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2024年中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用）专题07 锐角三角函数综合篇（原卷版+解析）
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这是一份2024年中考数学必考考点总结+题型专训（全国通用）专题07 锐角三角函数综合篇（原卷版+解析），共29页。
锐角三角函数的定义：
在Rt△ABC中，∠C=90°．
①正弦：我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A．
即sin A＝∠A的对边除以斜边＝。
②余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cs A．
即cs A＝∠A的邻边除以斜边＝。
③正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．
即tan A＝∠A的对边除以∠A的邻边＝。
特殊角的锐角三角函数值计算
直角三角形的性质
①直角三角形的两锐角互余。
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
④直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。
⑤直角三角形的勾股定理。
解直角三角形：
利用直角三角形角的关系，边的关系以及边角关系求解直角三角形。
解直角三角形的坡度文问题：
坡角：坡面与水平面的夹角。
坡度（坡比）：坡面的铅直高度和水平宽度的比。一般用i表示，常写成i=1：m的形式。等于坡角的正切值。
在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题。
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等。
解直角三角形的仰角俯角问题：
仰角：向上看的视线与水平线的夹角。
俯角：向下看的视线与水平线的夹角。
解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决。
解直角三角形的方向角问题：
在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角。
一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数。
专题练习
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若，则tan∠BCF的值为 ．
2．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四边形AFCE的面积．
3．如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
4．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）
5．菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
6．旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆AB⊥CD于点B．某一时刻，旗杆AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的1m高的标杆影长为0.25m（标杆影子在坡面DN上），此时光线AE与水平线的夹角为80.5°，求旗杆AB的高度．
（参考数据：sin80.5°≈0.98，cs80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）
7．为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
8．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tan θ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．
（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）
9．如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．
问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．
解答过程中可直接选用表格中的数据哟！
10．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cs α＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼的高度AB．
（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）
11．如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
12．随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
（1）求坡面CB的坡度；
（2）求基站塔AB的高．
13．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）
14．湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向900米处．
（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）；
（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
15．如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．
（1）求步道DE的长度（精确到个位）；
（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
特殊角
30°
45°
60°
1
科学计算器按键顺序
计算结果（已取近似值）
0.156
0.158
0.276
0.287
专题09 锐角三角函数综合
知识回顾
锐角三角函数的定义：
在Rt△ABC中，∠C=90°．
①正弦：我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A．
即sin A＝∠A的对边除以斜边＝。
②余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cs A．
即cs A＝∠A的邻边除以斜边＝。
③正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．
即tan A＝∠A的对边除以∠A的邻边＝。
特殊角的锐角三角函数值计算
直角三角形的性质
①直角三角形的两锐角互余。
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
④直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。
⑤直角三角形的勾股定理。
解直角三角形：
利用直角三角形角的关系，边的关系以及边角关系求解直角三角形。
解直角三角形的坡度文问题：
坡角：坡面与水平面的夹角。
坡度（坡比）：坡面的铅直高度和水平宽度的比。一般用i表示，常写成i=1：m的形式。等于坡角的正切值。
在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题。
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等。
解直角三角形的仰角俯角问题：
仰角：向上看的视线与水平线的夹角。
俯角：向下看的视线与水平线的夹角。
解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决。
