2024年中考数学压轴题专项练习—将军饮马（1）

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A．B．C．D．
【分析】首先证明点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接交 于，此时的值最小．
【解答】解：如图，，都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，，
，，
点在射线上运动，
作点关于直线的对称点，连接交 于，此时的值最小，
，，
是等边三角形，
，
，
，
周长的最小值，
故选：．
【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点在射线上运动，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．
2．（2023•蚌山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等边，使得点落在第一象限，连结，则的最小值为
A．6B．C．8D．
【分析】根据点的运动先证明点在直线是运动，再根据轴对称最值问题，作点关于直线的对称点，连接，求出的长即可．
【解答】解：如图，作，边交直线于点，作直线，
由直线可知，，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
轴，即点在直线上运动，
过点关于直线的对称点，连接，即为所求最小值，
此时，在中，，，
，
．
故选：．
【点评】本题属于一次函数与几何综合题，涉及勾股定理，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，轴对称最值问题，旋转的性质等知识，解题的关键是得出点在直线是运动．
3．（2022秋•姑苏区校级月考）已知：如图，点是直线外一点，点到直线的距离是4，点、点是直线上的两个动点，且，则线段的长的最小值为
A．B．C．3D．4
【分析】如图，过点作直线直线，则直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，，交直线于点，连接，过点作于，过点作于．首先证明当，，共线时，的值最小，此时的值最小，解直角三角形求出此时的值，可得结论．
【解答】解：如图，过点作直线直线，则直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，，交直线于点，连接，过点作于，过点作于．
在中，，
的值最小时，的值最小，
，
当，，共线时，的值最小，此时的值最小，
直线垂直平分线段，
，
，
，，
，
，
，
，
可以假设，，
，
，
，
，
，
解得，
的最小值，
故选：．
【点评】本题考查解直角三角形，轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称的性质添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于选择题中的压轴题．
4．（2021秋•郑州期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线上有，两个动点，且，已知，点，，当周长最小时，点的坐标为
A．B．C．D．
【分析】作，，连接，交于，由平行四边形和菱形的性质得，，要使周长最小，只要的最小，即为、、三点共线，然后利用含角的直角三角形的性质求出点的坐标即可解决问题．
【解答】解：如图，作，，连接，交于，
则四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
则连接交于，此时的最小值为的长，
，四边形是菱形，
，，，
，
，
过点作轴于，
点，
，
，
，
点的横坐标为，纵坐标为，
，，
，点为的中点，
点为的中点，
，，
故选：．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，含角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，轴对称最短路线问题，坐标与图形的性质等知识，找到周长最小时点的位置是解题的关键．
5．（2021•雨花区一模）如图，正方形的边长为4，点，点分别是边，边上的动点，且，与相交于点．若点为边的中点，点为边上任意一点，则的最小值等于
A．B．5C．D．
【分析】证明，可得（存在定角），而对的边为，因此是隐圆与将军饮马结合的题．
【解答】解：，，，
，
，
，即为定角，
而所对线段为，即为定弦．
因为点在以中点为圆心，以为半径的圆弧上（如图），
作点关于的对称点，
则，
连接交的应该是圆弧于点，
则最小值即为的长，即的值．
而，
而半径，
故的值，
故选：．
【点评】本题为圆的综合题，牢记隐圆和将军饮马的知识点，此题即可迎刃而解．
二．填空题（共8小题）
6．（2023春•高港区期中）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上一动点，四边形是平行四边形，当值最小时，点的坐标为 ， ．
