人教版七年级数学下册同步压轴题 专题03 实数的四种特殊考法全攻略（原卷版+解析版）

这是一份人教版七年级数学下册同步压轴题 专题03 实数的四种特殊考法全攻略（原卷版+解析版），共22页。试卷主要包含了比较大小与实数估算，整数部分问题，新定义问题，规律性问题等内容，欢迎下载使用。

类型一、比较大小与实数估算
例1．比较大小：__________．
例2.比较下列实数的大小___________．
【变式训练1】设a=，b=，c=3，则a，b，c的大小关系为_______．
【变式训练2】比较大小______ ．
【变式训练3】比较大小：_____；_____(填“＞”或“＜”或“＝”)
【变式训练3】比较与的大小．
类型二、整数部分问题
例．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，∵，∴．于是可以用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分是．请解答下列问题：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)已知a是的整数部分，b是其小数部分，求的值．
【变式训练1】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是这个数的小数部分，又例如：，即，所以的整数部分为2，小数部分为，请解答：
(1)的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知：x是的整数部分，y是其小数部分，请直接写出的值的相反数．
【变式训练2】材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分．
材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即，要满足，．
根据以上材料，完成下列问题：
(1)的整数部分是________，小数部分是__________；
(2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的算术平方根．
(3)若，则________，________．
【变式训练3】规定：表示实数x的整数部分．如，，在此规定下解决下列问题．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【变式训练4】规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[]＝0，[]＝3，[]＝1，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题：
(1)[]＝ ，的小数部分为 ；
(2)已知a，b分别是的整数部分和小数部分，求的值．
类型三、新定义问题
例．定义：若无理数(为正整数)：(其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数)，则称无理数的“雅区间”为．例如：因为，所以，所以的“雅区间”为，所以的雅区间为．
解答下列问题：
(1)的“雅区间”是___________；的“雅区间”是___________．
(2)若无理数(为正整数)的“雅区间”为，的“雅区间”为，求的值．
【变式训练1】若是一个大于11两位数，与它相邻的11的整数倍的数为它的“邻居数”，与它最接近的“邻居数”为“最佳邻居数”，的“最佳邻居数”记作，令；若是一个大于111的三位数，它的“邻居数”则为111的整数倍，依此类推．例如：50的“邻居数”为44与55，，，∵，55为50的“最佳邻居数”，∴，
再如：492的“邻居数”为444和555，，，
∵，∴444是492的“最佳邻居数”，∴．
(1)求和的值；
(2)若为一个两位数，十位数字为，个位数字为，且．求的值．
【变式训练2】对任意一个三位正整数n，如果n满足百位上的数字小于十位上的数字，且百位上的数字与十位上的数字之和等于个位上的数字，那么称这个数n为“望岳数”．“望岳数”n的各个数位上的数字之和的算术平方根的结果记为．例如：，满足，且，所以134是“望岳数”，；例如：，满足，但是，所以237不是“望岳数”；再如：，满足，但是，所以415不是“望岳数”．
(1)判断347和157是不是“望岳数”，并说明理由；
(2)若t是“望岳数”，且t的3倍与t中十位数字的4倍的和能被11整除，求满足条件的“望岳数”t以及的最大值．
【变式训练3】下面是小明探索的近似值的过程：
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知．因此可设，画出如下示意图．
由图中面积计算，
另一方面由题意知
所以
略去，得方程．
解得．即．
(1)仿照上述方法，探究的近似值．(画出示意图，标明数据，并写出求解过程)
(2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且，请估算___________．(用a、b的代数式表示)
类型四、规律性问题
例．对于实数a，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，，
(1)仿照以上方法计算：_____；=_____；
(2)计算：；
(3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止，例如，对10连续求根整数2次，即，这时候结果为1，那么只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是______．
【变式训练1】先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③．
(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值
【变式训练2】观察表格，回答问题：
(1)表格中________，________；
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则________；
②已知，若，用含m的代数式表示b，则________；
(3)试比较与a的大小．
当________时，；当________时，；当________时，．
【变式训练3】我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗?