解直角三角形的方向角问题：
在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角。
一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数。
专题练习
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若，则tan∠BCF的值为 ．
【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再由DE⊥AC，即可得出结论；
（2）设BE＝a，则CE＝4a，由菱形的性质得AE＝CE＝4a，AE∥CF，则∠BEA＝∠BCF，再由勾股定理得AB＝a，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∵DF＝DE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵DE⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：∵＝，
∴CE＝4BE，
设BE＝a，则CE＝4a，
由（1）可知，四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，
∴∠BEA＝∠BCF，
∵∠ABC＝90°，
∴AB＝＝＝a，
∴tan∠BCF＝tan∠BEA＝＝＝，
故答案为：．
2．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四边形AFCE的面积．
【分析】（1）根据平行四边形性质得出AD＝BC．AE∥FC，根据等量减等量差相等，得出AE＝FC，从而证明四边形AFCE是平行四边形；
（2）先证明平行四边形AFCE是菱形，根据三角函数求出EO＝3，求出S△AEO＝AO•EO＝6，从而求出四边形AFCE的面积．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
AD＝BC．AE∥FC，
∵ED＝BF，
∴AD﹣ED＝BC﹣BF，
∴AE＝FC，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵AE∥FC，
∴∠EAC＝∠ACF，
∴∠EAC＝∠FAC，
∴∠ACF＝∠FAC，
∴AF＝FC，
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴平行四边形AFCE是菱形，
∴AO＝AC＝4，AC⊥EF，
在Rt△AOE中，AO＝4，tan∠DAC＝，
∴EO＝3，
∴S△AEO＝AO•EO＝6，
S菱形＝4S△AEO＝24．
3．如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，
在Rt△ACD中，
∵∠DAC＝37°，AC＝80米，
∴sin∠DAC＝，cs∠DAC＝，
∴CD＝AC•sin37°≈80×0.60＝48（米），
AD＝AC•cs37°≈80×0.80＝64（米），
在Rt△BCD中，
∵∠CBD＝58°，CD＝48米，
∴tan∠CBD＝，
∴BD＝≈＝30（米），
∴AB＝AD+BD＝64+30＝94（米）．
答：A、B两点之间的距离约为94米．
4．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【分析】根据锐角三角函数的定义可求出AD的长度，然后即可求出AC的长度，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，
∴BD＝＝，
在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C＝，
∴BC＝＝AB，
∵BC﹣BD＝CD＝33m，
∴AB﹣＝33，
∴AB＝≈78（m）．
答：主塔AB的高约为78m．
5．菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
【分析】在△ABC中求出BC以及AC的长度，再求出CD，最后BD＝CD﹣BC即可求解．
【解答】解：由题意得，在△ABC中，
∵∠ABC＝37°，AB＝8米，
∴AC＝AB•sin37°＝4.8（米），
BC＝AB•cs37°＝6.4（米），
在Rt△ACD中，CD＝≈8.304（米），
则BD＝CD﹣BC＝8.304﹣6.4≈1.9（米）．
答：改动后电梯水平宽度增加部分BD的长为1.9米．
6．旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆AB⊥CD于点B．某一时刻，旗杆AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的1m高的标杆影长为0.25m（标杆影子在坡面DN上），此时光线AE与水平线的夹角为80.5°，求旗杆AB的高度．
（参考数据：sin80.5°≈0.98，cs80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）
【分析】设PQ为竖直立在坡面DN上的1m高的标杆，PE为标杆影子，长为0.25m，作DF⊥CD交AE于点F，作FH⊥AB于点H，利用相似和锐角三角函数可以求出旗杆AB的高度．
【解答】解：如图，设PQ为竖直立在坡面DN上的1m高的标杆，PE为标杆影子，长为0.25m，
作DF⊥CD交AE于点F，作FH⊥AB于点H，
∵DF∥PQ，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝5.6，
∴BH＝DF＝5.6，
在Rt△AHF中，∠AFH＝80.5°，
tan∠AFH＝，
∴tan80.5°＝≈6，
∴AH≈7.2，
∴旗杆AB的高度为5.6+7.2＝12.8（m）．
7．为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
【分析】（1）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解；
（2）在△ACD中，根据∠CBD＝30°，∠CAB＝15°，求出AC＝AB，从而得出AC的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，
∴BD＝BA＝10（m），
答：该斜坡的高度BD为10m；
（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，
∴∠CBA＝15°，
∴AB＝AC＝20（m），
答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m．
8．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tan θ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．
（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）
【分析】过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，根据已知可设DE＝3x米，则CE＝4x米，然后利用勾股定理进行计算可求出DE，CE的长，再设BF＝y米，从而可得AB＝（12+y）米，最后在Rt△DBF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而求出AC的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义列出关于y的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则DE＝AF，DF＝AE，
在Rt△DEC中，tanθ＝＝，
设DE＝3x米，则CE＝4x米，
∵DE2+CE2＝DC2，
∴（3x）2+（4x）2＝400，
∴x＝4或x＝﹣4（舍去），
∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，
设BF＝y米，
∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，
在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，
∴DF＝＝＝y（米），
∴AE＝DF＝y米，
∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
解得：y＝6+8，
经检验：y＝6+8是原方程的根，
∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），
∴建筑物的高度AB约为31.9米．
9．如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．
问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．
解答过程中可直接选用表格中的数据哟！
【分析】作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，由题意知，EG＝BF＝40米，EF＝BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH＝9°，在Rt△AEG中，有0.287＝，AG≈11.48（米），即得HD＝AB＝24.36米，在Rt△ACH中，有0.158＝，得CH≈12.64（米），故CD＝CH+HD＝37.00（米）．
【解答】解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：
作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：
由题意知，EG＝BF＝40米，EF＝BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH＝9°，
在Rt△AEG中，
tan∠AEG＝，
∴tan16°＝，即0.287≈，
∴AG＝40×0.287＝11.48（米），
∴AB＝AG+BG＝11.48+12.88＝24.36（米），
∴HD＝AB＝24.36米，
在Rt△ACH中，AH＝BD＝BF+FD＝80米，
tan∠CAH＝，
∴tan9°＝，即0.158≈，
∴CH＝80×0.158＝12.64（米），
∴CD＝CH+HD＝12.64+24.36＝37.00（米），
答：综合楼的高度约是37.00米．
10．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cs α＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼的高度AB．
（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）
【分析】（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，在Rt△DCE中，可得（m），再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案．
（2）过点D作DF⊥AB于F，设AF＝xm，在Rt△ADF中，tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝（x+9）m，BC＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，
∵在Rt△DCE中，csα＝，CD＝15m，
∴（m）．
∴（m）．
答：C，D两点的高度差为9m．
（2）过点D作DF⊥AB于F，
由题意可得BF＝DE，DF＝BE，
设AF＝xm，
在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，
解得DF＝x，
在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，
tan60°＝＝，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴AB＝++9≈24（m）．
答：居民楼的高度AB约为24m．
11．如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD＝15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：过B作BD⊥AC于D，
由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，则∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，
在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），
∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），
∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
12．随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
（1）求坡面CB的坡度；
（2）求基站塔AB的高．
【分析】（1）过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．由勾股定理可求出答案；
（2）设DF＝4a米，则ME＝4a米，BF＝3a米，由于△ACN是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADF中由锐角三角函数可列方程求出DF，进而求出AB．
【解答】解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．
由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．
在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，
∴CM＝40米，
∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；
（2）设DF＝4a米，则MN＝4a米，BF＝3a米，
∵∠ACN＝45°，
∴∠CAN＝∠ACN＝45°，
∴AN＝CN＝（40+4a）米，
∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．
在Rt△ADF中，
∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，
∴tan∠ADF＝，
∴＝，
∴解得a＝，
∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），
∵BF＝3a＝米，
∴AB＝AF﹣BF＝40﹣＝（米）．
答：基站塔AB的高为米．
13．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）
【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；
（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．
【解答】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△ADC中，
∴（米），
答：点D与点A的距离为300米．
（2）过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB是东西走向，
∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，
在Rt△ADE中，
∴（米），
在Rt△BDE中，
∴（米），
∴（米），
答：隧道AB的长为米．
14．湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向900米处．
（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）；
