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人教版八年级数学下册 专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（原卷版+解析）
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这是一份人教版八年级数学下册 专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（原卷版+解析），共23页。试卷主要包含了分母有理化，分子有理化等内容，欢迎下载使用。
类型一 分母有理化
技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。
典例1(2023秋•曲阳县期末）把3a12ab化去分母中的根号后得（ ）
A．4bB．2bC．12bD．b2b
变式训练
1．(2023春•东莞市期中）化简：18= ．
2．(2023春•龙山县期末）把122a化成最简二次根式，结果是 ．
技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母
典例2(2023春•乳山市期末）【材料阅读】
把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．
例如：化简12+1．
解：12+1=1×(2−1)(2+1)(2−1)=2−1．
上述化简的过程，就是进行分母有理化．
【问题解决】
（1）化简12−3的结果为： ；
（2）猜想：若n是正整数，则1n+1+n进行分母有理化的结果为： ；
（3）若有理数a，b满足a2−1+b2+1=22−1，求a，b的值．
变式训练
1．(2023秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：12+5= ．
2．(2023秋•牡丹区期末）若13−7的整数部分是a，小数部分是b，则a2+（1+7）ab＝ ．
技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简
典例3 化简：
变式训练：
1.化简：
技巧4 分解因式法：利用平方差公式和完全平方公式因式分解，然后约分化简。
典例4 (2023秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值x−yx+y+x−2xy+yx−y，其中x＝5，y=15．
针对训练：化简：
（1） （2）
技巧5 裂项相消法：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。
24．观察下面式子的化简过程：
262+3+5=(2+26+3)−52+3+5=(2+3)2−(5)22+3+5=2+3−5．
化简4105+13+8，并将这一问题作尽可能的推广．
变式训练：
1．化简：
类型二 分子有理化
典例6(2023秋•梁平区期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：7−6=(7−6)(7+6)7+6=17+6．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化．如下：7−6=17+6，6−5=16+5．
因为7+6＞6+5，所以7−6＜6−5．
再例如：求y=x+2−x−2的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2−x−2=4x+2+x−2．
当x＝2时，分母x+2+x−2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较32−4和23−10的大小；
（2）求y=1+x−x的最大值．
针对训练
1．（青羊区校级期中）已知a=2−1，b＝3﹣22，c=3−2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．a＞c＞b
2．(2023秋•武侯区校级月考）计算：
（1）比较15−14和14−13的大小；
（2）求y=x+1−x−1+3的最大值．
专题提优训练
1．(2023秋•绥化期末）化简213的结果是 ．
2．(2023秋•阳城县期末）化简820的结果是 ．
3．(2023秋•徐汇区校级期中）化简：1x−3−1= ．
4．(2023春•宁阳县期末）化简12= ，12−1= ．
5．（2012秋•珙县校级月考）化简：12−3= ．
6．(2023春•江城区期末）化简−3227的结果是 ．
7．(2023秋•宝山区校级期中）已知：x=3+23−2，y=3−23+2，求x2+xy+y2的平方根．
8．(2023春•普陀区校级期末）计算：105−45−1．
9．(2023秋•浦东新区校级月考）计算：1−32+3−41+3．
10．(2023秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．
如：2+12−1=(2+1)(2+1)(2−1)(2+1)=3+22．
除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
如：化简2+3−2−3．
解：设x=2+3−2−3，易知2+3＞2−3，故x＞0．
由于x2＝（2+3−2−3）2＝2+3+2−3−2(2+3)(2−3)=2．
解得x=2，即2+3−2−3=2
根据以上方法，化简：3−223+22+3−5−3+5．
11．(2023春•大连月考）阅读材料：
黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+3）（2−3）＝1，（5+2）（5−2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如13=1×33×3=33，2+32−3=(2+3)(2+3)(2−3)(2+3)=7+43．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4+7的有理化因式可以是 ，232分母有理化得 ．
（2）计算：
①11+2+12+3+13+4+⋯+11999+2000．
②已知：x=3−13+1，y=3+13−1，求x2+y2的值．
12．(2023春•钢城区期末）阅读下列解题过程：
12+1=1×(2−1)(2+1)×(2−1)=2−1(2)2−12=2−1；
13+2=1×(3−2)(3+2)(3−2)=3−2(3)2−(2)2=3−2．
请回答下列问题：
（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
①17+6= ；②1n+n−1= ；
（2）应用：求12+1+13+2+14+3+15+4+⋯+110+9的值；
（3）拓广：13−1−15−3+17−5−19−7= ．
13．(2023春•广饶县期中）【阅读材料】
材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简13+2
解：13+2=1×(3−2)(3+2)(3−2)=3−2
材料二：化简a+2b的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么a±2b=m2+n2±2mn=(m±n)2=m±n．
例如：化简3±22
解：3±22=(2)2+12+22=(2+1)2=2+1
【理解应用】
（1）填空：化简5+35−3的结果等于 ．
（2）计算：
①7−210；
②12+1+13+2+12+3+⋯+12020+2019+12021+2020．