下面是小超的探究过程，请补充完整：
(1)求；
①由，，可以确定是___________位数；
②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是___________；
③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是___________；由此求得____________．
(2)已知185193也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得___________．
a
…
0.0001
0.01
1
100
10000
…
…
0.01
x
1
y
100
…
专题03 实数的四种特殊考法
类型一、比较大小与实数估算
例1．比较大小：__________．
【答案】
【详解】解：∵，,
∴，即，
故答案为：．
例2.比较下列实数的大小___________．
【答案】
【详解】解：∵，即，
∴，
∴，
故答案为：
【变式训练1】设a=，b=，c=3，则a，b，c的大小关系为_______．
【答案】a＜c＜b
【详解】解：∵，
∴，即；
∵，
∴，
∴，
∵，∴，
故答案为：
【变式训练2】比较大小______ ．
【答案】<
【详解】解：

，
，
．
故答案为：．
【变式训练3】比较大小：_____；_____(填“＞”或“＜”或“＝”)
【答案】 < <
【详解】解：，
∴，
∵．
∴．
故答案为：＜，＜．
【变式训练3】比较与的大小．
【答案】
【详解】解：，
，
，，
，
．
类型二、整数部分问题
例．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，∵，∴．于是可以用来表示的小数部分，又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分是．请解答下列问题：
(1)的整数部分是 ，小数部分是 ．
(2)已知a是的整数部分，b是其小数部分，求的值．
【答案】(1)4，；(2)
【详解】(1)解：∵，
∴，
∴的整数部分为4，小数部分为，
故答案为：4；；
(2)解：∵，
∴，
∴，
∴的整数部分是5，小数部分是，
∴，
∴．
【变式训练1】阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是这个数的小数部分，又例如：，即，所以的整数部分为2，小数部分为，请解答：
(1)的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知：x是的整数部分，y是其小数部分，请直接写出的值的相反数．
【答案】(1)；(2)2；(3)
【详解】(1)解：
的整数部分是3，小数部分是，
故答案为：；
(2)
的整数部分是1，小数部分为
，
的整数部分为3，小数部分为
，
(3)
由题意得，
的值的相反数为：．
【变式训练2】材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是得来的，类比来看，是无理数，而，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分．
材料2：若，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即，要满足，．
根据以上材料，完成下列问题：
(1)的整数部分是________，小数部分是__________；
(2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的算术平方根．
(3)若，则________，________．
【答案】(1)4，
(2)3
(3)，．
【详解】(1)解：，
的整数部分为4，小数部分为，
故答案为：4，；
(2)，
，
也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，
，，
，
的算术平方根为；
(3)，即，
，，
故答案为：，．
【变式训练3】规定：表示实数x的整数部分．如，，在此规定下解决下列问题．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)6
(2)16
(3)160
【详解】(1)解：
；
(2)∵，，，
∴，，
∴
；
(3)∵，，，，
∴，
，
，
∴
【变式训练4】规定用符号[x]表示一个实数的整数部分，例如[]＝0，[]＝3，[]＝1，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题：
(1)[]＝ ，的小数部分为 ；
(2)已知a，b分别是的整数部分和小数部分，求的值．
【答案】(1)2，
(2)
【详解】(1)解：

4，
∵36＜40＜49，
∴67，
∴24＜3，
∴原式的整数部分是2，小数部分为，
故答案为：2，；
(2)解：∵4＜5＜9，
∴23，
∴，
∴，
∴，，
∴
．
类型三、新定义问题
例．定义：若无理数(为正整数)：(其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数)，则称无理数的“雅区间”为．例如：因为，所以，所以的“雅区间”为，所以的雅区间为．
解答下列问题：
(1)的“雅区间”是___________；的“雅区间”是___________．
(2)若无理数(为正整数)的“雅区间”为，的“雅区间”为，求的值．
【答案】(1)，
(2)2或
【详解】(1)解：，
，
的雅区间为，
，
，
的雅区间为，
故答案为：，；
(2)解：无理数(为正整数)的“雅区间”为， ，即，
可能为5,6,7,8，
又的“雅区间”为，
即，
为7或8，
当时，，
当时，．
【变式训练1】若是一个大于11两位数，与它相邻的11的整数倍的数为它的“邻居数”，与它最接近的“邻居数”为“最佳邻居数”，的“最佳邻居数”记作，令；若是一个大于111的三位数，它的“邻居数”则为111的整数倍，依此类推．例如：50的“邻居数”为44与55，，，∵，55为50的“最佳邻居数”，∴，
再如：492的“邻居数”为444和555，，，
∵，∴444是492的“最佳邻居数”，∴．
(1)求和的值；
(2)若为一个两位数，十位数字为，个位数字为，且．求的值．
【答案】(1)，
(2)73或94
【详解】(1)∵83的邻居数为77和88，
∴，，
∵，
∴88是83的邻居数，
∴，
∵144的邻居数为111和222，
