2024高考数学每日一练第七周

这是一份2024高考数学每日一练第七周，共7页。

1．(2023·淮北模拟)已知i为虚数单位，复数z＝eq \f(1－3i,2＋i)，则|z|等于( )
A．2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D.eq \r(5)
2．(2023·海口模拟)琼中蜂蜜是海南省琼中黎族苗族自治县特产．人们赞美蜜蜂是自然界的建筑师，是因为蜜蜂建造的蜂房是以正六棱柱为单位的几何体.18世纪初，法国天文学家通过观测发现蜜蜂蜂房的每个单位并非六棱柱．如图1，正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面边长为a，高为b.蜜蜂的蜂房实际形状是一个十面体，如图2，它的顶部是边长为a的正六边形，底部由三个全等的菱形AGCB′，CGED′和EGAF′构成，其余侧面由6个全等的直角梯形构成，AA1＝CC1＝EE1＝b，B1B′＝D1D′＝F1F′＝c，蜜蜂的高明之处在于图2的构造在容积上与图1相等，但所用的材料最省．则图2中，b－c等于( )
A.eq \f(\r(3)a,2) B.eq \f(\r(2)a,2) C.eq \f(a,3) D.eq \f(\r(2)a,4)
3．(多选)(2023·衡阳模拟)已知抛物线C：y＝ax2的顶点为O，准线为y＝－eq \f(1,2)，焦点为F，过F作直线l交抛物线于M，N两点(M，N顺序从左向右)，则( )
A．a＝eq \f(1,2)
B．若直线l经过点(－1,0)，则|MN|＝eq \f(5,2)
C．|OM|·|ON|的最小值为1
D．若eq \(FN,\s\up6(→))＝3eq \(MF,\s\up6(→))，则直线l的斜率为eq \f(\r(3),3)
4．(2023·运城模拟)2023年9月第19届亚运会于杭州举办，在杭州亚运会三馆(杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆)对外免费开放，预约期间将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为________．
5．(2023·泰安模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，cs B＝－eq \f(1,3).
(1)求sin C；
(2)若点D在△ABC的外接圆上，且∠ABD＝∠CBD，求AD的长．
[周二]
1．(2023·辽东南协作校模拟)已知双曲线C：eq \f(x2,b2)－eq \f(y2,a2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线2x－y＋1＝0垂直，则该双曲线C的离心率为( )
A.eq \f(\r(5),2) B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5)
2．(2023·南通模拟)函数f(x)＝x2 023|x|，若方程(x＋sin x)f(x)－ax2＝0只有三个根x1，x2，x3，且x1A．(0，＋∞) B．(2 023，＋∞) C．(－∞，－2 023) D．(－∞，0)
3．(多选)(2023·曲靖质检)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BC，CC1的中点，动点H在线段A1C1上，则下列结论中正确的是( )
A．直线AF与直线D1E异面
B．平面AEF截正方体所得的截面面积为eq \f(9,8)
C．存在点H，使得平面AEH∥平面CDD1C1
D．三棱锥A－ECH的体积为定值
4．(2023·湛江模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－a存在两个极值点x1，x2，且x2＝2x1，则a＝________.
5．(2023·沈阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足lg2(Sn＋2)＝n＋1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)在任意相邻两项ak和ak＋1(其中k∈N*)之间插入2k个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}．记Tn为数列{bn}的前n项和，求T36的值．
[周三]
1．(2023·漳州质检)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(2),4)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(5π,6)))等于( )
A．－eq \f(3,4) B.eq \f(3,4) C．－eq \f(\r(2),4) D.eq \f(\r(2),4)
2．(2023·安徽A10联盟模拟)19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb(n)＝lgbeq \f(n＋1,n)，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若eq \i\su(n＝k,20, )P10(n)＝eq \f(lg221－lg23,1＋lg25)(k∈N*，k≤20)，则k的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．(多选)(2023·昆明模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝m与C交于A，B两点(A在y轴右侧)，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A．|AF1|＋|BF1|＝2eq \r(5)
B．当m＝eq \f(4\r(5),5)时，四边形ABF1F2为矩形
C．若AF1⊥BF1，则m＝eq \f(4,3)
D．存在实数m使得四边形ABF1O为平行四边形
4．(2023·安庆模拟)在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱AA1上一点，且AE＝1.过E，B1，C1三点的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积为________．
5．(2023·南通联考)2022年10月1日，女篮世界杯落幕，时隔28年，中国队再次获得亚军，追平历史最佳成绩．统计数据显示，中国队主力队员A能够胜任小前锋(SF)、大前锋(PF)和得分后卫(SG)三个位置，且出任三个位置的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,4)，eq \f(1,2)，同时，当队员A出任这三个位置时，球队赢球的概率分别为eq \f(4,9)，eq \f(8,9)，eq \f(2,3)(队员A参加所有比赛均分出胜负)．