14．(2023春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．
比如：7−6=(7−6)(7+6)7+6=17+6．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7−6和6−5的大小可以先将它们分子有理化如下：7−6=17+6，6−5=16+5．
因为7+6＞6+5，所以，7−6＜6−5．
再例如，求y=x+2−x−2的最大值、做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2−x−2=4x+2+x−2．
当x＝2时，分母x+2+x−2有最小值2．所以y的最大值是2．
利用上面的方法，完成下述两题：
（1）比较15−14和14−13的大小；
（2）求y=x+1−x−1+3的最大值．
专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（解析版）
第一部分 典例精析+变式训练
类型一 分母有理化
技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。
典例1(2023秋•曲阳县期末）把3a12ab化去分母中的根号后得（ ）
A．4bB．2bC．12bD．b2b
思路引领：根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可．
解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；
∴3a12ab=3⋅a23⋅a⋅b=12b=b2b．
故选：D．
总结提升：本题主要考查了二次根式的乘除法运算．二次根式的运算法则：乘法法则a⋅b=ab（a≥0，b≥0），除法法则ba=ba（a＞0，b≥0）．当结果的分母中含有根式时，需分母有理化．
变式训练
1．(2023春•东莞市期中）化简：18= ．
思路引领：分子、分母同乘8，再根据二次根式的性质进行化简．
解：18=1×88×8=88=228=24．
故答案为：24．
总结提升：本题主要考查分母有理数，熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的化简是解决本题的关键．
2．(2023春•龙山县期末）把122a化成最简二次根式，结果是 ．
思路引领：如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此即可求出答案．
解：原式=232a=6aa，
故答案为：6aa．
总结提升：本题考查二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母
典例2(2023春•乳山市期末）【材料阅读】
把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．
例如：化简12+1．
解：12+1=1×(2−1)(2+1)(2−1)=2−1．
上述化简的过程，就是进行分母有理化．
【问题解决】
（1）化简12−3的结果为： ；
（2）猜想：若n是正整数，则1n+1+n进行分母有理化的结果为： ；
（3）若有理数a，b满足a2−1+b2+1=22−1，求a，b的值．
思路引领：（1）分子分母同乘以2+3，化简即可．
（2）分子分母同乘以n+1−n，化简即可．
（3）先化简右式，其结果应等于左式，解方程即可．
解：（1）12−3=2+3(2−3)(2+3)=2+34−3=2+3，
故答案为：2+3；
（2）1n+1+n=n+1−n(n+1+n)(n+1−n)=n+1−nn+1−n=n+1−n，
故答案为：n+1−n；
（3）化简得，a2−1+b2+1=（a+b）2−（b﹣a），
∵a2−1+b2+1=22−1，
∴a+b=2a−b=−1，
得a=12b=32．
总结提升：本题考查二次根式的分母有理化，掌握分母有理化的方法是解题关键．
变式训练
1．(2023秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：12+5= ．
思路引领：分子和分母都乘5−2，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．
解：12+5
=5−2(5+2)(5−2)
=5−25−4
=5−2．
故答案为：5−2．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．
2．(2023秋•牡丹区期末）若13−7的整数部分是a，小数部分是b，则a2+（1+7）ab＝ ．
思路引领：先将13−7分母有理化并根据7的大小确定出取值范围，然后求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解．
解：13−7=3+7(3−7)(3+7)=3+72，
∵2＜7＜3，
∴5＜3+7＜6，
∴2.5＜3+72＜3，
∵13−7的整数部分是a，小数部分是b，
∴a＝2，
b=3+72−2=7−12，
所以，a2+（1+7）ab＝22+（1+7）×2×7−12=4+（7﹣1）＝4+6＝10．
故答案为：10．
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，估算无理数的大小，分母有理化，难点在于将所给二次根式分母有理化并确定出取值范围从而求出a、b的值．
技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简
典例3 化简：
思路引领：提取分母中的公因式，然后约分化简
解：
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，把分母提取公因式，用因式分解的方法，再约分，比较简便。
变式训练：化简：
思路引领：提取分子分母中的公因式，然后约分化简
解:
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，把分子、分母提取公因式，用因式分解的方法，再约分，比较简便。
技巧4 分解因式法：利用平方差公式和完全平方公式因式分解，然后约分化简。
典例4 (2023秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值x−yx+y+x−2xy+yx−y，其中x＝5，y=15．
思路引领：利用二次根式的相应的法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
解：x−yx+y+x−2xy+yx−y
=(x+y)(x−y)x+y+(x−y)2x−y
=x−y+x−y
＝2x−2y，
当x＝5，y=15时，
原式＝25−215
＝25−255
=855．
总结提升：本题主要考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
针对训练：化简：
（1） （2）
思路引领：把分子分母用平方差公式，用因式分解的方法，再约分，比较简便
解：（1）
（2）
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，把分子分母用平方差公式，用因式分解的方法，再约分，比较简便。
技巧5 裂项相消法：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。
24．观察下面式子的化简过程：
262+3+5=(2+26+3)−52+3+5=(2+3)2−(5)22+3+5=2+3−5．
化简4105+13+8，并将这一问题作尽可能的推广．
思路引领：根据题意把原式的分子化为平方差的形式，再约分即可．
