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最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题36 二次函数中的特殊四边形问题 （全国通用）
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这是一份最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题36 二次函数中的特殊四边形问题 （全国通用），文件包含专题36二次函数中的特殊四边形问题原卷版docx、专题36二次函数中的特殊四边形问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共79页， 欢迎下载使用。
1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
专题36 二次函数中的特殊四边形问题
【题型演练】
一、解答题
1．（2022·海南省直辖县级单位·统考二模）如图，抛物线经过B（3，0）、两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），
①当点E在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
②在①的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，在该抛物线上是否存在点P，使以C、E、P、M为顶点的四角形为平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①最大值为；②存在，、、
【分析】（1）将B、C两点分别代入解析式求解即可得；
（2）①过点E作轴的平行线交于点，将点B、的坐标代入一次函数确定函数解析式，然后设点，则点，得出，结合图象确定面积的函数表达式即可得出结果；
②分三种情况进行讨论分析：a．当四边形CEPM为平行四边形时，则CE∥PM，；b．当四边形CEMP为平行四边形时，则CE∥MP，；c．当四边形CPEM为平行四边形时，则CP∥EM，，利用平行四边形的性质及点坐标之间的性质求解即可．
【详解】（1）将B、C两点分别代入解析式可得：，
解得：
∴函数的表达式为：；
（2）①过点E作轴的平行线交于点，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B、的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
∴函数表达式为：，
设点，则点，
则，
∴S△CBE=S△ENC+S△ENB=·NE·3==
∵a=＜0，且0＜x＜3，
∴当x=时，△CBE面积有最大值，最大值为，
此时点E的坐标为（，）．
②如图：C（0，-3）、E（，），设，M（1，m）
a．当四边形CEPM为平行四边形时，
则CE∥PM，，
，
即
所以
b．当四边形CEMP为平行四边形时，
则CE∥MP，，
，
即
所以
c．当四边形CPEM为平行四边形时，
则CP∥EM，，
，
即
所以
所以，符合题意的点P有、、．
【点睛】题目主要考查二次函数与四边形、三角形的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题，平行四边形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键．
2．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝，其图象与直线y＝x＋2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P的横坐标为x0，当x0为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
【答案】(1)
(2)x0＝1或2或
【分析】（1）根据对称轴和C点坐标即可确定抛物线解析式；
（2）因为OC和PE都垂直于x轴，所以只要PF＝OC就能确定以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，求出此时x0的值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝，
∴对称轴x＝＝＝，
∴b＝，
又∵直线y＝x+2与y轴交于C，
∴C（0，2），
∵C点在抛物线上，
∴c＝2，
即抛物线的解析式为；
（2）解：∵点P的横坐标为x0，且在抛物线上，
∴P，
∵F在直线y＝x+2上，
∴F（x0，x0+2），
∵PF∥CO，
∴当PF＝CO时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
①当0＜x0＜3时，
PF＝，
∵OC＝2，
∴，
解得x01＝1，x02＝2，
即当x0＝1或2时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
②当x0≥3时，
PF＝，
∵OC＝2，
∴，
解得x03＝，x04＝（舍去），
即当x0＝时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
综上当x0＝1或2或时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数及平行四边形的性质等知识点，难点在第二小题中要分情况考虑P点在F点上和下两种情况．
3．（2022·广东佛山·西南中学校考三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知为正数，当时，的最大值和最小值分别为，，且，求的值；
(3)点是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或或或
【分析】（1）求出点和点坐标，从点和点坐标将抛物线的解析式设为交点式，将点坐标代入，进一步求得结果；
先根据二次函数的性质求出的值，进而求得的值，进而求得点的值；
只需满足三角形为等腰三角形即可．设点的坐标，进而表示出，及，进而根据，及分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
点，
当时，，，
点，
设，
将点代入得，
，
，
；
（2）解：抛物线的对称轴为直线：，
，
，
当时，
当时，最小值，
，
，
当时，，
，舍去，
，
；
（3）解：设点，
，，
，
，
，
当时，，
，
，，
当时，，
，
，
当时，，
，
，，
综上所述：或或或或
【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，菱形的性质、等腰三角形的判定和性质，两点间坐标距离公式等知识，解决问题的关键是正确分类，准确计算．
4．（2022·山东聊城·校联考一模）如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，且．
(1)求抛物线的解析式及直线BC的表达式；
(2)在线段BC上找一点E（不与B、C重合），使的值最小，并求出这个最小值；
(3)连接AC，是否在抛物线上存在点P，过点P作于点E，使以点A、C、P、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标为
【分析】（1）先求出抛物线与y轴交于点，可得，从而得到，，进而得到B（3，0），A（－1，0），再利用待定系数法解答，即可求解；
（2）过点E作EN⊥x轴于点N．先求出抛物线顶点D坐标为，再由，可得∠CBO＝30°，从而得到，进而得到当D，E，N三点共线且垂直于x轴时，值最小．即可求解；
（3）过点P作PE⊥BC于点E，根据勾股定理逆定理可证得∠ACB＝90°，从而得到当PE＝AC＝2时，以点A、C、P、E为顶点的四边形是平行四边形．然后过点P作PF∥y轴交BC于点F，交x轴于点G，可得∠PFE=60°，从而得到，然后设，则再分两种情况讨论，即可求解．
（1）
解∶∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∵，
∴，，
∴B（3，0），A（－1，0），
把B（3，0），A（－1，0）代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）
解：如图，过点E作EN⊥x轴于点N．
∵，
∴抛物线顶点D坐标为，
在Rt△BOC中，，
∴∠CBO＝30°，
∵EN⊥x轴，
∴，
∴，
∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当D，E，N三点共线且垂直于x轴时，值最小．
∴
（3）
解：存在，理由如下：
如图：过点P作PE⊥BC于点E，
∵A（﹣1，0），B（3，0），，
∴AB＝4，AC＝2，，
∴，
∴∠ACB＝90°，
∵PE⊥BC
∴∠PEC＝90°，
∴PE∥AC，
∴当PE＝AC＝2时，以点A、C、P、E为顶点的四边形是平行四边形．
过点P作PF∥y轴交BC于点F，交x轴于点G，
∴∠BFG＝∠OCB＝60°，
∵∠BFG =∠PFE，
∴∠PFE=60°，
在Rt△PFE中，
，
设直线BC的解析式为y＝mx＋n，
将B（3，0），代入得：
，
解得，，
∴直线BC的解析式为，
设，则
当0＜t＜3时，
，
整理得，，
∴，
∴此方程无实根．
当t＜0或t＞3时，
整理得，，
解得（舍去），
∴点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，平行四边的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边的判定和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
5．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）如图，抛物线y=−x2+6x−5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线为y=x−5，
(1)写出相应点的坐标：A______，B______，C______；
(2)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大，并求出最大值．
(3)过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．
【答案】(1)（1，0），（5，0），（0，-5）
(2)当t=2时，S△BEP最大为2；
