1 第七章 复数 典型例题讲解-2023-2024学年高一数学下学期期中期末高效复习（人教A版必修第二册）

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一、基本概念回归
二重点例题（高频考点）
高频考点一：复数的实部与虚部
高频考点二：根据复数相等求参数
高频考点三：根据复数类型求参数
高频考点四：复数的几何意义
高频考点五：复数求模
高频考点六：复数的四则运算
高频考点七：根据复数运算结果求参数
高频考点八：共轭复数
高频考点九：复数的三角形式
一、基本概念回归
1、复数的概念
① 定义形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，叫做实部，叫做虚部.全体复数所成的集合叫做复数集.复数通常用字母表示，即
② 分类：
当，为实数；
当，为虚数；
当且，为纯虚数
2、复数相等
，，
也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等.特别说明：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小.
3、共轭复数
的共轭复数记作 .
4、 复数的几何意义
①复数的几何意义
复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系(复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量)相等的向量表示同一个复数.
② 复数的模
向量 的模叫做复数的模，记作 或，表示点到原点的距离，
即
5、 代数形式的四则运算
(1)运算法则设，
①
②
③，
④ （）
6、复数的三角形式
一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式.
注意：复数三角形式的特点口诀：“模非负，角相同，余弦前，加号连”
7、复数的俯角
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.
复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.
我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.
通常记作，即.
8、复数三角形式的乘法
设，的三角形式分别是：，，则
简记为 ：模数相乘，幅角相加
9、复数三角形式的除法
设，，且，
因为，
所以根据复数除法的定义，有.
10、复数的乘方及其几何意义
利用复数的乘法不难得到.
这说明,复数的次方等于它模的次方,幅角的倍.
的几何意义是将向量的模变为原来的次方,然后再将它绕原点逆时针旋转角,就得到对应的向量.
二重点例题（高频考点）
高频考点一：复数的实部与虚部
1．（2023秋·山西·高三校联考期末）已知复数满足，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．1
2．（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为
A．iB．C．D．1
3．（2023·高一课时练习）如果复数的实部与虚部互为相反数，那么______．
4．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）若复数（i是虚数单位）的共轭复数是，则的虚部是______．
5．（2023·高一课时练习）设复数满足（是虚数单位），则的实部是_________
6．（2023·高一课时练习）已知复数的实部与虚部的差为．
(1)若，且，求复数的虚部；
(2)当取得最小值时，求复数的实部．
高频考点二：根据复数相等求参数
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，其中，为实数，则（ ）
A．1B．3C．D．5
2．（2023·全国·高三专题练习）设，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·高一课时练习）若（，为虚数单位），则______．
4．（2023·高一课时练习）若共轭复数x，y满足，则x，y共有______组解．
5．（2023·高一课时练习）满足的复数为______．
6．（2023·上海·高三专题练习）已知方程有两个虚根，，若，则m的值是___________.
高频考点三：根据复数类型求参数
1．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 ，i为虚数单位，若z是纯虚数，则a的值是（ ）
A．1B．0或1C．-1D．0
2．（2023春·北京·高三北京市陈经纶中学校考开学考试）设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为（ ）
A．-3B．3C．1D．-1
3．（2023秋·湖南株洲·高三校联考期末）若为纯虚数，则复数的虚部为__________.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知复数是实数，复数是纯虚数，则实数的值为______
5．（2023·高一课时练习）求同时满足下列两个条件的所有复数．
①；
②的实部和虚部都是整数．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知复数（是虚数单位）．
(1)若z是实数，求实数m的值；
(2)设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知复数，试求实数m的值或取值范围，使得z分别为：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数.
8．（2023·高一课时练习）已知复数，，其中为实数，为虚数单位.
（1）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围；
（2）若是实数（是的共轭复数），求的值.
高频考点四：复数的几何意义
1．（2023·高一课时练习）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求：
(1)点D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积．
2．（2023·河北·高三学业考试）已知是复数，、均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
3．（2023·高一课时练习）设为关于的方程（）的虚根，为虚数单位.
（1）当时，求、的值；
（2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围.
4．（2023·高一课时练习）已知复数z满足，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设在复平面上的对应点分别为A､B､C，求△ABC的面积.
5．（2023·高一课时练习）已知复数，分别对应向量、（为原点），若向量对应的复数为纯虚数，求的值．
6．（2023·高一课时练习）实数m取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件?
（1）位于第四象限；
（2）位于第一、三象限；
（3）位于直线上.
高频考点五：复数求模
1．（2023·上海·统考模拟预测）设且，满足，则的取值范围为________________．
2．（2023·高一课时练习）已知，，，则______．
3．（2023·高一单元测试）设复数，满足，，，则_____________．
4．（2023·高一课时练习）已知复数（i为虚数单位），求复数的模．
5．（2023·全国·高一专题练习）设复数，满足，，求的值．
6．（2023·高一课时练习）已知，，．
（1）若、都是实数，求；
（2）在（1）的条件下，若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围；
（3）若是纯虚数，且，求．
7．（2023·高一课时练习）已知复数和，i为虚数单位，求的最大值和最小值．
8．（2023·高一课时练习）已知复数满足（为虚数单位），
（1）求复数；
（2）若，求的取值范围．
高频考点六：复数的四则运算
1．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）复数，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）设复数，其在复平面内的对应的点记为Z，则（ ）．
A．z的虚部为B．C．Z在第四象限D．
3．（2023春·北京海淀·高三清华附中校考开学考试）已知复数，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（2023春·青海西宁·高三统考开学考试）设复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·天津红桥·高三统考开学考试）已知，其中是虚数单位，则（ ）
A．1B．3C．D．
6．（2023·全国·模拟预测）若复数z满足，则z的实部是（ ）
A．B．C．D．
高频考点七：根据复数运算结果求参数
1．（2023·全国·模拟预测）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．3B．4C．5D．7
3．（2023·河南·校联考模拟预测）设复数满足.若，则实数（ ）
A．2或B．或C．或D．1或
4．（2023·高三课时练习）已知，且，则______.
5．（2023·高一课时练习）已知 ，且（i是虚数单位），求a，b的值．
6．（2023·高一课时练习）复数，其中为虚数单位．
(1)求及；
(2)若，求实数，的值．
高频考点八：共轭复数
1．（2023·全国·高三专题练习）在复平面内，复数，则对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（2023秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．3
3．（2023·高一课时练习）以下4个式子：①；②；③；④，正确的是______（写出正确编号）．
4．（2023秋·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）已知复数（i是虚数单位），则z的虚部为______．
5．（2023·高一课时练习）已知复数，，是虚数单位．
（1）求证；
（2）若为实数，求实数的值
高频考点九：复数的三角形式
1．（2023·高一课时练习）计算：（ ）．
A．；B．；
C．；D．．
2．（2023·高一课时练习）已知为虚数单位，，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·高一课时练习）回答下面两题
(1)求证：；
(2)写出下列复数z的倒数的模与辐角：
①；②；③．
4．（2023·高一课时练习）如果复数，，（其中，，i为虚数单位）．求证：．
5．（2023·高一课时练习）棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立．指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则．已知的辐角主值为，的辐角主值为，利用棣莫弗定理猜测的辐角，并证明．
6．（2023·高一课时练习）设i为虚数单位，n为正整数，．
(1)观察，，，…猜测：（直接写出结果）；
(2)若复数，利用（1）的结论计算．