最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题42 三角形的存在性综合问题 （全国通用）

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1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
专题42 三角形的存在性综合问题
【题型演练】
一、解答题
1．如图，在中，，，点D为边上一点，连结，过点B作交的延长线于点E．
(1)如图1，若，，求的面积；
(2)如图2，延长到点F使，分别连结，，交于点G．求证：．
(3)如图3，若，点M是直线上的一个动点，连结，将线段绕点D顺时针方向旋转得到线段，点P是边上一点，，Q是线段上的一个动点，连结，．当的值最小时，请直接写出的度数．
【答案】(1)32
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过点作于点，利用8字型图，得到，易得，从而得到，再利用面积公式进行计算即可；
（2）延长到，使，连接和， 证明，得到，连接，推出是等腰三角形，过点作，得到，根据平行线间距离处处相等，得到，从而得到，即可得证；
（3）过点作交的延长线于点，作点关于的对称点，连接，证明，推出点在直线上运动时，点在过点且垂直于的直线上运动，根据轴对称和三角形的三边关系以及垂线段最短，得到，得到三点共线时，且时，有最小值，根据，求出，证明，进而得到，即可得出结论．
【详解】（1）如图1，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴的面积为；
（2）如图2，延长到，使，连接和，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，

∴，
∴，
，
连接，
∵，
∴是的中垂线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作，则：，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴，（平行线间的距离处处相等）
∴，
∴；
（3）如图3，过点作交的延长线于点，作点关于的对称点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，
∴，
∴，
在和中，

∴，
∴，
∴，
∴点在直线上运动时，点在过点且垂直于的直线上运动；
∵点关于的对称点，
∴，
∵，
∴的最小值为，
∴当时，有最小值：
此时，，如图4，
，
∵点关于的对称点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用轴对称解决线段和最小问题．本题的综合性强，难度大，解题的关键是添加合适的辅助线，证明三角形全等．本题中蕴含手拉手全等模型，将军饮马问题．
2．已知正方形，点为直线上的一点，连接，过点作射线，交直线于点E，连接，取的中点，连接
(1)如图1，点在线段的中点时，直接写出与的数量关系；
(2)如图2，
①点P在线段上时，试判断（1）中的结论是否成立，并说明理由；
②若点P在直线上，，，直接写出的长；
(3)设，若点运动到某一位置时使为等边三角形，请直接写出的长．
【答案】(1)；
(2)①成立，理由见解析；②的长为或；
(3)的长为或．
【分析】（1）先证明是等腰直角三角形，因此可得；
（2）①过点作于，于，先根据AAS证明，则可得，再根据ASA证明，则可得是等腰直角三角形，因此可得，再根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得，因此．
②分两种情况，分点在线段上和P点在的延长线上．作于点，先求出的长，则可知的长，再求出的长，则可求出的长，再根据求出的长即可．
（3）分两种情况，点在上方和点在下方．①F点在上方时，由是等边三角形可求出、的长，再求出的长，设，根据勾股定理列方程求出x，即可知的长，则可求出的长． ②F点在下方时，是等边三角形可求出、、的长， 再求出的长， 作于Q点， 设，在中据勾股定理列方程求出x，即可知的长，进而可可求出的长和的长．
【详解】（1），理由如下：
∵四边形是正方形
P是线段的中点
∵F是中点
（2）①如图，点P在线段上时，（1）中的结论仍然成立，理由如下：
过P点作于G，于H
又
∴四边形是矩形
∵正方形中，平分
又
∴是等腰直角三角形
∵F是中点
∵Rt中，F是中点
②(ⅰ)如图，P点在线段上时，作于Q
由①知
(ⅱ)如图，若P点的延长线，
过P点作于G，于H
又
∴四边形是矩形
∵正方形中，平分
又
∴是等腰直角三角形
∵F是中点
∵Rt中，F是中点
延长，作于Q点
∴

综上，的长为或
（3）
①如图，F点在上方时
∵为等边三角形
由①知是等腰直角三角形
延长，作于Q点
则
设则
由
得
解得（舍去）
②①如图，F点在下方时
∵为等边三角形
∵是等腰直角三角形
过P点作于Q点
则
设，则
在Rt中
解得（舍去），
综上，的长为或
【点睛】本题综合性较强，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．正确的画出图形，并且正确的作出辅助线是解题的关键． 注意分类讨论，不要漏解．
3．在中，D为直线上一动点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接与相交于点F．
