专题25 以函数为背景的等腰三角形的存在性问题(提升训练)-中考数学重难点专项突破（全国通用）

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（1）求线段CF的长；
（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM·cs∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．
（备用图）
A
C
B
D
E
F
（图2）
A
C
B
D
E
F
N
M
（图1）
A
C
B
D
E
F
【答案】（1）CF的长为5； （2）（）；
（3）线段FM的长为或或．
A
C
B
D
E
F
G
【解析】（1）作AG⊥BC于点G，∴∠BGA = 90°，
∵∠BCD = 90°，AD∥BC，∴AG = DC = 6，
∵tan∠ABC = = 2，∴BG = 3，
∵BC = 11∴GC = 8，∴AD = GC = 8，∴AE = 3ED
∴AE = 6，ED = 2
∵AD∥BC，AB∥EF，∴BF = AE = 6，∴CF = BC-BF = 5．
（2）过点M作PQ⊥CD，分别交AB、CD、AG于点P、Q、H，作MR⊥BC于点R，
易得GH = CQ = MR．
∵MFcs∠EFC = x，∴FR = x．∵tan∠ABC = 2，∴GH = MR = CQ = 2x．
∴BG = 3，由BF = 6，得：GF = 3，
∴HM=3 + x，MQ = CF-FR = 5-x，AH = AG-GH = 6-2x．
∵∠AMQ=∠AHM+∠MAH，且∠AMN=∠AHM=90°， ∴∠MAH=∠NMQ，
∴∽，∴，即，
∴，定义域：；
（3）①∠AMN = 90°
A
C
B
D
E
F
N
M
P
G
Q
H
R
1）当点M在线段EF上时，
∵∽，且AM = MN，
∴AH=MQ
∴6-2x = 5-x，
∴x = 1
∴FM =
A
C
B
D
E
F
G
H
Q
R
N
M
2)当点M在FE的延长线上时
同上可得AH = MQ
∴2x-6 = 5-x
∴
∴
②∠ANM = 90°
A
C
B
D
E
F
N
M
P
H
Q
R
G
过点N作PQ⊥CD，分别交AB、AG于点P、H，
作MR⊥BC于交BC延长线于交直线PN于点Q，
∵AN = MN，易得≌
∴AH = NQ，HN = MQ = 8
令PH = a，则AH = 2a，DN = 2a，CN = 6-2a
∴FR = 5 + 2a，MR = 8 +（6-2a）= 14-2a
由MR = 2FR得a =，
∴FR=，MR=，∴FM =，
综上所述，线段FM的长为或或．
【总结】本题综合性较强，考查的知识点也较多，包含了锐角三角比、相似等知识点的综合运用，并且本题考查的是等腰直角三角形的分类讨论，注意相关性质的运用．
2、如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，csB＝，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．
（1）当圆C经过点A时，求CP的长；
（2）联结AP，当AP//CG时，求弦EF的长；
（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．
A
B
C
D
E
F
G
P
H
【答案】（1）CP的长为5；（2）；
（3）圆C的半径长为．
【解析】解：（1）作AH⊥BC于H．
∴BH = 4，AH = 3，∴CH = 4．
∴，∴CP = AC = 5；
（2）∵AP//CG，∴APCE为平行四边形，
又∵CE = CP， ∴APCE为菱形．
设CP = x，则AP = CP，∴．
即，解得：，∴；
（3）设，则．
∵，∴，．
分情况讨论
AE = AG，解得：；
AE = GE，解得：，此时E在F点右边，舍去；
AG = GE，解得：或，均不可能，舍去．
当AE = 3时，．
【总结】本题综合性较强，主要考查了平行四边形的性质及勾股定理的综合运用，注意第（3）小问中对求出的值的取舍．