最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第04讲 指数与指数函数（练透）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第04讲 指数与指数函数
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（ ）
A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】D
【解析】由向右平移个单位，则.
故选：D
2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）某款电子产品的售价（万元/件）与上市时间（单位：月）满足函数关系（a，b为常数，且），若上市第2个月的售价为2.8万元，第4个月的售价为2.64万元，那么在上市第1个月时，该款电子产品的售价约为（ ）（参考数据：）
A．3.016万元B．2.894万元C．3.048万元D．2.948万元
【答案】B
【解析】由题得，，得，解得或，
当时，，不合题意舍去，
当时，，则，所以，
当时，，
所以在上市第1个月时，该款电子产品的售价约为2.894万元．
故选：B．
3．（2023·河北石家庄·统考三模）已知函数同时满足性质：①；②对于，，则函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由函数奇偶性的定义，若函数满足，则函数为奇函数，
由函数单调性的定义，若函数满足，，则函数在区间上单调递增，
选项中四个函数定义域均为，，都有
对于A，，故为奇函数，满足性质①，
∵与均在上单调递增，∴在上单调递增，满足性质②；
对于B，由指数函数的性质，为非奇非偶函数，在上单调递减，性质①，②均不满足；
对于C，，故为奇函数，满足性质①，
令，，解得，，
∴的单调递增区间为，，故在不单调，不满足性质②；
对于D，由幂函数的性质，为偶函数，在区间单调递增，不满足性质①，满足性质②.
故选：A.
4．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为偶函数
【答案】B
【解析】方法一：因为，所以，
所以函数关于对称，将的函数图象向左平移个单位，关于轴对称，
即为偶函数.
方法二：因为，，
则，所以为偶函数；
又，故，，
所以，，故为非奇非偶函数；
又，故，，
所以，，故为非奇非偶函数；
又，故，，
所以，，故为非奇非偶函数.
故选：B
5．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）已知函数，则对任意非零实数x，有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数，，
则，显然，且，AB错误；
，D正确，C错误.
故选：D
6．（2023·江西新余·统考二模）钟灵大道是连接新余北站和新余城区的主干道，是新余对外交流的门户之一，而仰天岗大桥就是这一条主干道的起点，其桥拱曲线形似悬链线，桥型优美，被广大市民们美称为“彩虹桥”，是我市的标志性建筑之一，函数解析式为，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．，为奇函数
B．，在上单调递增
C．，在上单调递增
D．，有最小值1
【答案】B
【解析】由题意易得定义域为R，，即为偶函数，
故A错误；
令，则且随增大而增大，
此时，由对勾函数的单调性得单调递增，
根据复合函数的单调性原则得在上单调递增，故B正确；
结合A项得在上单调递减，故C错误；
结合B项及对勾函数的性质得，故D错误.
故选：B.
7．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】令，则，即，
令，，则，又，则，
不妨取任意正数，
，
因为，所以，即，所以在区间上单调递增，
又是定义在上的奇函数，故在区间上单调递增，
令，则，
令，，则，
∴，
又因为，即，由和，结合函数单调性可以得到或，
故选：B.
8．（2023·北京丰台·统考二模）已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】对于A，易知，，
所以，所以，错误；
对于B，因为，所以，
由知，错误；
对于C，，，
虽然，但是，
故对，不恒成立，错误；
对于D，函数，
则，，
因为，所以，所以，
所以，所以，
即，所以，
所以，
又，
所以，
所以，
即，
所以，正确.
故选：D
9．（多选题）（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A中，原式，所以A正确；
对于B中，原式，所以B正确；
对于C中，原式，所以C错误；
对于D中，原式，所以D正确.
故选：ABD.
10．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知，为导函数，，，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数B．当且时，恒成立
C．的值域为D．与曲线无交点
【答案】AD
【解析】对A，，，∴为偶函数，A对；
对B，，因为，
所以当，，B错；
对C，由可得，
∵，∴，∴，C错；
对D，由，方程无解，∴与曲线无交点，D对.
故选：AD
11．（多选题）（2023·安徽合肥·统考一模）已知，函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，
因此函数在上单调递增，而，函数图象为曲线，A可能；
当时，函数在上的图象是不含端点的射线，B可能；
当时，取，有，即函数图象与x轴有两个公共点，
又，随着的无限增大，函数呈爆炸式增长，其增长速度比的大，
因此存在正数，当时，恒成立，即，C可能，D不可能.
故选：ABC
12．（多选题）（2023·安徽合肥·统考一模）已知数列满足．若对，都有成立，则整数的值可能是（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】BC
【解析】由可得，
若对，都有成立，即，
整理可得，所以对都成立；
当为奇数时，恒成立，所以，即；
当为偶数时，恒成立，所以，即；
所以的取值范围是，则整数的值可能是.
故选：BC
13．（2023·全国·合肥一中校联考模拟预测）若，则当取得最小值时，_______.
【答案】
【解析】根据指数函数值域可知，
则依题意得，而，
当且仅当，即时等号成立，故.
故答案为：.