(1)如图1，若D为的中点，，，，连接，求线段的长；
(2)如图2，G是线段延长线上一点，D在线段上，连接，，若，，，，证明；
(3)如图3，若为等边三角形，，点M为线段上一点，且，点P是直线上的动点，连接，，，请直接写出当最小时的面积．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（1）根据题意由勾股定理可得长度，作，交于，利用旋转及互余可证得（AAS），则得，，可求出，再由勾股定理可得的长度；
（2）由旋转可知，为等腰直角三角形，根据其性质再利用互余可证得（AAS），则有，，由，可证，由，利用三角形内角和定理可得，作，交延长线于，连接，易知，为等腰直角三角形，可得，，，易得，可证四边形是平行四边形，即，利用可得证结论；
（3）作，交于，将绕点逆时针旋转，证明（SAS），进而证得，作点关于的对称点，连接，，由对称易知，易知当最小时，即最小，亦即、、在同一直线，且，如图，作，交于，易知四边形是矩形，证得是等边三角形，求出，的高，根据可得答案．
【详解】（1）解：∵为的中点，，，
∴，则由勾股定理，可得：，
作，交于，
由题意可知，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴（AAS），
∴，，
则，
由勾股定理可得：；
（2）证明：由旋转可知，为等腰直角三角形，
∴，，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，，
∴（AAS），
∴，，
则：，
∵，
∴，即：，
∴，
又∵，
由三角形内角和定理可得：，
即：，
∴，
作，交延长线于，连接，
∴为等腰直角三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，即，
∴；
（3）作，交于，
∵是等边三角形，
∴，，平分，
则，
将绕点逆时针旋转，则，，
∴，
∴（SAS），
∴
∴，
作点关于的对称点，连接，，由对称易知，，
∴
当最小时，即最小，亦即、、在同一直线，且，如图：
作，交于，则，
∴，，
∵，，
∴，，四边形是矩形，
则，，即，
由轴对称可知，，
∴是等边三角形，则：，
∵，
∴，，
∴，，
则由勾股定理可得：，，
∵，，
则为，之间的距离，
∴，即的高
∴，
∴．
【点睛】本题属于几何综合题，考查了全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，第（2）问证明，解决问题的关键，第（3）问弄清的运动轨迹是解决问题的关键．
4．在中，，平分，为上一点．
(1)如图1，过作交于点，若，，求的长；
(2)如图2，若，过作交的延长线于点，为延长线上一点，连接，过作交于点，交于点，且，猜想线段与之间的数量关系并证明你的猜想；
(3)如图3，将（2）中沿翻折得到，为上一点，连接，过作交于点，，，再将沿翻折得到，交、分别于点、，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作于点，根据角平分线的性质得出，证明，得出，设，则，在中，，进而证明，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解；
（2）连接，过点作于点，证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，证明，设，继而证明，得出，根据，即可得出结论；
（3）过点作于点，交的延长线于点，过点作于点，由（2）可知是等腰直角三角形，则四边形是正方形，得出是等腰直角三角形，证明，求得，在中，设，，继而解直角三角形，求得，接下来求得的长，设，勾股定理得出①，证明，得出②，联立解关于的方程，即可求解，进而求得比值即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴，
设，则，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（2），理由如下，
证明：如图，连接，过点作于点，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵,
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴
又，，
∴，
∴
设，
∵，
∴
∴，
∴，
在与中，
∴
∴
∵，,
又∵,
∴,
∴
（3）解：如图所示，

过点作于点，交的延长线于点，过点作于点，
由（2）可知是等腰直角三角形，
依题意，则四边形是正方形，
∴，,
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，，
∴
∴
即
∴
∴,，
则，
∴,
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，,
∵折叠，
∴
设
∴
在中，
∴
∴，
∴，
∵，
∴,
设，则
在中，，
即①
∵折叠，
∴，
又∵
∴
∴
∴②，
联立①②得
解得：或（舍去）
∴
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质，折叠的性质，解直角三角形，构造全等三角形是解题的关键．
5．如图1，中，，，以为直径的恰好经过点，延长至，使得，连接．
(1)求的半径；
(2)求证：；