解：原式=2405+13+8
=(5+240+8)−135+13+8
=(5+8)2−(13)25+13+8
=5+8−13．
总结提升：本题考查的是分母有理化，根据题意找出有理化因式是解答此题的关键．
变式训练：
1．化简：
思路引领：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。
解：
总结提升：本题考查的是分母有理化，用裂项法比较简单。
类型二 分子有理化
典例6(2023秋•梁平区期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：7−6=(7−6)(7+6)7+6=17+6．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化．如下：7−6=17+6，6−5=16+5．
因为7+6＞6+5，所以7−6＜6−5．
再例如：求y=x+2−x−2的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2−x−2=4x+2+x−2．
当x＝2时，分母x+2+x−2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较32−4和23−10的大小；
（2）求y=1+x−x的最大值．
思路引领：（1）利用分母有理化得到32−4=232+4，23−10=223+10，利用32+4＞23+10可判断32−4＜23−10；
（2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x≥0，x≥0，则x≥0，利用分母有理化得到y=11+x+x，由于x＝0时，1+x+x有最小值1，从而得到y的最大值．
解：（1）∵32−4=(32+4)(32−4)32+4=232+4，
23−10=(23+10)(23−10)23+10=223+10，
而32＞23，4＞10，
∴32+4＞23+10，
∴32−4＜23−10；
（2）由1+x≥0，x≥0得x≥0，
而y=1+x−x=11+x+x，
∵x＝0时，1+x+x有最小值1，
∴y的最大值为1．
总结提升：本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式．
针对训练
1．(2023秋•青羊区校级期中）已知a=2−1，b＝3﹣22，c=3−2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．a＞c＞b
思路引领：求出abc的倒数，根据已知知道a＞0，b＞0，c＞0，根据倒数的大小比较即可．
解：1a=12−1=2+1，1b=13−22=3+22，1c=13−2=3+2，
∵2+1＜3+2＜3+22，a＞0，b＞0，c＞0，
∴a＞c＞b．
故选：D．
总结提升：本题考查了实数的大小比较，比较两根式的大小方法有：①直接比较：2＜3；②平方后比较；③倒数比较．
2．(2023秋•武侯区校级月考）计算：
（1）比较15−14和14−13的大小；
（2）求y=x+1−x−1+3的最大值．
思路引领：（1）将两个式子分别化为分子相同的形式即可解决；
（2）先由二次根式的非负性求出x的范围，再将此式化为分子为有理数的形式即可解决．
解：（1）∵15−14=115+14，14−13=114+13，
且15＞13，
∴15+14＞14+13，
∴15−14＜14−13；
（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0，
∴x≥1，
∵y=x+1−x−1+3=2x+1+x−1+3，
∴当x＝1时，分母有小值2，
∴y=x+1−x−1+3的最大值为3+2．
总结提升：此题主要考查了二次根式的计算，熟悉分子有理化是解决此题的关键．
专题提优训练
1．(2023秋•绥化期末）化简213的结果是 ．
思路引领：根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
解：原式=213=7，
故答案为：7．
总结提升：本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
2．(2023秋•阳城县期末）化简820的结果是 ．
思路引领：原式利用二次根式除法法则计算即可求出值．
解：原式=820=25=105，
故答案为：105
总结提升：此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．(2023秋•徐汇区校级期中）化简：1x−3−1= ．
思路引领：分子、分母同乘以（x−3+1），利用平方差公式进行计算即可．
解：原式=x−3+1(x−3−1)(x−3+1)=x−3+1x−3−1=x−3+1x−4，
故答案为：x−3+1x−4．
总结提升：本题考查二次根式的化简，根据分式的性质，分子、分母同乘以（x−3+1）是正确计算的关键．
4．(2023春•宁阳县期末）化简12= ，12−1= ．
思路引领：先由二次根式的性质可化为12，再给分子分母同时乘以2，即可得出答案；给分子分母同时乘以2+1，分母应用平方差公式可化为（2）2﹣1＝1，即可得出答案．
解：12=12=22×2=22；
12−1=2+1(2−1)(2+1)=2+1(2)2−1=2+1．
总结提升：本题主要考查了分母有理化，二次根式的性质，熟练应用分母有理化的方法及二次根式的性质进行求解是解决本题的关键．
5．（2012秋•珙县校级月考）化简：12−3= ．
思路引领：分子和分母同时乘以2+3即可．
解：12−3，
=2+3(2−3)(2+3)，
＝2+3；
故答案为：2+3．
总结提升：本题考查了分母有理化，找对有理化因式，再相乘，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式的式子．
6．(2023春•江城区期末）化简−3227的结果是 ．
思路引领：分子、分母同乘以有理化因式3，即可分母有理化使式子最简．
解：−3227=−32×327×3=−369=−63．
故答案为：−63．
总结提升：此题考查分母有理化，关键是确定有理化因式3．
7．(2023秋•宝山区校级期中）已知：x=3+23−2，y=3−23+2，求x2+xy+y2的平方根．
思路引领：先将x、y化简，然后即可得到x+y、xy的值，从而可以求得所求式子的值．
解：∵x=3+23−2=（3+2）2＝5+26，y=3−23+2=5﹣26，
∴x+y＝10，xy＝1，
∴x2+xy+y2
＝（x+y）2﹣xy
＝102﹣1
＝100﹣1
＝99．
∴x2+xy+y2的平方根为±311．
总结提升：本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
8．(2023春•普陀区校级期末）计算：105−45−1．
思路引领：先根据分母有理化化简各式，再合并即可．
解：105−45−1
=25−1−5
=5−1．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
9．(2023秋•浦东新区校级月考）计算：1−32+3−41+3．
思路引领：先分母有理化，再进行二次根式加减．
解：原式=(1−3)(2−3)(2+3)(2−3)−4(1−3)(1+3)(1−3)
=2−23−3+34−3−4−431−3
＝5﹣33+2﹣23
＝7﹣53．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，掌握分母有理化及二次根式的运算法则是解决本题的关键．
10．(2023秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．
