江苏省扬州市2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题(A)(学生版+解析)

这是一份江苏省扬州市2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题(A)(学生版+解析)，共27页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(全卷满分150分，考试时间120分钟)
2023年6月
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足(为虚数单位)，则在复平面上所对应的点位于( ).
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的75百分位数为( ).
A. 2.75B. 2.80C. 2.81D. 2.82
3. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，求角B时，解的情况是( ).
A. 无解B. 一解C. 两解D. 无数解
4. 已知向量与的夹角为，，，则( ).
A. B. C. 或D. 以上都不对
5. 已知、m为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是( ).
A. 若，，则
B 若，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，则
6. 如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度.他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，测得，，在两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，则大运塔的高为( ).

A B. C. D.
7. 已知，，则( ).
A B.
C. D. 或
8. 如图，在一个质地均匀的正八面体木块的八个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.连续抛掷这个正八面体木块两次，并记录每次正八面体与地面接触的面上的数字，记“第一次记录的数字为奇数”为事件A，“第二次记录的数字为偶数”为事件B，“两次记录的数字之和为奇数”为事件C，则下列结论正确的是( ).
A. B与C是互斥事件B. A与B不是相互独立事件
C. D. A与C是相互独立事件
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有( ).

A. B.
C. D.
10. 从甲厂和乙厂生产的同一种产品中各抽取10件，对其使用寿命(单位：年)的检测结果如下表：
记甲工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为；乙工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为.则下列选项正确的有( ).
A. B.
C. D.
11. 在中，已知，AD为的内角平分线且，则下列选项正确的有( ).
A. B.
C. D. 的面积最小值为
12. 已知函数在区间上有且仅有3个不同零点，则下列选项正确的有( ).
A. 在区间上有且仅有3条对称轴
B. 的最小正周期不可能是
C. 的取值范围是
D. 在区间上单调递增
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，双空题第一空2分，第二空3分.
13. 已知非零向量与的夹角为45°，，向量在向量上投影向量为，则_____________.
14. 写出一个同时具有下列两个性质的复数______.
性质1： 性质2：
15. 已知角的终边经过点，且满足，则实数______.
16. 已知正方体的棱长为2，点是底面(含边界)上一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为45°，则的取值范围为____________；当取得最小值时，四棱锥的外接球表面积为____________.
四、解答题：本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，，.
(1)若，试判断，能否构成平面的一组基底？并请说明理由.
(2)若，且，求与的夹角大小.
18. 如图，在棱长为1的正方体中，E为棱的中点.

(1)求证：平面；
(2)求点D到平面的距离.
19. 某村为响应国家乡村振兴战略，扎实推动乡村产业，提高村民收益，种植了一批琯溪蜜柚.现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量(单位：千克)均分布在区间内，并绘制了如图所示的频率分布直方图：

(1)按分层随机抽样的方法从质量落在区间，的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量至少有一个小于3.5千克的概率；
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：
A所有蜜柚均以20元/千克收购；
B.低于4.5千克蜜柚以70元/个的价格收购，高于或等于4.5千克的蜜柚以90元/个的价格收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
20. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，D、E分别为SB，AB的中点.

(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值.
21. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求角C的大小；
(2)若D是边AB的三等分点(靠近点A)，.求实数t的取值范围.
22. 已知函数，(，)
(1)若，，证明：函数在区间上有且仅有个零点；
(2)若对于任意的，恒成立，求的最大值和最小值.
2022-2023学年度第二学期期末调研测试
高一数学(A)
(全卷满分150分，考试时间120分钟)
2023年6月
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足(为虚数单位)，则在复平面上所对应的点位于( ).
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求复数，再结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，则，
所以在复平面上所对应的点为，位于第三象限.
故选：C.
2. 已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的75百分位数为( ).
A. 2.75B. 2.80C. 2.81D. 2.82
【答案】B
【解析】
【分析】由于样本数据是从小到大排列的，由百分位数的定义得到第75百分位数是第8个数．
【详解】因为10个样本数据是从小到大排列的，且，
所以第75百分位数是第8个数2.80．
故选：B
3. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，求角B时，解的情况是( ).
A. 无解B. 一解C. 两解D. 无数解
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理结合大边对大角求解即可.
【详解】因为，，，
由正弦定理可得：，则，
所以，因为，所以，
所以角B有两解.
故选：C.
4. 已知向量与的夹角为，，，则( ).
A. B. C. 或D. 以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】由向量模的坐标运算及数量积的运算律可得，再由数量积的定义求解即可.
【详解】因为，所以，又，所以，
因为向量与的夹角为，所以，
所以.
故选：B
5. 已知、m为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是( ).
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，，则
D. 若，，，则
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系，对选项逐一分析判断，选出正确的命题即可.
【详解】对于选项A，因为，则垂直平面内任意一条线，又，所以，
所以，则有，所以选项A正确；
对于选项B，当，时，有或，所以选项B错误；
对于选项C，当，，，时，与可以相交，所以选项C错误；
对于选项D，若，，时，有或与异面，所以选项D错误.
故选：A.
6. 如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度.他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，测得，，在两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，则大运塔的高为( ).