(3)如图2，在上取点，连接并延长交于点，连接交于点．
①当时，求的值；
②设，，求关于的函数表达式．
【答案】(1)的半径是；
(2)见解析
(3)①；②．
【分析】（1）由是的直径，得，用勾股定理可得的半径是；
（2）证明直线是的垂直平分线，有，故；
（3）①由，得，可得，，设，在中，，得，即得，，，从而得；
②过A作于K；连接，由，得，而，即可得，，又，有，，再证，得，故，即得．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴，
∴，
∴的半径是；
（2）证明：由（1）知，
∴，
∵，
∴直线是的垂直平分线，
∴，
∴；
（3）解：①如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
∴，
∴；
②过A作于K，连接，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握圆的相关性质和相似三角形的判定定理．
6．在中，，．点D是平面内一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，．
(1)如图1，若点D为线段的中点，且，求的长；
(2)如图2，若点D为内部一点，过点A作交的延长线于点F，交于点G，求证：；
(3)如图3，在（1）的条件下，点M是射线上的一点，点N是线段上一点，且，连接，．当最小时，直接写出与的面积的和．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，根据可证，得到，，然后在中根据勾股定理求解即可；
（2）延长至点M，使，连接，延长交于点N，角于点Q，根据可证，得出，结合三角形的内角和定理可证，进而证出，然后根据平行线分线段成比例可得出，即可得出结论；
（3）将绕点B顺时针旋转，连接交与N，以A为原点，建立如图所示的直角坐标系，过E作点H，根据可证，得出，进而得出，故当E，N，C三点共线时，最小，然后根据等腰三角形的性质求出C，E的坐标，再由待定系数法求出直线解析式，可求，，再等腰三角形的性质求出，，最后根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：连接，
∵绕着点A逆时针旋转得到线段，
∴，，
又，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，点D为线段的中点，且，
∴，
∴；
（2）证明：延长至点M，使，连接，延长交于点N，交于点Q，
∵，
∴，
又，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（3）解：将绕点B顺时针旋转，连接交与N，
以A为原点，建立如图所示的直角坐标系，
过E作点H
则，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
当E，N，C三点共线时，最小，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
当时，，即，
∴，
过N作于点P，过M作于点K，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．
7．【问题发现】
（1）如图①，是等边三角形，点D，E分别是边上一点，且，点P在线段上运动，以为边向右作等边．
①求证：
②过点F作于点G，连接，请判断的长度是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
【类比探究】
（2）如图②，长方形中，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，当点F从点B运动到点A时，请求出点G运动的路程．
【答案】（1）①见解析；②是；；（2）4．
【分析】（1）①作交于点Q，易证是等边三角形，结合已知可得，，利用三角形外角求得从而计算出即可；
②利用等腰三角形性质和三角形外角求得，在证即可求解；
（2）长方形中，如图2 ，连接，过点G做，易证是等腰直角三角形，可得，由 、，可得，易证，可得为定值，如图3，当F在点B时，点G在点处，当点F在点A时，点G在点处，由G到的距离始终为1，，由勾股定理及旋转可求得，结合，可求得，在中运用勾股定理可求解．
【详解】解：（1）①如图①甲，作交于点Q，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
在中，
，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）长方形中，，，，
如图2 ，连接，过点G做，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴ ，
如图3，当F在点B时，点G在点处，当点F在点A时，点G在点处，
∵G到的距离始终为1，
∴，
由旋转可知，
且，
∴，
在中，
，
即当点F从点B运动到点A时，请求出点G运动的路程为4．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的证明和性质、勾股定理、角的有关计算及即一线三角模型的应用；解题的关键是通过角的转换证明三角形全等．
8．如图，等腰中，，平分．点为上的动点，连接，将沿折叠得到．
(1)若，试求出的长度；
(2)若，设与相交于点．