∴，，
∵，
∴111是144的邻居数，
；
(2)∵，且，，
∴必大于33，
∴不会再300与366之间，∴，
情况1，当的最佳邻居数为333时，，
∴，∴，
∵，，且为整数，∴，∴，
情况2，当的最佳邻居数为444时，
，∴，
∴，∴，∴，
综上所述，的值为73或94．
【变式训练2】对任意一个三位正整数n，如果n满足百位上的数字小于十位上的数字，且百位上的数字与十位上的数字之和等于个位上的数字，那么称这个数n为“望岳数”．“望岳数”n的各个数位上的数字之和的算术平方根的结果记为．例如：，满足，且，所以134是“望岳数”，；例如：，满足，但是，所以237不是“望岳数”；再如：，满足，但是，所以415不是“望岳数”．
(1)判断347和157是不是“望岳数”，并说明理由；
(2)若t是“望岳数”，且t的3倍与t中十位数字的4倍的和能被11整除，求满足条件的“望岳数”t以及的最大值．
【答案】(1)347是“望岳数”，157不是“望岳数”，理由见解析
(2)综上，满足条件的“望岳数”t有145，459，的最大值为
【详解】(1)解：347是“望岳数”；理由如下：
∵，且，
∴347是“望岳数”；
157不是“望岳数”，理由如下：
∵，但，
∴157不是“望岳数”；
(2)解：设t的百位数字为a，十位数字为b，则个位数字为，
则，
t的3倍与t中十位数字的4倍的和为：
，
由题可知，，且，a，b均为正整数，
①当时，
∵能被11整除，
∴，
此时，，
②当时，
没有b值使能被11整除，
③当时，
没有b值使能被11整除，
④当时，
∵能被11整除，
∴，
此时，，
综上，满足条件的“望岳数”t有145，459，的最大值为．
【变式训练3】下面是小明探索的近似值的过程：
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知．因此可设，画出如下示意图．
由图中面积计算，
另一方面由题意知
所以
略去，得方程．
解得．即．
(1)仿照上述方法，探究的近似值．(画出示意图，标明数据，并写出求解过程)
(2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且，请估算___________．(用a、b的代数式表示)
【答案】(1)2.25，见解析
(2)
【详解】(1)解：面积是5的正方形的边长是，
设，如图，面积为5的正方形分成2个小正方形和2个矩形，
∵，
而，
∴，
略去，得方程，解得，
即．
(2)解：设，
∴，
∵，∴，
解得，∴，故答案为：．
类型四、规律性问题
例．对于实数a，我们规定，用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，，
(1)仿照以上方法计算：_____；=_____；
(2)计算：；
(3)如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止，例如，对10连续求根整数2次，即，这时候结果为1，那么只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是______．
【答案】(1)2；6
(2)131
(3)255
【详解】(1)解：∵，
∴ ；
∵，
∴，
∴，
故答案为：2；6；
(2)解：∵，
∴；
(3)解：∵，
∴，，，，
∴刚好经过4次操作后的结果为1，
∵，，，
∴刚好经过3次操作后的结果为1，
∴只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是255，
故答案为：255．
【变式训练1】先观察下列等式，再回答问题：
①；
②；
③．
(1)根据上而三个等式提供的信息，请你猜想______．
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n的式子表示的等式：______．
对任何实数a可表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值
【答案】(1)
(2)，49
【详解】(1)解：；
(2)由题干信息归纳可得：
，
∴
．
【变式训练2】观察表格，回答问题：
(1)表格中________，________；
(2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则________；
②已知，若，用含m的代数式表示b，则________；
(3)试比较与a的大小．
当________时，；当________时，；当________时，．
【答案】(1)0.1；10；
(2)①31.6；②；
(3)，或0，．
【详解】(1)解：，．
故答案为：0.1；10；
(2)解：①根据题意得：．
②结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍，
．
故答案为：31.6；；
(3)解：当或1时，；
当时，；
当或0时，；
当时，，
故答案为：，或0，．
【变式训练3】我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求24389的立方根，华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗?
下面是小超的探究过程，请补充完整：
(1)求；
①由，，可以确定是___________位数；
②由24389的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是___________；
③如果划去24389后面的三位389得到数24，而，，可以确定的十位上的数字是___________；由此求得____________．
(2)已知185193也是一个整数的立方，用类似的方法可以求得___________．
【答案】(1)两；9；2、29
(2)57
【解析】(1)
解：①，
，
是两位数；
② 24389的个位上的数字是9，数字0-9中只有数字9的立方的个位数是9，
个位上的数字是9；
③，，，
十位上的数字是2，
．
(2)
，
，
是两位数；
185193的个位上的数字是3，数字0-9中只有数字7的立方的个位数是3，
个位上的数字是7；
划去185193后面的三位193得到数185，
，，，
十位上的数字是5，
，
故答案为：57．
a
…
0.0001
0.01
1
100
10000
…
…
0.01
x
1
y
100
…