（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
【分析】（1）延长CB到D，则CD⊥AD于点D，根据题意可得∠NAC＝∠CAB＝30°，BC＝900米，BC∥AN，所以∠C＝∠NAC＝30°＝∠BAD，然后根据含30度角的直角三角形即可解决问题；
（2）设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，根据救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，列出方程150x+（400x﹣900）＝1559，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）如图，延长CB到D，则CD⊥AD于点D，
根据题意可知：∠NAC＝∠CAB＝30°，BC＝900米，BC∥AN，
∴∠C＝∠NAC＝30°＝∠BAD，
∴AB＝BC＝900米，
∵∠BAD＝30°，
∴BD＝450米，
∴AD＝BD＝450（米），
∴AC＝2AD＝900≈1559（米）
答：湖岸A与码头C的距离约为1559米；
（2）设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，
∵救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，
∴150x+（400x﹣900）＝1559，
∴x≈4.5，
答：快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．
15．如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．
（1）求步道DE的长度（精确到个位）；
（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？
（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）过D作DF⊥AE于F，由已知可得四边形ACDF是矩形，则DF＝AC＝200米，根据点D在点E的北偏东45°，即得DE＝DF＝200≈283（米）；
（2）由△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，可得EF＝DF＝200米，而∠ABC＝30°，即得AB＝2AC＝400米，BC＝＝200米，又BD＝100米，即可得经过点B到达点D路程为AB+BD＝500米，CD＝BC+BD＝（200+100）米，从而可得经过点E到达点D路程为AE+DE＝200﹣100+200≈529米，即可得答案．
【解答】解：（1）过D作DF⊥AE于F，如图：
由已知可得四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC＝200米，
∵点D在点E的北偏东45°，即∠DEF＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE＝DF＝200≈283（米）；
（2）由（1）知△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，
∴EF＝DF＝200米，
∵点B在点A的北偏东30°，即∠EAB＝30°，
∴∠ABC＝30°，
∵AC＝200米，
∴AB＝2AC＝400米，BC＝＝200米，
∵BD＝100米，
∴经过点B到达点D路程为AB+BD＝400+100＝500米，
CD＝BC+BD＝（200+100）米，
∴AF＝CD＝（200+100）米，
∴AE＝AF﹣EF＝（200+100）﹣200＝（200﹣100）米，
∴经过点E到达点D路程为AE+DE＝200﹣100+200≈529米，
∵529＞500，
∴经过点B到达点D较近．
特殊角
30°
45°
60°
1
科学计算器按键顺序
计算结果（已取近似值）
0.156
0.158
0.276
0.287
锐角三角函数的定义：
在Rt△ABC中，∠C=90°．
①正弦：我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A．
即sin A＝∠A的对边除以斜边＝。
②余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cs A．
即cs A＝∠A的邻边除以斜边＝。
③正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．
即tan A＝∠A的对边除以∠A的邻边＝。
特殊角的锐角三角函数值计算
直角三角形的性质
①直角三角形的两锐角互余。
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
④直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。
⑤直角三角形的勾股定理。
解直角三角形：
利用直角三角形角的关系，边的关系以及边角关系求解直角三角形。
解直角三角形的坡度文问题：
坡角：坡面与水平面的夹角。
坡度（坡比）：坡面的铅直高度和水平宽度的比。一般用i表示，常写成i=1：m的形式。等于坡角的正切值。
在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题。
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等。
解直角三角形的仰角俯角问题：
仰角：向上看的视线与水平线的夹角。
俯角：向下看的视线与水平线的夹角。
解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决。
解直角三角形的方向角问题：
在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角。
一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数。
专题练习
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若，则tan∠BCF的值为 ．
2．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四边形AFCE的面积．
3．如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
4．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）
5．菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
6．旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆AB⊥CD于点B．某一时刻，旗杆AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的1m高的标杆影长为0.25m（标杆影子在坡面DN上），此时光线AE与水平线的夹角为80.5°，求旗杆AB的高度．
（参考数据：sin80.5°≈0.98，cs80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）
7．为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
8．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tan θ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．
（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）
9．如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．
问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．
解答过程中可直接选用表格中的数据哟！
