宁波市效实中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份宁波市效实中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．命题“,”的否定为( )
A.,B.,C.,D.,
2．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．函数()的图象必经过点( )
A.B.C.D.
4．设,,则的值为( )
A.B.C.27D.26
5．函数的图象可以看成将某个奇函数的图象( )
A.向左平移1个单位得到B.向左平移个单位得到
C.向右平移1个单位得到D.向右平移个单位得到
6．函数的定义域为( )
A.B.C.D.
7．若不等式对任意实数恒成立,则实数a的最小值为( )
A.0B.4C.D.5
8．已知函数,,则使成立的实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列函数与表示同一函数的是( )
A.B.C.D.
10．下列说法中正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,,则D.若,,则
11．已知正实数a,b满足,则下列选项中正确的是( )
A.ab的最大值为B.的最小值为4
C.的最大值为D.的最小值为
12．已知函数,,用表示m,n中的最大值,,记函数,则下列选项中正确的是( )
A.方程有3个解
B.方程最多有4个解
C.的解集为
D.方程在上的根为
三、填空题
13．已知,则解析式为______________.
14．已知集合,若,则实数a的值为______________.
15．设函数在区间上单调递增,则a的取值范围是______________.
16．函数,的值域为______________.
四、解答题
17．计算:（1）;
（2）已知,求的值.
18．设集合,.
（1）当时,求;
（2）若,求实数m的取值范围.
19．已知函数.
（1）判断在R上单调性并证明;
（2）当时,,且,,求的解析式.
20．（1）若,,求实数a的取值范围;
（2）若,,求实数x的取值范围.
21．已知函数.
（1）若在R上单调递增,求实数a的取值范围;
（2）求在区间上的最大值.
22．黎曼函数是一个特殊的函数,是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出,在数学中有广泛的应用.黎曼函数定义在上,.
（1）请用描述法写出满足方程解集;（直接写出答案即可）
（2）解不等式;
（3）探究是否存在非零实数k,b,使得为偶函数?若存在,求k,b应满足条件;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意可得:命题“,”的否定为“,”.
故选:C.
2．答案：D
解析：由可得,解得或,
因为成立推不出或,而或成立不能推出,
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选:D
3．答案：D
解析：令,则,代入函数,解得,
则函数（）的图象必经过点.
故选:D
4．答案：B
解析：因为,,
所以,
故选:B
5．答案：B
解析：可以由向左平移个单位得到,
其中定义域为R且,
即为奇函数.
故选:B
6．答案：C
解析：由题意可得:,
因为,原不等式等价于,
等价于,解得或,
所以函数的定义域为.
故选:C.
7．答案：D
解析：当时,恒成立,即恒成立,
令,,
当,且时,,,,则,
当,且时,,,,则,
可得在上单调递减,在上单调递增,
又,,,所以最大值为,
,则实数a的最小值为5.
故选:D.
8．答案：A
解析：依题意,,
由解得,所以的定义域为.
由,解得,所以的定义域为,
由于,所以是偶函数.
当时,为增函数,
所以当时,为减函数.
由得,
所以,解得.
故选:A
9．答案：AB
解析：的定义域为R.
,与定义域与对应关系均相同,故A正确;
,与定义域与对应关系均相同,故B正确;
的定义域为,与定义域不同,故C错误;
的定义域为,与定义域不同,故D错误.
故选:AB.
10．答案：ABD
解析：对A,若,则,A正确;
对B,若,则,则,B正确;
对C,若,,设,,,,此时,C错误;
对D,若,,则,则,D正确.
故选:ABD
11．答案：BD
解析：对A,由,又,所以,
当且仅当时等号成立,A错误;
对B,,
当且仅当时等号成立,B正确;
对C,由得,即,
当且仅当时等号成立,C错误;
对D,由,当且仅当时等号成立,D正确.
故选:BD
12．答案：ABC
解析：由得或,即此时,时,,作出的图象,如图,
由图象可知,有两个解,有一个解,即有3个解,A正确;
例如时,由得或,显然与都有2个解,因此有4个解,又与都最多有2个解,因此B正确;
作出的图象和直线,如下图,
由得,
由,解得或,
结合的图象与直线知C正确;
时,,由得的解是(舍去),
时,,由得(舍去),
时,由得,无解,
时,由得,化简或,或,只有符合题意,其它均舍去,因此在上的解是和,D错.
故选:ABC.
13．答案：
解析：令,则,可得,
所以.
故答案为:.
14．答案：或0
解析：由题意,,
若,此时,,符合题意;
若,则,此时,不符合题意;
若,则或,
时,,,不符合题意;
时,,,符合题意,
综上,或.
故答案为:或0.
15．答案：
解析：函数在R上单调递增,而函数在区间上单调递增,
故需在区间上单调递增,即,即.
则a的取值范围是.
故答案为:
16．答案：
解析：因为,整理得,
可知关于x的方程有正根,
若,则,解得,符合题意;
若,则,
可得或,
解得或且,则或或;
综上所述:或,
即函数,的值域为.
故答案为:.
17．答案：（1）
（2）1
解析：（1）
（2）因为,
所以,即,
所以,即,
所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,
当时,,所以,
所以.
（2）因为,所以,
当,即时,,满足.
当时,,不满足题意,
当,即时,要使成立,
只需即.
综上,当时,m的取值范围是.
19．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）设,,且,,
,,,,则,
即,所以在R上单调递增.
（2）
当时,,由,,即,
当时,则,则,
则当时,,
故函数的解析式为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,,
①当时,不等式对成立,符合题意.
②当时,若不等式对恒成立,
则,解得,
综上,实数a的取值范围.
（2）,,
即,,
所以,而在上单调递增,
所以,解得,
故实数x的取值范围.
21．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）因为在R上单调递增,则有:
若,则,
因为,在定义域内单调递增,
且,所以符合题意;
若,则,解得,
综上所述:实数a的取值范围.
（2）因为,则,
(i)若,可知在上单调递增,最大值为;
(ii)若,则开口向上,对称轴,
可知在上单调递增,最大值为;
(iii)若,则开口向下,对称轴,
①当,即时,可知在上单调递减,最大值为;
②当,即时,可知在上单调递增,最大值为;
③当,即时,可知在上单调递增,在上单调递减,
所以最大值为;
综上所述:若,在区间上的最大值为;
若,在区间上的最大值为;
若,在区间上的最大值为.
22．答案：（1）
（2）
（3）存在,,
解析：（1）依题意,,
当时,,则方程无解,
当为内的无理数时,,则方程无解,
当(p,,为既约真分数)时,则,q为大于1的正整数,
则由方程,解得,为大于1的正整数,
综上,方程的解集为.
（2）若或或x为内无理数时,,
而,此时,
若(p,,为既约真分数),则,q为大于1的正整数,
由,得,解得,
又因为(p,,为既约真分数),所以,,
综上,不等式的解为.
（3）存在非零实数,,使得为偶函数,即为偶函数,证明如下:
当或时,有成立,满足,
当x为内的无理数时,也为内的无理数,所以,满足,
当(p,,为既约真分数),则为既约真分数,
所以,满足,
综上,对任意,都有,
所以关于对称,即,则为偶函数,
所以,存在非零实数,,使得为偶函数.