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据仰角分别得出,，在中由余弦定理即可求出.
【详解】由题意得，在直角中，，所以，
在直角，，所以，即，
中，，，
由余弦定理得，
即，因为，所以解得.
即大运塔高为.
故选：B
7. 已知，，则( ).
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】先将用两角差的正弦公式化简得到，两边平方即可求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后利用两角差的正弦公式计算可得到.
【详解】因为，所以，
即，所以，
所以，
即，即，所以，
因为，所以，
又，所以，即，
所以，所以，
所以
.
故选：C
8. 如图，在一个质地均匀的正八面体木块的八个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.连续抛掷这个正八面体木块两次，并记录每次正八面体与地面接触的面上的数字，记“第一次记录的数字为奇数”为事件A，“第二次记录的数字为偶数”为事件B，“两次记录的数字之和为奇数”为事件C，则下列结论正确的是( ).
A. B与C是互斥事件B. A与B不是相互独立事件
C. D. A与C是相互独立事件
【答案】D
【解析】
【分析】根据互斥事件，独立事件的概念以及古典概型概率计算公式逐项分析即可得出答案.
【详解】对于选项A，事件C，两次记录的数字之和为奇数，说明是一奇一偶，即事件B与事件C可以同时发生，不是互斥事件，故选项A错误；
对于选项B，对于事件A与事件B，，，，满足，故A与B是相互独立事件，选项B错误；
对于选项C，由题意可得，，，，
，故，选项C错误；
对于选项D，，，，满足，故A与C是相互独立事件，选项D正确；
故选：D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有( ).

A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解.
【详解】选项A：由题意知，E、F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确；
选项B：由图可知，，，所以，故B正确；
选项C：，所以C错误；
选项D：，故D错误.
故选：AB.
10. 从甲厂和乙厂生产的同一种产品中各抽取10件，对其使用寿命(单位：年)的检测结果如下表：
记甲工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为；乙工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为.则下列选项正确的有( ).
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意，由众数，平均数，极差以及方差的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，，
，
，
，，
，
，
则，，，，
故选：BD
11. 在中，已知，AD为的内角平分线且，则下列选项正确的有( ).
A. B.
C. D. 的面积最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用等面积法得到，即可判断A，再利用基本不等式求出的最小值，即可判断D，利用余弦定理判断B、C.
【详解】依题意，即，
所以，所以，故A正确；
，所以，当且仅当时取等号，
所以或(舍去)，
则，当且仅当时取等号，故D正确；
又，，
即，，
所以，
又，即，
所以，
所以，
即，所以，故C正确；
由余弦定理，
即
，
所以，由于由已知条件无法得知的值，
故无法确定的值，故B错误.