(3)点N的横坐标为：4或或．
【分析】（1）分别令y=0和x=0进行求解即可；
（2）作ED⊥x轴于D，表示出ED，从而表示出S△BEP，利用二次函数求最值；
（3）过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，则NF=AE=4，设N（m，-m2+6m-5），则F（m，m-5），从而有NF=|-m2+5m|=4，解方程即可求出N的横坐标．
（1）解：令-x2+6x-5=0，解得x=1或x=5，∴A（1，0），B（5，0），令x=0，则y=-5，∴C（0，-5），故答案为：（1，0），（5，0），（0，-5）；
（2）解：作ED⊥x轴于D，由题意知：BP=4-t，BE=2t，∵B（5，0），C（0，-5），∴OB=OC=5，∴∠OBC=45°，∴ED=sin45°×2t=t，∴S△BEP=×BP×ED=×(4−t)×t=-t2+2t，当t=-=2 时，S△BEP最大为2．∴当t=2时，S△BEP最大为2；
（3）解：过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，当x=1时，y=1−5=-4，∴E（1，-4），∴AE=4，∵AMQN是平行四边形，∴AM=QN，AM∥QN，∴△AEM≌△NFQ，则NF=AE=4，设N（m，-m2+6m-5），则F（m，m-5），∴NF=|-m2+5m|=4，∴m2-5m+4=0或m2-5m-4=0，∴m1=1（舍），m2=4，或m3=，m4=，∴点N的横坐标为：4或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、利用二次函数求最值、以及平行四边形的判定与性质等知识，将AM=NQ转化为NF=AE是解题的关键．
6．（2022·山西吕梁·统考三模）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点M是y轴右侧抛物线上一动点，过点M作的平行线，交直线于点D，交x轴于点E．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标及直线的解析式；
(2)当时，求点D的坐标；
(3)试探究在点M运动的过程中，是否存在以点A，C，E，M，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M的坐标，若不存在说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)点
(3)存在，点M的坐标为（3,4）或
【分析】（1）令抛物线y=0，得，进行计算即可得点A，点B的坐标，令抛物线x=0，得，即可得点C的坐标，令直线的解析式为，将点B的坐标和点C的坐标代入即可得；
（2）过点D作轴，垂足为F，根据平行线的性质得，根据轴，可得，即可得，根据相似三角形的性质得，在直角中，根据勾股定理得，AC=5，则，设点D横坐标为t，则，即可得出EF，DE，根据，，求解出t即可；
（3）分情况讨论，过点C作轴交抛物线于点M，作，则四边形AEMC为平行四边形，此时点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，即当y=4时，，进行计算求出满足要求的解；当且时，四边形AEMC为平行四边形，此时M的横坐标为-4，即y=-4时，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：令抛物线y=0，得，
解得，，，
∴，，
令抛物线x=0，得，
∴，
令直线的解析式为，将点和点代入得，
解得，，
∴直线BC的解析式为：；
（2）解：过点D作轴，垂足为F，
∵，
∴，
∵轴，
∴
∴，
∴，
在直角中，根据勾股定理得，，
∴，
设点D横坐标为t，则，
∴，，
∵，，
∴，
解得，
当时，，
∴点．
（3）解：①过点C作轴交抛物线于点M，作，
则四边形AEMC为平行四边形，此时点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，
∴当y=4时，，
整理得
∴
解得，（舍），，
∴；
②如图所示，当且时，
四边形AEMC为平行四边形，此时M的纵坐标为-4，
∴y=-4时，，
整理得
解得，，（不合题意，舍去），
∴点M的坐标为；
综上，M的坐标为（3,4）或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，解题的关键在于对知识的熟练掌握．
7．（2022·山东济宁·校考二模）已知抛物线与直线交于、两点，如果点，．
(1)求抛物线和直线的解析式．
(2)长度为的线段在线段上移动，点与点在上述抛物线上，且线段与始终平行于轴．连接，求四边形的面积的最大值，并求出对应点的坐标，判断此时四边形的形状．
【答案】(1)，；
(2)最大为，，四边形为平行四边形．
【分析】（1）将两点坐标代入二次函数求解即可，设直线解析式为，将两点坐标代入求解即可；
（2）延长交轴于点，作，设直线交轴于点，设，确定出点坐标，表示出四边形的面积，利用二次函数的性质，求解即可．
【详解】（1）解：将，代入二次函数可得
解得
即
设直线解析式为，将，代入可得
，解得
即；
（2）解：延长交轴于点，作，设直线交轴于点，如下图：
设，则，
由题意可得：轴，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，即
，
线段在线段上移动，则，解得，
由题意可得：
由此可得，时，最大，为，此时
此时，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
综上，最大为，，四边形为平行四边形．
【点睛】此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题的关键熟练掌握相关基本性质．
8．（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校考三模）如图，抛物线与轴交于点，对称轴交轴于点，点是抛物线在第一象限内的一个动点，交轴于点，交轴于点，轴于点，点是抛物线的顶点，已知在点的运动过程中，的最大值是．
(1)求点的坐标与的值；
(2)当点恰好是的中点时，求点的坐标；
(3)连结，作点关于直线的对称点，当点落在线段上时，则点的坐标为______直接写出答案
【答案】(1)B（2，0），a＝；
(2)E（，0）；
(3)E（，0）．
【分析】（1）求出抛物线对称轴为x＝2，可得点B的坐标为（2，0），由题意可证明△DEF是等腰直角三角形，可得EF的最大值为4，即MB＝4，将抛物线解析式化成顶点式，进而得出2−4a＝4，即可求出a的值；
（2）求出直线CD的表达式，再与抛物线解析式联立，求出交点横坐标即可得出点E的坐标；
（3）设点F（x，），则点E（x，0），证明四边形FPDE是正方形，可得点P的坐标为（，），求出直线AM的表达式，将点P坐标代入求出x的值，即可得出点E的坐标．
（1）
解：抛物线与y轴交于点A，对称轴交x轴于点B，
∵当x＝0时，y＝2，
∴A（0，2），
∵对称轴为x＝−＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
∴OA＝OB＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝45°，
∵FC⊥AB交y轴于点C，交x轴于点D，EF⊥x轴于点E，
∴∠FDE＝∠DFE＝45°，
∴DF＝EF，
∵FD的最大值是，
∴EF的最大值为4，
∴MB＝4，
∵，
∴2−4a＝4，
∴a＝；
（2）
∵点D恰好是OB的中点，
∴D（1，0），
∵∠CDO＝∠FDE＝45°，
∴OC＝OD＝1，
∴点C的坐标为（0，−1），
设直线CD的表达式为y＝kx＋b（k≠0），
代入C（0，−1），D（1，0）得：，
解得：，
∴直线CD的表达式为：y＝x−1，
由（1）知抛物线解析式为，
联立，
解得：，（不合题意，舍去），
∴点E的坐标为（，0）；
（3）
：
设点F（x，），则点E（x，0），
∵EF＝ED，
∴点D的横坐标为：x−（）＝，
如图，点与点关于直线对称，连接DP、FP、PE，
∴DF垂直平分PE，
∴FP＝FE，DP＝DE，
∵EF＝ED，
∴FP＝FE＝DP＝DE，
∴四边形FPDE是菱形，
又∵∠FED＝90°，
∴菱形FPDE是正方形，
∴点P的坐标为（，），
∵A（0，2），M（2，4），
设直线AM的表达式为y＝mx＋n，
代入A（0，2），M（2，4），得，
解得：，
∴直线AM的表达式为y＝x＋2，
当点P落在线段AM上时，有，
解得：x＝或x＝（舍去），
∴点E的坐标为（，0），
故答案为：（，0）．
【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，直线与抛物线的交点，轴对称的性质，正方形的判定和性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是证出△DEF是等腰直角三角形．
9．（2022·山西·山西实验中学校考模拟预测）综合与探究：
已知：二次函数的图象的顶点为，与轴交于，A两点，与轴交于点，如图：
(1)求二次函数的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标；
(3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或或.
【分析】（1）利用待定系数法，设顶点式求出二次函数的表达式；
（2）根据轴对称最短路径问题得到点E的位置，利用待定系数法求出直线的函数解析式，令代入计算得到答案；
（3）根据平行四边形的判定定理画出可能的图形，根据二次函数图象上点的坐标特征解答．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴设函数表达式为.
∵图象过点，
∴当时，，
∴，
解得，，
∴函数表达式为，即；
（2）解方程，
得：，，
∴点的坐标为，点A的坐标为．
如图1，连接，
∵A、关于对称轴对称，点在对称轴上，
∴，
∴的周长，
当、、在同一直线上时，的周长最小．
设直线的函数解析式为.
则，解得，
∴直线的函数解析式为.
∵点的横坐标为，
所以点的坐标为；
（3）如图2，当点与点重合，点与点关于轴对称时，四边形的对角线互相平分，
∴四边形是平行四边形，此时点的坐标为.
当，时，四边形是平行四边形，
此时点的横坐标为，
∴的纵坐标为：，
∴点的坐标为.
当，时，四边形是平行四边形，
此时点的横坐标为，
的纵坐标为：，
∴点的坐标为.
∴以A、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为：或或.