①请求出的度数；
②连接，过点作交的延长线于点．若，．试求线段的长．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质即可得出答案；
（2）①如图，连接，先证明是等边三角形，得出，再利用三角形的外角的性质得出即可；
②过点作于，于，于，先证明，在中，，得出，设，则，推出，，，再证明，得出
，由此构建方程即可求解．
【详解】（1）解：∵，平分，，
∴，
∴．
∴的长度为．
（2）解：①如图，连接，
∵，平分，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
由翻折的性质可知：，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴的度数为；
②如图，过点作于，于，于，
∵平分，，
∴，，
∴，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长为．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，角平分线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，本题运用了方程的思想．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
9．在等边三角形中，点D为上一点，连接，将绕D逆时针旋转角度得到，连接，已知，；

(1)如图1，若，，连接，求的长；
(2)如图2，若，分别取的中点H，的中点F，连接，，求证：；
(3)如图3，若，P为上一点，且满足，连接，将沿着所在直线翻折得到，连接，当最大时，直接写出的面积．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）解：由旋转性质及等边三角形性质可知，可证（SAS），得，由，可得，，根据，可得，从而通过可计算出结果；
（2）延长，使，连接，，则，根据题意可知，为的中位线，即，类比（1）可证得（SAS），可得，即，由为的中点，可得，，从而可得，即可得结论；
（3）由（1）知，，，，由，则，可得，由，得，作，可得，利用相似三角形得性质可列比例式，求得，，，可知点的轨迹为：以为圆心，为半径的圆，由翻折可知，，而，当，，在同一直线上时取最大值，即取最大值，此时，，，进而可求得面积．
【详解】（1）解：由旋转性质可知，，
∵旋转角，
∴是等边三角形，则，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，即，
∴（SAS），
∴，
∵，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：延长，使，连接，，则，
即为的中点，
∵为的中点，
∴为的中位线，即，
旋转角，由旋转性质可知：，
∵为的中点，
∴，平分，
∴，，则，
∴为等边三角形，
∴，，
又∵为等边三角形，
∴，，
∴，即，
∴（SAS），
∴，即，
∵为的中点，
∴，
，
∴
∴．
（3）由（1）知，，，，
∵，则，
∴，
由，得，
作，则：，
∴，则，，，
即点的轨迹为：以为圆心，为半径的圆，
由翻折可知，，而，当，，在同一直线上时取最大值，即：取最大值，如图
此时，，，
则．
【点睛】本题属于几何题综合，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，翻折的性质，勾股定理，解直角三角形，添加辅助线构造全等三角形及相似相似三角形是关键．
10．【母体呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为．求的周长．
解：是由折叠而得到
，

的周长为：
【知识应用】在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接．
（1）如图1，若，，求的面积；
（2）如图2，求证平分；
【拓展应用】如图3，在中，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，过点作的平分线交于点连接，过点作．
（3）若，，，直接写出长；
（4）若，求证．
【答案】（1）（2）证明过程见解析（3）（4）证明过程见解析
【分析】（1）根据已知条件可得，从而可以计算得解；
（2）过点分别作、、边的垂线，垂足分别为点、、，利用全等性质，通过等量代换即可得到，通过角平分线性质即可得证；
（3）过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接，通过条件可证得，利用关系即可得解；
（4）过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接，通过条件可证得，然后将整理化简，最后等量代换即可得证．
【详解】（1）解：由题可知，，，，
；
（2）证明：如图，过点分别作、、边的垂线垂足分别为点、、，
由题可知，，，
，
平分，
，
，
，
则平分；
（3）解：如图，过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接，
由题可知，，，
,
由（2）可知，
，
，
,
即，
解得；
（4）证明：如图，过点分别作、边的垂线，垂足分别为点、，连接，
由（2）可知，，
，，，
，，，四边形是正方形，
