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    新疆乌鲁木齐市2024届高三高考模拟测试数学试题及答案

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    新疆乌鲁木齐市2024届高三高考模拟测试数学试题及答案

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    这是一份新疆乌鲁木齐市2024届高三高考模拟测试数学试题及答案,共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、单选题
    1.已知复数,是的共轭复数,那么( )
    A.B.C.D.
    2.命题“”的否定是( )
    A.B.
    C.D.
    3.已知平面向量,满足,,与的夹角为,,则实数的值为( )
    A.-2B.2C.D.
    4.已知数列满足,,且,则( )
    A.B.C.D.
    5.的展开式中,的系数为( )
    A.B.C.D.
    6.已知是过抛物线的焦点的弦.若,则中点的纵坐标是( )
    A.1B.2C.D.
    7.已知函数,对一切x∈R恒有f(b)≤f(x)≤f(a)(a,b∈R),则sin(a+b)的值是( )
    A.-B.
    C.-D.
    8.已知函数的定义域为,其导函数为,对恒成立,且,则不等式的解集为( )
    A.B.C.D.
    二、多选题
    9.已知函数的部分图象如图所示,则( )
    A.函数的最小正周期为π
    B.点是曲线的对称中心
    C.函数在区间内单调递增
    D.函数在区间内有两个最值点
    10.德国数学家狄里克雷在年时提出:“如果对于的每一个值,总有一个完全确定的值与之对应,那么是的函数.”这个定义较清楚的说明了函数的内涵,只要有一个法则,使得取值范围内的每一个,都有一个确定的和它对应就行了,不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示.他还发现了狄里克雷函数,即:当自变量取有理数时,函数值为,当自变量取无理数时,函数值为.狄里克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识,也使数学家们更加认可函数的对应说定义,下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是( )
    A.B.是奇函数
    C.的值域是D.
    11.已知是等差数列,,其前项和为,满足,则下列四个选项中正确的有( )
    A.B.
    C.最小D.时,的最大值为
    三、填空题
    12.集合满足,则集合的个数有 个.
    13.在某次考试中,学生的数学成绩服从正态分布.已知参加本次考试的学生有1000人,则本次考试数学成绩在70分至110分之间的学生大约有 人.(参考数据:,)
    14.已知双曲线的离心率为2,过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点. 设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和,且,则双曲线的方程为 .
    四、解答题
    15.已知数列是等比数列,且,.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)设,求数列的前n项和.
    16.如图所示,在树人中学高一年级学生中抽出40名参加环保知识竞赛,将其成绩(均为整数整理后画出的频率分布直方图如图,观察图形,回答下列问题:
    (1)求成绩在80~90这一组的频数;
    (2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、40百分位数;
    (3)从成绩是50分以下(包括50分)和90分以上(包括90分)这两个分数段的学生中选2人,求他们不在同一分数段的概率.
    17.如图所示,四棱柱的侧棱与底面垂直,底面是菱形,四棱锥的顶点在平面上的投影恰为四边形对角线的交点,四棱锥和四棱柱的高相等.
    (1)证明:平面;
    (2)若,,求平面与平面所成的二面角的余弦值.
    18.在直角坐标系中,椭圆的中心为原点,焦点在轴上,长轴长为4,离心率为.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
    (1)写出椭圆的一个参数方程和直线的直角坐标方程;
    (2)已知是椭圆上一点,是直线上一点,求的最小值.
    19.已知函数.
    (1)若,求的图象在点处的切线方程;
    (2)若在区间上单调递增,求实数的取值范围.
    参考答案:
    1.D
    【分析】利用复数共轭复数的定义与除法运算即可得解.
    【详解】因为,则,
    所以.
    故选:D.
    2.B
    【分析】量词命题的否定步骤为:改量词,否结论,由此得解.
    【详解】因为命题“”是存在量词命题,
    所以其否定为.
    故选:B.
    3.B
    【分析】根据平面垂直向量可得,利用平面向量的数量积的定义求出,计算即可求得的值.
    【详解】由,得,
    即,又的夹角为,
    所以,
    所以,解得.
    故选:B.
    4.C
    【分析】利用递推关系即求.
    【详解】依题意有,则,
    由此得,,,.
    故选:C.
    5.D
    【分析】写出展开式的通项,令的指数为,求出参数的值,代入通项即可得解.
    【详解】的展开式通项为,
    的展开式通项为,
    所以,的展开式通项为,其中,、,
    令,得,得,
    所以,展开式中的系数为.
    故选:D.
    6.D
    【分析】设线段的中点为,分别过A,P,B三点作准线l的垂线,由抛物线的定义可求出,进而可得关于的方程,即可求出中点的纵坐标.
    【详解】如图所示,设线段的中点为,
    分别过A,P,B三点作准线l的垂线,
    垂足分别为,Q,,由题意得