【点睛】本题考查了二次函数的性质、平行四边形的判定、灵活运用分情况讨论思想、掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
10．（2022·甘肃平凉·校考二模）如图， 拋物线交轴于点，交轴于点、C两点，点为线段上的一个动点（不与重合)，过点作轴，交于点，交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接和，当的面积最大时，求出点的坐标及的最大面积；
(3)在平面内是否存在一点，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当时，有最大值，最大值为8，此时D；
(3)P或．
【分析】（1）将A，B的坐标代入抛物线的解析式组成二元一次方程组，求解即可；
（2）设D，根据坐标的特点，可得出点M，N的坐标，再根据三角形的面积公式可表达的面积，根据二次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意，易证，由此得出和的长，再根据题意需要分两种情况讨论：①当时，②当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：将点，点代入抛物线，
∴，
∴．
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵点，点，
∴直线的解析式为：；
设D，
∵轴，点M在直线上，点N在抛物线上，
∴，
∴，
∴的面积，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为8，此时D；
（3）解：存在，如图，过点M作轴于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
中，，
∴，
∴，
∴．
根据题意，需要分两种情况讨论：
①时，如图，
此时，
解得或t=0（舍），
∴，
∴，
∵，
∴点P在y轴上，
∴，
∴P；
②当时，如图，此时与互相垂直平分，设与交于点F，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍），
∴，
∴P．
综上，存在点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形，此时P或．
【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质、分类讨论的思想等知识，能力要求较高，难度较大，关键是掌握菱形的对称性和进行正确的分类讨论．
11．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，其中，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P，Q为直线下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线于C点和D点，连接，求四边形面积的最大值；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移2个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，点G为平面直角坐标系内一点，当点构成以为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)、、．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，求得直线解析式，以及四点坐标，得到、长度，利用二次函数的性质求解即可；
（3）根据平移的性质，求得的表达式，分两种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）解：将，代入二次函数解析式，可得
，解得
即；
（2）设直线解析式，代入，，可得
，解得
即，
则，，，
，
，
，
即当时，最大，为；
（3）由（2）可知，
直线为与轴的交点为，与轴的交点为，两点之间的距离为，
沿射线平移个单位，可看成向右移动了4个单位，向下移动了2个单位，
∴，
则平移后，
抛物线的对称轴为，
设，
当时，如图：
则，
解得，
∴或，
当时，平移到，平移到，
∴，
当时，平移到，平移到，
∴，
当时，如下图：
，解得，
平移到，平移到，可得，
综上点的坐标为、、．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，四边形面积、菱形的性质及应用等知识解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
12．（2022·山东日照·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线与抛物线在第一象限交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，若过点O的直线交线段于点P，将三角形的面积分成的两部分，请求出点P的坐标；
(3)若Q是直线上方抛物线上一个动点（不与点A、C重合），当的面积等于的面积时，求出Q点的坐标；
(4)在抛物线的对称轴上有一动点H，在抛物线上是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点或；
(3)或；
(4)或或．
【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式即可求解；
（2）OP将的面积分成1：2的两部分，则或，由或，可得：或，再求解直线为，即可求解；
（3）如图， 先求解，可得，把直线向上平移4个单位可得一次函数的解析式为：，则直线与抛物线的交点满足，再建立方程组可得答案；
（4）如图，先求解抛物线的对称轴为：直线，设，，再分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，则，再利用中点坐标公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）如图，点、，
∴，
将的面积分成的两部分，
∴或，
∴或，
解得：或，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
当时，则，当时，则，
∴点或；
（3）如图，由（2）可得直线为，
当时，，则，此时，
把直线向上平移4个单位可得一次函数的解析式为：，
则直线与抛物线的交点满足，
∴，解得：或，
∴或；
（4）如图，，，
∵抛物线为：，
∴抛物线的对称轴为：直线，
设，，
当为对角线时，则，
解得：，则，
当为对角线时，如图，
则，解得：，
∴，
∴，
当为对角线时，则，
解得：，
∴，
∴，
综上：的坐标为：或或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数与图形面积以及二次函数与特殊四边形问题，熟练的利用二次函数的性质以及中点坐标公式解题是关键．
13．（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，动点在原抛物线的对称轴上，点为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
【答案】(1)
(2)当时，取得最大值，最大值为1，此时点的坐标为
(3)点的坐标为，，
【分析】（1）将，代入抛物线，列方程组求解即可得到答案；
（2）延长交轴于点，设直线的函数表达式为，将，代入列方程组求解得出解析式，设，根据轴得到，，根据三角形面积公式用t表示出，利用函数性质即可得到最值；
（3）根据，得到，结合抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到抛物线向右平移个单位长度，向上平移3个单位长度，得到新抛物线解析式，设点，根据平行四边形对角线互相平分分类讨论根据中点坐标公式即可得到答案．
【详解】（1）解：将，代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，延长交轴于点，
设直线的函数表达式为，
∵，，
∴，解得，
∴直线的函数表达式为，
设，其中，
∴，，
∴，
∵，
，
∴，
∴当时，取得最大值，最大值为1，此时点的坐标为；
（3）解：∵，，
∴，
∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，
∴抛物线向右平移个单位长度，向上平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为，
∵点在原抛物线对称轴上，
∴设点，
①当以为对角线时，，即，
∴，
∵点为新抛物线上一点，
∴，
②当以为对角线时，，即，
，
∵点为新抛物线上一点，
∴，
③当以为对角线时，，即，
，
∵点为新抛物线上一点，
∴，
综上所述，点的坐标为，，．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图像上点坐标的特征，平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
14．（2022·辽宁鞍山·统考二模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标，与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作轴于点H，过点A作交DH的延长线于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在线段AE上找一点M，在线段DE上找一点N，求的周长最小值；
(3)在（2）问的条件下，将得到的沿射线AE平移得到，记在平移过程中，在抛物线上是否存在这样的点Q，使、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出平移的距离；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，理由见解析
【分析】（1）将A，B两点的坐标代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）作点关于的对称点，关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接，则的周长为最小值为的长，勾股定理即可求解；
（3）在（2）的基础上，证明四边形是菱形，求得的长，求得直线与坐标轴的交点坐标，证明，即可求得平移距离．
（1）
解：∵已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标，
∴，
解得，
；
（2）
如图，作点关于的对称点，关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接，交AE、DE于M′、N′，
，
，
的周长为，当四点共线时，取得最小值，即与重合，与重合，
的周长为最小值为的长，
轴于点H，
三点共线，三点共线，
根据题意可知点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，
轴，
由
对称轴为，则
，
与轴的交点为，即点，
点A的坐标为，
，
，
，
∴，
，
，
，
，，
，
在中，，
即的周长最小值为；
（3）
存在，，理由如下，
由（2）可知
又
在轴上，
是等边三角形，
又
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
设为直线上一点，
,，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
解得或，
，
，
，
，
，，
的中点坐标为，与点重合，
，
根据题意，使、、、为顶点的四边形为菱形，则，平移距离为．
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数求解析，菱形的性质与判定，平移的性质，轴对称求线段和最短距离，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．
15．（2022·重庆·统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．其中点A（﹣2，0），点C（0，﹣4），连接AC、BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在直线BC的下方抛物线上有一点P，过点P作PHy轴交BC于点H，求PHCH的最大值以及此时点P的坐标；
