【讲通练透】专题02 复数-2024高考数学题源解密（全国通用）

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高考命题专家命制高考试题时绝非凭空杜撰，必有命题的原始模型（“题根”）和命题着力点（“题眼”），对“题根”与“题眼”进行深入的探求与拓展可构造出高考母题。命题人拿来千变万化为难你们的历年真题，本质上也是从这有限的母题中衍生出来的。母题的重要性不言而喻。
专题02 复数
目录一览
2023真题展现
考向一 复数的运算
考向二 复数的代数表示法及其几何意义
真题考查解读
近年真题对比
考向一．复数的代数表示法及其几何意义
考向二．复数的运算
考向三．共轭复数
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 复数的运算
1．（2023•新高考Ⅰ•第2题）已知z=1−i2+2i，则z−z=（ ）
A．﹣iB．iC．0D．1
【答案】A
解：z=1−i2+2i=12⋅1−i1+i=12⋅(1−i)2(1+i)(1−i)=−12i，
则z=12i，
故z−z=−i．
故选：A．
考向二 复数的代数表示法及其几何意义
2．（2023•新高考Ⅱ•第1题）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
解：（1+3i）（3﹣i）＝3﹣i+9i+3＝6+8i，
则在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点的坐标为（6，8），
位于第一象限．
故选：A．
【命题意图】考查复数的相关概念与四则运算，考查运算求解能力．
【考查要点】复数是高考考查热点之一，以选择题、填空题的形式出现．考查复数的相关概念与复数的四则运算交汇．常考的命题角度：①复数的概念问题；②复数的四则运算；③复数的几何意义；④复数的模．
【得分要点】
1．复数的四则运算
(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
2．复数的几何意义
(1)z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq \(OZ,\s\up7(―→))．
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
考向一．复数的代数表示法及其几何意义
1．（2021•新高考Ⅱ）复数在复平面内对应点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A．
解：∵＝＝，
∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（，），位于第一象限．
考向二．复数的运算
2．（2022•新高考Ⅱ）（2+2i）（1﹣2i）＝（ ）
A．﹣2+4iB．﹣2﹣4iC．6+2iD．6﹣2i
【答案】D．
解：（2+2i）（1﹣2i）＝2﹣4i+2i﹣4i2＝6﹣2i．
考向三．共轭复数
3．（2022•新高考Ⅰ）若i（1﹣z）＝1，则z+＝（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【答案】D．
解：由i（1﹣z）＝1，得1﹣z＝，
∴z＝1+i，则，
∴．
4．（2021•新高考Ⅰ）已知z＝2﹣i，则z（+i）＝（ ）
A．6﹣2iB．4﹣2iC．6+2iD．4+2i
【答案】C．
解：∵z＝2﹣i，
∴z（+i）＝（2﹣i）（2+i+i）＝（2﹣i）（2+2i）＝4+4i﹣2i﹣2i2＝6+2i．
分析近三年的高考试题，可以发现复数考察四个考点：复数的概念、复数的运算、复数的代数表示法及其几何意义、复数的模。预计2024年还是主要体现在这四个考点上出题。
一、单选题
1．（2023·陕西咸阳·武功县模拟预测）已知复数，若的共轭复数为，则（ ）
A．B．5C．D．10
【答案】B
解：.
2．（2023·安徽合肥·二模）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
解：由题意得 ，所以在复平面内表示复数的点为在第二象限．
3．（2023·四川德阳·统考模拟预测）在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
解：，在复平面内对应的点在第一象限.
4．（2023·江苏徐州模拟预测）已知复数，其中i是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：设，，则，
故，，，
5．（2023·全国·校联考三模）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】B
解：因为，所以，所以，所以的最大值为．
6．（2023·河南开封·统考三模）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
解：因为复数对应的点的坐标为，
所以，
所以.
7．（2023·宁夏银川·统考一模）已知复数在复平面内对应的点是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：复数在复平面内对应的点为，则，
所以.
8．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】A
解：因为，所以，
所以复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限；
9．（2023·湖南常德市模拟预测）已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
解：由对应点为，则对应点为，故，
所以.
10．（2023·河北沧州·统考三模）若两个复数的实部相等或虚部相等，则称这两个复数为同部复数.已知，则下列数是z的同部复数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：由于，其实部和虚部均为，
而与的虚部相等，其余选项均不符合题意，所以是的同部复数.
11．（2023·海南海口模拟预测）设，其中，为实数，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
解：，
∴，
，.
12．（2023·吉林长春模拟预测）复数的平方根是（ ）
A．或B．C．D．
【答案】A
解：设的平方根为，则，即，
从而解得或
所以复数的平方根是或，
13．（2023·陕西安康中学模拟预测）设复数的实部与虚部互为相反数，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
解：，
由已知得，解得，
14．（2023海南华侨中学一模）设i为虚数单位，复数满足，则（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】A
解：∵，∴.
15．（2023·广西模拟预测）已知复数满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：设，
依题意得，，.
解得，，所以.
16．（2023·江西南昌十中模拟预测）如图，在复平面内，复数对应的点为，则复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
解：由图可知，点的坐标为，故，
则.
17．（2023·河南郑州模拟预测）已知i为虚数单位，复数z满足，则的虚部为（ ）
A．2B．3C．2iD．3i
【答案】B
解：由题可得，
故，其虚部为3，
18．（2023·河南南阳中学三模）已知为虚数单位，，则复数在复平面上所对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
解：因为，
则，
所以在复平面上所对应的点为位于第二象限.
19．（2023江苏省镇江中学三模）已知复数（为虚数单位），在复平面上对应的点分别为.若四边形为平行四边形（为复平面的坐标原点），则复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：因为复数､为虚数单位)､在复平面上对应的点分别为，
所以，
设，因为为平行四边形(为复平面的坐标原点)，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
20．（2023·河南郑州模拟预测）已知（a，，i为虚数单位），则复数（ ）
A．2B．C．D．6
【答案】B
解：∵，
∴，
∴，解得，
所以．
21．（2023·河南·校联考模拟预测）已知复数，其中为实数，且满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
解：依题意，，而为实数，
则，解得，所以复数的虚部为2.
22．（2023·河南模拟预测）已知，则在复平面内，复数z所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
解：∵，
∴复数z所对应的点为，位于第四象限.
23．（2023·云南曲靖模拟预测）已知复数（是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：.
24．（2023·河北沧州模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一，四象限D．第二、三象限
【答案】D
解：设，所以，
所以，解得，所以，
25．（2023·安徽·合肥一中模拟预测）若复数满足，则的共轭复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
解：因为，
所以，
所以，
所以的虚部是，
26．（2023·湖南益阳安化县第二中学三模）已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．B．5C．D．2
【答案】A
解：因为，所以，
故复数的虚部为.
27．（2023·江苏·金陵中学三模）已知复数z满足，则复数z在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
解：因为，
所以点位于第四象限.
28．（2023·湖南长沙·周南中学二模）若复数，则（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】D
解：因为，所以
所以，
所以.
29．（2023·福建泉州·五中模拟预测）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
解：设，
因为，
所以，
因为，
所以相当于圆上的点到点距离，
所以的最大值为圆心到点距离与圆的半径的和，即.

