资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩4页未读，
继续阅读
所属成套资源：【讲通练透】最新高考数学一轮复习（全国通用）
成套系列资料，整套一键下载
最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（练透）
展开
这是一份最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（练透），文件包含第04讲直线与圆圆与圆的位置关系练习原卷版docx、第04讲直线与圆圆与圆的位置关系练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·广东深圳·统考二模）若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
当最短时，直线，所以.
又，所以，
所以的方程为，即.
故选：D
2．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知圆：，直线：被圆截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】圆：的圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线：被圆截得的弦长为，
故选：C.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆的直径，若平面内一个动点与点的距离是它与点距离的倍，则的面积的最大值为（ ）
A．64B．12C．D．
【答案】D
【解析】以为原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，设，
因为，所以，
整理得，
所以点在以为圆心，以为半径的圆上，到直线的距离的最大值为，
因此的面积的最大值为.
故选：D
4．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若点是圆：上的任一点，直线：与轴、轴分别交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．8
【答案】C
【解析】令则，即，
令，则，即，
圆：，则设点，
当时取得最小值.
故选：C.
5．（2023·重庆·统考模拟预测）已知过抛物线焦点的直线与抛物线C交于A，B两点，且，圆，若抛物线C与圆交于P，Q两点，且，则线段的中点D的横坐标为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】圆过原点，则点P，Q之一为原点，不妨令点，设，
依题意，，又，解得，即，
则，解得，抛物线的焦点，准线方程为，
设，于是，而，
因此，所以线段的中点D的横坐标.
故选：B
6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）圆：与直线：交于、，当最小时，的值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】B
【解析】直线：，即，令，解得，
即直线恒过定点，又，所以点在圆内，
所以当时弦最小，因为，所以，即，解得.
故选：B
7．（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，O是原点，C是圆上一点，若，则a的值为（ ）．
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【解析】由条件可知，，
所以，则，
则，解得，
,
所以,
所以圆心到直线的距离，得.
故选：C
8．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【解析】圆的圆心，半径，直线的方程为：，
于是点到直线：的距离，而点在圆上，
因此点到直线距离的最大值为，又，
所以面积的最大值为.
故选：D
9．（2023·福建三明·统考三模）角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边不在坐标轴上，终边所在的直线与圆相交于、两点，当面积最大时（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
故当时，的面积取最大值，则，
所以，圆心到直线的距离为，
由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，其中，
圆的圆心为，则，解得，即，显然，
因此，.
故选：D.
10．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则经过函数的图象的对称中心的直线被圆截得的最短弦长为（ ）
A．10B．5C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
设，，
因为函数的定义域关于原点对称，
且，
所以函数为奇函数，由已知可得函数的最大值为，最小值为，
所以，故，
所以，
因为是奇函数，关于原点对称，
所以关于中心对称，
因为
则点在圆 的内部，
因为点到坐标原点的距离为，
所以所求最短弦长为 .
故选：D.
11．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）如图所示，该曲线W是由4个圆：，，，的一部分所构成，则下列叙述正确的是（ ）
A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2π
B．若圆与曲线W有8个交点，则
C．与的公切线方程为
D．曲线W上的点到直线的距离的最小值为4
【答案】ACD
【解析】曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，
所以其面积为，故A选项正确.
当时，交点为B，D，F，H；当时，交点为A，C，E，G；
当或时，没有交点；当时，交点个数为8，故B选项错误.
设与的公切线方程为，
由直线和圆相切的条件可得，
解得，（舍去），
则其公切线方程为，即，故C选项正确.
同理可得，的公切线方程为，
则两平行线的距离，故D选项正确.
故选：ACD.