(3)将抛物线y沿射线CA方向平移3个单位长度后得到新抛物线y1，点E在新抛物线y1上，点F是原抛物线对称轴上一点，若以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个F点的过程．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）通过点A（﹣2，0），点C（0，﹣4）在抛物线上建立方程组即可求出和 得到解析式；
（2）设P点的坐标为，根据、，得出，将PF的最值，转化为一元二次函数的最大值，即可得到答案；
（3）根据两种情况分别分析，先根据平移计算出抛物线y1的解析式，再根据两种情况分别求出E点的横坐标，代入解析式求出纵坐标，再计算出F点的纵坐标．
(1)
解：∵点A（﹣2，0），点C（0，﹣4）在抛物线上，
得，
解方程组得，；
∴抛物线的解析式为：
(2)
当时，，
解方程得，，
∴点B的坐标为（4，0），
∴ ，
如下图所示，设CH的中点为N，过点N作EFOB轴，交PH于点F，延长PH交OB于点M，
∵EFOB
∴四边形是矩形
∵，EFOB
∴，
∵
∴
∴
设P点的坐标为 ，得，
∵,
∴
∵
∴
∴当时，PF最大，且最大值为
∴
故PF最大值为，此时P点的坐标为；
(3)
解：∵抛物线
∴对称轴为：，
设点移动到点，作轴，垂足为N，
∵, ，
∴，
∵轴
∴,
∴，
∴
∵，,,
∴，，
∴抛物线y沿轴向左移动了，沿轴向上移动得到y1，
∴，
当时，如下所示，设抛物线的对称轴交于点D，过E点作，垂足为G，
∵，
∴，
∵，，
∴ ，
∵，
∴，且为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵E在抛物线 上，当时，，
∴
∴F的坐标为 ；
当时，过点E作轴，垂足为G，过点C作，垂足为L，
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∵E在抛物线 上，当时，，
∴,
∴,
∴F的坐标为 ；
故点F的坐标为或．
【点睛】本题考查抛物线的相关知识，熟练掌握抛物线的解析式的计算方法、对称轴的计算方法、最大值的计算方法、平移的相关知识，并将线段的最大值问题转换成抛物线顶点的问题是解本题的关键．
16．（2022·重庆·西南大学附中校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，其对称轴与x轴交于点D．
图1 图2
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点P为第四象限内的抛物线上一动点，连接PB，PC，CD，求四边形PBDC面积的最大值和此时点P的坐标；
(3)将该抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线y'，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线y'对称轴上的一点，M是原抛物线上的动点，直接写出所有使得以点A，E，F，M为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
【答案】(1)；
(2)的最大值为，此时点的坐标为，；
(3)点的坐标为或或．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）利用待定系数法求得直线的解析式为，过点作轴交于点，如图1，设，，则，得出，再运用二次函数的性质即可得出答案；
（3）根据平移的性质可得，新抛物线的对称轴为直线，设，，可得，又，由以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①当、为对角线时，、的中点重合，②当、为对角线时，、的中点重合，③当、为对角线时，、的中点重合，分别画出图形，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：（1）抛物线经过点，其对称轴，
，
解得：，
该抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图，连接BC，作PH∥y轴，交BC于H，
点与点关于对称轴对称，
，
，，
，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
设，，则，
，
，
，
，，
当时，的最大值为，此时点的坐标为，；
（3）解：将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线，
即，
新抛物线的对称轴为直线，
设，，
当时，，
，又；
①当、为对角线时，、的中点重合，
，
解得：，
，
；
②当、为对角线时，、的中点重合，
，
解得：，
，
；
③当、为对角线时，、的中点重合，
，
解得：，
，
；
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
17．（2022·内蒙古包头·包头市第二十九中学校考三模）如图，把两个全等的RtAOB和RtCOD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB，OD在x轴上，已知点A(2，4)，抛物线经过O，A，C三点．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点G为OC上方的抛物线上一动点，求点G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；
(3)点P为线段OC上一个动点（不与O，C 重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，是否存在点P，使线段AM与BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)G点到直线OC的最大距离为，此时G（2，4）；
(3)
【分析】（1）根据Rt△AOB≌Rt△OCD，可得出C（4，2），再运用待定系数法即可求得答案；（2）如图1，连接GO，GC，过G点作x轴的垂线交OC于点K，GH⊥OC于点H．设G点的横坐标为m（0＜m＜4），则．运用待定系数法求出直线OC的解析式,得出GK，进而得出S△GOC=-（m-2）2+6，运用二次函数的性质可求得答案；（3）如图所示，过点M作MR⊥AB于点R，过点P作PT⊥AB于点T，先证明Rt△AMR≌Rt△BPT（HL），得出AR=BT，设点M的横坐标为t（0＜t＜4），则，进而建立方程求解即可．
（1）
∵A（2，4），
∴OB=2，AB=4，
∵Rt△AOB≌Rt△OCD，
∴OD=AB=4，CD=OB=2，
∴C（4，2），
∵抛物线y=ax2+bx+c经过O，A，C三点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为
（2）
如图1，连接GO，GC，过G点作x轴的垂线交OC于点K，GH⊥OC于点H．
令G点的横坐标为m（0＜m＜4），则．
设直线OC的解析式为y=kx，把C（4，2），代入得：4k=2，
解得：k=，
∴直线OC的解析式为y=x，
∴
∴，
∴
∴当m=2时，S△GOC的值最大为6，此时GH的值为最大，
∵
∴
∴
∴G点到直线OC的最大距离为，此时G（2，4）；
（3）
存在．如图所示，过点M作MR⊥AB于点R，过点P作PT⊥AB于点T，设MP交x轴于点N,
∴∠ARM=∠MRT=∠PTR=∠BTP=90°，
∴MR∥PT，
由题意：MN∥AB，
∴四边形MPTR是矩形，
∴MR=PT，
∵AM=BP，
∴Rt△AMR≌Rt△BPT（HL），
∴AR=BT，
设点M的横坐标为t（0＜t＜4），则
由（2）知：直线OC的解析式为，则P（t，t），
当时，解得：（舍）
当时，无实数解，
当，此时
．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等，综合运用以上知识是解题的关键．
18．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分则点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，且，P为抛物线上一动点．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，P点的坐标为
(3)存在，，；，；，
【分析】（1）根据已知条件，列出方程组求出a，b，c的值即可；
（2）方法一：设，四边形PABC的面积，用m表示出S，并求出S的最大值与此时P点的坐标；
方法二：易知，，故直线AC的方程为，设，表示出PQ，并用x表示出△APC的面积，再表示出S，并求出S的最大值与此时P点的坐标；
（3）根据题目要求，分类讨论当当N在y轴上时；当N在x轴负半轴上时，设，用t表示出点P的坐标，解出t，写出点P及其对应点N的坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，对称轴为直线，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：方法一：连接OP，
设，易知，，
∵，，
∴四边形PABC的面积，
∴
又∵，
∴
∴当时，，
∴此时P点的坐标为；
方法二：易知，，故直线AC的方程为
设，
∵过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q，
∴，
∵点P在AC上方，
∴，
∴
，
∴四边形PABC面积，
∴当时，S有最大值，
∴此时P点的坐标为．
（3）存在点N．
①当N在y轴上时，
∵四边形PMCN为矩形，
此时，，；
②当N在x轴负半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，
∴，
∵四边形PMCN为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵点M在对称轴上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P点的坐标为，
∵P点在抛物线上，
∴
解得，（舍），
∴，；
③当N在x轴正半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，
∴，
∵四边形PMCN为矩形时，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵点M在对称轴上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P点的坐标为，
∵P点在抛物线上，
∴
解得（舍），，
∴，，
综上：，；，；，
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数、二次函数综合问题，矩形的性质与判定，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
19．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）综合与探究
已知：如图，二次函数的图象的顶点为，与x轴交于B，A两点，与y轴交于点，点E为抛物线对称轴上的一个动点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当的周长最小时，点E的坐标为____________；
(3)当点E在x轴上方且时，试判断与的位置关系，并说明理由；
(4)若点N是y轴上的一点，坐标平面内是否存在P，使以D、B、N、P为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
(4)存在，
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得点A、B坐标，根据点A、B对称性，连接BC与抛物线的对称轴交于点E，此时△ACE的周长最小，求得BC的解析式即可求解；
（3）过点C作CH⊥DE于H，设对称轴于x轴交于F，利用tan∠BAE= tan∠BDE= tan∠HEC证得∠BDE=∠HEC即可判断BD∥CE；
（4）设点N（0，n），分BD为矩形的边和BD为矩形的对角线两种情况，利用矩形的性质和勾股定理求解点N、P坐标即可．
(1)
解：设二次函数的解析式为，
将点C（0，3）代入，得3=a+4，则a=-1，
∴二次函数的解析式为即；
(2)
解：令y=0，由得：x1=-3，x2=1，
∴A（1，0），B（-3，0），
∵点A、B关于对称轴x=-1对称，
∴连接BC与抛物线的对称轴交于点E，此时△ACE的周长最小，
设直线BC的解析式为y=kx+t，