如：2+12−1=(2+1)(2+1)(2−1)(2+1)=3+22．
除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
如：化简2+3−2−3．
解：设x=2+3−2−3，易知2+3＞2−3，故x＞0．
由于x2＝（2+3−2−3）2＝2+3+2−3−2(2+3)(2−3)=2．
解得x=2，即2+3−2−3=2
根据以上方法，化简：3−223+22+3−5−3+5．
思路引领：根据题目提供的方法先计算3−5−3+5．再计算3−223+22，进而进行计算即可．
解：设x=3−5−3+5，易知3−5＜3+5，故x＜0，
由于x2＝（3−5−3+5）2＝3−5+3+5−2(3−5)(3+5)=2，
所以x=−2，即3−5−3+5=−2，
所以原式=(3−22)(3−22)(3+22)(3−22)−2
＝17﹣122−2
＝17﹣132．
总结提升：本题考查分母有理化，平方差公式以及二次根式的化简和性质，掌握分母有理化，平方差公式以及二次根式的化简和性质是正确解答的前提．
11．(2023春•大连月考）阅读材料：
黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+3）（2−3）＝1，（5+2）（5−2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如13=1×33×3=33，2+32−3=(2+3)(2+3)(2−3)(2+3)=7+43．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4+7的有理化因式可以是 ，232分母有理化得 ．
（2）计算：
①11+2+12+3+13+4+⋯+11999+2000．
②已知：x=3−13+1，y=3+13−1，求x2+y2的值．
思路引领：（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）①原式各项分母有理化，合并即可得到结果；
②将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．
解：（1）4+7的有理化因式可以是4−7，232分母有理化得：23；
故答案为：4−7；23
（2）①原式=2−1+3−2+⋯+2000−1999=2000−1＝205−1；
②∵x=3−13+1=2−3，y=3+13−1=2+3，
∴x2+y2＝7﹣43+7+43=14．
总结提升：此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
12．(2023春•钢城区期末）阅读下列解题过程：
12+1=1×(2−1)(2+1)×(2−1)=2−1(2)2−12=2−1；
13+2=1×(3−2)(3+2)(3−2)=3−2(3)2−(2)2=3−2．
请回答下列问题：
（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
①17+6= ；②1n+n−1= ；
（2）应用：求12+1+13+2+14+3+15+4+⋯+110+9的值；
（3）拓广：13−1−15−3+17−5−19−7= ．
思路引领：（1）①直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；
②直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；
（2）直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；
（3）直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案．
解：（1）①17+6=1×(7−6)(7+6)(7−6)=7−6；
②1n+n−1=1×(n−n−1)(n+n−1)(n−n−1)=n−n−1；
故答案为：7−6；n−n−1；
（2）12+1+13+2+14+3+15+4+⋯+110+9
=2−1+3−2+4−3+⋯+10−9
=10−1；
（3）13−1−15−3+17−5−19−7
=3+1(3−1)(3+1)−5+3(5−3)(5+3)+7+5(7−5)(7+5)−9+7(9−7)(9+7)
=3+12−5+32+7+52−9+72
=3+1−5−3+7+5−9−72
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
总结提升：此题主要考查了分母有理化，正确找出分母有理化因式是解题关键．
13．(2023春•广饶县期中）【阅读材料】
材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简13+2
解：13+2=1×(3−2)(3+2)(3−2)=3−2
材料二：化简a+2b的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么a±2b=m2+n2±2mn=(m±n)2=m±n．
例如：化简3±22
解：3±22=(2)2+12+22=(2+1)2=2+1
【理解应用】
（1）填空：化简5+35−3的结果等于 4+15 ．
（2）计算：
①7−210；
②12+1+13+2+12+3+⋯+12020+2019+12021+2020．
思路引领：（1）根据材料一方法，把分母有理化化简即可得出答案；
（2）根据材料一、二方法化简即可得出答案．
解：（1）5+35−3
=(5+3)2(5−3)(5+3)
=8+2155−3
＝4+15；
故答案为：4+15；
（2）①7−210=(5−2)2=5−2；
②12+1+13+2+12+3+⋯+12020+2019+12021+2020
=2−12−1+3−23−2+2−34−3+⋯+2020−20192020−2019+2021+20202021−2020
＝﹣1+2021．
总结提升：本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，探索二次根式计算中的规律，将第一个多项式的每项分母有理化，裂项相消是解题的关键．
14．(2023春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．
比如：7−6=(7−6)(7+6)7+6=17+6．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7−6和6−5的大小可以先将它们分子有理化如下：7−6=17+6，6−5=16+5．
因为7+6＞6+5，所以，7−6＜6−5．
再例如，求y=x+2−x−2的最大值、做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2−x−2=4x+2+x−2．
当x＝2时，分母x+2+x−2有最小值2．所以y的最大值是2．
利用上面的方法，完成下述两题：
（1）比较15−14和14−13的大小；
（2）求y=x+1−x−1+3的最大值．
思路引领：（1）先将两数变形为115+14、114+13，再由15＞13知15+14＞14+13，从而得出答案；
（2）根据二次根式有意义的条件得出x≥1，据此知x+1+x−1有最小值2，从而得到y=x+1−x−1+3=2x+1+x−1+3的最大值．
解：（1）15−14=115+14，
14−13=114+13，
而15＞13，
∴15+14＞14+13，
∴15−14＜14−13；
（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0，
∴x≥1，