12．（多选题）（2023·湖南·校联考二模）已知点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．两圆外离B．的最大值为9
C．的最小值为1D．两个圆的一条公切线方程为
【答案】ABC
【解析】圆的圆心坐标，半径，
圆，即的圆心坐标，半径，
所以圆心距，
因为，所以两圆外离．故A正确；
因为在圆上，在圆上，所以，故B、C正确；
因为圆心到直线的距离，所以不是两圆公切线，故D错误；
故选：ABC．
13．（多选题）（2023·湖南·校联考模拟预测）已知圆，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．直线能表示平面直角坐标系内每一条直线
C．对任意实数，直线都与圆相交
D．直线被圆截得的弦长的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A：直线的方程可化为，
联立，解得
所以直线恒过定点，∴A正确；
对于B：由A可知，直线不能表示直线，也不能表示不过点的直线，∴B错误；
对于C，因为，故直线恒过圆内一点，所以直线与圆相交，∴C正确；
对于D，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，因为，
所以最短弦长为，∴D正确．
故选：ACD．
14．（多选题）（2023·江苏·统考模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）．
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于，的两点，，使得
C．当，，三点不共线时，射线是的角平分线
D．在上存在点，使得
【答案】BC
【解析】对于A，在平面直角坐标系中，，，点满足，
设，则，化简得，
即，所以A错误；
对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得，
设，，则，
化简得，
由轨迹的方程为，可得，，
解得，或，（舍去），所以B正确；
对于C，当，，三点不共线时，，
可得射线是的角平分线，所以C正确；
对于D，若在上存在点，使得，可设，
则，化简得，
与联立，方程组无解，故不存在点，所以D错误．
故选：BC．
15．（多选题）（2023·全国·模拟预测）过圆上一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（ ）.
A．
B．
C．
D．直线AB与圆相切
【答案】BCD
【解析】由题意，作图如下：
设圆与圆的圆心为，则，，
因为与圆相切，所以，
在中，，易知，所以.
又，所以，故A错误，B、C正确.
故与交于点，由与圆相切，则，
由，则，易知，
在中，，
又圆的半径为，所以直线与圆相切，故D正确.
故选：BCD.
16．（多选题）（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．存在切点使得为直角B．直线过定点
C．的取值范围是D．面积的取值范围是
【答案】BD
【解析】对于A，圆的上顶点为，即点，若为直角，则为直径，
显然同一直径不能同时垂直两条相交直线，所以不可能为直角，故A错误；
同理C选项的数量积也取不到，所以C错误；
对于B,设，
因为，，，
则的方程为：，因为
化简可得：，
同理的方程为：，
而在切线，上，所以
，，
因为在直线
故直线的方程为，令，，
即过定点，故B正确；
对于D，圆心到直线的距离平方为，
线段一半的平方为：，
点到直线的距离的平方为：，
所以面积的平方为：
①，因为，
所以由对勾函数的性质可知当时，①的分母取得最小值，
所以面积平方的最大值，
故面积的最大值为，故面积的取值范围是，故D正确.
故选：BD.
17．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知圆与圆：相内切，则实数m的值为 ．
【答案】0或2
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
所以两圆的圆心距，
又因为两圆内切，有或．
故答案为：0或2.
18．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知圆，若点在圆上，并且点到直线的距离为，则满足条件的点的个数为 .
【答案】3
【解析】设，由点P到直线的距离为，得
两边平方整理得到①
因为在圆上，所以，即②
联立①②得，
解得或，
当时，由①②可得，解得或，即或
当时，由①②可得，解得或，即或
综上，满足条件的点P的个数为.
故答案为：3.
19．（2023·河南开封·统考三模）已知点M在圆上，直线与x轴、y轴的交点分别A、B，则的最小值为 .
【答案】
【解析】中，令得，令得，
故，．
其中，
设，点M在圆上运动时，始终有，
设，则有，
又有，可得，
即，所以，故，
∴．
故答案为：
20．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考三模）已知的圆心在曲线上，且与直线相切，则的面积的最小值为 .
【答案】
【解析】因为的圆心在曲线上，故设,
因为与直线相切,
所以到直线的距离即为半径，
即，当且仅当时等号成立，
所以的面积的最小值为.
故答案为:.
21．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）圆（为坐标原点）与直线相切，与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，若，则直线的纵截距的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意得：圆心到直线的距离为圆的半径，
，所以圆的标准方程为：，
设直线的方程为：，与联立，消去得：，
设直线与圆的交点，，，，
由△，得，，①，
因为，所以，
又，，所以②，
由①②得，满足，即，
故直线纵截距的取值范围是，
故答案为：.