将B（-3，0）、C（0，3）代入，
得，
∴，
∴直线BC的解析式为y=x+3，
当x=-1时，y=2，
∴当的周长最小时，点E的坐标为（-1，2），
故答案为：（-1，2）；
(3)
解：CE∥BD，理由为：
过点C作CH⊥DE于H，设对称轴于x轴交于F，
则CH=1，BF=2，AF=2，DF=4，HF=3，
在Rt△DFB中，tan∠BDE=，
在Rt△AFE中，tan∠BAE=，
∵，
∴，
则EF=1，即HE=2，
在Rt△CHE中，tan∠HEC= ，
∴∠BDE=∠HEC，
∴BD∥CE；
(4)
解：存在，理由为：
设点N（0，n），P（x，y），则BD2=（-3+1）2+42=20，BN2=（-3）2+n2=9+n2，DN2=（-1）2+（4-n）2=n2-8n+17，
若BD为矩形的边时，
当∠BDN=90°时，由DN2+ BD2= BN2得n2-8n+17+20= 9+n2，
解得：n= ，
∴N（0，），
∵矩形的对角线互相平分，
∴由-1+x=-3+0，4+y=0+得：
x=-2，y=，
∴P（-2，）；
当∠DBN=90°时，由BN2+ BD2= DN2得9+n2+20= n2-8n+17，
解得：n= ，
由-3+x=-1+0，0+y=4+（）得：x=2，y= ，
∴P（2，）；
若BD为矩形的对角线时，则∠BND=90°，
由BN2+ DN2= BD2得：9+n2+ n2-8n+17=20，
解得：n=1或n=3，
当n=1时，N（0，1），由0+x=-3+（-1），1+y=0+4，得x=-4，y=3，
∴P（-4，3）；
当n=3时，N（0，3），由0+x=-3+（-1），3+y=0+4，得x=-4，y=1，
∴P（-4，1），
综上，满足条件的点P坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式、二次函数的性质、最短路径问题、平行线的判定、锐角三角函数、矩形的性质、勾股定理、坐标与图形、解一元一次（二次）方程，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
20．（2022·广西河池·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点．
(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；
(2)若P为线段AB上一点，，求AP的长；
(3)在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点B的坐标为(0，3)；
(2)
(3)存在，(，3)、 (，)或（－4，－5）
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）求出，利用三角形相似的判定及性质即可求解．
（3）分两种情况：①当为平行四边形的边时，点的横坐标可以为，求出点的坐标即可求解；②当为平行四边形的对角线时，点的横坐标为-4，求出点的坐标即可求解．
(1)
解：令，则，
∴点B的坐标为(0，3)，
抛物线经过点B (0，3)，C (1，0)，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：．
(2)
令，则，
解得：，
∴点A的坐标为(，0)，
∴OA=3，OB=3，OC=1，
，
∵，且，
∴△PAO△CAB，
∴，即，
∴．
(3)
点，代入得，
，解得，
直线的解析式为：，
设点，
，
，
解得或（舍去），
，
可能为平行四边形的边或对角线，
则分两种情况讨论，如图所示，
①当为平行四边形的边时，即和，
点，点，
点和点的横坐标之差为2，
点的横坐标为或-2，
将2和-2分别代入，
即和，
解得和，
点的坐标为，点的坐标为，
②当为平行四边形的对角线时，即，
点和的横坐标之差为1，
点和点的横坐标为1，
点的横坐标为，
将-4代入，即，
解得，
点的坐标为，
综上所述，满足条件的的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，考查了待定系数法、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质，解题的关键是学会运用分类讨论思想思考问题．
1、以专题复习为主。如选择题、填空题的专项练习，要把握准确度和时间的安排。加强对二次函数与几何图形结合的综合性试题、实际应用题等专题的练习，深化对常考题型的熟悉程度。在函数复习过程中，如果考生未能完全理解简单实例中的数量关系和变化规律，针对此类问题，在专项复习中，可以通过选择题、填空题的专项练习，进行突破，如“读懂图象信息问题”等，将复杂问题由浅入深，层层分解，提高分析和判断能力。
2、重视方法思维的训练。对初中数学所涉及的函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、整体思想等数学思想方法，要通过典型试题的训练，进一步渗透和深刻理解其内涵，重要处舍得投入时间与精力。强化解题过程中常用的配方法、待定系数法等通法。
3、拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。将专项复习中的共性习题串连起来，通过一题多解，积极地探求解决问题的最优解法，这样，对于解决难度较大的压轴题会有很大的帮助。
专题36 二次函数中的特殊四边形问题
【题型演练】
一、解答题
1．（2022·海南省直辖县级单位·统考二模）如图，抛物线经过B（3，0）、两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点E为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），
①当点E在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
②在①的条件下，点M是抛物线的对称轴上的动点，在该抛物线上是否存在点P，使以C、E、P、M为顶点的四角形为平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①最大值为；②存在，、、
【分析】（1）将B、C两点分别代入解析式求解即可得；
（2）①过点E作轴的平行线交于点，将点B、的坐标代入一次函数确定函数解析式，然后设点，则点，得出，结合图象确定面积的函数表达式即可得出结果；
②分三种情况进行讨论分析：a．当四边形CEPM为平行四边形时，则CE∥PM，；b．当四边形CEMP为平行四边形时，则CE∥MP，；c．当四边形CPEM为平行四边形时，则CP∥EM，，利用平行四边形的性质及点坐标之间的性质求解即可．
【详解】（1）将B、C两点分别代入解析式可得：，
解得：
∴函数的表达式为：；
（2）①过点E作轴的平行线交于点，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B、的坐标代入一次函数表达式得：，
解得：，
∴函数表达式为：，
设点，则点，
则，
∴S△CBE=S△ENC+S△ENB=·NE·3==
∵a=＜0，且0＜x＜3，
∴当x=时，△CBE面积有最大值，最大值为，
此时点E的坐标为（，）．
②如图：C（0，-3）、E（，），设，M（1，m）
a．当四边形CEPM为平行四边形时，
则CE∥PM，，
，
即
所以
b．当四边形CEMP为平行四边形时，
则CE∥MP，，
，
即
所以
c．当四边形CPEM为平行四边形时，
则CP∥EM，，
，
即
所以
所以，符合题意的点P有、、．
【点睛】题目主要考查二次函数与四边形、三角形的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题，平行四边形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键．
2．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝，其图象与直线y＝x＋2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P的横坐标为x0，当x0为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
【答案】(1)
(2)x0＝1或2或
【分析】（1）根据对称轴和C点坐标即可确定抛物线解析式；
（2）因为OC和PE都垂直于x轴，所以只要PF＝OC就能确定以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，求出此时x0的值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝，
∴对称轴x＝＝＝，
∴b＝，
又∵直线y＝x+2与y轴交于C，
∴C（0，2），
∵C点在抛物线上，
∴c＝2，
即抛物线的解析式为；
（2）解：∵点P的横坐标为x0，且在抛物线上，
∴P，
∵F在直线y＝x+2上，
∴F（x0，x0+2），
∵PF∥CO，
∴当PF＝CO时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
①当0＜x0＜3时，
PF＝，
∵OC＝2，
∴，
解得x01＝1，x02＝2，
即当x0＝1或2时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
②当x0≥3时，
PF＝，
∵OC＝2，
∴，
解得x03＝，x04＝（舍去），
即当x0＝时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
综上当x0＝1或2或时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数及平行四边形的性质等知识点，难点在第二小题中要分情况考虑P点在F点上和下两种情况．
3．（2022·广东佛山·西南中学校考三模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线的解析式为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知为正数，当时，的最大值和最小值分别为，，且，求的值；
(3)点是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或或或
【分析】（1）求出点和点坐标，从点和点坐标将抛物线的解析式设为交点式，将点坐标代入，进一步求得结果；
先根据二次函数的性质求出的值，进而求得的值，进而求得点的值；
只需满足三角形为等腰三角形即可．设点的坐标，进而表示出，及，进而根据，及分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
点，
当时，，，
点，
设，
将点代入得，
，
，
；
（2）解：抛物线的对称轴为直线：，
，
，
当时，
当时，最小值，
，
，
当时，，
，舍去，
，
；
（3）解：设点，
，，
，
，
，
当时，，
，
，，
当时，，
，
，
当时，，
，
，，
综上所述：或或或或
【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，菱形的性质、等腰三角形的判定和性质，两点间坐标距离公式等知识，解决问题的关键是正确分类，准确计算．
4．（2022·山东聊城·校联考一模）如图，在直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，且．
(1)求抛物线的解析式及直线BC的表达式；
(2)在线段BC上找一点E（不与B、C重合），使的值最小，并求出这个最小值；
(3)连接AC，是否在抛物线上存在点P，过点P作于点E，使以点A、C、P、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标为
【分析】（1）先求出抛物线与y轴交于点，可得，从而得到，，进而得到B（3，0），A（－1，0），再利用待定系数法解答，即可求解；
（2）过点E作EN⊥x轴于点N．先求出抛物线顶点D坐标为，再由，可得∠CBO＝30°，从而得到，进而得到当D，E，N三点共线且垂直于x轴时，值最小．即可求解；
（3）过点P作PE⊥BC于点E，根据勾股定理逆定理可证得∠ACB＝90°，从而得到当PE＝AC＝2时，以点A、C、P、E为顶点的四边形是平行四边形．然后过点P作PF∥y轴交BC于点F，交x轴于点G，可得∠PFE=60°，从而得到，然后设，则再分两种情况讨论，即可求解．
（1）
解∶∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∵，
∴，，
∴B（3，0），A（－1，0），