10．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cs α＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼的高度AB．
（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）
11．如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
12．随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
（1）求坡面CB的坡度；
（2）求基站塔AB的高．
13．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）
14．湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向900米处．
（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）；
（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
15．如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．
（1）求步道DE的长度（精确到个位）；
（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：≈1.414，≈1.732）
特殊角
30°
45°
60°
1
科学计算器按键顺序
计算结果（已取近似值）
0.156
0.158
0.276
0.287
专题09 锐角三角函数综合
知识回顾
锐角三角函数的定义：
在Rt△ABC中，∠C=90°．
①正弦：我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A．
即sin A＝∠A的对边除以斜边＝。
②余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cs A．
即cs A＝∠A的邻边除以斜边＝。
③正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．
即tan A＝∠A的对边除以∠A的邻边＝。
特殊角的锐角三角函数值计算
直角三角形的性质
①直角三角形的两锐角互余。
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
④直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。
⑤直角三角形的勾股定理。
解直角三角形：
利用直角三角形角的关系，边的关系以及边角关系求解直角三角形。
解直角三角形的坡度文问题：
坡角：坡面与水平面的夹角。
坡度（坡比）：坡面的铅直高度和水平宽度的比。一般用i表示，常写成i=1：m的形式。等于坡角的正切值。
在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题。
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等。
解直角三角形的仰角俯角问题：
仰角：向上看的视线与水平线的夹角。
俯角：向下看的视线与水平线的夹角。
解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决。
解直角三角形的方向角问题：
在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角。
一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数。
专题练习
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若，则tan∠BCF的值为 ．
【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再由DE⊥AC，即可得出结论；
（2）设BE＝a，则CE＝4a，由菱形的性质得AE＝CE＝4a，AE∥CF，则∠BEA＝∠BCF，再由勾股定理得AB＝a，然后由锐角三角函数定义即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∵DF＝DE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵DE⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：∵＝，
∴CE＝4BE，
设BE＝a，则CE＝4a，
由（1）可知，四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，
∴∠BEA＝∠BCF，
∵∠ABC＝90°，
∴AB＝＝＝a，
∴tan∠BCF＝tan∠BEA＝＝＝，
故答案为：．
2．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四边形AFCE的面积．
【分析】（1）根据平行四边形性质得出AD＝BC．AE∥FC，根据等量减等量差相等，得出AE＝FC，从而证明四边形AFCE是平行四边形；
（2）先证明平行四边形AFCE是菱形，根据三角函数求出EO＝3，求出S△AEO＝AO•EO＝6，从而求出四边形AFCE的面积．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
AD＝BC．AE∥FC，
∵ED＝BF，
∴AD﹣ED＝BC﹣BF，
∴AE＝FC，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵AE∥FC，
∴∠EAC＝∠ACF，
∴∠EAC＝∠FAC，
∴∠ACF＝∠FAC，
∴AF＝FC，
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴平行四边形AFCE是菱形，
∴AO＝AC＝4，AC⊥EF，
在Rt△AOE中，AO＝4，tan∠DAC＝，
∴EO＝3，
∴S△AEO＝AO•EO＝6，
S菱形＝4S△AEO＝24．
3．如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【分析】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，列方程求解即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，
在Rt△ACD中，
∵∠DAC＝37°，AC＝80米，
∴sin∠DAC＝，cs∠DAC＝，
∴CD＝AC•sin37°≈80×0.60＝48（米），
AD＝AC•cs37°≈80×0.80＝64（米），
在Rt△BCD中，
∵∠CBD＝58°，CD＝48米，
∴tan∠CBD＝，
∴BD＝≈＝30（米），
∴AB＝AD+BD＝64+30＝94（米）．
答：A、B两点之间的距离约为94米．
4．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【分析】根据锐角三角函数的定义可求出AD的长度，然后即可求出AC的长度，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，
∴BD＝＝，
在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C＝，
∴BC＝＝AB，
∵BC﹣BD＝CD＝33m，
∴AB﹣＝33，
∴AB＝≈78（m）．
答：主塔AB的高约为78m．
5．菏泽某超市计划更换安全性更高的手扶电梯，如图，把电梯坡面的坡角由原来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）
【分析】在△ABC中求出BC以及AC的长度，再求出CD，最后BD＝CD﹣BC即可求解．
【解答】解：由题意得，在△ABC中，
∵∠ABC＝37°，AB＝8米，
∴AC＝AB•sin37°＝4.8（米），
BC＝AB•cs37°＝6.4（米），
在Rt△ACD中，CD＝≈8.304（米），