22．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）中，是边上的点，，且．
(1)若，求面积的最大值；
(2)若内是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由面积公式可得：
，
，
因为，故，
由可得即，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，设，
则，整理得到：，
即点A的轨迹是以圆心，为半径的圆，
故的边上的高的最大值为，故其面积的最大值为.
（2）因为，故，又，故，
故为直角三角形，且，
假设内存在点，使得，
法一：如图，设，
则，故，
在中，由正弦定理可得，即，
故，故，
因为为锐角，故，
故存在且．
法二：如图，设，则，故，
同理，故，
而，故，
在中，由余弦定理可得：，
整理得到：，
所以，
整理得到：，解得或，
但为锐角，故，故，
故存在且．
1．（2022•上海）设集合，，
①存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧；
②存在直线，使得集合中存在无数点在上；
A．①成立②成立B．①成立②不成立
C．①不成立②成立D．①不成立②不成立
【答案】
【解析】当时，集合，，，
当时，集合，，，
表示圆心为，半径为的圆，
圆的圆心在直线上，半径单调递增，
相邻两个圆的圆心距，相邻两个圆的半径之和为，
因为有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，
当时，同的情况，故存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧，故①正确，
若直线斜率不存在，显然不成立，
设直线，若考虑直线与圆的焦点个数，
，，
给定，，当足够大时，均有，
故直线只与有限个圆相交，②错误．
故选：．
2．（2021•北京）已知直线为常数）与圆交于，，当变化时，若的最小值为2，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】圆，直线，
直线被圆所截的弦长的最小值为2，设弦长为，
则圆心到直线的距离，
当弦长取得最小值2时，则有最大值，
又，因为，则，
故的最大值为，解得．
故选：．
3．（2021•全国）已知点在圆上，则到直线距离的最小值为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】的圆心到直线的距离等于，
故圆上的动点到直线的距离的最小值为．
故选：．
4．（2020•新课标Ⅲ）若直线与曲线和圆都相切，则的方程为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】设直线与曲线相切于，，
则由可知，曲线在点处的切线方程为，即，
该方程即为直线的方程，
直线与圆相切，
，解得，
故直线的方程为．
故选：．
5．（2020•新课标Ⅰ）已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【解析】由圆的方程可得圆心坐标，半径；
设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长，
当最大时弦长最小，当直线与所在的直线垂直时最大，这时，
所以最小的弦长，
故选：．
6．（2020•新课标Ⅰ）已知，直线，为上的动点．过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】化圆为，
圆心，半径．
．
要使最小，则需最小，此时与直线垂直．
直线的方程为，即，
联立，解得．
则以为直径的圆的方程为．
联立，相减可得直线的方程为．
故选：．
7．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）已知点在圆上，点，，则
A．点到直线的距离小于10B．点到直线的距离大于2
C．当最小时，D．当最大时，
【答案】
【解析】，，
过、的直线方程为，即，
圆的圆心坐标为，
圆心到直线的距离，
点到直线的距离的范围为，，
，，，
点到直线的距离小于10，但不一定大于2，故正确，错误；
如图，当过的直线与圆相切时，满足最小或最大点位于时最小，位于时最大），
此时，
，故正确．
故选：．
8．（多选题）（2021•新高考Ⅱ）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是
A．若点在圆上，则直线与圆相切
B．若点在圆外，则直线与圆相离
C．若点在直线上，则直线与圆相切
D．若点在圆内，则直线与圆相离
【答案】
【解析】中，若在圆上，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，即正确；
中，点在圆外，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以不正确；
中，点在直线上，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，所以正确；
中，点在圆内，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，所以正确；
故选：．
9．（2023•天津）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 ．
【答案】6．
【解析】如图，
由题意，不妨设直线方程为，即，
由圆的圆心到的距离为，
得，解得，
则直线方程为，
联立，得或，即．
可得，解得．
故答案为：6．
10．（2023•新高考Ⅱ）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 ．
【答案】2
【解析】由圆，可得圆心坐标为，半径为，
因为的面积为，可得，
解得，设所以，
可得，，或，
或，
圆心到直线的距离或，
或，
解得或．
故答案为：2（或或或．
11．（2022•新高考Ⅱ）设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 ．
【答案】，．
【解析】点，，，所以直线关于对称的直线的斜率为：，所以对称直线方程为：，即：，
的圆心，半径为1，