把B（3，0），A（－1，0）代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）
解：如图，过点E作EN⊥x轴于点N．
∵，
∴抛物线顶点D坐标为，
在Rt△BOC中，，
∴∠CBO＝30°，
∵EN⊥x轴，
∴，
∴，
∴根据两点之间线段最短和垂线段最短，则当D，E，N三点共线且垂直于x轴时，值最小．
∴
（3）
解：存在，理由如下：
如图：过点P作PE⊥BC于点E，
∵A（﹣1，0），B（3，0），，
∴AB＝4，AC＝2，，
∴，
∴∠ACB＝90°，
∵PE⊥BC
∴∠PEC＝90°，
∴PE∥AC，
∴当PE＝AC＝2时，以点A、C、P、E为顶点的四边形是平行四边形．
过点P作PF∥y轴交BC于点F，交x轴于点G，
∴∠BFG＝∠OCB＝60°，
∵∠BFG =∠PFE，
∴∠PFE=60°，
在Rt△PFE中，
，
设直线BC的解析式为y＝mx＋n，
将B（3，0），代入得：
，
解得，，
∴直线BC的解析式为，
设，则
当0＜t＜3时，
，
整理得，，
∴，
∴此方程无实根．
当t＜0或t＞3时，
整理得，，
解得（舍去），
∴点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，平行四边的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，平行四边的判定和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
5．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）如图，抛物线y=−x2+6x−5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线为y=x−5，
(1)写出相应点的坐标：A______，B______，C______；
(2)点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大，并求出最大值．
(3)过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．
【答案】(1)（1，0），（5，0），（0，-5）
(2)当t=2时，S△BEP最大为2；
(3)点N的横坐标为：4或或．
【分析】（1）分别令y=0和x=0进行求解即可；
（2）作ED⊥x轴于D，表示出ED，从而表示出S△BEP，利用二次函数求最值；
（3）过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，则NF=AE=4，设N（m，-m2+6m-5），则F（m，m-5），从而有NF=|-m2+5m|=4，解方程即可求出N的横坐标．
（1）解：令-x2+6x-5=0，解得x=1或x=5，∴A（1，0），B（5，0），令x=0，则y=-5，∴C（0，-5），故答案为：（1，0），（5，0），（0，-5）；
（2）解：作ED⊥x轴于D，由题意知：BP=4-t，BE=2t，∵B（5，0），C（0，-5），∴OB=OC=5，∴∠OBC=45°，∴ED=sin45°×2t=t，∴S△BEP=×BP×ED=×(4−t)×t=-t2+2t，当t=-=2 时，S△BEP最大为2．∴当t=2时，S△BEP最大为2；
（3）解：过A作AE∥y轴交直线BC于E点，过N作NF∥y轴交直线BC于点F，当x=1时，y=1−5=-4，∴E（1，-4），∴AE=4，∵AMQN是平行四边形，∴AM=QN，AM∥QN，∴△AEM≌△NFQ，则NF=AE=4，设N（m，-m2+6m-5），则F（m，m-5），∴NF=|-m2+5m|=4，∴m2-5m+4=0或m2-5m-4=0，∴m1=1（舍），m2=4，或m3=，m4=，∴点N的横坐标为：4或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、利用二次函数求最值、以及平行四边形的判定与性质等知识，将AM=NQ转化为NF=AE是解题的关键．
6．（2022·山西吕梁·统考三模）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点M是y轴右侧抛物线上一动点，过点M作的平行线，交直线于点D，交x轴于点E．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标及直线的解析式；
(2)当时，求点D的坐标；
(3)试探究在点M运动的过程中，是否存在以点A，C，E，M，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M的坐标，若不存在说明理由．
【答案】(1)，，，
(2)点
(3)存在，点M的坐标为（3,4）或
【分析】（1）令抛物线y=0，得，进行计算即可得点A，点B的坐标，令抛物线x=0，得，即可得点C的坐标，令直线的解析式为，将点B的坐标和点C的坐标代入即可得；
（2）过点D作轴，垂足为F，根据平行线的性质得，根据轴，可得，即可得，根据相似三角形的性质得，在直角中，根据勾股定理得，AC=5，则，设点D横坐标为t，则，即可得出EF，DE，根据，，求解出t即可；
（3）分情况讨论，过点C作轴交抛物线于点M，作，则四边形AEMC为平行四边形，此时点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，即当y=4时，，进行计算求出满足要求的解；当且时，四边形AEMC为平行四边形，此时M的横坐标为-4，即y=-4时，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：令抛物线y=0，得，
解得，，，
∴，，
令抛物线x=0，得，
∴，
令直线的解析式为，将点和点代入得，
解得，，
∴直线BC的解析式为：；
（2）解：过点D作轴，垂足为F，
∵，
∴，
∵轴，
∴
∴，
∴，
在直角中，根据勾股定理得，，
∴，
设点D横坐标为t，则，
∴，，
∵，，
∴，
解得，
当时，，
∴点．
（3）解：①过点C作轴交抛物线于点M，作，
则四边形AEMC为平行四边形，此时点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，
∴当y=4时，，
整理得
∴
解得，（舍），，
∴；
②如图所示，当且时，
四边形AEMC为平行四边形，此时M的纵坐标为-4，
∴y=-4时，，
整理得
解得，，（不合题意，舍去），
∴点M的坐标为；
综上，M的坐标为（3,4）或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，解题的关键在于对知识的熟练掌握．
7．（2022·山东济宁·校考二模）已知抛物线与直线交于、两点，如果点，．
(1)求抛物线和直线的解析式．
(2)长度为的线段在线段上移动，点与点在上述抛物线上，且线段与始终平行于轴．连接，求四边形的面积的最大值，并求出对应点的坐标，判断此时四边形的形状．
【答案】(1)，；
(2)最大为，，四边形为平行四边形．
【分析】（1）将两点坐标代入二次函数求解即可，设直线解析式为，将两点坐标代入求解即可；
（2）延长交轴于点，作，设直线交轴于点，设，确定出点坐标，表示出四边形的面积，利用二次函数的性质，求解即可．
【详解】（1）解：将，代入二次函数可得
解得
即
设直线解析式为，将，代入可得
，解得
即；
（2）解：延长交轴于点，作，设直线交轴于点，如下图：
设，则，
由题意可得：轴，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，即
，
线段在线段上移动，则，解得，
由题意可得：
由此可得，时，最大，为，此时
此时，
又∵，
∴四边形为平行四边形．
综上，最大为，，四边形为平行四边形．
【点睛】此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题的关键熟练掌握相关基本性质．
8．（2022·福建福州·福建省福州屏东中学校考三模）如图，抛物线与轴交于点，对称轴交轴于点，点是抛物线在第一象限内的一个动点，交轴于点，交轴于点，轴于点，点是抛物线的顶点，已知在点的运动过程中，的最大值是．
(1)求点的坐标与的值；
(2)当点恰好是的中点时，求点的坐标；
(3)连结，作点关于直线的对称点，当点落在线段上时，则点的坐标为______直接写出答案
【答案】(1)B（2，0），a＝；
(2)E（，0）；
(3)E（，0）．
【分析】（1）求出抛物线对称轴为x＝2，可得点B的坐标为（2，0），由题意可证明△DEF是等腰直角三角形，可得EF的最大值为4，即MB＝4，将抛物线解析式化成顶点式，进而得出2−4a＝4，即可求出a的值；
（2）求出直线CD的表达式，再与抛物线解析式联立，求出交点横坐标即可得出点E的坐标；
（3）设点F（x，），则点E（x，0），证明四边形FPDE是正方形，可得点P的坐标为（，），求出直线AM的表达式，将点P坐标代入求出x的值，即可得出点E的坐标．
（1）
解：抛物线与y轴交于点A，对称轴交x轴于点B，
∵当x＝0时，y＝2，
∴A（0，2），
∵对称轴为x＝−＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
∴OA＝OB＝2，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝45°，
∵FC⊥AB交y轴于点C，交x轴于点D，EF⊥x轴于点E，
∴∠FDE＝∠DFE＝45°，
∴DF＝EF，
∵FD的最大值是，
∴EF的最大值为4，
∴MB＝4，
∵，
∴2−4a＝4，
∴a＝；
（2）
∵点D恰好是OB的中点，
∴D（1，0），
∵∠CDO＝∠FDE＝45°，
∴OC＝OD＝1，
∴点C的坐标为（0，−1），
设直线CD的表达式为y＝kx＋b（k≠0），
代入C（0，−1），D（1，0）得：，
解得：，
∴直线CD的表达式为：y＝x−1，
由（1）知抛物线解析式为，
联立，
解得：，（不合题意，舍去），
∴点E的坐标为（，0）；
（3）
：
设点F（x，），则点E（x，0），
∵EF＝ED，
∴点D的横坐标为：x−（）＝，
如图，点与点关于直线对称，连接DP、FP、PE，
∴DF垂直平分PE，
∴FP＝FE，DP＝DE，
∵EF＝ED，
∴FP＝FE＝DP＝DE，
∴四边形FPDE是菱形，
又∵∠FED＝90°，
∴菱形FPDE是正方形，
∴点P的坐标为（，），
∵A（0，2），M（2，4），
设直线AM的表达式为y＝mx＋n，
代入A（0，2），M（2，4），得，
解得：，
∴直线AM的表达式为y＝x＋2，
当点P落在线段AM上时，有，
解得：x＝或x＝（舍去），
∴点E的坐标为（，0），
故答案为：（，0）．
【点睛】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，直线与抛物线的交点，轴对称的性质，正方形的判定和性质，解一元二次方程等知识，解题的关键是证出△DEF是等腰直角三角形．
9．（2022·山西·山西实验中学校考模拟预测）综合与探究：
已知：二次函数的图象的顶点为，与轴交于，A两点，与轴交于点，如图：
(1)求二次函数的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标；
(3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或或.
【分析】（1）利用待定系数法，设顶点式求出二次函数的表达式；
（2）根据轴对称最短路径问题得到点E的位置，利用待定系数法求出直线的函数解析式，令代入计算得到答案；
（3）根据平行四边形的判定定理画出可能的图形，根据二次函数图象上点的坐标特征解答．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴设函数表达式为.
∵图象过点，
∴当时，，
∴，
解得，，
∴函数表达式为，即；
（2）解方程，
得：，，
∴点的坐标为，点A的坐标为．
如图1，连接，
∵A、关于对称轴对称，点在对称轴上，
∴，
∴的周长，
当、、在同一直线上时，的周长最小．
设直线的函数解析式为.
则，解得，
∴直线的函数解析式为.
∵点的横坐标为，
所以点的坐标为；
（3）如图2，当点与点重合，点与点关于轴对称时，四边形的对角线互相平分，
∴四边形是平行四边形，此时点的坐标为.
当，时，四边形是平行四边形，
此时点的横坐标为，
∴的纵坐标为：，
∴点的坐标为.
当，时，四边形是平行四边形，
此时点的横坐标为，
的纵坐标为：，
∴点的坐标为.
∴以A、、、四点为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为：或或.