【分析】先得出点是直线上的动点，再将转化成，考虑将军饮马．
【解答】解：，，点是轴上一动点，四边形是平行四边形，根据平移的性质得，
点是直线上的动点，
作关于直线的对称点，连接、，则，
四边形是平行四边形，
，
，
设直线的表达式为，代入得，，
，
令，得，
点的坐标为，，
故答案为：，．
【点评】本题考查了将军饮马模型，涉及到平行四边形的性质，关键是得出点在直线上运动．
7．（2023春•梁子湖区期中）如图，矩形的边，，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边上的一个动点，连接，，则的最小值为 7 ．
【分析】先找出点的运动路线为以为直径的圆，设圆心为，作点关于直线的对称点，连接交于点，可推出的长即为的最小值，再求出的长即可．
【解答】解：四边形是矩形，
，
，
，
点的运动路线为以为直径的圆，
作以为直径的，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接，，
则，，
，
的最小值为；
连接，
四边形是矩形，点是的中点，点为的中点，
，，，
四边形是矩形，
，
点关于直线的对称点，
，
在△中，
由勾股定理，得，
的最小值为，
故答案为：7．
【点评】本题考查轴对称最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，能利用一条线段的长表示两线段的和的最小值是解题的关键．
8．（2023春•泰州期末）如图，在矩形中，，，点、、分别在边、、上运动，且线段始终经过矩形的对称中心，则周长的最小值为 ．
【分析】、、三个点均为动点，直接用将军饮马模型行不通，考虑到对称中心是的中点，又是定点，所以取的中点，先求周长的一半的最值．连接的目的是使，这样又出现一个定点，后面分别用将军饮马和垂线段最短来解决．
【解答】解：取的中点，连接，，，作，垂足为，则，
线段始终经过矩形的对称中心，
是的中点，
，，
，
周长的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形周长最小值问题，难度大，、、三个点均为动点，无从下手，关键是出现定点，所以找到，两个定点，分别利用将军饮马和垂线段最短解决．
9．（2023•武汉模拟）锐角中，，，点，，分别在的三条边上，则周长的最小值为 ．
【分析】根据等面积法求出，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，由两点之间线段最短，得为所求，证明出△为等腰三角形，说明当腰长最短时底边最短，即当时，最短，再在△中求出即可．
【解答】解：如图在中，作于点，于点，
，，
，，
，
，
，
，
，
如图，连接，作关于的对称点，作关于的对称点，
连接交与、于，
连接、、、，
由对称得，，，
，
两点之间线段最短，
故为所求周长的最小值，
由对称得，，
△为等腰三角形，
，，且，
，
当腰长最短时底边最短，
当时，
即，时，最短，
如图在△中，作
，
，，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了两点间线段最短的应用，等腰三角形的性质的应用及勾股定理的计算是解题关键．
10．（2022•长兴县开学）如图，已知为的直径，，是的切线，切点分别为点，，点为上的一个动点，连结，．若，，则的最小值是 ．
【分析】过点作于点，延长交于点，连接交于点，利用将军饮马模型可得此时最小，连接，，，利用相似三角形的性质可得，设，则，利用勾股定理求得，再利用，求出的长，进而求出的长；过点作于点，则四边形为矩形，，，则，再利用勾股定理即可求得结论．
【解答】解：过点作于点，延长交于点，连接交于点，如图，
为的直径，，
．
点与点关于对称．
，此时最小．
．
连接，，，
为的直径，，
．
，是的切线，
，，，．
，
．
，
．
．
．
．
设，则，
为的直径，
．
．
．
．
，，
，
．
．
．
．
．
，，
．
．
．
．
．
过点作于点，
则四边形为矩形，
，．
．
在中，
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了切线的性质定理，切线长定理，垂径定理，勾股定理，弦切角定理，相似三角形的判定与性质，利用将军饮马模型确定出点的位置是解题的关键．
11．（2021春•江岸区校级月考）如图所示，，，，．点、分别是、上动点，则的最小值是 ．
【分析】寻找对称点，利用“将军饮马”模型去寻找最小值，构造含有特殊角的直角三角形去求解长度．
【解答】解：如图，作点关于的对称点，则，
作点关于的对称点，则，
，
当在同一条直线上时取最小值，
连接，，
，
则，
，
，
，，
，
先作射线与射线关于对称，
由对称的性质可知，，
同理作射线与射线关于对称，
同理，，
当、、、四点共线时，最小，
则，
作垂直的延长线交于点，
，
，
在△中，，
根据角所对的直角边是斜边的一半可知，
则，，
，
则．
故答案为：．