30．（2023·云南模拟预测）已知，是方程的两个复根，则（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
解：已知，是方程的两个复根，所以，
则设，，所以，
31．（2023·全国·模拟预测）设是复数且，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
解：根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离，
由图可知，.
32．（2023·新疆喀什模拟预测）已知， 则在复平面内的坐标是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
解：设，由， 得
，，解得，，或，，
所以，或，则在复平面内的坐标是或.
二、多选题
33．（2023·重庆·统考二模）已知复数，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则或
C．若且，则D．若，则
【答案】BCD
解：对于A，若，例如：，则，故A错误；
对于B，若，则，所以或至少有一个成立，即或，故B正确；
对于C，由，则，∵，∴，故C正确；
对于D：若，则，故D正确.
34．（2023·重庆一中模拟预测）定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且）,称．若且,称．共余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
解：设复数，若，因为，则无解，
所以，将代入，可得，
，即，
所以，解得，所以，
又因为，
设，所以，
所以，
所以复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上，
所以，从而最大，故B错误；
若，，则，
所以当，或，
时，则，C正确；
若，此时，则，A正确；
若，此时，则，D正确；
35．（2023·全国·模拟预测）已知是复数，且为纯虚数，则（ ）
A．B．
C．在复平面内对应的点不在实轴上D．的最大值为
【答案】ABC
解：由题意设，则．因为为纯虚数，所以，且，因此，在复平面内对应的点不在实轴上，所以A，C正确；，所以B正确；表示圆上的点到点的距离，且最大距离为，所以D不正确．
36．（2023·河北石家庄三模）已知复数，复数满足，则（ ）
A．
B．
C．复数在复平面内所对应的点的坐标是
D．复数在复平面内所对应的点为，则
【答案】AD
解：由已知，其对应点坐标为，C错；
，A正确；
由知对应的点在以对应点为圆心，2为半径的圆上，，
因此，B错误；
对应点坐标为，因此D正确．
37．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知是虚数单位，复数，，则（ ）
A．任意，均有B．任意，均有
C．存在，使得D．存在，使得
【答案】AD
解：根据复数的概念可知不能与实数比大小，故B错误；
由复数的模长公式可得，
易知，且不能同时取得等号，故，即A正确；
即动点E到动点F的距离，显然E在抛物线上，F在单位圆上，如图所示，

当时，，故D正确；
若存在，使得，则，
由上知，即上述方程组无解，故C错误；
三、填空题
38．（2023福州第一中学三模）已知复数，满足，，则的最大值为_____________.
【答案】4
解：设，
则，
所以，即，，
，
当时，则取得最大值，最大值为.
39．（2023·上海华师大二附中模拟预测）复数满足，则________.
【答案】
解：设，则，
所以则，
所以，解得：，所以，
故.
40．（2023·福州第一中学二模）已知复数，若在复平面内对应的点位于第四象限，写出一个满足条件的__________.
【答案】中的一个均可
解：复数，可得，
当时，可得，
此时复数对于点点位于第四象限，
当时，符合题意.
41．（2023·广东佛山模拟预测）已知是关于的方程的一个根，其中，为实数，则______.
【答案】
解：因为是关于的方程的一个根，
所以也是关于的方程的一个根，
所以且，
所以，，，
所以.
42．（2023·安徽蚌埠三模）已知，为虚数单位，若复数，，则______．
【答案】
解：因为
由，得，得．
43．（2023·上海华师大二附中三模）在复平面内，复数z所对应的点为，则___________．
【答案】2
解：由题意可知 ，所以，
44．（2023·上海复旦附中模拟预测）已知复数在复平面内对应的点是A， 其共轭复数在复平面内对应的点是是坐标原点， 若A在第一象限， 且， 则________.
【答案】
解：设，则由共轭复数的概念可得：，
由得：，
因为，所以，故，
故.
45．（2023福州第一中学模拟预测）在复平面内，复数对应的点为，则__________.
【答案】
解：由已知可得，，所以，
所以，.
46．（2023·天津和平·耀华中学二模）i是虚数单位，若复数为纯虚数，则______．
【答案】
解：,
所以，所以.
三个易误点
(1)两个虚数不能比较大小．
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，zeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,2)＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2<0在复数范围内有可能成立．
复数代数运算中常用的三个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.