所以，得，解得，．
故答案为：，．
12．（2022•新高考Ⅰ）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
【答案】（填，都正确）．
【解析】圆的圆心坐标为，半径，
圆的圆心坐标为，半径，
如图：
，两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．
，的斜率为，设直线，即，
由，解得（负值舍去），则；
由图可知，；与关于直线对称，
联立，解得与的一个交点为，在上取一点，
该点关于的对称点为，，则，解得对称点为，．
，则，即．
与圆和都相切的一条直线的方程为：
（填，都正确）．
故答案为：（填，都正确）．
13．（2022•天津）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
【答案】2．
【解析】圆心到直线的距离，
又直线与圆相交所得的弦长为，
，
，
解得．
故答案为：2．
14．（2021•天津）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ．
【答案】
【解析】解假设在轴的上方，斜率为的直线与轴交于，
则可得，所以，如图所示，由圆的方程可得，圆的半径为，
由于为切点，所以，所以，
故答案为：．
15．（2020•天津）已知直线和圆相交于，两点．若，则的值为 ．
【答案】5
【解析】根据题意，圆的圆心为，半径为；
则圆心到直线的距离，
若，则有，
故；
故答案为：5
16．（2020•浙江）已知直线与圆和圆均相切，则 ， ．
【答案】；
【解析】由条件得，，，，
因为直线与，都相切，
故有，，
则有，故可得，整理得，
因为，所以，即，
代入，解得，则，
故答案为：；．
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·广东深圳·统考二模）若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
当最短时，直线，所以.
又，所以，
所以的方程为，即.
故选：D
2．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知圆：，直线：被圆截得的弦长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】圆：的圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线：被圆截得的弦长为，
故选：C.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆的直径，若平面内一个动点与点的距离是它与点距离的倍，则的面积的最大值为（ ）
A．64B．12C．D．
【答案】D
【解析】以为原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，设，
因为，所以，
整理得，
所以点在以为圆心，以为半径的圆上，到直线的距离的最大值为，
因此的面积的最大值为.
故选：D
4．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若点是圆：上的任一点，直线：与轴、轴分别交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．8
【答案】C
【解析】令则，即，
令，则，即，
圆：，则设点，
当时取得最小值.
故选：C.
5．（2023·重庆·统考模拟预测）已知过抛物线焦点的直线与抛物线C交于A，B两点，且，圆，若抛物线C与圆交于P，Q两点，且，则线段的中点D的横坐标为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】圆过原点，则点P，Q之一为原点，不妨令点，设，
依题意，，又，解得，即，
则，解得，抛物线的焦点，准线方程为，
设，于是，而，
因此，所以线段的中点D的横坐标.
故选：B
6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）圆：与直线：交于、，当最小时，的值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】B
【解析】直线：，即，令，解得，
即直线恒过定点，又，所以点在圆内，
所以当时弦最小，因为，所以，即，解得.
故选：B
7．（2023·北京·北京八十中校考模拟预测）已知直线与圆交于A，B两点，O是原点，C是圆上一点，若，则a的值为（ ）．
A．1B．C．2D．4
【答案】C
【解析】由条件可知，，
所以，则，
则，解得，
,
所以,
所以圆心到直线的距离，得.
故选：C
8．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【解析】圆的圆心，半径，直线的方程为：，
于是点到直线：的距离，而点在圆上，
因此点到直线距离的最大值为，又，
所以面积的最大值为.
故选：D
9．（2023·福建三明·统考三模）角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边不在坐标轴上，终边所在的直线与圆相交于、两点，当面积最大时（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
故当时，的面积取最大值，则，
所以，圆心到直线的距离为，
由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，即，其中，
圆的圆心为，则，解得，即，显然，
因此，.
故选：D.
10．（2023·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则经过函数的图象的对称中心的直线被圆截得的最短弦长为（ ）
A．10B．5C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
设，，
因为函数的定义域关于原点对称，
且，
所以函数为奇函数，由已知可得函数的最大值为，最小值为，
所以，故，
所以，
因为是奇函数，关于原点对称，
所以关于中心对称，
因为
则点在圆 的内部，
因为点到坐标原点的距离为，
所以所求最短弦长为 .
