2024高考数学新试卷结构下的压轴题研究：6.射影几何与曲线的曲率

这是一份2024高考数学新试卷结构下的压轴题研究：6.射影几何与曲线的曲率，共12页。试卷主要包含了射影几何与曲线的曲率，极点与极线的定义，调和点列与极点极线[1]，从椭圆标准方程到极点极线，曲率的概念等内容，欢迎下载使用。

一．基本原理
1.极点与极线的定义：已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换(另一变量也是如此)即可得到点极线方程．
2.调和点列与极点极线[1]
设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于，交于，则
①；反之，若有①成立，则称点调和分割线段，或称关于调和共轭.
3．已知调和线束，，，，若有一条直线平行于调和线束中的一条，且与剩余三条分别交于三点，那么这三点中的内点平分该线段.
4.从椭圆标准方程到极点极线
椭圆标准方程推导：由椭圆定义可知：椭圆可以看成点集，于是，假设焦点，的坐标分别为，点，那么：
①
将①式左端的一个根号移到右端，再两边平方整理可得：
②
对②式继续平方，再整理可得：
③
由定义可知：，令，那么可得椭圆标准方程④.
这样我们将定义代数，坐标化后便推得焦点在轴上椭圆标准方程④.
定位到②式，⑤.
⑤式表明椭圆上的点到右焦点的距离与到直线的距离之比是离心率.
其中：椭圆的焦点为时,相应的准线是；焦点为时,相应的准线是
；焦点为时,相应的准线是；焦点为时,相应的准线是.双曲线的情况类似,这里就不再赘述了.
进一步，已知圆锥曲线，则称点和直线
是圆锥曲线的一对极点与极线.
根据极点极线的代数定义我们可以知道，对于椭圆，与点对应的极线方程为.特别地，点对应的极线方程为：，即右焦点所对应的极线方程为右准线.同理，可得双曲线与抛物线的极点与极线方程，这里用表格形式给出相关结论.
5.曲率的概念：曲率是微分几何中一个重要的概念，微分几何是以数学分析（微积分视角）来研究曲线或者曲面的局部特征，是现代数学的重要构成部分，具体问题我们在下面例题中详细讨论.
二．典例分析
例1（2023年全国乙卷T20）已知椭圆的离心率是，点在上．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
分析：如图，点B关于椭圆的极线恰为，由上述结论2，则四点为调和点列，则为调和线束，由于轴，则由结论3可得：轴截调和线束于，则为中点.
解析：（1）由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去y得：，
则，解得，
可得，因为，则直线，
令，解得，即,同理可得，
则
，所以线段的中点是定点.
例2．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．

（1）证明：；
（2）已知，点为线段的中点，，求．
解析：（1）在、、、中，
，
所以，又在、、、中，，
所以，
又，，，
所以，所以.
（2）由题意可得，所以，即，所以，又点为线段的中点，即，所以，又，则，，设，且，由，所以，
即，解得①，在中，由正弦定理可得②，在中，由正弦定理可得③，
且，②③得，即④由①④解得，（负值舍去），即，，所以.
例3．阅读材料：
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线：，则称点(，)和直线：是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换(另一变量也是如此)，即可得到点(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质定理
①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；
②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
（1）已知椭圆：经过点(4，0)，离心率是，求椭圆的方程并写出与点P对应的极线方程；
（2）已知是直线：上的一个动点，过点向（1）中椭圆引两条切线，切点分别为，是否存在定点恒在直线上，若存在，当时，求直线的方程；若不存在，请说明理由.
解析：（1）因为椭圆过点P(4,0)，则，得，又，所以，所以，所以椭圆C的方程为.
根据阅读材料，与点P对应的极线方程为，即；
（2）由题意，设点的坐标为(,)，因为点在直线上运动，所以，联立，得，，该方程无实数根，所以直线与椭圆C相离，即点在椭圆C外，又都与椭圆C相切，所以点和直线是椭圆C的一对极点和极线.对于椭圆，与点Q(,)对应的极线方程为，
将代入，整理得，又因为定点T的坐标与的取值无关，所以，解得，所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上.当时，T是线段MN的中点，设，直线MN的斜率为，
则，两式相减，整理得，即，
所以当时，直线MN的方程为，即.
例4．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．
（1）求曲线在处的曲率的平方；
（2）求余弦曲线曲率的最大值；
解析：（1）因为，则，，所以，
故.
（2）因为，则，，所以，
令，则，，
设，则，显然当时，，单调递减，所以，则最大值为1，所以的最大值为1．
例5．曲线的曲率是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，若记，则函数在点处的曲率为.
（1）求证：抛物线（）在处弯曲程度最大；
（2）已知函数，，，若，曲率为0时的最小值分别为，求证：.
解析：（1）由题意，，，则，
又，故当最小时最大，
此时，即抛物线（）在处弯曲程度最大.
（2）由题意，，，，.
若，曲率为0，则，即，分别化简可得，.令，则令有.
当时，，单调递增，且；当时，，单调递减，且.
又，故有两解，设为，，又，故.由可设，，故，，化简可得，则.
要证：，即证.
令，则，
故在上单调递增，故，即得证.
例6．（24届镇海中学高三测试）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）
（1）求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
（2）求椭圆在处的曲率；
（3）定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．
解析：（1）．
（2），，，故，，故．
（3），，故，其中，
令，，则，则，其中（不妨）
令，在递减，在递增，故；令，
，令，则，当时，恒成立，故在上单调递增，可得，即，
故有，则在递增，
又，，故，故
曲线类型
极点
极线