    由得,所以抛物线的准线方程为,
    又,∴,∴.
    故选:D.
    【点睛】本题考查了抛物线的定义,属于基础题.
    7.A
    【分析】根据辅助角公式可得,,其中,,且,可得,代入求解即可
    【详解】由辅助角公式,函数,
    其中,,
    由题意可知,
    此时,,
    所以.
    故选:A
    8.D
    【解析】根据已知条件构造一个函数,再利用的单调性求解不等式即可.
    【详解】由,可得,
    即,令,
    则.
    令,,
    所以在上是单调递减函数.
    不等式,
    等价于,
    即,,
    所求不等式即,
    由于在上是单调递减函数,
    所以,解得,
    且,即,
    故不等式的解集为.
    故选:D
    【点睛】本题考查了利用构造新函数的单调性求解不等式,考查了利用导数判断函数单调性的方法,考查了分析问题的逻辑思维能力,属于困难题.
    9.AC
    【分析】由题可得,可得函数,然后根据三角函数的性质逐项分析即得.
    【详解】由图可知,
    所以,又,
    所以,
    所以,,,
    得,,
    又,得,
    所以,所以,
    所以函数的周期为,A正确;
    由,得,,,取得,,对称中心为,
    取得,,对称中心为,所以点不是曲线的对称中心,B错误;
    由,得,,,当时,,函数在区间内单调递增,C正确;
    由,可得,,取得,为函数的最值点,所以区间内有一个最值点,D错误.
    故选:AC.
    10.ACD
    【解析】利用狄里克雷函数的定义可判断AC选项的正误;利用函数奇偶性的定义可判断B选项的正误;分和两种情况讨论,结合狄里克雷函数的定义可判断D选项的正误.
    【详解】由题意可知,.
    对于A选项,,则,A选项正确;
    对于B选项,当,则,则,
    当时,则,则,
    所以,函数为偶函数,B选项错误;
    对于C选项,由于,所以,函数的值域为,C选项正确;
    对于D选项,当时,则,所以,,
    当时,,所以,,D选项正确.
    故选:ACD.
    【点睛】思路点睛:本题的解题关键就是紧扣函数的新定义,在解题的过程中要对的取值进行分类讨论,结合函数的定义来求解,在判断命题为假命题时,可以通过特例来说明.
    11.AB
    【分析】由求得,再依次判断各选项即可.
    【详解】设公差为,由得,解得,A正确;
    ,B正确;由,知,又,可得,
    当或7时,取得最大值,C错误;,D错误.
    故选:AB.
    12.3
    【分析】根据题意求出所有的集合,即可解出.
    【详解】因为,即,所以,,,即集合的个数有3个.
    故答案为:3.
    13.840
    【分析】利用正态分布的对称性及三段区间的概率求,进而估计区间人数.
    【详解】由题设,
    所以,
    所以考试数学成绩在70分至110分之间的学生大约有人.
    故答案为:
    14.
    【分析】画出图形,利用已知条件,结合梯形中位线性质得b=3,再利用a,b,c关系列出方程组转化求解即可.
    【详解】由题意可得图象如图,CD是双曲线的一条渐近线
    y,即bx﹣ay=0,F(c,0),
    AC⊥CD,BD⊥CD,FE⊥CD,ACDB是梯形,
    F是AB的中点,EF3,
    EFb,
    所以b=3,双曲线1(a>0,b>0)的离心率为2,可得,
    可得:,解得a.
    则双曲线的方程为:1.
    故答案为
    【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,双曲线方程的求法,注意梯形中位线的应用,考查计算能力.
    15.(1);
    (2).
    【分析】(1)由等比数列通项公式的基本量法求得和公比,即可得通项公式;
    (2)由分组求和法求和.
    【详解】(1)设的公差为,则,解得,
    所以;
    (2)由(1)得

    16.(1)4;(2)平均数为,40百分位数为;(3).
    【分析】(1)由给定的频率分布直方图,求出成绩在80~90这一组频率即可得解;
    (2)利用频率分布直方图求平均数及百分位数的方法计算即得;
    (3)先求出给定两段的学生总数,再用列举法求概率的方法求解即得.
    【详解】(1)依题意50~60这一组的频率为,60~70这一组的频率为,
    70~80这一组的频率为,90~100这一组的频率为,
    则80~90这一组的频率,其频数为4;
    (2)这次竞赛成绩的平均数为