∵y=x+1−x−1+3=2x+1+x−1+3，
当x＝1时，分母x+1+x−1有最小值2，
∴y=2x+1+x−1+3有最大值是2+3．
总结提升：本题主要考查分母有理化，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件及二次根式分母有理化的能力
类型一 分母有理化
技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。
典例1(2023秋•曲阳县期末）把3a12ab化去分母中的根号后得（ ）
A．4bB．2bC．12bD．b2b
变式训练
1．(2023春•东莞市期中）化简：18= ．
2．(2023春•龙山县期末）把122a化成最简二次根式，结果是 ．
技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母
典例2(2023春•乳山市期末）【材料阅读】
把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．
例如：化简12+1．
解：12+1=1×(2−1)(2+1)(2−1)=2−1．
上述化简的过程，就是进行分母有理化．
【问题解决】
（1）化简12−3的结果为： ；
（2）猜想：若n是正整数，则1n+1+n进行分母有理化的结果为： ；
（3）若有理数a，b满足a2−1+b2+1=22−1，求a，b的值．
变式训练
1．(2023秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：12+5= ．
2．(2023秋•牡丹区期末）若13−7的整数部分是a，小数部分是b，则a2+（1+7）ab＝ ．
技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简
典例3 化简：
变式训练：
1.化简：
技巧4 分解因式法：利用平方差公式和完全平方公式因式分解，然后约分化简。
典例4 (2023秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值x−yx+y+x−2xy+yx−y，其中x＝5，y=15．
针对训练：化简：
（1） （2）
技巧5 裂项相消法：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。
24．观察下面式子的化简过程：
262+3+5=(2+26+3)−52+3+5=(2+3)2−(5)22+3+5=2+3−5．
化简4105+13+8，并将这一问题作尽可能的推广．
变式训练：
1．化简：
类型二 分子有理化
典例6(2023秋•梁平区期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：7−6=(7−6)(7+6)7+6=17+6．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化．如下：7−6=17+6，6−5=16+5．
因为7+6＞6+5，所以7−6＜6−5．
再例如：求y=x+2−x−2的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2−x−2=4x+2+x−2．
当x＝2时，分母x+2+x−2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较32−4和23−10的大小；
（2）求y=1+x−x的最大值．
针对训练
1．（青羊区校级期中）已知a=2−1，b＝3﹣22，c=3−2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．a＞c＞b
2．(2023秋•武侯区校级月考）计算：
（1）比较15−14和14−13的大小；
（2）求y=x+1−x−1+3的最大值．
专题提优训练
1．(2023秋•绥化期末）化简213的结果是 ．
2．(2023秋•阳城县期末）化简820的结果是 ．
3．(2023秋•徐汇区校级期中）化简：1x−3−1= ．
4．(2023春•宁阳县期末）化简12= ，12−1= ．
5．（2012秋•珙县校级月考）化简：12−3= ．
6．(2023春•江城区期末）化简−3227的结果是 ．
7．(2023秋•宝山区校级期中）已知：x=3+23−2，y=3−23+2，求x2+xy+y2的平方根．
8．(2023春•普陀区校级期末）计算：105−45−1．
9．(2023秋•浦东新区校级月考）计算：1−32+3−41+3．
10．(2023秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．
如：2+12−1=(2+1)(2+1)(2−1)(2+1)=3+22．
除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
如：化简2+3−2−3．
解：设x=2+3−2−3，易知2+3＞2−3，故x＞0．
由于x2＝（2+3−2−3）2＝2+3+2−3−2(2+3)(2−3)=2．
解得x=2，即2+3−2−3=2
根据以上方法，化简：3−223+22+3−5−3+5．
11．(2023春•大连月考）阅读材料：
黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+3）（2−3）＝1，（5+2）（5−2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如13=1×33×3=33，2+32−3=(2+3)(2+3)(2−3)(2+3)=7+43．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4+7的有理化因式可以是 ，232分母有理化得 ．
（2）计算：
①11+2+12+3+13+4+⋯+11999+2000．
②已知：x=3−13+1，y=3+13−1，求x2+y2的值．
12．(2023春•钢城区期末）阅读下列解题过程：
12+1=1×(2−1)(2+1)×(2−1)=2−1(2)2−12=2−1；
13+2=1×(3−2)(3+2)(3−2)=3−2(3)2−(2)2=3−2．
请回答下列问题：
（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
①17+6= ；②1n+n−1= ；
（2）应用：求12+1+13+2+14+3+15+4+⋯+110+9的值；
（3）拓广：13−1−15−3+17−5−19−7= ．
13．(2023春•广饶县期中）【阅读材料】
材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简13+2
解：13+2=1×(3−2)(3+2)(3−2)=3−2
材料二：化简a+2b的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么a±2b=m2+n2±2mn=(m±n)2=m±n．
例如：化简3±22
解：3±22=(2)2+12+22=(2+1)2=2+1
【理解应用】
（1）填空：化简5+35−3的结果等于 ．
（2）计算：
①7−210；
②12+1+13+2+12+3+⋯+12020+2019+12021+2020．
14．(2023春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．
比如：7−6=(7−6)(7+6)7+6=17+6．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7−6和6−5的大小可以先将它们分子有理化如下：7−6=17+6，6−5=16+5．
