2021届新疆乌鲁木齐市高三理数第一次质量检测试卷及答案

这是一份2021届新疆乌鲁木齐市高三理数第一次质量检测试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数第一次质量检测试卷
一、单项选择题
1.设集合 ，那么〔    〕
A.                               B.                               C.                               D. 
2.i为虚数单位，那么复数 的共扼复数是〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
3.在空间中，以下命题正确的选项是〔    〕
A. 垂直于同一平面的两个平面平行                         B. 垂直于同一平面的两条直线平行
C. 平行于同一直线的两个平面平行                         D. 平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行
4.某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱 的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如以下列图.现要求水流最高点B离地面 ，点B到管柱 所在直线的距离为 ，且水流落在地面上以O为圆心，以 为半径的圆上，那么管柱 的高度为〔    〕

A.                                      B.                                      C.                                      D. 
5. 为第一象限角， ，那么 〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
6.等差数列 的前n项和为 ，假设 ，那么 〔    〕
A. 2                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5
7.函数 与 的图象关于直线l对称，那么l可以是〔    〕
A.                                B.                                C.                                D. 
8.在等比数列 中， ，假设 有最大值，那么最大值为〔    〕
A. 16                                        B. 32                                        C. 64                                        D. 128
9.定义在R上的奇函数 在 上是增函数，且 ，假设 ，那么x的取值范围是〔    〕
A.                                B.                                C.                                D. 
10.设 ，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
11.设点 分别是双曲线 的两个焦点，假设双曲线上存在点A，使 ，且 ，那么双曲线的离心率为〔    〕
A.                                          B. 2                                         C.                                          D. 
12.四面体 的所有棱长都相等，其顶点都在球O的球面上，过点 作平面 ，平面 截此四面体所得截面面积为 ，那么球O的外表积为〔    〕
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
二、填空题
13.设变量 满足约束条件 ，那么 的最大值为________.
14.我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，科学决策，在全市随机抽取了100位居民某年的月均用水量(单位：t)得到如以下列图的频率分布直方图，在统计中我们定义一个分布的 分位数为满足 的 ，那么估计本例中 ________.

15.如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的.所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形.假设 ，设 ，那么 的值为________.

16.函数 在R上是增函数，且存在垂直于y轴的切线，那么 的取值范围是________.
三、解答题
17.在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
〔1〕求边c的值；
〔2〕假设 的面积为 ，求它的周长.
18.如图，在三棱锥 中，平面 平面 是等边三角形， ， 分别是 的中点.

〔1〕求证 ；
〔2〕求二面角 的正弦值.
19.某饮料厂商开发了一种新的饮料，为了促销在每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖〞，“二等奖〞，其余4瓶印有“谢谢惠顾〞，一等奖是20元，二等奖是10元，开始销售的前三天，举行促销活动：顾客可以从每件新开的箱子中任选2瓶购置.
〔1〕求每一位顾客新开一箱购置两瓶可以中奖的概率；
〔2〕某商场在促销的前三天的活动中，共售出了730瓶，问抽中奖的箱数X的数学期望；
〔3〕请你为商场做决策：在促销活动的前3天中，共售出了730瓶，每瓶的售价至少定为多少元，可以使这三天的促销活动不亏损(每瓶的本钱是2元).
20.椭圆 的左､右集点分别为 ，离心率 ，点 在椭圆上.
〔1〕求椭圆的标准方程；
〔2〕点A为椭圆在第一象限上一点，过点 作 的垂线交该椭圆于 两点，求四边形 面积的取值范围.
21.设函数 (其中 ).
〔1〕假设函数 在 处取得极小值，求实数k的值；
〔2〕当 时，假设函数 在 上有两个不相等的零点，求实数k的取值范围.
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
〔1〕求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；
〔2〕假设过曲线 上任意一点M作曲线 的切线，切点为N，求 的最大值.
23. 都是正数，且 ，用 表示 的最大值， .
〔1〕证明 ；
〔2〕求M的最小值.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解：设集合 ， ，
那么 集合包含 集合的所有元素， 集合是 集合的子集且是真子集，
故 ， .
故答案为：A．

【分析】根据根据一元二次不等式的解法化简集合A再利用集合与集合之间的关系和交集的运算即可判断。
2.【解析】【解答】因为 ， 的共轭复数为 ，
故答案为：C.

【分析】根据复数的乘除运算复数 可化简为-2-i ,易得它的共轭复数。
3.【解析】【解答】A.垂直于同一平面的两个平面不一定平行，可能相交，因此不正确；
B.垂直于同一平面的两条直线平行，正确；
C.平行于同一直线的两个平面平行，不正确，两个平面可能相交；
D.平行于同一条直线的一条直线和一个平面平行，不正确，直线可能在平面内．
故答案为：B．

【分析】根据面面平行的判定可知A错误，C错误，根据线面垂直性质可得B正确，根据线面平行判定可知D错误。
4.【解析】【解答】以 为坐标原点建立平面直角坐标系如以以下列图所示，记 且垂足为 ，

在 轴上的投影点为 ，设抛物线方程为 ，
由题意可知： ，
所以 ，所以 ，代入抛物线方程可知 ，
所以 ，所以抛物线方程为 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 的高度为 ，
故答案为：B.

【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程 。求出点c的坐标，代入抛物线方程。即可求得p，再将点A坐标代入抛物线方程中，求出 ， 进而可求得结论。
5.【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以
又因为 且 为第一象限角，所以 ，
所以 ，所以 ，
故答案为：D.

【分析】根据同角三角函数根本关系式和正弦倍角公式结合可求得 ， 判出 ， 所以 ， 再根据同角三角函数根本关系式即可求得。
6.【解析】【解答】∵ ，∴ 是等差数列，
，是其中的连续三项，
∴ ，
解得
故答案为：C.