【点睛】本题考查了二次函数的性质、平行四边形的判定、灵活运用分情况讨论思想、掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
10．（2022·甘肃平凉·校考二模）如图， 拋物线交轴于点，交轴于点、C两点，点为线段上的一个动点（不与重合)，过点作轴，交于点，交抛物线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接和，当的面积最大时，求出点的坐标及的最大面积；
(3)在平面内是否存在一点，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当时，有最大值，最大值为8，此时D；
(3)P或．
【分析】（1）将A，B的坐标代入抛物线的解析式组成二元一次方程组，求解即可；
（2）设D，根据坐标的特点，可得出点M，N的坐标，再根据三角形的面积公式可表达的面积，根据二次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意，易证，由此得出和的长，再根据题意需要分两种情况讨论：①当时，②当时，分别求解即可．
【详解】（1）解：将点，点代入抛物线，
∴，
∴．
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵点，点，
∴直线的解析式为：；
设D，
∵轴，点M在直线上，点N在抛物线上，
∴，
∴，
∴的面积，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为8，此时D；
（3）解：存在，如图，过点M作轴于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
中，，
∴，
∴，
∴．
根据题意，需要分两种情况讨论：
①时，如图，
此时，
解得或t=0（舍），
∴，
∴，
∵，
∴点P在y轴上，
∴，
∴P；
②当时，如图，此时与互相垂直平分，设与交于点F，
∴，
∵，
∴，
解得或（舍），
∴，
∴P．
综上，存在点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以为边的四边形是菱形，此时P或．
【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质、分类讨论的思想等知识，能力要求较高，难度较大，关键是掌握菱形的对称性和进行正确的分类讨论．
11．（2022·重庆大渡口·重庆市第三十七中学校校考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于A，B两点，其中，．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P，Q为直线下方抛物线上任意两点，且满足点P的横坐标为m，点Q的横坐标为，过点P和点Q分别作y轴的平行线交直线于C点和D点，连接，求四边形面积的最大值；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移2个单位，得到新的抛物线，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，点G为平面直角坐标系内一点，当点构成以为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3)、、．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，求得直线解析式，以及四点坐标，得到、长度，利用二次函数的性质求解即可；
（3）根据平移的性质，求得的表达式，分两种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）解：将，代入二次函数解析式，可得
，解得
即；
（2）设直线解析式，代入，，可得
，解得
即，
则，，，
，
，
，
即当时，最大，为；
（3）由（2）可知，
直线为与轴的交点为，与轴的交点为，两点之间的距离为，
沿射线平移个单位，可看成向右移动了4个单位，向下移动了2个单位，
∴，
则平移后，
抛物线的对称轴为，
设，
当时，如图：
则，
解得，
∴或，
当时，平移到，平移到，
∴，
当时，平移到，平移到，
∴，
当时，如下图：
，解得，
平移到，平移到，可得，
综上点的坐标为、、．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，四边形面积、菱形的性质及应用等知识解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
12．（2022·山东日照·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，直线与抛物线在第一象限交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，若过点O的直线交线段于点P，将三角形的面积分成的两部分，请求出点P的坐标；
(3)若Q是直线上方抛物线上一个动点（不与点A、C重合），当的面积等于的面积时，求出Q点的坐标；
(4)在抛物线的对称轴上有一动点H，在抛物线上是否存在一点N，使以点A、H、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点或；
(3)或；
(4)或或．
【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式即可求解；
（2）OP将的面积分成1：2的两部分，则或，由或，可得：或，再求解直线为，即可求解；
（3）如图， 先求解，可得，把直线向上平移4个单位可得一次函数的解析式为：，则直线与抛物线的交点满足，再建立方程组可得答案；
（4）如图，先求解抛物线的对称轴为：直线，设，，再分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，则，再利用中点坐标公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）如图，点、，
∴，
将的面积分成的两部分，
∴或，
∴或，
解得：或，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
当时，则，当时，则，
∴点或；
（3）如图，由（2）可得直线为，
当时，，则，此时，
把直线向上平移4个单位可得一次函数的解析式为：，
则直线与抛物线的交点满足，
∴，解得：或，
∴或；
（4）如图，，，
∵抛物线为：，
∴抛物线的对称轴为：直线，
设，，
当为对角线时，则，
解得：，则，
当为对角线时，如图，
则，解得：，
∴，
∴，
当为对角线时，则，
解得：，
∴，
∴，
综上：的坐标为：或或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数与图形面积以及二次函数与特殊四边形问题，熟练的利用二次函数的性质以及中点坐标公式解题是关键．
13．（2022·重庆璧山·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点为线段下方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，动点在原抛物线的对称轴上，点为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
【答案】(1)
(2)当时，取得最大值，最大值为1，此时点的坐标为
(3)点的坐标为，，
【分析】（1）将，代入抛物线，列方程组求解即可得到答案；
（2）延长交轴于点，设直线的函数表达式为，将，代入列方程组求解得出解析式，设，根据轴得到，，根据三角形面积公式用t表示出，利用函数性质即可得到最值；
（3）根据，得到，结合抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到抛物线向右平移个单位长度，向上平移3个单位长度，得到新抛物线解析式，设点，根据平行四边形对角线互相平分分类讨论根据中点坐标公式即可得到答案．
【详解】（1）解：将，代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：如图，延长交轴于点，
设直线的函数表达式为，
∵，，
∴，解得，
∴直线的函数表达式为，
设，其中，
∴，，
∴，
∵，
，
∴，
∴当时，取得最大值，最大值为1，此时点的坐标为；
（3）解：∵，，
∴，
∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，
∴抛物线向右平移个单位长度，向上平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为，
∵点在原抛物线对称轴上，
∴设点，
①当以为对角线时，，即，
∴，
∵点为新抛物线上一点，
∴，
②当以为对角线时，，即，
，
∵点为新抛物线上一点，
∴，
③当以为对角线时，，即，
，
∵点为新抛物线上一点，
∴，
综上所述，点的坐标为，，．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图像上点坐标的特征，平行四边形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
14．（2022·辽宁鞍山·统考二模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标，与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作轴于点H，过点A作交DH的延长线于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在线段AE上找一点M，在线段DE上找一点N，求的周长最小值；
(3)在（2）问的条件下，将得到的沿射线AE平移得到，记在平移过程中，在抛物线上是否存在这样的点Q，使、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出平移的距离；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，理由见解析
【分析】（1）将A，B两点的坐标代入解析式，待定系数法求解析式即可求解；
（2）作点关于的对称点，关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接，则的周长为最小值为的长，勾股定理即可求解；
（3）在（2）的基础上，证明四边形是菱形，求得的长，求得直线与坐标轴的交点坐标，证明，即可求得平移距离．
（1）
解：∵已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标，
∴，
解得，
；
（2）
如图，作点关于的对称点，关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接，交AE、DE于M′、N′，
，
，
的周长为，当四点共线时，取得最小值，即与重合，与重合，
的周长为最小值为的长，
轴于点H，
三点共线，三点共线，
根据题意可知点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，
轴，
由
对称轴为，则
，
与轴的交点为，即点，
点A的坐标为，
，
，
，
∴，
，
，
，
，，
，
在中，，
即的周长最小值为；
（3）
存在，，理由如下，
由（2）可知
又
在轴上，
是等边三角形，
又
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
设为直线上一点，
,，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
解得或，
，
，
，
，
，，
的中点坐标为，与点重合，
，
根据题意，使、、、为顶点的四边形为菱形，则，平移距离为．
【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数求解析，菱形的性质与判定，平移的性质，轴对称求线段和最短距离，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．
15．（2022·重庆·统考二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．其中点A（﹣2，0），点C（0，﹣4），连接AC、BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在直线BC的下方抛物线上有一点P，过点P作PHy轴交BC于点H，求PHCH的最大值以及此时点P的坐标；
(3)将抛物线y沿射线CA方向平移3个单位长度后得到新抛物线y1，点E在新抛物线y1上，点F是原抛物线对称轴上一点，若以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个F点的过程．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）通过点A（﹣2，0），点C（0，﹣4）在抛物线上建立方程组即可求出和 得到解析式；
（2）设P点的坐标为，根据、，得出，将PF的最值，转化为一元二次函数的最大值，即可得到答案；
（3）根据两种情况分别分析，先根据平移计算出抛物线y1的解析式，再根据两种情况分别求出E点的横坐标，代入解析式求出纵坐标，再计算出F点的纵坐标．
(1)
解：∵点A（﹣2，0），点C（0，﹣4）在抛物线上，
得，
解方程组得，；
∴抛物线的解析式为：
(2)
当时，，
解方程得，，
∴点B的坐标为（4，0），
∴ ，
如下图所示，设CH的中点为N，过点N作EFOB轴，交PH于点F，延长PH交OB于点M，
∵EFOB
∴四边形是矩形
∵，EFOB
∴，
∵
∴
∴
设P点的坐标为 ，得，
∵,
∴
∵
∴
∴当时，PF最大，且最大值为
∴
故PF最大值为，此时P点的坐标为；
(3)
解：∵抛物线
∴对称轴为：，
设点移动到点，作轴，垂足为N，
∵, ，
∴，
∵轴
∴,
∴，
∴
∵，,,
∴，，
∴抛物线y沿轴向左移动了，沿轴向上移动得到y1，
∴，
当时，如下所示，设抛物线的对称轴交于点D，过E点作，垂足为G，
∵，
∴，
∵，，
∴ ，
∵，
∴，且为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵E在抛物线 上，当时，，
∴
∴F的坐标为 ；
当时，过点E作轴，垂足为G，过点C作，垂足为L，
∵，
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∵E在抛物线 上，当时，，
∴,
∴,
∴F的坐标为 ；
故点F的坐标为或．
【点睛】本题考查抛物线的相关知识，熟练掌握抛物线的解析式的计算方法、对称轴的计算方法、最大值的计算方法、平移的相关知识，并将线段的最大值问题转换成抛物线顶点的问题是解本题的关键．