【点评】本题为轴对称最短路线问题，对称的线段较多，且最后的线段长度较为难求，需要去构造一个合适的含有特殊角的直角三角形，再去利用勾股定理去求解线段的长度．
12．（2020•江阴市二模）平面直角坐标系中，已知点，，，线段沿射线方向平移，在移动的过程中，的最小值是 ．
【分析】线段沿射线平移，是定点，我们可以动静互换，将保持不变，沿射线方向平移，然后通过对称来解决．
【解答】解：过作，作关于的对称点，连接，
，，
，，
，
，
，
，
关于的对称点为，
是等边三角形，
，
的最小值转化为线段的长，
作的延长线于，
，
故答案为：．
【点评】本题是求两条线段和最小问题，通过动静互换可以将所求问题转化为常见的两定一动，利用将军饮马作对称来解决，逆向思维是解决本题的关键．
13．（2015•宁波模拟）在平面直角坐标系中，、，过点作直线轴，点是直线上的动点，以为边在右侧作等腰，，直线交轴于点．
（1）当时，则点的坐标为 ；
（2）当点在直线上运动时，点也随之运动．当 时，的值最小为 ．
【分析】（1）要求点的坐标，可作，由于、已知，只需求出和．从条件“为等腰直角三角形”出发，构造全等，即可解决问题．
（2）本题要求动点到两定点、的距离之和的最小值，属于“将军饮马型”，只需求出动点所在直线的解析式，然后运用解决“将军饮马型”的方法即可解决问题；要求取最小值时对应的的值，只需运用相似三角形对应高的比等于相似比建立关于的方程，就可求出的值．
【解答】解：（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图1．
，，．
，．
在和中，
．
，．
，．，．
，，．，．
点的坐标为．
（2）若点的坐标为，则，．
点的坐标为．
无论为何值，点的坐标都满足一次函数解析式，
点始终在直线上运动．
设直线与轴、轴分别交于点、，如图2所示．
当时，当时．．
，．
过点关于直线作对称点，连、，
则，，．
，．根据两点之间线段最短可知：
当、、三点共线时，最短，最小值为长．
设直线与相交于点，则．
在△中，，，，
．
当、、三点共线时，
，△．
根据相似三角形对应高的比等于相似比可得：
，解得．
．．
当 时，的值最小为．
故答案为：、、．
【点评】这道题考查了全等的性质与判定、相似的性质与判定，两点之间线段最短，勾股定理等知识，综合性很强，求出动点所在直线的解析式是解决这道难题的关键；当直角坐标系中出现等腰直角三角形时，可考虑构造全等三角形，找出线段之间的等量关系，从而将条件与所求线段有机地联系起来；若要求一个动点到两个定点的距离之和的最小值，应联想到“将军饮马”这个基本模型．
三．解答题（共47小题）
14．（2023春•斗门区期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点在坐标轴上，，两点的坐标分别是，，，于，是的中点，点在直线上．
（1）求直线的解析式；
（2）当的值最小时，求点的坐标；
（3）当是等腰三角形，且时，写出点的坐标．
【分析】（1）先根据题意求出点、点的坐标，再用待定系数法求解直线的解析式；
（2）先作出符合条件的图形，即找到与的交点，再用直线，和直线的解析式联立，求出交点的坐标即可求解；
（3）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时，因为点且，所以求出点的坐标在第三象限即符合题意，否则舍去．
【解答】解：（1）四边形是菱形，
，，，
，，，
，，
，，
，
和都是等边三角形．
于，是的中点，
点是中点，，
，
设直线的解析式为，将，代入得，
，解得，
直线的解析式为；
（2）如图1，连接，交于点，
垂直平分，
，
，
、、三点共线，
最短，
，，是的中点，
，
设直线的解析式为，将，代入得，
，解得，
直线的解析式为，
，解得，
；
（3）在菱形中，，
，，
，，
是等腰三角形，点在直线上．且，
点在第三象限，
①当时，
，即点为中点，
又，，
；
②当时，
如图2，作轴于点，
在中，，，
，
，
，，
，
，即，
解得，，
，
；
③当时，
如图2，连接，
设交轴于点，
，，
，
，即，
解得，
，
，
即点在第二象限，不合题意，舍去，
综上所述，当是等腰三角形，且时，的坐标为或．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用，用待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，将军饮马模型，等腰三角形中的分类讨论是本题的难点．
15．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，中，在上，在上，，在上，．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，在上，，求证：；
（3）如图3，若，，，当周长最小时，请直接写出的面积．
【分析】（1）先说明，然后用证明，得到；
（2）仿照（1）得，出现中点倍长中线，利用相似得；
（3）先说明，即点的轨迹是条直线，然后考虑将军饮马，最后求的面积．
【解答】（1）证明：，，，
，
，，
，
；
（2）证明：延长至使，由（1）得，
