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最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第03讲 等式与不等式的性质（五大题型）（讲通）
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这是一份最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第03讲 等式与不等式的性质（五大题型）（讲通），文件包含第03讲等式与不等式的性质五大题型讲义原卷版docx、第03讲等式与不等式的性质五大题型讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第03讲 等式与不等式的性质
目录
1、比较大小基本方法
2、不等式的性质
（1）基本性质
【解题方法总结】
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．
题型一：不等式性质的应用
【解题方法总结】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、充分利用基本初等函数性质进行判断．
3、小题可以用特殊值法做快速判断．
例1．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，则下列关系式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】因为，所以或，
当时，，A不成立，，，
由，故，当且仅当，即时，等号成立，
因为，故等号不成立，故；
当时，，，
不妨设，则，故此时C不成立，
由，故，当且仅当，即时，等号成立，
因为，故等号不成立，故；
综上：BD一定成立.
故选：BD
例2．（多选题）（2023·山东·校联考二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】对于A，，，，A错误；
对于B，，，，，，，
，即，B正确；
对于C，，，，即，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC.
例3．（多选题）（2023·全国·校联考模拟预测）若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】∵，则，，∴，即，A正确；
例如，，，，， 显然，B错误；
由得，，∴，即，C正确；
易知，，，
，
∴，D正确；
故选：ACD．
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
【解题方法总结】
比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：
若，则；；；
若，则；；．
例4．（2023·全国·高三专题练习）若,则将从小到大排列为______.
【答案】
【解析】，不妨令，
则有，
有，
即.
故答案为：.
例5．（2023·全国·高三专题练习）如果a>b，给出下列不等式：
①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是________．
【答案】②⑥
【解析】令，，排除①，，排除③选项，，排除⑤.当时，排除④.由于幂函数为上的递增函数，故，②是一定成立的.由于，故.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.
例6．（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；
（2）设x，，比较与的大小.
【解析】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，从而得.
又a＞b＞0，所以.
（2）因为，当且仅当x＝y时等号成立，
所以当x＝y时，；
当时，.
例7．（2023·全国·高三专题练习）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
【解析】（1）由题意，
，
所以．
（2）证明：因为，所以，即，
而，所以，则．得证．
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【解题方法总结】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系．
例8．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
【答案】ABD
【解析】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；
因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；
因为，所以，则，故C错误；
因为，所以，则，故D正确.
故选：ABD.
例9．（2023·广东·高三校联考期末）已知，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，所以，
则，又，
所以，，由不等式的性质得：，
则的取值范围为.
故选：D.
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
由，得.
故选：A.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】当时满足：且，
，即，进而，解得．
所以或，
，
令，
，
由于
所以在单调递增，在单调递减，
当时，，当时，，
所以
故答案为：．
题型四：不等式的综合问题
【解题方法总结】
综合利用等式与不等式的性质
例12．（多选题）（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知，，且满足，．则的取值可以为（ ）
A．10B．11C．12D．20
【答案】CD
【解析】因为，，
所以， ，
故，
当，且，而时，即等号不能同时成立，
所以，故AB错误，CD正确.
故选：CD.
例13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】由得，，由于，所以，
所以，因此且，故A正确，
，当时，，由于，当且仅当时，等号成立，故，当时，，所以，故B正确，
，当且仅当时取等号，故，所以C错误，
，当且仅当取等号，又，所以或者等号成立，
故选：ABD
例14．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则（ ）
A．B．
C．D．的最小值为1
【答案】BC
【解析】由可知，，由不等式的性质可知，则．
选项A：因为对数函数为减函数，，所以，故A错误；
选项B：由函数的单调性可知，故B正确；
选项C：因为，所以，故C正确；
选项D：，
当且仅当，即时取得等号，显然等号不成立，故D错误．
故选：BC.
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a的最大值是__．
【答案】
【解析】∵a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，
∴b+c＝﹣a，b2+c2＝1﹣a2，
∴
∴b、c是方程：x2+ax+a20的两个实数根，
∴
∴
即
∴
即a的最大值为
故答案为：．
题型五：糖水不等式
【解题方法总结】
糖水不等式：若，，则一定有，或者．
例16．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意可知，正确；
对于B，因为，所以，正确；
对于C，即，错误；
对于D，，正确.
故选：ABD
例17．（2023·山西·统考一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，．据此可以判断两个分数的大小关系，比如_________（填“＞”“＜”）．
【答案】>
【解析】令，则，
令，则，
所以，，
根据题设知：.
故答案为：>
例18．（2023·福建·高三校联考阶段练习）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出___________(用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式___________.
【答案】；
【解析】空1：因为，所以可得：
；
空2：由空1可得：，即.
故答案为：；
1．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
2．（2019·全国·高考真题）若a>b，则（ ）
A．ln(a−b)>0B．3a<3b
C．a3−b3>0D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
3．（2017·山东·高考真题）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，且，所以
设，则，所以单调递增，
所以 ，所以选B.