因为7+6＞6+5，所以，7−6＜6−5．
再例如，求y=x+2−x−2的最大值、做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2−x−2=4x+2+x−2．
当x＝2时，分母x+2+x−2有最小值2．所以y的最大值是2．
利用上面的方法，完成下述两题：
（1）比较15−14和14−13的大小；
（2）求y=x+1−x−1+3的最大值．
专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（解析版）
第一部分 典例精析+变式训练
类型一 分母有理化
技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。
典例1(2023秋•曲阳县期末）把3a12ab化去分母中的根号后得（ ）
A．4bB．2bC．12bD．b2b
思路引领：根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可．
解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；
∴3a12ab=3⋅a23⋅a⋅b=12b=b2b．
故选：D．
总结提升：本题主要考查了二次根式的乘除法运算．二次根式的运算法则：乘法法则a⋅b=ab（a≥0，b≥0），除法法则ba=ba（a＞0，b≥0）．当结果的分母中含有根式时，需分母有理化．
变式训练
1．(2023春•东莞市期中）化简：18= ．
思路引领：分子、分母同乘8，再根据二次根式的性质进行化简．
解：18=1×88×8=88=228=24．
故答案为：24．
总结提升：本题主要考查分母有理数，熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的化简是解决本题的关键．
2．(2023春•龙山县期末）把122a化成最简二次根式，结果是 ．
思路引领：如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此即可求出答案．
解：原式=232a=6aa，
故答案为：6aa．
总结提升：本题考查二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母
典例2(2023春•乳山市期末）【材料阅读】
把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．
例如：化简12+1．
解：12+1=1×(2−1)(2+1)(2−1)=2−1．
上述化简的过程，就是进行分母有理化．
【问题解决】
（1）化简12−3的结果为： ；
（2）猜想：若n是正整数，则1n+1+n进行分母有理化的结果为： ；
（3）若有理数a，b满足a2−1+b2+1=22−1，求a，b的值．
思路引领：（1）分子分母同乘以2+3，化简即可．
（2）分子分母同乘以n+1−n，化简即可．
（3）先化简右式，其结果应等于左式，解方程即可．
解：（1）12−3=2+3(2−3)(2+3)=2+34−3=2+3，
故答案为：2+3；
（2）1n+1+n=n+1−n(n+1+n)(n+1−n)=n+1−nn+1−n=n+1−n，
故答案为：n+1−n；
（3）化简得，a2−1+b2+1=（a+b）2−（b﹣a），
∵a2−1+b2+1=22−1，
∴a+b=2a−b=−1，
得a=12b=32．
总结提升：本题考查二次根式的分母有理化，掌握分母有理化的方法是解题关键．
变式训练
1．(2023秋•宝山区期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：12+5= ．
思路引领：分子和分母都乘5−2，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．
解：12+5
=5−2(5+2)(5−2)
=5−25−4
=5−2．
故答案为：5−2．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．
2．(2023秋•牡丹区期末）若13−7的整数部分是a，小数部分是b，则a2+（1+7）ab＝ ．
思路引领：先将13−7分母有理化并根据7的大小确定出取值范围，然后求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解．
解：13−7=3+7(3−7)(3+7)=3+72，
∵2＜7＜3，
∴5＜3+7＜6，
∴2.5＜3+72＜3，
∵13−7的整数部分是a，小数部分是b，
∴a＝2，
b=3+72−2=7−12，
所以，a2+（1+7）ab＝22+（1+7）×2×7−12=4+（7﹣1）＝4+6＝10．
故答案为：10．
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，估算无理数的大小，分母有理化，难点在于将所给二次根式分母有理化并确定出取值范围从而求出a、b的值．
技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简
典例3 化简：
思路引领：提取分母中的公因式，然后约分化简
解：
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，把分母提取公因式，用因式分解的方法，再约分，比较简便。
变式训练：化简：
思路引领：提取分子分母中的公因式，然后约分化简
解:
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，把分子、分母提取公因式，用因式分解的方法，再约分，比较简便。
技巧4 分解因式法：利用平方差公式和完全平方公式因式分解，然后约分化简。
典例4 (2023秋•浦东新区校级月考）先化简，再求值x−yx+y+x−2xy+yx−y，其中x＝5，y=15．
思路引领：利用二次根式的相应的法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
解：x−yx+y+x−2xy+yx−y
=(x+y)(x−y)x+y+(x−y)2x−y
=x−y+x−y
＝2x−2y，
当x＝5，y=15时，
原式＝25−215
＝25−255
=855．
总结提升：本题主要考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
针对训练：化简：
（1） （2）
思路引领：把分子分母用平方差公式，用因式分解的方法，再约分，比较简便
解：（1）
（2）
总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，把分子分母用平方差公式，用因式分解的方法，再约分，比较简便。
技巧5 裂项相消法：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。
24．观察下面式子的化简过程：
262+3+5=(2+26+3)−52+3+5=(2+3)2−(5)22+3+5=2+3−5．
化简4105+13+8，并将这一问题作尽可能的推广．
思路引领：根据题意把原式的分子化为平方差的形式，再约分即可．
解：原式=2405+13+8
=(5+240+8)−135+13+8
=(5+8)2−(13)25+13+8
=5+8−13．
总结提升：本题考查的是分母有理化，根据题意找出有理化因式是解答此题的关键．
变式训练：
1．化简：
思路引领：将分子化为分母中两式子的和或差的形式，在约分。
解：
总结提升：本题考查的是分母有理化，用裂项法比较简单。
类型二 分子有理化