14．（2023·北京房山·统考二模）已知函数，给出两个性质：
①在上是增函数；
②对任意，．
写出一个同时满足性质①和性质②的函数解析式，_______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】取函数，由指数函数的单调性可知，
函数在上为增函数，满足性质①；
因为恒成立，所以恒成立，
所以对任意，，满足性质②.
故答案为：（答案不唯一）
15．（2023·上海杨浦·统考二模）由函数的观点，不等式的解集是______
【答案】
【解析】令，由于均为单调递增函数，因此为 上的单调递增函数，又，故的解为，
故答案为：
16．（2023·上海宝山·统考二模）已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【解析】由题意知若，即，
∴，
∴当时，；当 时，，
∵的解集为，
∴，，且的解集为，
∴与是的两根，
故，∴，
又，∴，
又，∴ ，
故答案为：
17．（2023·广东肇庆·校考模拟预测）已知函数是奇函数．
(1)求的值；
(2)已知，求的取值范围．
【解析】（1）函数的定义域为，又因为是奇函数，
则，解得；
经检验，故成立；
（2）因为
对任意，有
所以在上单调递增
又，所以
解得
18．（2023·陕西渭南·统考一模）计算下列各式的值.
(1)；
(2).
【解析】（1）；
（2）.
19．（2023·河南·校联考模拟预测）已知为定义在上的偶函数，，且．
(1)求函数，的解析式；
(2)求不等式的解集．
【解析】（1）由题意易知，，则，
即，
故为奇函数，故为奇函数，
又①，则，
故②，
由①②解得，；
（2）由，可得，
所以，即，
令，则，
解得，
所以，即，
所以，
解得，
故不等式的解集为．
20．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知函数且）为定义在R上的奇函数
(1)利用单调性的定义证明：函数在R上单调递增；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
【解析】（1）证明：由函数为奇函数，有，解得，
当时，，，符合函数为奇函数，可知符合题意．
设，有
，
由，有，有，故函数在上单调递增；
（2）由
．
（1）当时，不等式为恒成立，符合题意；
（2）当时，有，解得，
由上知实数的取值范围为；
（3）由，方程可化为，
若函数有且仅有两个零点，相当于方程有两个不相等的正根，
故有，即解得．
故实数的取值范围为．
21．（2023·云南昆明·安宁市第一中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若函数为奇函数，求实数m的值.
(2)当时，求的值.
【解析】（1）由定义域为R且为奇函数，则，可得，
所以，则满足，
所以.
（2）当时，令，则，
由（1）知为奇函数，则，
所以.
22．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）已知函数（为常数，且，）．
(1)当时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
(2)当为偶函数时，若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．
【解析】（1）当时，在上单调递增，
∴当时，，
对任意的都有成立，转化为恒成立，即对恒成立，
令，则恒成立，即，
由对勾函数的性质知：在上单调递增，故，
∴的取值范围是.
（2）当为偶函数时，对xR都有，即恒成立，即恒成立，
∴，解得，则，
此时，由可得：有实数解
令（当时取等号），则，
∴方程，即在上有实数解，而在上单调递增，
∴.
1．（2020·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
2．（2013·全国·高考真题）若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a 的取值范围是
A．（-∞，+∞）B．(-2, +∞)C．(0, +∞)D．（-1，+∞）
【答案】D
【解析】由题意知，存在正数，使，所以，而函数在上是增函数，所以，所以，故选D.
3．（2016·全国·高考真题）已知，，，则
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，，，
因为幂函数在R上单调递增，所以，
因为指数函数在R上单调递增，所以，
即.
故选：A.
4．（2014·陕西·高考真题）下了函数中，满足“”的单调递增函数是
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A选项：由，，得，所以A错误；B选项：由，，得；又函数是定义在上增函数，所以B正确；C选项：由，，得，所以C错误；D选项：函数是定义在上减函数，所以D错误；故选B.
考点：函数求值；函数的单调性.
5．（2017·全国·高考真题）设函数则满足的x的取值范围是____________.
【答案】
【解析】由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是.
6．（2015·山东·高考真题）已知函数 的定义域和值域都是 ，则_____________.
【答案】
【解析】若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解；
若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以.
考点：指数函数的性质.
7．（2013·湖南·高考真题）设函数，其中.
（1）设集合不能构成一个三角形的三条边，且.则所对应的的零点的取值集合为________.
（2）若是三角形的三条边，则下列结论正确的是________.
①.
②，使不能构成一个三角形的三条边长.
③若三角形是钝角三角形，则，使.
【答案】 ①②③
【解析】（1）依题意，不能构成一个三角形的三条边，
因为，所以，即，
此时令，，，
且，
即，当且仅当时取到.
所以所对应的的零点的取值集合为.
（2）若是三角形的三条边，则，，
对于①，，，
所以，.①正确.
对于②，不妨令，此时，不能构成一个三角形的三条边长. ②正确
对于③，，因为三角形是钝角三角形，为钝角.
由余弦定理可知，所以，故③正确.
故答案为：；①②③