，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
【点睛】本题考查了图形折叠、全等三角形、角平分线性质，适当添加辅助线，采用等量代换的方法是解题关键．
11．（1）已知中，，．
①如图1，点M，N均在边上，，，，连接；请直接写出与的数量关系
②如图2，点M在边上，点N在的上方，且，求证：；
（2）如图3，在四边形中，，平分，若与互余，则的大小为______（用含的式子表示）．
【答案】（1）①；②详见解析；（2）
【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质得出，证明，得出，由直角三角形的性质可得出结论；
②如图2，在上截取，连接，证明，得出，证明，得出，则可得出结论；
（2）如图3，过点D作于点M，于点N，在上截取．证明，得出，证明，得出，由三角形内角和定理可求出答案．
【详解】解：（1）①．
∵，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
②如图，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
（2）如图，过点作于点，于点，在上截取．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识的综合运用，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加辅助线解决问题．
12．如图，在中，半径弦于点E，连接，，点D为上一点，连接、．
(1)如图1，求证；
(2)如图2，点F为上一点，连接，，若，求证：平分；
(3)如图3，在（2）的条件下，平分，交于点K，连接，设与交于点H，，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】(1)根据半径弦可得，，再根据圆周角定理可证得，据此即可证得结论；
(2)首先可证得，可得，再根据圆周角定理可证得结论；
(3)延长到点P，使，连接，设，，设，设，根据圆周角定理及圆内
接四边形，可证得，据此即可证得是等腰三角形，，可证得，根据相似三角形的性质可求得，即可求得，，，，，过点O作于点L，连接、，可求得，，根据勾股定理可求得、、及的长．
【详解】（1）证明：半径弦，
，，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
平分；
（3）解：如图：延长到点P，使，连接，
，
设，，则，
，
设，，
平分，
设，
四边形是圆内接四边形，
，
在与中，
，
，，
，
，
是等腰三角形，
，
又，
，
得，
解得，
，，，，
，
过点O作于点L，连接、，
，
，
在中，，
，
在中，，，
，
解得，
在中，，
在中，．
【点睛】本题考查了圆周定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，综合性很强，作出辅助线是解决本题的关键．
13．如图，四边形内接于，对角线交于点E，连接交于点F，．
(1)如图（1）求证：．
(2)如图（2）若，求证：．
(3)如图（3）在（2）的条件下，作交CD于点G，于点M，若，，求线段OF的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图：连接OB，设，根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得、；然后根据三角形内角和定理求得，最后根据圆周角定理得到即可解答；
（2）根据可得，再根据直角三角形的性质和垂直的性质可得、，然后由同弧所对的圆周角相等可得，由直角三角形的性质可得最后、，进而得到，最后由等边对等角即可证明结论;
（3）先证明可得，，进而得到EG平分可得，设设，则，，，进而求得；如图：过点M作于H，连接，再根据等腰三角形的性质可得，最后运用正切函数和勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：如图：连接OB，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图：过点M作于H，连接
∵，
∴垂直平分，
∴，
在中，EM为斜边中线，
∴，
在和中，
，
∴（SSS），
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴EG平分，
∴点G到、的距离相等，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∴，
∵等腰，
∴，
在中，勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
在中，勾股定理得，
∴，，
，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、正切函数等知识点，考查知识点较多，综合运用相关知识成为解答本题的关键．
14．在四边形中，，；
(1)如图1，已知，求得的大小为___________；
(2)已知，，在（1）的条件下，利用图1，连接，并求出的长度；