故选：D.
11．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）如图所示，该曲线W是由4个圆：，，，的一部分所构成，则下列叙述正确的是（ ）
A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2π
B．若圆与曲线W有8个交点，则
C．与的公切线方程为
D．曲线W上的点到直线的距离的最小值为4
【答案】ACD
【解析】曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，
所以其面积为，故A选项正确.
当时，交点为B，D，F，H；当时，交点为A，C，E，G；
当或时，没有交点；当时，交点个数为8，故B选项错误.
设与的公切线方程为，
由直线和圆相切的条件可得，
解得，（舍去），
则其公切线方程为，即，故C选项正确.
同理可得，的公切线方程为，
则两平行线的距离，故D选项正确.
故选：ACD.
12．（多选题）（2023·湖南·校联考二模）已知点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．两圆外离B．的最大值为9
C．的最小值为1D．两个圆的一条公切线方程为
【答案】ABC
【解析】圆的圆心坐标，半径，
圆，即的圆心坐标，半径，
所以圆心距，
因为，所以两圆外离．故A正确；
因为在圆上，在圆上，所以，故B、C正确；
因为圆心到直线的距离，所以不是两圆公切线，故D错误；
故选：ABC．
13．（多选题）（2023·湖南·校联考模拟预测）已知圆，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．直线能表示平面直角坐标系内每一条直线
C．对任意实数，直线都与圆相交
D．直线被圆截得的弦长的最小值为
【答案】ACD
【解析】对于A：直线的方程可化为，
联立，解得
所以直线恒过定点，∴A正确；
对于B：由A可知，直线不能表示直线，也不能表示不过点的直线，∴B错误；
对于C，因为，故直线恒过圆内一点，所以直线与圆相交，∴C正确；
对于D，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，因为，
所以最短弦长为，∴D正确．
故选：ACD．
14．（多选题）（2023·江苏·统考模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满足．设点的轨迹为，则（ ）．
A．轨迹的方程为
B．在轴上存在异于，的两点，，使得
C．当，，三点不共线时，射线是的角平分线
D．在上存在点，使得
【答案】BC
【解析】对于A，在平面直角坐标系中，，，点满足，
设，则，化简得，
即，所以A错误；
对于B，假设在轴上存在异于，的两点，，使得，
设，，则，
化简得，
由轨迹的方程为，可得，，
解得，或，（舍去），所以B正确；
对于C，当，，三点不共线时，，
可得射线是的角平分线，所以C正确；
对于D，若在上存在点，使得，可设，
则，化简得，
与联立，方程组无解，故不存在点，所以D错误．
故选：BC．
15．（多选题）（2023·全国·模拟预测）过圆上一点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则（ ）.
A．
B．
C．
D．直线AB与圆相切
【答案】BCD
【解析】由题意，作图如下：
设圆与圆的圆心为，则，，
因为与圆相切，所以，
在中，，易知，所以.
又，所以，故A错误，B、C正确.
故与交于点，由与圆相切，则，
由，则，易知，
在中，，
又圆的半径为，所以直线与圆相切，故D正确.
故选：BCD.
16．（多选题）（2023·江苏徐州·校考模拟预测）已知圆的方程为，点，点是轴上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．存在切点使得为直角B．直线过定点
C．的取值范围是D．面积的取值范围是
【答案】BD
【解析】对于A，圆的上顶点为，即点，若为直角，则为直径，
显然同一直径不能同时垂直两条相交直线，所以不可能为直角，故A错误；
同理C选项的数量积也取不到，所以C错误；
对于B,设，
因为，，，
则的方程为：，因为
化简可得：，
同理的方程为：，
而在切线，上，所以
，，
因为在直线
故直线的方程为，令，，
即过定点，故B正确；
对于D，圆心到直线的距离平方为，
线段一半的平方为：，
点到直线的距离的平方为：，
所以面积的平方为：
①，因为，
所以由对勾函数的性质可知当时，①的分母取得最小值，
所以面积平方的最大值，
故面积的最大值为，故面积的取值范围是，故D正确.