，，
延长至使，连接，则，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：延长至使，
，
，
，
，
，
，，
，
过作的对称点，连接、、、，
，
当、、三点共线时周长最小，
当周长最小时如图所示：
，
，
，
是正三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题是三角形的综合题，难度很大，关键是联想到常见的模型：截长补短、倍长中线、将军饮马等．
16．（2023•德城区模拟）在平面直角坐标系中，函数为常数）的图象记为．
（1）设，当经过点时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标．
（2）判断图象与轴公共点的个数，并说明理由．
（3）当时，图象的最高点与最低点纵坐标之差为9，求的取值范围．
（4）线段的端点坐标分别为、，当图象与轴有两个公共点时，设其分别为点、点（点在点左侧），直接写出四边形周长的最小值及此时的值．
【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可；
（2）令，则，利用一元二次方程的判别式大于0解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分三种情形，利用函数的图象的性质分别求得二次函数的最大与最小值，依据题意列出等式解答即可；
（4）利用勾股定理求得线段的长，利用，的坐标得到的长，则当取得最小值时，四边形的周长最小，将点向左平移四个单位得到，作点关于轴的对称点，连接，利用将军饮马模型即可求得的最小值；利用勾股定理计算得到，则四边形周长的最小值可求，利用待定系数法求得的解析式，令即可求得点坐标，则值可求．
【解答】解：（1）经过点
，
解得：或4．
，
．
此函数的表达式为．
，
此函数图象的顶点坐标为；
（2）图象与轴公共点的个数为两个，理由：
令，则，
△
，
方程由两个不相等的实数根，
即抛物线图象与轴有两个公共点；
（3），
抛物线的顶点为．
①当时，由于，则，
当时，函数取最小值，当时，函数取最大值为，
由题意得：，
解得：，均不符合题意，舍去；
②当时，则，且，
当时，函数取最小值，当时，函数取最大值为5，
由题意得：，符合题意，
当时符合题意；
③时，，
当时，函数取最小值，当时，函数取最大值为5，
由题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
综上，的取值范围为：；
（4）令，则，
解得：或，
点在点左侧，
，．
．
如图，，
当四边形的周长最小时，即最小．
将点向左平移四个单位得到，
则，，
，
四边形为平行四边形，
，
．
作点关于轴的对称点，连接，则，
由将军饮马模型可知：此时，取得最小值为．
，
四边形的周长的最小值为：；
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
，
此时，
，
．
四边形周长的最小值为，此时的值为3．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，一元二次方程的判别式，抛物线与轴的交点，轴对称的性质，函数的极值，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
17．（2023春•福田区期末）已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）作关于点成中心对称的△（点的对应点为，点的对应点为；
（2）把△向右平移3个单位，作出平移后的△（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为；
（3）轴上存在点，使得的值最小，则点的坐标是 ．
【分析】（1）分别找到点、关于点对称的点，，连接即可；
（2）将各个顶点向右平移三个单位得到对应点，，，连接即可；
（3）利用“将军饮马”模型求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，△即为所求，
（2）如图所示，△即为所求，
（3）如图，找到点关于轴的对称点，连接，交轴于点，
根据“将军饮马”模型可得，点即为所求，使得 的值最小，
由图可知：点，点，点，
设直线，将点，代入解析式，
得，
解得，
，
点的坐标为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面直角坐标系中的图形的平移变换，对称变换及中心对称变换，熟练掌握图形的变换特征是解题的关键．
18．（2023•卧龙区二模）综合与实践
问题提出
（1）如图①，请你在直线上找一点，使点到两个定点和的距离之和最小，即的和最小（保留作图痕迹，不写作法）；
思维转换图
（2）如图②，已知点是直线外一定点，且到直线的距离为4，是直线上的动线段，，连接，，求的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”，请你参考小敏的思路求的最小值；