典例6(2023秋•梁平区期末）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”：
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：7−6=(7−6)(7+6)7+6=17+6．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化．如下：7−6=17+6，6−5=16+5．
因为7+6＞6+5，所以7−6＜6−5．
再例如：求y=x+2−x−2的最大值．做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2−x−2=4x+2+x−2．
当x＝2时，分母x+2+x−2有最小值2，所以y的最大值是2．
解决下述问题：
（1）比较32−4和23−10的大小；
（2）求y=1+x−x的最大值．
思路引领：（1）利用分母有理化得到32−4=232+4，23−10=223+10，利用32+4＞23+10可判断32−4＜23−10；
（2）根据二次根式有意义的条件得到由1+x≥0，x≥0，则x≥0，利用分母有理化得到y=11+x+x，由于x＝0时，1+x+x有最小值1，从而得到y的最大值．
解：（1）∵32−4=(32+4)(32−4)32+4=232+4，
23−10=(23+10)(23−10)23+10=223+10，
而32＞23，4＞10，
∴32+4＞23+10，
∴32−4＜23−10；
（2）由1+x≥0，x≥0得x≥0，
而y=1+x−x=11+x+x，
∵x＝0时，1+x+x有最小值1，
∴y的最大值为1．
总结提升：本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式．
针对训练
1．(2023秋•青羊区校级期中）已知a=2−1，b＝3﹣22，c=3−2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．c＞a＞bD．a＞c＞b
思路引领：求出abc的倒数，根据已知知道a＞0，b＞0，c＞0，根据倒数的大小比较即可．
解：1a=12−1=2+1，1b=13−22=3+22，1c=13−2=3+2，
∵2+1＜3+2＜3+22，a＞0，b＞0，c＞0，
∴a＞c＞b．
故选：D．
总结提升：本题考查了实数的大小比较，比较两根式的大小方法有：①直接比较：2＜3；②平方后比较；③倒数比较．
2．(2023秋•武侯区校级月考）计算：
（1）比较15−14和14−13的大小；
（2）求y=x+1−x−1+3的最大值．
思路引领：（1）将两个式子分别化为分子相同的形式即可解决；
（2）先由二次根式的非负性求出x的范围，再将此式化为分子为有理数的形式即可解决．
解：（1）∵15−14=115+14，14−13=114+13，
且15＞13，
∴15+14＞14+13，
∴15−14＜14−13；
（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0，
∴x≥1，
∵y=x+1−x−1+3=2x+1+x−1+3，
∴当x＝1时，分母有小值2，
∴y=x+1−x−1+3的最大值为3+2．
总结提升：此题主要考查了二次根式的计算，熟悉分子有理化是解决此题的关键．
专题提优训练
1．(2023秋•绥化期末）化简213的结果是 ．
思路引领：根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案．
解：原式=213=7，
故答案为：7．
总结提升：本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
2．(2023秋•阳城县期末）化简820的结果是 ．
思路引领：原式利用二次根式除法法则计算即可求出值．
解：原式=820=25=105，
故答案为：105
总结提升：此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．(2023秋•徐汇区校级期中）化简：1x−3−1= ．
思路引领：分子、分母同乘以（x−3+1），利用平方差公式进行计算即可．
解：原式=x−3+1(x−3−1)(x−3+1)=x−3+1x−3−1=x−3+1x−4，
故答案为：x−3+1x−4．
总结提升：本题考查二次根式的化简，根据分式的性质，分子、分母同乘以（x−3+1）是正确计算的关键．
4．(2023春•宁阳县期末）化简12= ，12−1= ．
思路引领：先由二次根式的性质可化为12，再给分子分母同时乘以2，即可得出答案；给分子分母同时乘以2+1，分母应用平方差公式可化为（2）2﹣1＝1，即可得出答案．
解：12=12=22×2=22；
12−1=2+1(2−1)(2+1)=2+1(2)2−1=2+1．
总结提升：本题主要考查了分母有理化，二次根式的性质，熟练应用分母有理化的方法及二次根式的性质进行求解是解决本题的关键．
5．（2012秋•珙县校级月考）化简：12−3= ．
思路引领：分子和分母同时乘以2+3即可．
解：12−3，
=2+3(2−3)(2+3)，
＝2+3；
故答案为：2+3．
总结提升：本题考查了分母有理化，找对有理化因式，再相乘，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式的式子．
6．(2023春•江城区期末）化简−3227的结果是 ．
思路引领：分子、分母同乘以有理化因式3，即可分母有理化使式子最简．
解：−3227=−32×327×3=−369=−63．
故答案为：−63．
总结提升：此题考查分母有理化，关键是确定有理化因式3．
7．(2023秋•宝山区校级期中）已知：x=3+23−2，y=3−23+2，求x2+xy+y2的平方根．
思路引领：先将x、y化简，然后即可得到x+y、xy的值，从而可以求得所求式子的值．
解：∵x=3+23−2=（3+2）2＝5+26，y=3−23+2=5﹣26，
∴x+y＝10，xy＝1，
∴x2+xy+y2
＝（x+y）2﹣xy
＝102﹣1
＝100﹣1
＝99．
∴x2+xy+y2的平方根为±311．
总结提升：本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
8．(2023春•普陀区校级期末）计算：105−45−1．
思路引领：先根据分母有理化化简各式，再合并即可．
解：105−45−1
=25−1−5
=5−1．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
9．(2023秋•浦东新区校级月考）计算：1−32+3−41+3．
思路引领：先分母有理化，再进行二次根式加减．
解：原式=(1−3)(2−3)(2+3)(2−3)−4(1−3)(1+3)(1−3)
=2−23−3+34−3−4−431−3
＝5﹣33+2﹣23
＝7﹣53．
总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，掌握分母有理化及二次根式的运算法则是解决本题的关键．
10．(2023秋•赫山区期末）“分母有理化”是我们常见的一种化简的方法．
如：2+12−1=(2+1)(2+1)(2−1)(2+1)=3+22．
除此之外，我们也可以平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数．
如：化简2+3−2−3．
解：设x=2+3−2−3，易知2+3＞2−3，故x＞0．
由于x2＝（2+3−2−3）2＝2+3+2−3−2(2+3)(2−3)=2．
解得x=2，即2+3−2−3=2
根据以上方法，化简：3−223+22+3−5−3+5．