【分析】先证出 是等差数列，再利用等差数列性质得 即可解得m。
7.【解析】【解答】设 图象上任意一点为 ， ， 关于 的对称点为 ，
所以 ，且 在 图象上，
所以 ，
所以 与 为同一函数，
所以 ，所以 ，
当 时， ，所以 可以是 ，
故答案为：D.

【分析】设 图象上任意一点为 求出 关于 的对称点为 坐标代入化简得 与 为同一函数可求出 当k=0可判断D正确。
8.【解析】【解答】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 或 ，
当 时， ，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 在 时单调递增，无最大值，故不符合，
当 时， ，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 在 时单调递增，在 时单调递减，
且 ，所以 ，
所以 的最大值为 ，
故答案为：C.

【分析】根据等比的通项公式结合可求出 和 两种情况，利用单调性可推得前者无最大值，故不符合，后者利用单调性即可推得 的最大值为 。
 
9.【解析】【解答】∵ 在 上是增函数，且 ，
∴当 时 ,当 时
又∵ 为奇函数，∴当 时， 0；
当 时， ，
又∵
∴ 的解集为 ，
∴由 可得 或 ，
由指数函数的性质， 无解， 的解集为 ，
故答案为：A.

【分析】根据条件可得出 或 。然后根据指数函数性质解出x的范围即可。
10.【解析】【解答】解：∵
又 ，故 ，
∵ ，故 ，
，
∴
∴
故答案为：B.

【分析】由对数的性质可得 ,再比较a和c,利用换底公式可得a=， 利用根本不等式可得， 从而可得c小于a。既可求得结论。
11.【解析】【解答】解：由双曲线的定义知， ，
， ， ，
在△ 中，由余弦定理知， ，
化简得， ，
离心率 ．
故答案为：D．

【分析】根据双曲线定义结合可求出,,再由余弦定理化简得 利用离心率公式即可求出离心率。
12.【解析】【解答】解：将四面体ABCD放置在正方体中，如图，

设正方体的棱长为a，那么 ，
取CD中点M，连接AM，BM，那么 为平面 截此四面体所得截面，
由题意， ，得 ．
正方体的对角线长为 ，那么球O的半径为 ，
可得球O的外表积为 ．
故答案为：D．
【分析】 将四面体ABCD放置在正方体中 设正方体的棱长为a，由求出 ， 从而求出球O的半径为 ， 再利用球的外表积公式即可求得。
二、填空题
13.【解析】【解答】如图，画出可行域，

易得 ,当目标函数 可化为 ,此直线的斜率为2，纵截距为 经过 时纵截距最小，z取得最大值，最大值为 ,
故答案为：6.

【分析】根据线性规划即可求得。
14.【解析】【解答】由题意可知： 就是满足 的横坐标的值，
因为 对应的频率为 ，
对应的频率为 ，
对应的频率为 ，
对应的频率为 ，
所以 落在 内，设 距离 的距离为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：2.8.

【分析】由题意可知： 就是满足 的横坐标的值，由频率分布直方图得落在 内，设 距离 的距离为  由题意可得解出x即可求得。
15.【解析】【解答】解：设 ， ，
在三角形 中， ，
，
如图过 作 的延长线的垂线，垂足为 ,连接 .

，
，
， ，
．
故答案为： ．

【分析】利用三角形ABC找到边长之间的关系，利用向量的共线可以直接解出。
16.【解析】【解答】由得： 恒成立且 有解，
∴ ,
①当 时，可得 ,∴ ,
②当 时， ,且 ,
,
③当 时， ,且 ,
,
令 ,
,
∴ ,
综上， ,
故答案为：

【分析】先求导，根据函数fx在R上是增函数，且存在垂直于y轴的切线,可得b2=3ac,代入中，根据函数的性质即可求出。
三、解答题
17.【解析】【分析】(1)利用余弦定理化简等式，即可求出c的值。
〔2〕由利用三角形的面积公式可求ab=4。进而利用余弦定理可得a+b=4即可解出周长的值。
 
 
18.【解析】【分析】〔1) 取  的中点   ， 连接  只需证明AC垂直PB所在平面POB即可。
(2)分别以  方向为  轴的正向建立如以下列图的空间直角坐标系， 用向量法求二面角的余弦值，再求正弦值。
 
19.【解析】【分析】(1)根据题意由排列组合以及计数原理求出总的事件个数和满足条件的事件个数，再由古典概率的公式代入数值计算出结果即可。
(2)由条件结合中的数据，并把数值代入到期望公式计算出结果即可。
(3)根据题意求出Y的取值，再由概率公式计算出对应每个Y的概率值，再把数值代入到期望值公式计算出结果，并与标准值进行比较即可得出答案。
20.【解析】【分析】 (1)根据离心率和定点在椭圆上以及椭圆里a、b、c的关系，计算出a、b、c的值由此求出椭圆方程即可；
(2)根据题意设出点的坐标，再由点斜式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，结合弦长公式以及求四边形的面积公式，整理得到， 令由此整理得到。结合二次函数的性质即可求出最大值和最小值，即可得到所求面积的取值范围.
21.【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，并把数值代入到导函数的解析式进而得到即可。
(2)首先令 ，那么 ， 。再对k分情况讨论，由函数的单调性和零点的定义即可求出不同情况下的满足条件的k的取值范围。
22.【解析】【分析】 (1)直接利用转换关系式，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2)利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的变换和余弦型函数的性质的应用求出结果.
23.【解析】【分析】(1)首先整理化简原式再由根本不等式即可求出最小值。
(2)根据题意即可得出， 以及， 由此即可得出整理得到， 再由根本不等式即可求出上式的最小值，由此求出M的最小值。