拓展应用
（3）如图③，在矩形中，，连接，点、分别是边、上的动点，且，分别过点、作，，垂足分别为、，连接、，请直接写出周长的最小值．
【分析】（1）作点的对称点，由两点之间线段最短解题即可；
（2）将、看作定点，看作动点，由（1）作法可解；
（3）由相似得出为定值，再根据（2）作法求出的最值，即可解答．
【解答】解：（1）如图①，则点为所求．
做法：作点关于的对称点，
连接交于点，由对称得，
，
两点之间线段最短，
最短，即的和最小．
（2）如图②，过点作直线，作点关于的对称点，连接，交于点，
则的值即是的最小值，
点到直线的距离为4，
，
，
，
，即的最小值为10．
（3）如图③，过作，于点，作点关于的对称点，连接，
由（2）得为的最小值，
，，
，
，
，
设，
由得，，，
，
，
由得，，
，
，，
，
，
周长的最小值为．
【点评】本题考查了线段和最值的做法的应用，三角形相似及准确的计算是解题关键．
19．（2023•渝中区校级一模）如图，是等边三角形，为上一点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，分别交、于点、．
（1）若，，求的面积；
（2）请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当周长最小时，请直接写出的值．
【分析】（1）将绕点顺时针旋转，得到，则点在上，过点作，利用旋转的性质可得，，，，于是可得点、、在同一直线上，，在根据三角形的面积公式计算即可；
（2）将绕点顺时针旋转，得到，连接，，易证明四边形为菱形，于是得到为的中位线，，利用线段之间关系即可求解；
（3）将绕点顺时针旋转，得到，连接，，作点关于的对称点，连接，，，，，交于点，则，，要使周长取得最小值，即取得最小值，根据两点之间线段最短得当、、三点共线时，取得最小值，连接，交于点，连接，连接，易得四边形为菱形，四边形为矩形，设的边长，，设，则，由（2）知，，则，易得为的中位线，于是，得到，解得，因此，，由，计算即可求解．
【解答】解：（1）如图，将绕点顺时针旋转，得到，则点在上，过点作，
，，
，
为等边三角形，
，，
根据旋转的性质可得，，，，，
，
点、、在同一直线上，
，
；
（2）．证明如下：
如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，
，，
，，
，，
四边形为菱形，
，，
，
为的中位线，
，
，，
；
（3）如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，
作点关于的对称点，连接，，，，，交于点，
则，
，
要使周长取得最小值，即取得最小值，
，
当、、三点共线时，取得最小值，
如图，连接，交于点，连接，连接，
为等边三角形，，
，
四边形为菱形，
，，且，
四边形为矩形，
设的边长，
，
设，则，
由（2）知，，则，
，为中点，
为的中位线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设到的距离为，到的距离为，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质、旋转的性质、解直角三角形、菱形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、两点之间线段最短、平行线的判定与性质、矩形的判定、相似三角形的判定与性质，本题综合性较强，难度较大，正确作出辅助线，构建等边三角形解决问题是解题关键．
20．（2022秋•邗江区月考）如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作半圆，交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若点是的中点，，求图中阴影部分的周长；
（3）在（2）的条件下，点是边上的动点，当取最小值时，直接写出的长．
【分析】（1）过作于，由，，得平分，即有，从而可得为半径，故是的切线；
（2）由，且是中点，得，，根据，，，可得，即可列式求出答案；
（3）作关于的对称点，连接交于，连接，此时最小，最小值为的长度，根据、关于对称，可证、、共线，由（2）知，，即得，，故，是等边三角形，，而中，，从而可得．
【解答】（1）证明：过作于，如图：
，，
平分，
，，
，
为半径，
为半径，
是的切线；
（2）解：，且是中点，
，，
在中，，
，，，
，，
，
；
（3）解：作关于的对称点，连接交于，连接，如图：
此时最小，最小值为的长度，
、关于对称，
，
，即、、共线，
由（2）知，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
而中，，
，
当取最小值时，的长为．
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及切线的判定、等边三角形的性质及判定、扇形的周长、“将军饮马”问题等知识，解题的关键是熟练掌握“将军饮马”模型问题的解决方法．