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最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第02讲 平面向量的数量积及其应用（练透）
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这是一份最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第02讲 平面向量的数量积及其应用（练透），文件包含第02讲平面向量的数量积及其应用练习原卷版docx、第02讲平面向量的数量积及其应用练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第02讲 平面向量的数量积及其应用
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知向量（2，1），（，3），则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为向量（2，1），（，3），
所以向量在方向上的投影向量为
，
故选：C
2．（2023·北京·统考模拟预测）若向量，，则与的夹角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
又因为，所以，即与的夹角等于.
故选：D
3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量，满足，且，，则（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】，所以，
故选：D
4．（2023·广东深圳·统考模拟预测）若等边的边长为2，平面内一点满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
，
.
故选：C.
5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知的半径为2，，则（ ）
A．1B．-2C．2D．
【答案】C
【解析】由题知，为正三角形，所以，所以.
故选：C
6．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）在当中，且，已知为边的中点，则（ ）.
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】因为为边的中点，所以，
即，
而，，，
故，所以.
故选：D
7．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，得，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C
8．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）如图直线l以及三个不同的点A，，O，其中，设，，直线l的一个方向向量的单位向量是，下列关于向量运算的方程甲：，乙：，其中是否可以作为A，关于直线l对称的充要条件的方程（组），下列说法正确的是（ ）
A．甲乙都可以B．甲可以，乙不可以
C．甲不可以，乙可以D．甲乙都不可以
【答案】A
【解析】对于方程甲：因为、为、在方向上的投影，
可得表示点A，到直线l的距离相等，
则点A，分别在关于直线l对称的平行线上，
因为，可得，则，
且，可得，
所以A，关于直线l对称，反之也成立，故甲满足；
对于乙：在中，因为，
则为边的中线所在的直线，且点A在直线上的投影为的中点，
所以A，关于直线l对称，反之也成立，故乙满足；
故选：A.
9．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角（ ）
A．45°B．60°C．135°D．150°
【答案】C
【解析】∵，，
∴.∵，
∴，，则，
设向量与的夹角为，与反向,则.
故选：C.
10．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）在中，点D，E满足，，且．若，则的可能值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，作图如下，
由，可得，
所以，即，也即，
又因为,
所以，
所以，
所以，
当且仅当时取得等号，
所以，
所以结合选项的可能值为，
故选：D.
11．（多选题）（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为
D．若向量与非零向量共线，则
【答案】AD
【解析】由题意知，，，
则，因此A正确；
在方向上的投影向量为
，因此B错误；
与垂直的单位向量的坐标为
或，因此C错误；
因为，，
若向量与向量共线，则，
解得，因此D正确.
故选：AD.
12．（多选题）（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知，下列结论正确的是（ ）
A．与向量垂直且模长是2的向量是和
B．与向量反向共线的单位向量是
C．向量在向量上的投影向量是
D．向量与向量所成的角是锐角，则的取值范围是
【答案】BC
【解析】对于A，向量的模不符合，故A不正确.
对于B，向量的相反向量为，与相反向量同向的单位向量是，故B正确.
对于C，向量在向量上的投影为，
与向量同向的单位向量，所以向量在向量上的投影向量是，故C正确.
对于D，时，向量与同向共线，夹角为0，不是锐角，故D不正确.
故选：BC.
13．（多选题）（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】因为，所以，所以，
又因为，所以,
所以，所以，A错误；
因为△ABC是边长为2的等边三角形，
所以的夹角为，即的夹角为，
所以，
所以，B正确；
，C正确，D错误；
故选:BC.
14．（多选题）（2023·广东汕头·统考二模）在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的余弦值为D．
【答案】ABD
【解析】连接PC，并延长交AB于Q，
中，，，，
则，,
，
，
，
选项A:
.判断正确；
选项B:
.判断正确；
选项C:
.判断错误；
选项D: .
判断正确.
故选：ABD
15．（多选题）（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，记，则（ ）
A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量为
【答案】BC
【解析】，故A错误；
因为，故B正确；
，又，所以，故C正确；
在方向上的投影向量为，故D错误.
故选：.
16．（2023·陕西西安·统考模拟预测）若向量，不共线，且，则________.
【答案】
【解析】因为向量，，
所以，
因为，
所以，
所以或，
又向量，不共线，
所以，所以，
所以，即，
所以，
故答案为：.
17．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知向量，，若，则向量在上的投影向量的模长为___________.
【答案】
【解析】因为向量，，，，
若，则，
即，即，解得:,
向量在上的投影向量的模长为:
.
故答案为：.