则BD＝CD﹣BC＝8.304﹣6.4≈1.9（米）．
答：改动后电梯水平宽度增加部分BD的长为1.9米．
6．旗杆及升旗台的剖面如图所示，MN、CD为水平线，旗杆AB⊥CD于点B．某一时刻，旗杆AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一时刻，测得竖直立在坡面DN上的1m高的标杆影长为0.25m（标杆影子在坡面DN上），此时光线AE与水平线的夹角为80.5°，求旗杆AB的高度．
（参考数据：sin80.5°≈0.98，cs80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）
【分析】设PQ为竖直立在坡面DN上的1m高的标杆，PE为标杆影子，长为0.25m，作DF⊥CD交AE于点F，作FH⊥AB于点H，利用相似和锐角三角函数可以求出旗杆AB的高度．
【解答】解：如图，设PQ为竖直立在坡面DN上的1m高的标杆，PE为标杆影子，长为0.25m，
作DF⊥CD交AE于点F，作FH⊥AB于点H，
∵DF∥PQ，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝5.6，
∴BH＝DF＝5.6，
在Rt△AHF中，∠AFH＝80.5°，
tan∠AFH＝，
∴tan80.5°＝≈6，
∴AH≈7.2，
∴旗杆AB的高度为5.6+7.2＝12.8（m）．
7．为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）
【分析】（1）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解；
（2）在△ACD中，根据∠CBD＝30°，∠CAB＝15°，求出AC＝AB，从而得出AC的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，
∴BD＝BA＝10（m），
答：该斜坡的高度BD为10m；
（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，
∴∠CBA＝15°，
∴AB＝AC＝20（m），
答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m．
8．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tan θ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．
（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）
【分析】过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则DE＝AF，DF＝AE，在Rt△DEC中，根据已知可设DE＝3x米，则CE＝4x米，然后利用勾股定理进行计算可求出DE，CE的长，再设BF＝y米，从而可得AB＝（12+y）米，最后在Rt△DBF中，利用锐角三角函数的定义求出DF的长，从而求出AC的长，再在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义列出关于y的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则DE＝AF，DF＝AE，
在Rt△DEC中，tanθ＝＝，
设DE＝3x米，则CE＝4x米，
∵DE2+CE2＝DC2，
∴（3x）2+（4x）2＝400，
∴x＝4或x＝﹣4（舍去），
∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，
设BF＝y米，
∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，
在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，
∴DF＝＝＝y（米），
∴AE＝DF＝y米，
∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
解得：y＝6+8，
经检验：y＝6+8是原方程的根，
∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），
∴建筑物的高度AB约为31.9米．
9．如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．
问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．
解答过程中可直接选用表格中的数据哟！
【分析】作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，由题意知，EG＝BF＝40米，EF＝BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH＝9°，在Rt△AEG中，有0.287＝，AG≈11.48（米），即得HD＝AB＝24.36米，在Rt△ACH中，有0.158＝，得CH≈12.64（米），故CD＝CH+HD＝37.00（米）．
【解答】解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：
作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：
由题意知，EG＝BF＝40米，EF＝BG＝12.88米，∠HAE＝16°＝∠AEG＝16°，∠CAH＝9°，
在Rt△AEG中，
tan∠AEG＝，
∴tan16°＝，即0.287≈，
∴AG＝40×0.287＝11.48（米），
∴AB＝AG+BG＝11.48+12.88＝24.36（米），
∴HD＝AB＝24.36米，
在Rt△ACH中，AH＝BD＝BF+FD＝80米，
tan∠CAH＝，
∴tan9°＝，即0.158≈，
∴CH＝80×0.158＝12.64（米），
∴CD＝CH+HD＝12.64+24.36＝37.00（米），
答：综合楼的高度约是37.00米．
10．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜坡，坡长CD＝15m，斜坡的倾斜角为α，cs α＝．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
（1）求C，D两点的高度差；
（2）求居民楼的高度AB．
（结果精确到1m，参考数据：≈1.7）
【分析】（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，在Rt△DCE中，可得（m），再利用勾股定理可求出DE，即可得出答案．
（2）过点D作DF⊥AB于F，设AF＝xm，在Rt△ADF中，tan30°＝，解得DF＝x，在Rt△ABC中，AB＝（x+9）m，BC＝（x﹣12）m，tan60°＝＝，求出x的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，
∵在Rt△DCE中，csα＝，CD＝15m，
∴（m）．
∴（m）．
答：C，D两点的高度差为9m．
（2）过点D作DF⊥AB于F，
由题意可得BF＝DE，DF＝BE，
设AF＝xm，
在Rt△ADF中，tan∠ADF＝tan30°＝，
解得DF＝x，
在Rt△ABC中，AB＝AF+FB＝AF+DE＝（x+9）m，BC＝BE﹣CE＝DF﹣CE＝（x﹣12）m，
tan60°＝＝，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴AB＝++9≈24（m）．
答：居民楼的高度AB约为24m．
11．如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
【分析】过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BD＝15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【解答】解：过B作BD⊥AC于D，