故选：ACD.
12. 已知函数在区间上有且仅有3个不同零点，则下列选项正确的有( ).
A. 在区间上有且仅有3条对称轴
B. 的最小正周期不可能是
C. 的取值范围是
D. 在区间上单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】令 , 则 , 由函数 在区间 上有且仅有 3个零点， 即 有 3 个整数符合, 可求出 判断 C, 再利用三角函数的性质可依次判断A B D.
【详解】
令 , 则 ，
函数 在区间 上有且仅有 3个不同零点, 即 有 3个整数符合,
由 , 得，则 ，
即 ,
, 故C正确;
对于A， ,,
,当 时, 在区间 上有且仅有3条对称轴；当 时, 在区间有且仅有 4 条对称轴，故 A错误；
对于 B, 周期 , 由 , 则 ,,
又 , 所以 的最小正周期不可能是，故 B 正确;
对于D ,,,,
,又, 所以 区间 上单调递增, 故 D 正确.
故选: BCD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，双空题第一空2分，第二空3分.
13. 已知非零向量与的夹角为45°，，向量在向量上投影向量为，则_____________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据投影向量的概念分析运算.
【详解】由题意可知：.
故答案为：2.
14. 写出一个同时具有下列两个性质的复数______.
性质1： 性质2：
【答案】(写出其中一个即可)
【解析】
【分析】设，根据条件列式计算可得，即可得解.
【详解】设，则，从而，
因为，所以，解得，
因为，所以，解得，
所以.
故答案为：(写出其中一个即可).
15. 已知角的终边经过点，且满足，则实数______.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求得，再利用两角和正切公式化简求解即可.
【详解】因为角的终边上有一点，所以，
因为点在第一象限，不妨取，
所以等价于.
因为，
所以，
所以，所以，解得.
故答案为：
16. 已知正方体的棱长为2，点是底面(含边界)上一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为45°，则的取值范围为____________；当取得最小值时，四棱锥的外接球表面积为____________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】作出辅助线，得到点轨迹为以为圆心，2为半径的圆位于底面内的部分，数形结合得到的最值，得到取值范围；再作出辅助线，找到球心位置，利用半径相等列出方程，求出外接球半径，得到外接球表面积.
【详解】连接，因为⊥平面，
所以即为线AP与平面所成的角，
因为平面平面，
故直线AP与平面所成的角等于直线AP与平面所成的角，
故，在中，，
故点轨迹为以为圆心，2为半径的圆位于底面内的部分，
故连接，与圆弧交于点，当与重合时，取得最小值，最小值为，
当与或重合时，取得最大值，最大值为2，
故的取值范围是；
连接相交于点，连接与相交于点，连接，则，，
球心在上，连接，则，
其中，设，则，
由勾股定理得，
，
故，解得，
则，
当取得最小值时，四棱锥的外接球表面积为.
故答案为：，
四、解答题：本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，，.
(1)若，试判断，能否构成平面的一组基底？并请说明理由.
(2)若，且，求与的夹角大小.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【解析】
【分析】(1)利用向量共线的坐标运算及基底的概念即可判断；
(2)利用向量垂直的坐标运算求解x，然后再利用数量积的夹角坐标公式计算即可.
【小问1详解】
当时，，，
因为，所以向量，不共线，所以，能构成平面的一组基底；
【小问2详解】
因为，，所以，
又，且，所以，所以，
此时，，则，
又因为，所以，即向量与的夹角为.
18. 如图，在棱长为1的正方体中，E为棱的中点.

(1)求证：平面；
(2)求点D到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2).
【解析】
【分析】(1)由线面平行的判定定理即可证明；
(2)设点D到平面的距离为，由求解即可.
【小问1详解】
证明：连接BD交AC于O，连接EO，
由正方体可知底面ABCD为正方形，所以O为BD中点，
因为E为棱的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
设点D到平面的距离为，
由正方体可知平面ABCD，底边ABCD为正方形，
所以三棱锥的体积，
又在中，，O为AC中点，所以，又，
所以三棱锥的体积，
因为，所以，解得，
所以点D到平面EAC的距离.
19. 某村为响应国家乡村振兴战略，扎实推动乡村产业，提高村民收益，种植了一批琯溪蜜柚.现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量(单位：千克)均分布在区间内，并绘制了如图所示的频率分布直方图：