18．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知正六边形的边长为1，为边的中点，为正六边形的中心，则______．
【答案】
【解析】根据题意得，，，
故．
故答案为：
19．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知向量，，，满足，且，，则＝______．
【答案】
【解析】，
所以，，
以向量的起点为原点，向量的方向为轴正方向，建立如图所示的坐标系，
不妨设，
则，，设
∵，
所以或，
或，
则或，
故答案为：．
1．（2023•乙卷（文））正方形的边长是2，是的中点，则
A．B．3C．D．5
【答案】
【解析】正方形的边长是2，是的中点，
所以，，，，
则．
故选：．
2．（2023•甲卷（文））已知向量，，则，
A．B．C．D．
【答案】
【解析】根据题意，向量，，
则，，
则有，，，
故，．
故选：．
3．（2023•甲卷（理））向量，，且，则，
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因为向量，，且，所以，
所以，
即，，
解得，，
所以，
又，，
所以，
，
所以，．
故选：．
4．（2022•乙卷（文））已知向量，满足，，，则
A．B．C．1D．2
【答案】
【解析】因为向量，满足，，，
所以，
两边平方得，
，
解得，
故选：．
5．（2023•天津）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为 ；若，则的最大值为 ．
【答案】；．
【解析】在中，，，点为的中点，点为的中点，，，
则；
设，，
由余弦定理可得：，
又，
即，当且仅当时取等号，
又，
则，
则
，
即的最大值为．
故答案为：；．
6．（2023•上海）已知向量，，则 ．
【答案】4．
【解析】向量，，
．
故答案为：4．
7．（2023•新高考Ⅱ）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【解析】，，
，，
，，
．
故答案为：．
8．（2022•天津）在中，，，是中点，，试用，表示为 ，若，则的最大值为 ．
【答案】；．
【解析】中，，，是中点，，如图：
．
，，
，即，
即，即，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故的最大值为，
即的最大值为，
故答案为：；．
9．（2022•上海）若平面向量，且满足，，，则 ．
【答案】
【解析】由题意，有，则，设，
则得，，
由同角三角函数的基本关系得：，
则，
，
则．
故答案为：．
10．（2022•浙江）设点在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ．
【答案】，．
【解析】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，，，
设，
则，
，，
，
，
即的取值范围是，，
故答案为：，．
11．（2022•甲卷（文））已知向量，．若，则 ．
【答案】．
【解析】向量，．，
，
则，
故答案为：．
12．（2022•甲卷（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
【答案】11
【解析】由题意可得，
则．
故答案为：11．
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第02讲 平面向量的数量积及其应用
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知向量（2，1），（，3），则向量在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为向量（2，1），（，3），
所以向量在方向上的投影向量为
，
故选：C
2．（2023·北京·统考模拟预测）若向量，，则与的夹角等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
又因为，所以，即与的夹角等于.
故选：D
3．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量，满足，且，，则（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】，所以，
故选：D
4．（2023·广东深圳·统考模拟预测）若等边的边长为2，平面内一点满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
，
.
故选：C.
5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知的半径为2，，则（ ）
A．1B．-2C．2D．
【答案】C
【解析】由题知，为正三角形，所以，所以.
故选：C
6．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）在当中，且，已知为边的中点，则（ ）.
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】因为为边的中点，所以，
即，
而，，，
故，所以.
故选：D
7．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，得，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：C
8．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）如图直线l以及三个不同的点A，，O，其中，设，，直线l的一个方向向量的单位向量是，下列关于向量运算的方程甲：，乙：，其中是否可以作为A，关于直线l对称的充要条件的方程（组），下列说法正确的是（ ）
A．甲乙都可以B．甲可以，乙不可以
C．甲不可以，乙可以D．甲乙都不可以
【答案】A
【解析】对于方程甲：因为、为、在方向上的投影，
可得表示点A，到直线l的距离相等，
则点A，分别在关于直线l对称的平行线上，
因为，可得，则，
且，可得，
所以A，关于直线l对称，反之也成立，故甲满足；
对于乙：在中，因为，
则为边的中线所在的直线，且点A在直线上的投影为的中点，
所以A，关于直线l对称，反之也成立，故乙满足；
故选：A.
9．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角（ ）
A．45°B．60°C．135°D．150°
【答案】C
【解析】∵，，
∴.∵，
∴，，则，
设向量与的夹角为，与反向,则.
故选：C.
10．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）在中，点D，E满足，，且．若，则的可能值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，作图如下，
由，可得，
所以，即，也即，
又因为,
所以，
所以，
所以，
当且仅当时取得等号，
所以，
所以结合选项的可能值为，
故选：D.