由题意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，则∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，
在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），
∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），
∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），
答：货轮从A到B航行的距离约为30.6海里．
12．随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cs53°≈，tan53°≈）
（1）求坡面CB的坡度；
（2）求基站塔AB的高．
【分析】（1）过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．由勾股定理可求出答案；
（2）设DF＝4a米，则ME＝4a米，BF＝3a米，由于△ACN是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADF中由锐角三角函数可列方程求出DF，进而求出AB．
【解答】解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．
由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．
在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，
∴CM＝40米，
∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；
（2）设DF＝4a米，则MN＝4a米，BF＝3a米，
∵∠ACN＝45°，
∴∠CAN＝∠ACN＝45°，
∴AN＝CN＝（40+4a）米，
∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．
在Rt△ADF中，
∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，
∴tan∠ADF＝，
∴＝，
∴解得a＝，
∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），
∵BF＝3a＝米，
∴AB＝AF﹣BF＝40﹣＝（米）．
答：基站塔AB的高为米．
13．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进100米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）
（1）求点D与点A的距离；
（2）求隧道AB的长度．（结果保留根号）
【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD＝60°，∠ADC＝90°，解Rt△ADC即可求解；
（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长．
【解答】解；（1）由题意可知：∠ACD＝15°+45°＝60°，∠ADC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
在Rt△ADC中，
∴（米），
答：点D与点A的距离为300米．
（2）过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB是东西走向，
∴∠ADE＝45°，∠BDE＝60°，
在Rt△ADE中，
∴（米），
在Rt△BDE中，
∴（米），
∴（米），
答：隧道AB的长为米．
14．湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向900米处．
（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）；
（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
【分析】（1）延长CB到D，则CD⊥AD于点D，根据题意可得∠NAC＝∠CAB＝30°，BC＝900米，BC∥AN，所以∠C＝∠NAC＝30°＝∠BAD，然后根据含30度角的直角三角形即可解决问题；
（2）设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，根据救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，列出方程150x+（400x﹣900）＝1559，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）如图，延长CB到D，则CD⊥AD于点D，
根据题意可知：∠NAC＝∠CAB＝30°，BC＝900米，BC∥AN，
∴∠C＝∠NAC＝30°＝∠BAD，
∴AB＝BC＝900米，
∵∠BAD＝30°，
∴BD＝450米，
∴AD＝BD＝450（米），
∴AC＝2AD＝900≈1559（米）
答：湖岸A与码头C的距离约为1559米；
（2）设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，
∵救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，
∴150x+（400x﹣900）＝1559，
∴x≈4.5，
答：快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．
15．如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．
（1）求步道DE的长度（精确到个位）；
（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？
（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）过D作DF⊥AE于F，由已知可得四边形ACDF是矩形，则DF＝AC＝200米，根据点D在点E的北偏东45°，即得DE＝DF＝200≈283（米）；
（2）由△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，可得EF＝DF＝200米，而∠ABC＝30°，即得AB＝2AC＝400米，BC＝＝200米，又BD＝100米，即可得经过点B到达点D路程为AB+BD＝500米，CD＝BC+BD＝（200+100）米，从而可得经过点E到达点D路程为AE+DE＝200﹣100+200≈529米，即可得答案．
【解答】解：（1）过D作DF⊥AE于F，如图：
由已知可得四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC＝200米，
∵点D在点E的北偏东45°，即∠DEF＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE＝DF＝200≈283（米）；
（2）由（1）知△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，
∴EF＝DF＝200米，
∵点B在点A的北偏东30°，即∠EAB＝30°，
∴∠ABC＝30°，
∵AC＝200米，
∴AB＝2AC＝400米，BC＝＝200米，
∵BD＝100米，
∴经过点B到达点D路程为AB+BD＝400+100＝500米，
CD＝BC+BD＝（200+100）米，
∴AF＝CD＝（200+100）米，
∴AE＝AF﹣EF＝（200+100）﹣200＝（200﹣100）米，
∴经过点E到达点D路程为AE+DE＝200﹣100+200≈529米，
∵529＞500，
∴经过点B到达点D较近．
特殊角
30°
45°
60°
1
科学计算器按键顺序
计算结果（已取近似值）
0.156
0.158
0.276
0.287
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