1 ，x2，则x1 +x2 = - ba ，x1 ·x2 = ca
（四）利用一元二次方程解决实际问题
列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步.列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容
1.增长率等量关系
2.利润等量关系
3.面积问题
(1)类型 1:如图1所示的矩形 ABCD长为a，宽为b，空白“回形”道路的宽为x，则阴影部分的面积为(a-2x)（b-2x)
(2)类型2:如图2所示的矩形ABCD长为a,宽为b,阴影道路的宽为x,则空白部分的面积为(a-x)(b-x)
(3)类型3:如图3所示的矩形 ABCD长为a，宽为b，阴影道路的宽为x，则4块空白部分的面积之和可转化为(a-x)(b-x).
4.碰面问题(循环问题)
(1)重叠类型(双循环):n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为 m。
m=12n（n-1）
(2)不重叠类型(单循环):n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为 m。m=n（n-1）
01 基础题夯实
一、选择题
1.下列说法中，正确的是( )
A．若ac＝bc，则a＝bB．若eq \f(a,c)＝eq \f(b,c)，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝bD．若|a|＝|b|，则a＝b
2.若a＜b，则下列结论不一定成立的是( )
A．a－1＜b－1 B．2a＜2b
C．－eq \f(a,3)＞－eq \f(b,3) D．a2＜b2
3.若关于x的一元一次方程ax＋b＝0(a≠0)的解是正数，则( )
A．a，b异号B．b＞0
C．a，b同号D．a＜0
4.已知方程7x＋2＝3x－6与x－1＝k的解相同，则3k2－1的值为( )
A．18 B．20 C．26 D．－26
5.不等式x＋1≥2x－1的解集在数轴上表示为( )
6.不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－2x＜3，,\f(x＋1,2)≤2))的正整数解的个数是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
7.不等式eq \f(1,3)(x－m)＞3－m的解集为x＞1，则m的值为( )
A．1 B．－1 C．4 D．－4
8.轮船在静水中的速度为20 km/h，水流速度为4 km/h，从甲码头顺流航行到乙
码头，再返回甲码头，共用5 h(不计停留时间)，求甲、乙两码头间的距离．设
甲、乙两码头间的距离为x km，则列出的方程正确的是( )
A．(20＋4)x＋(20－4)x＝5B．20x＋4x＝5
C.eq \f(x,20)＋eq \f(x,4)＝5D.eq \f(x,20＋4)＋eq \f(x,20－4)＝5
9.将方程2x＋y＝3写成用含x的式子表示y的形式，正确的是( )
A．y＝2x－3 B．y＝3－2x C．x＝eq \f(y,2)－eq \f(3,2) D．x＝eq \f(3,2)－eq \f(y,2)
10.下列方程：① 2x－eq \f(1,y)＝0；② 3x＋y＝0；③ 2x＋xy＝1；④ 3x＋y－2x＝0；
⑤ x2－x＋1＝0中，二元一次方程的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11.已知－eq \f(4,7)y2m－5xn＋1与eq \f(3,5)xm＋2yn－2是同类项，则m－n等于( )
A．－1 B．1 C．－7 D．7
12.下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A．ax2＋2＝x(x＋1) B．x2＋eq \f(1,x)＝3
C．x2＋2x＝y2－1 D．3(x＋1)2＝2(x＋1)
13. 若方程是关于的一元二次方程,则的范围是（ ）.
A. B． C． D．且
14.已知是关于的一元二次方程的一个解，
则的值是（ ）
A．1 B．-1 C．0或1 D．0或-1
15.等腰三角形的两边长为方程x2－7x＋10＝0的两根，则它的周长为( )
A．12 B．12或9 C．9 D．7
16.已知方程可以配方成的形式, 那么可以配方成下列的（ ）.
A． B． C． D．
17.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十
一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装
有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相
等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两(袋子重量忽略不计)，问黄金、白银每枚
各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组( )
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(11x＝9y,（10y＋x）－（8x＋y）＝13)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(10y＋x＝8x＋y,9x＋13＝11y))
C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9x＝11y,（8x＋y）－（10y＋x）＝13)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9x＝11y,（10y＋x）－（8x＋y）＝13))
18.某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行(或列)，则列方程得( )
A．(8－x)(10－x)＝8×10－40 B．(8－x)(10－x)＝8×10＋40
C．(8＋x)(10＋x)＝8×10－40 D．(8＋x)(10＋x)＝8×10＋40
19.在一幅长为，宽为的矩形风景画的四周镶一条相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）
A．B．
C．D．第12题
第12题
第12题
第12题
第12题
第12题
20.渝路内江至成都全长170千米，一辆小汽车和一辆客车同时从内江、成都两地相向开出，经过1小时10分钟相遇.相遇时，小汽车比小客车多行驶20千米.设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/小时和y千米/小时，则下列方程组正确的是( )
A. B. C. D.
21..甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜，A，B两处所购买
的西瓜质量之比为3：2，然后将买回的西瓜以从A，B两处购买单价的平均数为单价全部
卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为( )
A．商贩A的单价大于商贩B的单价 B．商贩A的单价等于商贩B的单价
C．商贩A的单价小于商贩B的单价 D．赔钱与商贩A，B的单价无关
填空题
22.一项工程，甲单独完成需要20天，乙单独完成需要25天，由甲先做2天，然后甲、乙一起做，余下的部分还要做________天才能完成．
23.为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1 200元购买篮球和排球(各至少买
1个)，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有
________种．
24.一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官有________名，士兵有________名．
25.有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人.绵阳市仙海湖某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载游客的人数为__________.
26.当a＝________时，方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋y＝3，,ax＋2y＝4－a)) 的解也是x＋y＝1的一个解．
27.已知关于x的不等式(3＋a)x