中考数学几何模型专项复习 模型11 全等三角形—— K型模型-（原卷版+解析）

这是一份中考数学几何模型专项复习 模型11 全等三角形—— K型模型-（原卷版+解析），共16页。


◎结论1：如图所示，AB⊥AD且AB=AD，BC⊥CE，DE⊥CE.
则△ABC≌△DAE，CE=DE＋BC.

【证明】∵BC⊥CE，DE⊥CE，AB⊥AD，
∴∠C=∠BAD=∠E=90°，
∴∠1+∠3=∠1+∠2=90º，∴∠2=∠3
在△ABC和△DAE 中，
∠C= ∠E=90°
∠2=∠3
AB=DA,
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴AC=DE，BC=AE，
∴CE=CA+AE=BC+DE.
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
长手+短手
◎结论2：如图所示，AB⊥AD且AB=AD，BC⊥CA，DE⊥CA.
则△ABC≌△DAE，CE= DE -BC.
【证明】 证明同上，△ABC≌△DAE，AC=DE，BC=AE
CE= AC -AE= DE -BC.

eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
长手-短手
1．(2023·福建·福州教院二附中八年级期末）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（ ）
A．40cmB．48cmC．56cmD．64cm
2．(2023·全国·八年级专题练习）如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．4cm
3．(2023·江西上饶·八年级期中）课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20cm，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方的是（ ）．
A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2
1．(2023·江苏·八年级单元测试）如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则__________．
2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，且点C在DE上，若AD＝5，BE＝8，则DE的长为_____．
3．(2023·全国·八年级课时练习）如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是____ cm．
1．（1）尝试探究：如图①，在中，，ABAC，AF是过点A的一条直线，且B，C在AE的同侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，则图中与线段AD相等的线段是 ；DE与BD、CE的数量关系为 ．
（2）类比延伸：如图②，，BA=BC，点A，B的坐标分别是(-2，0)，(0，3)，求点C的坐标．
（3）拓展迁移：在（2）的条件下，在坐标平面内找一点P（不与点C重合），使与△ABC全等．直接写出点P的坐标．
2．（1）观察理解：
如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB．
（2）理解应用：
如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点．
（3）类比探究：
①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______；
②如图4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆时针旋转90°至DE，△AED的面积为 ．
全等三角形
模型（十一）—— K型模型
◎结论1：如图所示，AB⊥AD且AB=AD，BC⊥CE，DE⊥CE.
则△ABC≌△DAE，CE=DE＋BC.

【证明】∵BC⊥CE，DE⊥CE，AB⊥AD，
∴∠C=∠BAD=∠E=90°，
∴∠1+∠3=∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3
在△ABC和△DAE 中，
∠C= ∠E=90°
∠2=∠3
AB=DA,
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴AC=DE，BC=AE，
∴CE=CA+AE=BC+DE.
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
长手+短手
◎结论2：如图所示，AB⊥AD且AB=AD，BC⊥CA，DE⊥CA.
则△ABC≌△DAE，CE= DE -BC.
【证明】 证明同上，△ABC≌△DAE，AC=DE，BC=AE
CE= AC -AE= DE -BC.

eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
长手-短手
1．(2023·福建·福州教院二附中八年级期末）一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为（ ）
A．40cmB．48cmC．56cmD．64cm
答案:C
【详解】由等腰直角三角形的性质可得∠ACB＝90°，AC＝CB，因此可以考虑证明△ACD和△CBE全等，可以证明DE的长为7块砖的厚度的和．
分析解：由题意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，
∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，
∵a＝8cm，
∴7a＝56cm，
∴DE＝56cm，
故选C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
2．(2023·全国·八年级专题练习）如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于（ ）
A．6cmB．8cmC．10cmD．4cm
答案:B
分析根据题意证明即可得出结论．
【详解】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴，
∵∠ACE＝90°，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
3．(2023·江西上饶·八年级期中）课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知AB＝20cm，小聪想知道砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)，下面为砌墙砖块厚度的平方的是（ ）．
A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2
答案:A
分析设每块砖的厚度为xcm，则AD=3xcm，BE=2xcm，然后证明△DAC≌△ECB得到CD=BE=2xcm，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设每块砖的厚度为xcm，则AD=3xcm，BE=2xcm，
由题意得：∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
又∵AC=CB，
∴△DAC≌△ECB（AAS），
∴CD=BE=2xcm，
∵，，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
1．(2023·江苏·八年级单元测试）如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则__________．
答案:7
分析根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案；
【详解】解：∵BE⊥l，CF⊥l，
∴∠AEB=∠CFA=90°．
∴∠EAB+∠EBA=90°．
又∵∠BAC=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°．
∴∠EBA=∠CAF．
在△AEB和△CFA中
∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△AEB≌△CFA．
∴AE=CF，BE=AF．
∴AE+AF=BE+CF．
∴EF=BE+CF．
∵，
∴；
故答案为：7．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的证明三角形全等．
2．(2023·全国·八年级课时练习）如图，已知ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，且点C在DE上，若AD＝5，BE＝8，则DE的长为_____．
答案:13
分析先根据AD⊥DE，BE⊥DE，∠ADC=∠CEB=90°，则∠DAC+∠DCA=90°，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，可得AC=CB，推出∠DAC=∠ECB，即可证明△DAC≌△ECB得到CE=AD=5，CD=BE=8，由此求解即可．
【详解】解：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，AC=CB
∴∠DAC=∠ECB，
∴△DAC≌△ECB（AAS），
∴CE=AD=5，CD=BE=8，
∴DE=CD+CE=13，
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
3．(2023·全国·八年级课时练习）如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处（∠O＝90°），若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是____ cm．
答案:28
分析作CD⊥OB于点D，依据AAS证明,GMF，再根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：过点C作CD⊥OB于点D，如图，
∴
∵是等腰直角三角形
∴AB=CB，
∴
又
∴
在和中，