    40~50这一组的频率为0.1,50~60这一组的频率为0.15,40~60的频率为0.25,60~70这一组的频率为,
    因此40百分位数在60~70这一组内,且在本组内需要找到频率为0.15的部分,
    所以40百分位数为;
    (3)记选出的2人不在同一分数段为事件,
    40~50之间的人数为人,设为,,,,90~100之间有人,设为1,2,
    从这6人中选出2人,有,,,,,,,,,,,,,,共15个样本点,
    其中事件包括,,,,,,,,共8个基本事件,
    于是得,
    所以不在同一分数段的概率.
    17.(1)详见解析;(2).
    【分析】(1)根据题意,以为原点,分别以为x,y,z轴建立空间直角坐标系,证明即可.
    (2)根据,设,求得平面的一个法向量,同理求得平面的一个法向量,设平面与平面所成的二面角为,利用求解.
    【详解】(1)根据题意,建立如图所示空间直角坐标系:
    设四棱柱的侧棱长为a,底面边长为b,,


    所以,
    所以,又平面,平面,
    所以平面;
    (2)因为,设,

    所以,
    设平面的一个法向量为:,
    则 ,所以 ,
    令 ,则 ,所以
    设平面的一个法向量为:,
    则 ,所以 ,
    令 ,则 ,所以
    设平面与平面所成的二面角为,
    所以,


    【点睛】本题主要考查直线与平面平行以及二面角的求法,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.
    18.(1)(为参数),;
    (2).
    【分析】(1)根据题意可得,可得,即可求得椭圆的普通方程,进而求得参数方程,再通过极坐标和直角坐标的转化求得的直角坐标方程;
    (2)设,显然当时,取得最小值,利用距离公式结合三角函数即可求得最值.
    【详解】(1)由题可知,,可得,
    所以椭圆的普通方程为,
    故椭圆的一个参数方程为(为参数).
    由,得的直角坐标方程为.
    (2)设,显然当时,取得最小值.
    因为点到直线的距离,
    当且仅当时取等号,所以的最小值为.
    19.(1)
    (2)
    【分析】(1)求导,根据导数的几何意义运算求解;
    (2)方法一:求导,根据题意分析可得当时,恒成立,构建新函数,利用导数分类讨论判断其单调性和最值,结合恒成立问题分析求解;方法二:求导,根据题意分析可得在上恒成立,分类讨论运用参变分离法结合恒成立问题分析求解
    【详解】(1)当时,,则,
    可得,,即切点坐标为,斜率,
    所以的图象在点处的切线方程为,即.
    (2)方法一:因为,
    所以,
    设,
    且,由题意可知:当时,恒成立,
    则,
    当时,,
    整理得,
    设,
    (i)当,即时,则在区间上单调递增,
    则,即,所以单调递减,
    所以,解得,不符合题意,舍去;
    (ⅱ)当,即时,,当时,,
    所以在上单调递减,,不符合题意,舍去;
    (ⅲ)当,即时,则在区间上单调递减,
    ①若,则,
    即,可知在区间上单调递减,
    所以,解得,不符合题意,舍去;
    ②当时,因为,
    所以存在,使得,
    当时,,即单调递增;
    当时,,即单调递减;
    由题意可得,解得,
    综上所述:实数的取值范围是.
    方法二:因为,
    则.
    由题意可知:当时,恒成立.
    因为,则恒成立.
    又因为,则恒成立,
    所以在上恒成立,
    令,则,
    因为,则,
    可知,所以在上单调递增,且,
    可得:当时,则;当时,则;
    设,则,设,
    ①当时,,该不等式成立,所以;
    ②当时,,可得,
    当时,,则,即,
    所以在上单调递增,
    可得,所以;
    ③当时,,所以,
    因为,所以.
    且和在上单调递增,
    则在上单调递增,且,
    可知,使得,即,
    可得当时,单调递减;当时,单调递增;
    所以当时,,
    即,则在上单调递增,可得,所以;
    综上所述:实数的取值范围是.
    【点睛】方法点睛:1.两招破解不等式的恒成立问题
    (1)分离参数法
    第一步:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题;
    第二步:利用导数求该函数的最值;
    第三步:根据要求得所求范围.
    (2)函数思想法
    第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题;
    第二步:利用导数求该函数的极值;
    第三步:构建不等式求解.

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