11．（多选题）（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．与垂直的单位向量的坐标为
D．若向量与非零向量共线，则
【答案】AD
【解析】由题意知，，，
则，因此A正确；
在方向上的投影向量为
，因此B错误；
与垂直的单位向量的坐标为
或，因此C错误；
因为，，
若向量与向量共线，则，
解得，因此D正确.
故选：AD.
12．（多选题）（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知，下列结论正确的是（ ）
A．与向量垂直且模长是2的向量是和
B．与向量反向共线的单位向量是
C．向量在向量上的投影向量是
D．向量与向量所成的角是锐角，则的取值范围是
【答案】BC
【解析】对于A，向量的模不符合，故A不正确.
对于B，向量的相反向量为，与相反向量同向的单位向量是，故B正确.
对于C，向量在向量上的投影为，
与向量同向的单位向量，所以向量在向量上的投影向量是，故C正确.
对于D，时，向量与同向共线，夹角为0，不是锐角，故D不正确.
故选：BC.
13．（多选题）（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】因为，所以，所以，
又因为，所以,
所以，所以，A错误；
因为△ABC是边长为2的等边三角形，
所以的夹角为，即的夹角为，
所以，
所以，B正确；
，C正确，D错误；
故选:BC.
14．（多选题）（2023·广东汕头·统考二模）在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．的余弦值为D．
【答案】ABD
【解析】连接PC，并延长交AB于Q，
中，，，，
则，,
，
，
，
选项A:
.判断正确；
选项B:
.判断正确；
选项C:
.判断错误；
选项D: .
判断正确.
故选：ABD
15．（多选题）（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，记，则（ ）
A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量为
【答案】BC
【解析】，故A错误；
因为，故B正确；
，又，所以，故C正确；
在方向上的投影向量为，故D错误.
故选：.
16．（2023·陕西西安·统考模拟预测）若向量，不共线，且，则________.
【答案】
【解析】因为向量，，
所以，
因为，
所以，
所以或，
又向量，不共线，
所以，所以，
所以，即，
所以，
故答案为：.
17．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知向量，，若，则向量在上的投影向量的模长为___________.
【答案】
【解析】因为向量，，，，
若，则，
即，即，解得:,
向量在上的投影向量的模长为:
.
故答案为：.
18．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知正六边形的边长为1，为边的中点，为正六边形的中心，则______．
【答案】
【解析】根据题意得，，，
故．
故答案为：
19．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知向量，，，满足，且，，则＝______．
【答案】
【解析】，
所以，，
以向量的起点为原点，向量的方向为轴正方向，建立如图所示的坐标系，
不妨设，
则，，设
∵，
所以或，
或，
则或，
故答案为：．
1．（2023•乙卷（文））正方形的边长是2，是的中点，则
A．B．3C．D．5
【答案】
【解析】正方形的边长是2，是的中点，
所以，，，，
则．
故选：．
2．（2023•甲卷（文））已知向量，，则，
A．B．C．D．
【答案】
【解析】根据题意，向量，，
则，，
则有，，，
故，．
故选：．
3．（2023•甲卷（理））向量，，且，则，
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因为向量，，且，所以，
所以，
即，，
解得，，
所以，
又，，
所以，
，
所以，．
故选：．
4．（2022•乙卷（文））已知向量，满足，，，则
A．B．C．1D．2
【答案】
【解析】因为向量，满足，，，
所以，
两边平方得，
，
解得，
故选：．
5．（2023•天津）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为 ；若，则的最大值为 ．
【答案】；．
【解析】在中，，，点为的中点，点为的中点，，，
则；
设，，
由余弦定理可得：，
又，
即，当且仅当时取等号，
又，
则，
则
，
即的最大值为．
故答案为：；．
6．（2023•上海）已知向量，，则 ．
【答案】4．
【解析】向量，，
．
故答案为：4．
7．（2023•新高考Ⅱ）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【解析】，，
，，
，，
．
故答案为：．
8．（2022•天津）在中，，，是中点，，试用，表示为 ，若，则的最大值为 ．
【答案】；．
【解析】中，，，是中点，，如图：
．
，，
，即，
即，即，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故的最大值为，
即的最大值为，
故答案为：；．
9．（2022•上海）若平面向量，且满足，，，则 ．
【答案】
【解析】由题意，有，则，设，
则得，，
由同角三角函数的基本关系得：，
则，
，
则．
故答案为：．
10．（2022•浙江）设点在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ．
【答案】，．
【解析】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，，，
设，
则，
，，
，
，
即的取值范围是，，
故答案为：，．
11．（2022•甲卷（文））已知向量，．若，则 ．
【答案】．
【解析】向量，．，
，
则，
故答案为：．
12．（2022•甲卷（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
【答案】11
【解析】由题意可得，
则．
故答案为：11．
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