【讲通练透】高考数学知识大盘点 专题10 复数及其应用（思维导图 知识梳理 方法技巧 易混易错）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题10 复数及其应用
一、知识速览
二、考点速览
知识点1 复数的基本概念
1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.
2、复数的分类：
eq \a\vs4\al(复数z＝a＋bi,a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))
3、复数的有关概念
知识点2 复数的几何意义
1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；
2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数；
3、复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量
知识点3 复数的四则运算
1、复数的运算法则
设， (a，b，c，d∈R)，则：
（1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
（2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
（3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
（4）
2、复数运算的几个重要结论
（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．
（2）eq \x\t(z)·z＝|z|2＝|eq \x\t(z)|2.
（3）若z为虚数，则|z|2≠z2.
（4）(1±i)2＝±2i.
（4）eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
（5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i.
知识点4 复数的三角形式
1、复数的辅角
（1）辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线（射线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角.
（2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.
规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作argz
【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。
2、复数的三角形式
定义：任何一个复数都可以表示成z=r(csθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数的辅角.
【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。
3、复数的代数式与三角式互化
将复数z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式z=r(csθ+isinθ)时，要注意以下两点：
（1）r=a2+b2，
（2）csθ=ar，sinθ=br，其中θ终边所在象限与点(a,b)所在象限相同，
当a=0，b>0时，arg z=π2
【注意】每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。
4、复数乘法运算的三角表示及其几何意义
（1）复数乘法运算的三角表示：已知z1=r1(csθ1+isinθ1)，z2=r2(csθ2+isinθ2)，
则z1z1=r1r2[csθ1+θ2+isinθ1+θ2]
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和。
（2）复数乘法运算的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，
然后把向量OZ1绕O点按逆时针方向旋转θ2（如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角θ2），再把它的模变成原来的r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积z1z2，这就是复数乘法的几何意义。
（3）复数乘法运算三角表示推广：
z1z2…zn=r1csθ1+isinθ1∙r2csθ2+isinθ2∙…∙rncsθn+isinθn
=r1r2…rn[cs⁡(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)]
特别的，当z1=z2=…=zn=r(csθ+isinθ)时，r(csθ+isinθ)n=rn(csnθ+isinnθ)
5、复数除法运算的三角表示及其几何意义
（1）复数除法运算的三角表示：已知z1=r1(csθ1+isinθ1)，z2=r2(csθ2+isinθ2)
则z1z2=r1(csθ1+isinθ1)r2(csθ2+isinθ2)=r1r2csθ1−θ2+isinθ1−θ2
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，
商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差.
（2）两个复数z1，z2相除时，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕O点按顺时针方向旋转θ2（如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2），再把它的模变成原来的1r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是商z1z2，这就是复数除法的几何意义。
一、复数的分类
对于复数a＋bi，
（1）当且仅当b＝0时，它是实数；
（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；
（3）当b≠0时，叫做虚数；
（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
【典例1】（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）若复数（为虚数单位，且）为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
又为实数，则，即.故选：D.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知为虚数单位，若为实数，则实数（ ）
A． B．4 C．2 D．
【答案】B
【解析】.
依题意得，得.故选：B
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知复数是虚数，则实数m的取值范围是（ ）
A．R B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得：，则，
故实数m的取值范围是.故选：C.
二、求复数标准代数式形式的两种方法
1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；
2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部。
【典例1】（2023秋·山东泰安·高三统考阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，
得，.故选：B.
【典例2】（2023·河南·统考模拟预测）已知复数的共轭复数为，且，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由题意，则，即，
化简得，
所以，解得，所以.故选：D.
三、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)是一一对应的．
【典例1】（2023·河南驻马店·统考模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】由题意，，
所以复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选：A.
【典例2】（2023秋·江苏苏州·高三统考开学考试）已知复数z满足（其中为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，
复数z在复平面上对应的点为，位于第四象限.故选：D.
四、虚数单位i的乘方
计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq \f(1－i,1＋i)＝－1，eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1,i)＝－i.
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知i为虚数单位，则= .
【答案】-1
【解析】，，
且，，
由于，故.
故答案为：
【典例2】（2023秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）若，其中是虚数单位，则 ．
【答案】
【解析】由，则，
所以，
则.
故答案为：
五、复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法：
= 1 \* GB3 ①当∆≥0时，x=−b±b2−4ac2a = 2 \* GB3 ②当∆<0时，x=−b±−(b2−4ac)i2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解。
【典例1】（2023·重庆·统考三模）设，是方程在复数范围内的两个解，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由方程得，由求根公式得根为，
不妨设，，，A错误；
，B错误；
，C错误；
令，得或，
所以，也是方程的两个根，所以D正确.故选：D.
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）已知是关于的方程的一个根，其中，为实数，则 .
【答案】
【解析】因为是关于的方程的一个根，
所以也是关于的方程的一个根，
所以且，
所以，，，
所以.
故答案为：
六、复数的代数式与三角式互化
将复数z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式z=r(csθ+isinθ)时，要注意以下两点：
（1）r=a2+b2，
（2）csθ=ar，sinθ=br，其中θ终边所在象限与点(a,b)所在象限相同，
当a=0，b>0时，arg z=π2
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知为虚数单位，，则下列选项不是的三角形式的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】由，
所以，
所以A、B、C不对，D对.故选：ABC
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式和它的辐角分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由题意可知，
又，
则
，
可知对应的坐标为，则它的辐角主值为，
故可以作为复数的辐角的是，，
当时，.故选：BD.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，令，
则，所以，
因为，所以，
所以的三角形式是.故选：D.
易错点1 忽视复数是纯虚数的充要条件
点拨：对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数为纯虚数，往往容易忽略虚部不等于0.
【典例1】（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考开学考试）若为纯虚数，则复数的虚部为 .
【答案】
【解析】由复数，
因为复数为纯虚数，可得，解得，
所以，所以复数的虚部为.
故答案为：.
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）i是虚数单位，若复数为纯虚数，则 ．
【答案】
【解析】,
所以，所以.
故答案为：.
易错点2 错误的理解复数比大小
点拨：两个复数不能直接比大小，但如果成立，等价于。
【典例1】（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知复数（为虚数单位），若，则实数的值为 .
【答案】3
【解析】复数（为虚数单位），，
则，解得.
故答案为：3.
【典例2】（2023秋·天津南开·高三崇化中学校考期末）已知为虚数单位，若复数，则实数的值为 ．
【答案】-2
【解析】，
由，所以复数为实数，则，，
此时，满足.
故答案为：-2
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若，且，求实数x的取值范围．
【答案】
【解析】由题意知，可得，解得，
当时，可得，此时满足，
所以实数x的取值范围.
易错点3 错误的惯性思维理解复数的模
点拨：对复数模长的理解错误，复数的模长计算与实数不同，尤其要注意模长性质的应用。
【典例1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：由已知得，
．
法二：由已知得，故，即．
.故选：B．
【典例2】（2023·江苏淮安·统考模拟预测）设复数，（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
所以
，
所以
.故选：A复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复数的模
向量OZ―→的模叫做复数z＝a＋bi的模，
记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)