思路引领：根据题目提供的方法先计算3−5−3+5．再计算3−223+22，进而进行计算即可．
解：设x=3−5−3+5，易知3−5＜3+5，故x＜0，
由于x2＝（3−5−3+5）2＝3−5+3+5−2(3−5)(3+5)=2，
所以x=−2，即3−5−3+5=−2，
所以原式=(3−22)(3−22)(3+22)(3−22)−2
＝17﹣122−2
＝17﹣132．
总结提升：本题考查分母有理化，平方差公式以及二次根式的化简和性质，掌握分母有理化，平方差公式以及二次根式的化简和性质是正确解答的前提．
11．(2023春•大连月考）阅读材料：
黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2+3）（2−3）＝1，（5+2）（5−2）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如13=1×33×3=33，2+32−3=(2+3)(2+3)(2−3)(2+3)=7+43．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4+7的有理化因式可以是 ，232分母有理化得 ．
（2）计算：
①11+2+12+3+13+4+⋯+11999+2000．
②已知：x=3−13+1，y=3+13−1，求x2+y2的值．
思路引领：（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）①原式各项分母有理化，合并即可得到结果；
②将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．
解：（1）4+7的有理化因式可以是4−7，232分母有理化得：23；
故答案为：4−7；23
（2）①原式=2−1+3−2+⋯+2000−1999=2000−1＝205−1；
②∵x=3−13+1=2−3，y=3+13−1=2+3，
∴x2+y2＝7﹣43+7+43=14．
总结提升：此题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
12．(2023春•钢城区期末）阅读下列解题过程：
12+1=1×(2−1)(2+1)×(2−1)=2−1(2)2−12=2−1；
13+2=1×(3−2)(3+2)(3−2)=3−2(3)2−(2)2=3−2．
请回答下列问题：
（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
①17+6= ；②1n+n−1= ；
（2）应用：求12+1+13+2+14+3+15+4+⋯+110+9的值；
（3）拓广：13−1−15−3+17−5−19−7= ．
思路引领：（1）①直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；
②直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；
（2）直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案；
（3）直接利用找出分母有理化因式进而化简求出答案．
解：（1）①17+6=1×(7−6)(7+6)(7−6)=7−6；
②1n+n−1=1×(n−n−1)(n+n−1)(n−n−1)=n−n−1；
故答案为：7−6；n−n−1；
（2）12+1+13+2+14+3+15+4+⋯+110+9
=2−1+3−2+4−3+⋯+10−9
=10−1；
（3）13−1−15−3+17−5−19−7
=3+1(3−1)(3+1)−5+3(5−3)(5+3)+7+5(7−5)(7+5)−9+7(9−7)(9+7)
=3+12−5+32+7+52−9+72
=3+1−5−3+7+5−9−72
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
总结提升：此题主要考查了分母有理化，正确找出分母有理化因式是解题关键．
13．(2023春•广饶县期中）【阅读材料】
材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化，通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．
例如：化简13+2
解：13+2=1×(3−2)(3+2)(3−2)=3−2
材料二：化简a+2b的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn＝b，那么a±2b=m2+n2±2mn=(m±n)2=m±n．
例如：化简3±22
解：3±22=(2)2+12+22=(2+1)2=2+1
【理解应用】
（1）填空：化简5+35−3的结果等于 4+15 ．
（2）计算：
①7−210；
②12+1+13+2+12+3+⋯+12020+2019+12021+2020．
思路引领：（1）根据材料一方法，把分母有理化化简即可得出答案；
（2）根据材料一、二方法化简即可得出答案．
解：（1）5+35−3
=(5+3)2(5−3)(5+3)
=8+2155−3
＝4+15；
故答案为：4+15；
（2）①7−210=(5−2)2=5−2；
②12+1+13+2+12+3+⋯+12020+2019+12021+2020
=2−12−1+3−23−2+2−34−3+⋯+2020−20192020−2019+2021+20202021−2020
＝﹣1+2021．
总结提升：本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，探索二次根式计算中的规律，将第一个多项式的每项分母有理化，裂项相消是解题的关键．
14．(2023春•安庆期中）阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．
比如：7−6=(7−6)(7+6)7+6=17+6．
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7−6和6−5的大小可以先将它们分子有理化如下：7−6=17+6，6−5=16+5．
因为7+6＞6+5，所以，7−6＜6−5．
再例如，求y=x+2−x−2的最大值、做法如下：
解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y=x+2−x−2=4x+2+x−2．
当x＝2时，分母x+2+x−2有最小值2．所以y的最大值是2．
利用上面的方法，完成下述两题：
（1）比较15−14和14−13的大小；
（2）求y=x+1−x−1+3的最大值．
思路引领：（1）先将两数变形为115+14、114+13，再由15＞13知15+14＞14+13，从而得出答案；
（2）根据二次根式有意义的条件得出x≥1，据此知x+1+x−1有最小值2，从而得到y=x+1−x−1+3=2x+1+x−1+3的最大值．
解：（1）15−14=115+14，
14−13=114+13，
而15＞13，
∴15+14＞14+13，
∴15−14＜14−13；
（2）∵x+1≥0，x﹣1≥0，
∴x≥1，
∵y=x+1−x−1+3=2x+1+x−1+3，
当x＝1时，分母x+1+x−1有最小值2，
∴y=2x+1+x−1+3有最大值是2+3．
总结提升：本题主要考查分母有理化，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件及二次根式分母有理化的能力
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