故选：BD.
17．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知圆与圆：相内切，则实数m的值为 ．
【答案】0或2
【解析】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
所以两圆的圆心距，
又因为两圆内切，有或．
故答案为：0或2.
18．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知圆，若点在圆上，并且点到直线的距离为，则满足条件的点的个数为 .
【答案】3
【解析】设，由点P到直线的距离为，得
两边平方整理得到①
因为在圆上，所以，即②
联立①②得，
解得或，
当时，由①②可得，解得或，即或
当时，由①②可得，解得或，即或
综上，满足条件的点P的个数为.
故答案为：3.
19．（2023·河南开封·统考三模）已知点M在圆上，直线与x轴、y轴的交点分别A、B，则的最小值为 .
【答案】
【解析】中，令得，令得，
故，．
其中，
设，点M在圆上运动时，始终有，
设，则有，
又有，可得，
即，所以，故，
∴．
故答案为：
20．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考三模）已知的圆心在曲线上，且与直线相切，则的面积的最小值为 .
【答案】
【解析】因为的圆心在曲线上，故设,
因为与直线相切,
所以到直线的距离即为半径，
即，当且仅当时等号成立，
所以的面积的最小值为.
故答案为:.
21．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）圆（为坐标原点）与直线相切，与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，若，则直线的纵截距的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意得：圆心到直线的距离为圆的半径，
，所以圆的标准方程为：，
设直线的方程为：，与联立，消去得：，
设直线与圆的交点，，，，
由△，得，，①，
因为，所以，
又，，所以②，
由①②得，满足，即，
故直线纵截距的取值范围是，
故答案为：.
22．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）中，是边上的点，，且．
(1)若，求面积的最大值；
(2)若内是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由面积公式可得：
，
，
因为，故，
由可得即，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，设，
则，整理得到：，
即点A的轨迹是以圆心，为半径的圆，
故的边上的高的最大值为，故其面积的最大值为.
（2）因为，故，又，故，
故为直角三角形，且，
假设内存在点，使得，
法一：如图，设，
则，故，
在中，由正弦定理可得，即，
故，故，
因为为锐角，故，
故存在且．
法二：如图，设，则，故，
同理，故，
而，故，
在中，由余弦定理可得：，
整理得到：，
所以，
整理得到：，解得或，
但为锐角，故，故，
故存在且．
1．（2022•上海）设集合，，
①存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧；
②存在直线，使得集合中存在无数点在上；
A．①成立②成立B．①成立②不成立
C．①不成立②成立D．①不成立②不成立
【答案】
【解析】当时，集合，，，
当时，集合，，，
表示圆心为，半径为的圆，
圆的圆心在直线上，半径单调递增，
相邻两个圆的圆心距，相邻两个圆的半径之和为，
因为有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，
当时，同的情况，故存在直线，使得集合中不存在点在上，而存在点在两侧，故①正确，
若直线斜率不存在，显然不成立，
设直线，若考虑直线与圆的焦点个数，
，，
给定，，当足够大时，均有，
故直线只与有限个圆相交，②错误．
故选：．
2．（2021•北京）已知直线为常数）与圆交于，，当变化时，若的最小值为2，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】圆，直线，
直线被圆所截的弦长的最小值为2，设弦长为，
则圆心到直线的距离，
当弦长取得最小值2时，则有最大值，
又，因为，则，
故的最大值为，解得．
故选：．
3．（2021•全国）已知点在圆上，则到直线距离的最小值为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】的圆心到直线的距离等于，
故圆上的动点到直线的距离的最小值为．
故选：．
4．（2020•新课标Ⅲ）若直线与曲线和圆都相切，则的方程为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】设直线与曲线相切于，，
则由可知，曲线在点处的切线方程为，即，
该方程即为直线的方程，
直线与圆相切，
，解得，
故直线的方程为．
故选：．
5．（2020•新课标Ⅰ）已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【解析】由圆的方程可得圆心坐标，半径；
设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长，
当最大时弦长最小，当直线与所在的直线垂直时最大，这时，
所以最小的弦长，
故选：．
6．（2020•新课标Ⅰ）已知，直线，为上的动点．过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】化圆为，
圆心，半径．
．
要使最小，则需最小，此时与直线垂直．
直线的方程为，即，
联立，解得．
则以为直径的圆的方程为．
联立，相减可得直线的方程为．
故选：．