16．（2022·重庆·西南大学附中校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，其对称轴与x轴交于点D．
图1 图2
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点P为第四象限内的抛物线上一动点，连接PB，PC，CD，求四边形PBDC面积的最大值和此时点P的坐标；
(3)将该抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线y'，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线y'对称轴上的一点，M是原抛物线上的动点，直接写出所有使得以点A，E，F，M为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．
【答案】(1)；
(2)的最大值为，此时点的坐标为，；
(3)点的坐标为或或．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）利用待定系数法求得直线的解析式为，过点作轴交于点，如图1，设，，则，得出，再运用二次函数的性质即可得出答案；
（3）根据平移的性质可得，新抛物线的对称轴为直线，设，，可得，又，由以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：①当、为对角线时，、的中点重合，②当、为对角线时，、的中点重合，③当、为对角线时，、的中点重合，分别画出图形，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：（1）抛物线经过点，其对称轴，
，
解得：，
该抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图，连接BC，作PH∥y轴，交BC于H，
点与点关于对称轴对称，
，
，，
，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
设，，则，
，
，
，
，，
当时，的最大值为，此时点的坐标为，；
（3）解：将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线，
即，
新抛物线的对称轴为直线，
设，，
当时，，
，又；
①当、为对角线时，、的中点重合，
，
解得：，
，
；
②当、为对角线时，、的中点重合，
，
解得：，
，
；
③当、为对角线时，、的中点重合，
，
解得：，
，
；
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
17．（2022·内蒙古包头·包头市第二十九中学校考三模）如图，把两个全等的RtAOB和RtCOD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB，OD在x轴上，已知点A(2，4)，抛物线经过O，A，C三点．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点G为OC上方的抛物线上一动点，求点G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标；
(3)点P为线段OC上一个动点（不与O，C 重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，是否存在点P，使线段AM与BP相等？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)G点到直线OC的最大距离为，此时G（2，4）；
(3)
【分析】（1）根据Rt△AOB≌Rt△OCD，可得出C（4，2），再运用待定系数法即可求得答案；（2）如图1，连接GO，GC，过G点作x轴的垂线交OC于点K，GH⊥OC于点H．设G点的横坐标为m（0＜m＜4），则．运用待定系数法求出直线OC的解析式,得出GK，进而得出S△GOC=-（m-2）2+6，运用二次函数的性质可求得答案；（3）如图所示，过点M作MR⊥AB于点R，过点P作PT⊥AB于点T，先证明Rt△AMR≌Rt△BPT（HL），得出AR=BT，设点M的横坐标为t（0＜t＜4），则，进而建立方程求解即可．
（1）
∵A（2，4），
∴OB=2，AB=4，
∵Rt△AOB≌Rt△OCD，
∴OD=AB=4，CD=OB=2，
∴C（4，2），
∵抛物线y=ax2+bx+c经过O，A，C三点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为
（2）
如图1，连接GO，GC，过G点作x轴的垂线交OC于点K，GH⊥OC于点H．
令G点的横坐标为m（0＜m＜4），则．
设直线OC的解析式为y=kx，把C（4，2），代入得：4k=2，
解得：k=，
∴直线OC的解析式为y=x，
∴
∴，
∴
∴当m=2时，S△GOC的值最大为6，此时GH的值为最大，
∵
∴
∴
∴G点到直线OC的最大距离为，此时G（2，4）；
（3）
存在．如图所示，过点M作MR⊥AB于点R，过点P作PT⊥AB于点T，设MP交x轴于点N,
∴∠ARM=∠MRT=∠PTR=∠BTP=90°，
∴MR∥PT，
由题意：MN∥AB，
∴四边形MPTR是矩形，
∴MR=PT，
∵AM=BP，
∴Rt△AMR≌Rt△BPT（HL），
∴AR=BT，
设点M的横坐标为t（0＜t＜4），则
由（2）知：直线OC的解析式为，则P（t，t），
当时，解得：（舍）
当时，无实数解，
当，此时
．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等，综合运用以上知识是解题的关键．
18．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分则点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，且，P为抛物线上一动点．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，P点的坐标为
(3)存在，，；，；，
【分析】（1）根据已知条件，列出方程组求出a，b，c的值即可；
（2）方法一：设，四边形PABC的面积，用m表示出S，并求出S的最大值与此时P点的坐标；
方法二：易知，，故直线AC的方程为，设，表示出PQ，并用x表示出△APC的面积，再表示出S，并求出S的最大值与此时P点的坐标；
（3）根据题目要求，分类讨论当当N在y轴上时；当N在x轴负半轴上时，设，用t表示出点P的坐标，解出t，写出点P及其对应点N的坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，对称轴为直线，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：方法一：连接OP，
设，易知，，
∵，，
∴四边形PABC的面积，
∴
又∵，
∴
∴当时，，
∴此时P点的坐标为；
方法二：易知，，故直线AC的方程为
设，
∵过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q，
∴，
∵点P在AC上方，
∴，
∴
，
∴四边形PABC面积，
∴当时，S有最大值，
∴此时P点的坐标为．
（3）存在点N．
①当N在y轴上时，
∵四边形PMCN为矩形，
此时，，；
②当N在x轴负半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，
∴，
∵四边形PMCN为矩形，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵点M在对称轴上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P点的坐标为，
∵P点在抛物线上，
∴
解得，（舍），
∴，；
③当N在x轴正半轴上时，如图所示，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为E，设，则，
∴，
∵四边形PMCN为矩形时，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵点M在对称轴上，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴P点的坐标为，
∵P点在抛物线上，
∴
解得（舍），，
∴，，
综上：，；，；，
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数、二次函数综合问题，矩形的性质与判定，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
19．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）综合与探究
已知：如图，二次函数的图象的顶点为，与x轴交于B，A两点，与y轴交于点，点E为抛物线对称轴上的一个动点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当的周长最小时，点E的坐标为____________；
(3)当点E在x轴上方且时，试判断与的位置关系，并说明理由；
(4)若点N是y轴上的一点，坐标平面内是否存在P，使以D、B、N、P为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
(4)存在，
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得点A、B坐标，根据点A、B对称性，连接BC与抛物线的对称轴交于点E，此时△ACE的周长最小，求得BC的解析式即可求解；
（3）过点C作CH⊥DE于H，设对称轴于x轴交于F，利用tan∠BAE= tan∠BDE= tan∠HEC证得∠BDE=∠HEC即可判断BD∥CE；
（4）设点N（0，n），分BD为矩形的边和BD为矩形的对角线两种情况，利用矩形的性质和勾股定理求解点N、P坐标即可．
(1)
解：设二次函数的解析式为，
将点C（0，3）代入，得3=a+4，则a=-1，
∴二次函数的解析式为即；
(2)
解：令y=0，由得：x1=-3，x2=1，
∴A（1，0），B（-3，0），
∵点A、B关于对称轴x=-1对称，
∴连接BC与抛物线的对称轴交于点E，此时△ACE的周长最小，
设直线BC的解析式为y=kx+t，
将B（-3，0）、C（0，3）代入，
得，
∴，
∴直线BC的解析式为y=x+3，
当x=-1时，y=2，
∴当的周长最小时，点E的坐标为（-1，2），
故答案为：（-1，2）；
(3)
解：CE∥BD，理由为：
过点C作CH⊥DE于H，设对称轴于x轴交于F，
则CH=1，BF=2，AF=2，DF=4，HF=3，
在Rt△DFB中，tan∠BDE=，
在Rt△AFE中，tan∠BAE=，
∵，
∴，
则EF=1，即HE=2，
在Rt△CHE中，tan∠HEC= ，
∴∠BDE=∠HEC，
∴BD∥CE；
(4)
解：存在，理由为：
设点N（0，n），P（x，y），则BD2=（-3+1）2+42=20，BN2=（-3）2+n2=9+n2，DN2=（-1）2+（4-n）2=n2-8n+17，
若BD为矩形的边时，
当∠BDN=90°时，由DN2+ BD2= BN2得n2-8n+17+20= 9+n2，
解得：n= ，
∴N（0，），
∵矩形的对角线互相平分，
∴由-1+x=-3+0，4+y=0+得：
x=-2，y=，
∴P（-2，）；
当∠DBN=90°时，由BN2+ BD2= DN2得9+n2+20= n2-8n+17，
解得：n= ，
由-3+x=-1+0，0+y=4+（）得：x=2，y= ，
∴P（2，）；
若BD为矩形的对角线时，则∠BND=90°，
由BN2+ DN2= BD2得：9+n2+ n2-8n+17=20，
解得：n=1或n=3，
当n=1时，N（0，1），由0+x=-3+（-1），1+y=0+4，得x=-4，y=3，
∴P（-4，3）；
当n=3时，N（0，3），由0+x=-3+（-1），3+y=0+4，得x=-4，y=1，
∴P（-4，1），
综上，满足条件的点P坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式、二次函数的性质、最短路径问题、平行线的判定、锐角三角函数、矩形的性质、勾股定理、坐标与图形、解一元一次（二次）方程，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
20．（2022·广西河池·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点．
(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；
(2)若P为线段AB上一点，，求AP的长；
(3)在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点B的坐标为(0，3)；
(2)
(3)存在，(，3)、 (，)或（－4，－5）
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）求出，利用三角形相似的判定及性质即可求解．
（3）分两种情况：①当为平行四边形的边时，点的横坐标可以为，求出点的坐标即可求解；②当为平行四边形的对角线时，点的横坐标为-4，求出点的坐标即可求解．
(1)
解：令，则，
∴点B的坐标为(0，3)，
抛物线经过点B (0，3)，C (1，0)，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：．
(2)
令，则，
解得：，
∴点A的坐标为(，0)，
∴OA=3，OB=3，OC=1，
，
∵，且，
∴△PAO△CAB，
∴，即，
∴．
(3)
点，代入得，
，解得，
直线的解析式为：，
设点，
，
，
解得或（舍去），
，
可能为平行四边形的边或对角线，
则分两种情况讨论，如图所示，
①当为平行四边形的边时，即和，
点，点，
点和点的横坐标之差为2，
点的横坐标为或-2，
将2和-2分别代入，
即和，
解得和，
点的坐标为，点的坐标为，
②当为平行四边形的对角线时，即，
点和的横坐标之差为1，
点和点的横坐标为1，
点的横坐标为，
将-4代入，即，
解得，
点的坐标为，
综上所述，满足条件的的坐标为或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，考查了待定系数法、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质，解题的关键是学会运用分类讨论思想思考问题．
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