(3)问题解决：如图2，已知，，现需要截取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧符合如图2所示的四边形，为了尽可能节约，你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形面积的最小值；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)5；
(3)能，四边形面积的最小值为．
【分析】（1）根据四边形的内角和为，即可求出的大小；
（2）将绕点B逆时针旋转得到，由旋转性质可知，，，，，，易证是等边三角形，得到，再证明，利用勾股定理即可得到答案；
（3）将绕点B逆时针旋转得到，连接，作的外接圆，连接，与交于点K，根据可知，当面积最大时，四边形的面积最小，求出面积的最大值即可得到答案．
【详解】（1）解：四边形的内角和为，
，
，，
，
故答案为：；
（2）解：如图①，将绕点B逆时针旋转得到，连接，
由旋转性质可知，，，，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
图①
（3）解：能，如图②，将绕点B逆时针旋转得到，连接，作的外接圆，连接，与交于点K，
图②
由（2）可知是等边三角形，
，
当面积最大时，四边形的面积最小，
，，
，
，
，
，
点A在定圆上运动，当O、A、B共线时，的面积最大，此时，，，
，
在上取一点F，使得，
，
，
是等腰直角三角形，
设，则，
，
，
解得，
，
的面积最大值为，
在中，，
，
四边形的面积的最小值为．
【点睛】本题考查了四边形综合题，等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，旋转的性质等知识，解题关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．
15．问题探究：
(1)如图（1），在中，，，点为边上的一动点，以为边在右侧作，且，，连．若，求的长；
(2)如图（2），边长为4的等边，点为边上的一动点，以为边在右侧作，连接，则__________；__________；的周长最小值是__________．
问题解决：
(3)如图3，四边形中，，，，，点分别为边，上的动点，且，是否存在点，使得四边形面积最大且的周长最小？若存在，求出四边形面积最大值和的周长最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)的长为
(2)，4，
(3)存在点，使得四边形面积最大且的周长最小，当点与点重合时，使得四边形面积最大且的周长最小，此时四边形面积为，的周长为
【分析】（1）由得，通过证明，得到，从而得到，最后用勾股定理，计算即可得到答案；
（2）由、为等边三角形，可证明出，从而得到，即可求出，由的周长，当时，最小，此时的周长也最小，计算即可得到答案；
（3）延长交于点，根据含有角的直角三角形的性质，可求出的长，令，则，从而可以表示出四边形面积，求出使四边形面积最大时的的值，作，交的延长线于，根据勾股定理，表示出的长，从而表示出的周长，求出使的周长最小的的值，看两个值是否相等，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
的长为；
（2）解：、为等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
的周长，
当时，最小，
，
为的中点，
，
，
周长的最小值，
故答案为：，4，；
（3）解：如图，延长交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
设，
，
，
，
，
解得：，（舍），
，
，
令，
，
，
，，
，
，
，
随的增大而增大，
，
当时，最大，为，
如图所示，作，交的延长线于，
，
，
，
，
，
的周长，
，
，
，
当时，的周长最小为，
因此存在点，使得四边形面积最大且的周长最小，
当点与点重合时，使得四边形面积最大且的周长最小，此时四边形面积为，的周长为．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识点，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，作出恰当的辅助线．
16．如图1，已知，在中，，，，点D在AB上且，点P，Q分别从点D，B出发沿线段，向终点B，C匀速移动，P，Q两点同时出发，同时到达终点．设，．
(1)求的值．
(2)求y关于x的函数表达式．
(3)如图2，过点P作于点E，连接，．
①当为等腰三角形时，求x的值．
②过D作于点F，作点F关于的对称点，当点落在的内部（不包括边界）时，则x的取值范围为___________．
【答案】(1)
(2)
(3)①或或；②
【分析】（1）求出的长，进一步求得结果；
（2）先表示出的长，进而求得结果；
（3）先表示出和的长，进而根据列出方程，从而求得结果．
【详解】（1）解：，
，；
（2）由题意得：，
，
，
，
；
（3）①如图1，
作于G，
在中，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
当时，
，
化简得：
，
解得：（舍去），
当时，
，
化简得：
，
解得：（舍去），
当时，
，
综上所述：或或；
②，
，
由（2）得：
，
，
当，且时，点在的内部，
此时，
,
，
又，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的分类，勾股定理，一次函数，解直角三角形，轴对称，解题的关键是具备较强的计算能力．