考点要求
考题统计
考情分析
1．掌握等式性质．
2．会比较两个数的大小．
3．理解不等式的性质，并能简单应用．
2022年II卷第12题，5分
高考对不等式的性质的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，单独考查的题目虽然不多，但不等式的性质几乎可以渗透到高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，所以它不仅是数学中的不 可或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容．
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
或
或
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向
可加性
同向同正
可乘性
可乘方性
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第03讲 等式与不等式的性质
目录
1、比较大小基本方法
2、不等式的性质
（1）基本性质
【解题方法总结】
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．
题型一：不等式性质的应用
【解题方法总结】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、充分利用基本初等函数性质进行判断．
3、小题可以用特殊值法做快速判断．
例1．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，则下列关系式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】因为，所以或，
当时，，A不成立，，，
由，故，当且仅当，即时，等号成立，
因为，故等号不成立，故；
当时，，，
不妨设，则，故此时C不成立，
由，故，当且仅当，即时，等号成立，
因为，故等号不成立，故；
综上：BD一定成立.
故选：BD
例2．（多选题）（2023·山东·校联考二模）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】对于A，，，，A错误；
对于B，，，，，，，
，即，B正确；
对于C，，，，即，C正确；
对于D，，D错误.
故选：BC.
例3．（多选题）（2023·全国·校联考模拟预测）若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】∵，则，，∴，即，A正确；
例如，，，，， 显然，B错误；
由得，，∴，即，C正确；
易知，，，
，
∴，D正确；
故选：ACD．
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
【解题方法总结】
比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：
若，则；；；
若，则；；．
例4．（2023·全国·高三专题练习）若,则将从小到大排列为______.
【答案】
【解析】，不妨令，
则有，
有，
即.
故答案为：.
例5．（2023·全国·高三专题练习）如果a>b，给出下列不等式：
①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是________．
【答案】②⑥
【解析】令，，排除①，，排除③选项，，排除⑤.当时，排除④.由于幂函数为上的递增函数，故，②是一定成立的.由于，故.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.
例6．（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：；
（2）设x，，比较与的大小.
【解析】（1）由a＞b＞0，c＜d＜0，得－c＞－d＞0，a－c＞b－d＞0，从而得.
又a＞b＞0，所以.
（2）因为，当且仅当x＝y时等号成立，
所以当x＝y时，；
当时，.
例7．（2023·全国·高三专题练习）（1）试比较与的大小；
（2）已知，，求证：．
【解析】（1）由题意，
，
所以．
（2）证明：因为，所以，即，
而，所以，则．得证．
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【解题方法总结】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系．
例8．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
【答案】ABD
【解析】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；
因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；
因为，所以，则，故C错误；
因为，所以，则，故D正确.
故选：ABD.
例9．（2023·广东·高三校联考期末）已知，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，所以，
则，又，
所以，，由不等式的性质得：，
则的取值范围为.
故选：D.
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
由，得.
故选：A.
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当时，且，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】当时满足：且，
，即，进而，解得．
所以或，
，
令，
，
由于
所以在单调递增，在单调递减，
当时，，当时，，
所以
故答案为：．
题型四：不等式的综合问题
【解题方法总结】
综合利用等式与不等式的性质
例12．（多选题）（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知，，且满足，．则的取值可以为（ ）
A．10B．11C．12D．20
【答案】CD
【解析】因为，，
所以， ，
故，
当，且，而时，即等号不能同时成立，
所以，故AB错误，CD正确.
故选：CD.
例13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】由得，，由于，所以，
所以，因此且，故A正确，
，当时，，由于，当且仅当时，等号成立，故，当时，，所以，故B正确，
，当且仅当时取等号，故，所以C错误，
，当且仅当取等号，又，所以或者等号成立，
故选：ABD
例14．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则（ ）
A．B．
C．D．的最小值为1
【答案】BC
【解析】由可知，，由不等式的性质可知，则．
选项A：因为对数函数为减函数，，所以，故A错误；
选项B：由函数的单调性可知，故B正确；
选项C：因为，所以，故C正确；
选项D：，
当且仅当，即时取得等号，显然等号不成立，故D错误．
故选：BC.
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a的最大值是__．
【答案】
【解析】∵a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，
∴b+c＝﹣a，b2+c2＝1﹣a2，
∴
∴b、c是方程：x2+ax+a20的两个实数根，
∴
∴
即
∴
即a的最大值为
故答案为：．
题型五：糖水不等式
【解题方法总结】
糖水不等式：若，，则一定有，或者．
例16．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由题意可知，正确；
对于B，因为，所以，正确；
对于C，即，错误；
对于D，，正确.
故选：ABD
例17．（2023·山西·统考一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中，且a，b，．据此可以判断两个分数的大小关系，比如_________（填“＞”“＜”）．
【答案】>
【解析】令，则，
令，则，
所以，，
根据题设知：.
故答案为：>
例18．（2023·福建·高三校联考阶段练习）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出___________(用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式___________.
【答案】；
【解析】空1：因为，所以可得：
；
空2：由空1可得：，即.
故答案为：；
1．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
2．（2019·全国·高考真题）若a>b，则（ ）
A．ln(a−b)>0B．3a<3b
C．a3−b3>0D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
3．（2017·山东·高考真题）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，且，所以
设，则，所以单调递增，
所以 ，所以选B.
考点要求
考题统计
考情分析
1．掌握等式性质．
2．会比较两个数的大小．
3．理解不等式的性质，并能简单应用．
2022年II卷第12题，5分
高考对不等式的性质的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，单独考查的题目虽然不多，但不等式的性质几乎可以渗透到高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，所以它不仅是数学中的不 可或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容．
关系
方法
做差法
与0比较
做商法
与1比较
或
或
性质
性质内容
对称性
传递性
可加性
可乘性
同向
可加性
同向同正
可乘性
可乘方性
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