7．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）已知点在圆上，点，，则
A．点到直线的距离小于10B．点到直线的距离大于2
C．当最小时，D．当最大时，
【答案】
【解析】，，
过、的直线方程为，即，
圆的圆心坐标为，
圆心到直线的距离，
点到直线的距离的范围为，，
，，，
点到直线的距离小于10，但不一定大于2，故正确，错误；
如图，当过的直线与圆相切时，满足最小或最大点位于时最小，位于时最大），
此时，
，故正确．
故选：．
8．（多选题）（2021•新高考Ⅱ）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是
A．若点在圆上，则直线与圆相切
B．若点在圆外，则直线与圆相离
C．若点在直线上，则直线与圆相切
D．若点在圆内，则直线与圆相离
【答案】
【解析】中，若在圆上，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，即正确；
中，点在圆外，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以不正确；
中，点在直线上，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相切，所以正确；
中，点在圆内，则，而圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，所以正确；
故选：．
9．（2023•天津）过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 ．
【答案】6．
【解析】如图，
由题意，不妨设直线方程为，即，
由圆的圆心到的距离为，
得，解得，
则直线方程为，
联立，得或，即．
可得，解得．
故答案为：6．
10．（2023•新高考Ⅱ）已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 ．
【答案】2
【解析】由圆，可得圆心坐标为，半径为，
因为的面积为，可得，
解得，设所以，
可得，，或，
或，
圆心到直线的距离或，
或，
解得或．
故答案为：2（或或或．
11．（2022•新高考Ⅱ）设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 ．
【答案】，．
【解析】点，，，所以直线关于对称的直线的斜率为：，所以对称直线方程为：，即：，
的圆心，半径为1，
所以，得，解得，．
故答案为：，．
12．（2022•新高考Ⅰ）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
【答案】（填，都正确）．
【解析】圆的圆心坐标为，半径，
圆的圆心坐标为，半径，
如图：
，两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．
，的斜率为，设直线，即，
由，解得（负值舍去），则；
由图可知，；与关于直线对称，
联立，解得与的一个交点为，在上取一点，
该点关于的对称点为，，则，解得对称点为，．
，则，即．
与圆和都相切的一条直线的方程为：
（填，都正确）．
故答案为：（填，都正确）．
13．（2022•天津）若直线与圆相交所得的弦长为，则 ．
【答案】2．
【解析】圆心到直线的距离，
又直线与圆相交所得的弦长为，
，
，
解得．
故答案为：2．
14．（2021•天津）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ．
【答案】
【解析】解假设在轴的上方，斜率为的直线与轴交于，
则可得，所以，如图所示，由圆的方程可得，圆的半径为，
由于为切点，所以，所以，
故答案为：．
15．（2020•天津）已知直线和圆相交于，两点．若，则的值为 ．
【答案】5
【解析】根据题意，圆的圆心为，半径为；
则圆心到直线的距离，
若，则有，
故；
故答案为：5
16．（2020•浙江）已知直线与圆和圆均相切，则 ， ．
【答案】；
【解析】由条件得，，，，
因为直线与，都相切，
故有，，
则有，故可得，整理得，
因为，所以，即，
代入，解得，则，
故答案为：；．
相关试卷
最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第04讲 指数与指数函数（练透）： 这是一份最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第04讲 指数与指数函数（练透），文件包含第04讲指数与指数函数练习原卷版docx、第04讲指数与指数函数练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（九大题型）（讲通）： 这是一份最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第04讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（九大题型）（讲通），文件包含第04讲直线与圆圆与圆的位置关系九大题型讲义原卷版docx、第04讲直线与圆圆与圆的位置关系九大题型讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共72页， 欢迎下载使用。
最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第04讲 直线、平面垂直的判定与性质（练透）： 这是一份最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第04讲 直线、平面垂直的判定与性质（练透），文件包含第04讲直线平面垂直的判定与性质练习原卷版docx、第04讲直线平面垂直的判定与性质练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