(1)当队员A参加比赛时，求该球队某场比赛获胜的概率；
(2)在赛前的友谊赛中，第一轮积分规则为：胜一场积3分，负一场积－1分．本轮比赛球队一共进行5场，且至少获胜3场才可晋级第二轮，已知队员A每场比赛均上场且球队顺利晋级第二轮，记球队第一轮比赛最终积分为X，求X的均值．
[周四]
1．(2023·蚌埠质检)已知i为虚数单位，复数z满足z(1－i)2＝2，则z2 023等于( )
A．－1 B．1 C．－i D．i
2．(2023·盐城模拟)定义曲线eq \f(a2,x2)－eq \f(b2,y2)＝1为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的“伴随曲线”．在双曲线C1：x2－y2＝1的伴随曲线C2上任取一点P，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N，则直线MN与双曲线C1的公共点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．与点P的位置有关系
3．(多选)(2023·鞍山质检)已知函数f(x)＝eq \f(1,2)sin x＋eq \r(3)cs2eq \f(x,2)－eq \f(\r(3),2)，则( )
A．f(x)的图象向右平移eq \f(5π,6)个单位长度后得到函数y＝－cs x的图象
B．f(x)的图象与g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2π,3)))的图象关于y轴对称
C．f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(7π,6)))(k∈Z)
D．若f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，a))上有3个零点，则实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(8π,3)，\f(11π,3)))
4．(2023·齐齐哈尔模拟)已知抛物线C：y2＝8x，点P为抛物线C上第一象限内任意一点，过点P向圆D：x2＋y2－16x＋48＝0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB面积的最小值为________，此时直线AB的方程为______________．
5.(2023·湖北七市(州)联考)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，侧面BCC1B1为菱形，已知∠BB1C＝60°，AB1＝a.
(1)当a＝eq \r(6)时，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；
(2)设P为侧棱BB1上一动点，当a＝3时，求直线PC1与平面ACC1A1所成角的正弦值的取值范围．
[周五]
1．(2023·福州质检)已知△ABC的外接圆半径为1，A＝eq \f(π,3)，则AC·cs C＋AB·cs B等于( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(\r(3),2) D.eq \r(3)
2．(2023·怀化模拟)已知球O的半径为eq \r(30)，球面上有不共面的四个点A，B，C，D，且AB＝2eq \r(14)，则四面体ABCD体积的最大值是( )
A．14eq \r(6) B.eq \f(98\r(6),3) C．98eq \r(6) D.eq \f(98\r(21),3)
3．(多选)(2023·石家庄质检)下列说法正确的是( )
A．一组数据6,7,7,8,10,12,14,16,20,22的第80百分位数为16
B．若随机变量ξ～N(2，σ2)，且P(ξ≥5)＝0.22，则P(－1<ξ<5)＝0.56
C．若随机变量ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9，\f(2,3)))，则方差D(2ξ)＝8
D．若将一组数据中的每个数都加上一个相同的正数x，则平均数和方差都会发生变化
4．(2023·衢州模拟)已知数列1,1,3,1,3,5,1,3,5,7,1,3,5,7,9，…，其中第一项是1，接下来的两项是1,3，再接下来的三项是1,3,5，依此类推．将该数列的前n项和记为Sn，则使得Sn>400成立的最小正整数n的值是________．
5．(2023·十堰调研)已知P(2,0)是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点，过点D(1,0)且斜率为k(k<0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点(A点在x轴的上方)，直线PA，PB分别与直线x＝1相交于M，N两点．当A为椭圆C的上顶点时，k＝－1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若|ND|－|MD|＝λ，且λ∈[1,3]，求k的取值范围．
[周六]
1．(2023·滨州模拟)已知复数z＝eq \f(1＋2i,1－i)(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x)－1为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋1，若a＝f(11)，b＝f(lg211)，c＝f(211)，则a，b，c的大小关系为( )
A．b>c>a B．bc>b D．a>b>c
3．(多选)(2023·浙江金丽衢十二校联考)已知递增数列{an}的各项均为正整数，且其前n项和为Sn，则( )
A．存在公差为1的等差数列{an}，使得S14＝2 023
B．存在公比为2的等比数列{an}，使得S3＝2 023
C．若S10＝2 023，则a4≤285
D．若S10＝2 023，则a10≥208
4．(2023·泉州模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))的直线l与C交于A，B两点．若△ABF的面积等于△OAD的面积的2倍，则eq \f(|AF|,|BF|)＝________.
5．(2023·潮州模拟)已知函数f(x)＝ex－aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ln x＋x,x)))(e是自然对数的底数)有两个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的两个零点分别为x1，x2，证明：x1x2>.