17．问题提出 如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：．
尝试应用 如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：．
问题拓展 如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）．
【答案】见解析
【分析】问题提出：由旋转的性质可证得，，进而得证，即可利用证明．
尝试应用：延长，使，连接，由题意可知、、、四点共圆，可得，进而可得，利用SAS可证得，根据其性质得，，，进而可证得，，即可得证．
问题拓展：将绕点逆时针旋转至，则为等边三角形，由，可知、、、、五点共圆，可得，，，根据，，可得，进而得证，可得，则，作交于，则，可求得，，即可求得的长度．
【详解】解：问题提出：
证明：∵，，将绕着点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，即：，
在与中，，
∴．
尝试应用：延长，使，连接，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
又∵，即：，
∴、、、四点共圆，
∴，
∴，
在与中，，
∴．
∴，，
∴，即：，
∴
∵
∴，
∴
即：．
问题拓展：将绕点逆时针旋转至，则为等边三角形，
∴，，
∵，
∴、、、、五点共圆，
则：，，，
，，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴
∴，
∵，，，
∴
∴，
∴，则，
作交于，则，
∵，
∴，
∴，
则：．
【点睛】本题属于几何综合，考查全等三角的判定及性质，等腰三角形的性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，添加辅助线构造全等三角形和利用圆周角定理转化角是解决问题的关键，属于中考压轴题．
18．如图，在中，，D、E分别是AB、BC上的点，过B、D、E三点作，交延长线于点F，，，．
(1)求证：；
(2)当与相切于点D时，求的半径；
(3)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，即可证明；
（2）连接，过点O作，垂足为M，求出，，再证明，从而求出求的半径
（3）过点D作，垂足为H，过点B作，垂足为G，利用等积法求出，设，则，利用，即可求出的值．
【详解】（1）∵四边形是⊙O的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）连接，过点O作，垂足为M，
，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
，
在中，，
∵与相切于点D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∴的半径为；
（3）过点D作，垂足为H，过点B作，垂足为G，
∵的面积，
∴，
，
，
∵，
，
∴，
，
，
∴设，则，
由（1）得：，
，
，
解得：，
经检验：是原方程的根，
，
∴的长为．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆的切线的性质、相似三角形的性质与判定，解题的关键是能够根据题目的条件，进行推理证明．
19．【模型建立】如图，在等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．求证：．
【模型应用】
（1）如图，直线：与坐标轴交于点A、B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线对应的函数表达式．
（2）如图，四边形是长方形，O为坐标原点，点B的坐标为，点A、C分别在坐标轴上，P是线段上的动点，D是直线上的动点且在第四象限．若是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．
【答案】模型建立：证明见解析；模型应用：（1），（2）或
【分析】模型建立：根据为等腰直角三角形，，，可判定；
模型应用：（1）过点作，交于，过作轴于，根据，得出，，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式；
（2）当点为直角顶点，分点在直线的上方或下方两种情况，由此可得出结论．
【详解】模型建立：证明：如图1，为等腰直角三角形，
，，
又，，
，，
，
在与中，
，
；
模型应用：（1）如图2，过点作，交于，过作轴于，
，
为等腰直角三角形，
由模型建立可知：，
，，
直线中，若，则；若，则，
，，
，，
，
，
设的解析式为，则
，
解得，
的解析式：；
（2）当点在直线下方时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，设；
则，，；
则，得，即：
，；
；
当点在直线上方时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，设；
则，，；
则，得，即：
，；
．
综上所述，或
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用．