∴
∴
故答案为：28．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
1．（1）尝试探究：如图①，在中，，ABAC，AF是过点A的一条直线，且B，C在AE的同侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，则图中与线段AD相等的线段是 ；DE与BD、CE的数量关系为 ．
（2）类比延伸：如图②，，BA=BC，点A，B的坐标分别是(-2，0)，(0，3)，求点C的坐标．
（3）拓展迁移：在（2）的条件下，在坐标平面内找一点P（不与点C重合），使与△ABC全等．直接写出点P的坐标．
答案:（1）CE，DE=BD+CE；（2）（−3，5）；（3）存在，P点坐标分别为(5，2)，(3，1)，(1，2)．
分析（1）由BD⊥AE，∠BAC90°，推进而得到即可求解；
（2）作轴于点E，得出（AAS）即可求解；
（3）分两种情况，①当时，；②当时，，讨论并构造全等三角形即可求解．
【详解】解：（1）∵BD⊥AE，，CE⊥AE
∴，，
∴．
在和中，，
∴，
∴AD=CE，BD=AE，
∴DE=AD+AE=BD+CE．
故答案为：CE，DE=BD+CE；
（2）作轴于点E，
∵轴，OA⊥OB，，
∴，，，
∴∠ABO=∠BCE．
又∵，
∴（AAS），
∴，
∵点A，B的坐标分别是(-2，0)，(0，3)，
∴，
∴，
∴(-3，5)；
（3）分类讨论：
①当∠PAB=90°时，，
∴，．
∵B(0，3)，A(−2，0)，C(−3，5)，
∴，，
设P(x，y)，
∴，，
∴，
解得：，，
∴(−5，2)，(1，−2)，如图；
②当∠ABP=90°时，，
∴AP=AC，BP=AB，
∵B(0，3)，A(−2，0)，C(−3，5)，
∴，，
设P(x，y)，
∴，，
∴，
解得：，，
∵点P与点C不重合，
∴(−3，5)舍去，
∴(3，1)，如图．
综上，存在这样的P点，坐标分别为(5，2)，(3，1)，(1，2)．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，两点间距离公式，坐标与图形性质，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
2．（1）观察理解：
如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB．
（2）理解应用：
如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点．
（3）类比探究：
①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______；
②如图4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆时针旋转90°至DE，△AED的面积为 ．
答案:（1）见解析；（2）见解析；（3）①ED=EA－BD；②1
分析（1）根据同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再利用AAS证得△AEC≌△CDB，即可；
（2）分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N，由（1）可证得△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA，从而得到EM=GN，可得到△EMI≌△GNI，从而得到EI=IG，即可求证；
（3）①由（1）得：△AEC≌△CDB，可得CE=BD，AE=CD，即可；②过点C作CP⊥AD交AD延长线于点P，过点E作EQ⊥AD交AD延长线于点Q，根据旋转的性质可得根据题意得：∠CDE=90°，CD=DE，再由（1）可得△CDP≌△DEQ，从而得到DP=EQ，然后根据两平行线间的距离，可得AP=BC，进而得到PD=1，即可求解．
【详解】（1）证明：∵BD⊥l，AE⊥l，
∴∠AEC＝∠BDC＝90°，
又∵∠ACB＝90°
∴∠A+∠ACE＝∠ACE+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
在△AEC和△CDB中，
∴△AEC≌△CDB（AAS）；
（2）证明：分别过点E、G向HI作垂线，垂足分别为M、N，
由（1）得：△EMA≌△AHB，△ANG≌△CHA，
∴EM＝AH，GN=AH，
∴EM=GN，
在△EMI和△GNI中，
∴△EMI≌△GNI（AAS）；
∴EI=IG，
即I是EG的中点；
（3）解：①由（1）得：△AEC≌△CDB，
∴CE=BD，AE=CD，
∵ED=CD-CE，
∴ED=EA－BD ；
故答案为：ED=EA－BD
②如图，过点C作CP⊥AD交AD延长线于点P，过点E作EQ⊥AD交AD延长线于点Q，
根据题意得：∠CDE=90°，CD=DE，
由（1）得：△CDP≌△DEQ，
∴DP=EQ，
直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，
∴AB⊥AD，
∴AB∥CP，
∴BC⊥CP，
∵BC=3，
∴AP=BC=3，
∵AD=2，
∴DP=AP-AD=1，
∴EQ=1，
∴△ADE的面积为．
故答案为：1
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，图形的旋转，平行间的距离，熟练掌握全等三角形的判定和性质，图形的旋转的性质，平行间的距离，并利用类比思想解答是解题的关键．