(1)按分层随机抽样的方法从质量落在区间，的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量至少有一个小于3.5千克的概率；
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：
A.所有蜜柚均以20元/千克收购；
B.低于4.5千克的蜜柚以70元/个的价格收购，高于或等于4.5千克的蜜柚以90元/个的价格收购.
请你通过计算为该村选择收益最好的方案.
【答案】(1)
(2)方案A
【解析】
【分析】(1)依题意可得蜜柚质量在区间和比为2：3，则分别在质量为，的蜜柚中抽取2个和3个，求出从这5个蜜柚中随机抽取2个的可能情况，再求出至少有一个小于3.5千克的方法种数，由古典概率公式代入即可得出答案.
(2)分别计算两种方案的收益，比较两者的大小即可得出答案.
【小问1详解】
由题意得：
所以蜜柚质量在区间和的比为2：3，
所以应分别在质量为，的蜜柚中抽取2个和3个.
记抽取的2个蜜柚中质量至少有一个小于3.5千克为事件A
抽取的质量在区间的蜜柚分别记为，，质量在区间的蜜柚分别记为，，，
则从这5个蜜柚中随机抽取2个，
样本空间，共10个样本点
解法一：事件，共7个样本点，
所以.
解法二：事件A对立事件，共3个样本点，
所以.
【小问2详解】
方案A好，
由题中频率分布直方图可知，蜜柚质量在区间，，，，，
的频率依次为0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，
若按方案A收购：由题意知各区间蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，
于是总收益为
(元).
若按方案B收购：由题意知蜜柚质量低于4.5千克的个数为1750，
蜜柚质量高于或等于4.5千克的个数为，
所以总收益为(元).
因为，
所以方案A的收益比方案B的收益高，应该选择方案A.
20. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，D、E分别为SB，AB的中点.

(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)利用面面垂直的性质定理得到平面，再利用线面垂直的判定及性质即可证明.
(2)先利用平面角的定义得到二面角的平面角为，在中可求得二面角的平面角的正弦值.
【小问1详解】
∵，D为SB的中点，∴，
∵平面平面SBC，平面SAB，平面平面，
∴平面，又平面，∴，
∵，∴，又，平面SAB，平面SAB，
∴平面SAB，又平面SAB，∴；
【小问2详解】
取BD中点H，过H作于K，连接EK，
因为E、H分别为AB、BD的中点，∴，
由(1)知，，∴，，
又，平面SBC，平面SBC，
∴平面SBC，即平面BDC，又平面BDC，∴，
∵，，平面EHK，平面EHK，
∴平面EHK，又平面EHK，∴，
∴为二面角的平面角，

在中，，，，∴，
在中，，，∴，
由(1)可知平面SAB，平面SAB，∴，
又，平面ABC，平面ABC，∴平面ABC，
∵平面ABC，∴，
∵D、E分别为SB、AB的中点，∴且，∴，
在中，，，∴，
在中，，，∴，∴，
在中，，∴，
由HK在面SBC内，则EH⊥HK，
∴在中，，即二面角的正弦值.
21. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
(1)求角C的大小；
(2)若D是边AB的三等分点(靠近点A)，.求实数t的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解；
(2)设，，，在和中，利用正弦定理结合得到，，再利用平方关系得到，进而得到
，利用余弦函数的性质求解.
【小问1详解】
解：由正弦定理可得：，
∴，
∴，
又∵，∴.
【小问2详解】
设，，，
则，，
在中，由正弦定理得：，
在中，由正弦定理得：.
又，
由，得.
因为，
所以.
因为，所以，
∴，，，
∴，.
22. 已知函数，(，)
(1)若，，证明：函数在区间上有且仅有个零点；
(2)若对于任意的，恒成立，求的最大值和最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值为，最大值为
【解析】
【分析】(1)代入的值，化简，即可求得，根据单调性即可求解；
(2)令，问题转化为时，，要求的最值，则需要和的系数相等进行求解.
【小问1详解】
证明：当，时，
，
则，
，，且是一个不间断的函数，
在上存在零点，
，，∴在上单调递增，
在上有且仅有1个零点.
【小问2详解】
由(1)知，令，则，
∴，
∵对于任意的，恒成立，∴恒成立.
令，则时，恒成立.
即，
令，解得或.
当时，解得，
取，成立，则恒成立，，
当时，解得，
取，成立，则恒成立.
，
综上，的最小值为，的最大值为.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，从以下几个角度分析：
(1)赋值法和换元法的应用；
(2)三角函数图像和性质的应用；
(3)转化化归思想的应用.
甲厂产品
3
5
6
7
7
8
8
8
9
10
乙厂产品
4
6
6
7
8
8
8
8
8
8
甲厂产品
3
5
6
7
7
8
8
8
9
10
乙厂产品
4
6
6
7
8
8
8
8
8
8