江苏八年级下期末真题精选（常考60题41个考点专练）-【满分全攻略】2022-2023学年八年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（苏科版）

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1．（2022春•靖江市期末）下列式子中属于分式的是（ ）
A．﹣1B．x2+xC．D．
【分析】根据分式的定义判断即可．
【解答】解：A，B，C选项的分母中没有字母，故A，B，C选项不符合题意；
D选项的分母中含有字母，故D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式叫做分式是解题的关键．
二．分式的基本性质（共1小题）
2．（2022春•兴化市期末）把分式中的x和y都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．不变B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的D．扩大为原来的9倍
【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
＝＝，
∴把分式中的x和y都扩大3倍，则分式的值扩大为原来的3倍，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
三．分式的化简求值（共1小题）
3．（2022春•涟水县期末）先化简，再求值：，请在﹣1≤x≤1范围内选择一个你喜欢的整数x代入求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝÷（+）
＝÷
＝•
＝，
在﹣1≤x≤1范围内的整数有﹣1，0，1，
∵x﹣1≠0，+1≠0，
∴x≠±1，
当x＝0时，原式＝＝﹣1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
四．二次根式有意义的条件（共1小题）
4．（2022春•工业园区校级期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥ ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，3x﹣1≥0，
解得，x≥，
故答案为：x≥．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
五．二次根式的性质与化简（共1小题）
5．（2022春•靖江市期末）＝ ．
【分析】先把的分子分母都乘以2得到解＝，再利用二次根式的除法法则得到，然后利用二次根式的性质化简即可．
【解答】解：＝＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|．也考查了二次根式的除法．
六．分母有理化（共1小题）
6．（2022春•无锡期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽的因数或因式，被开方数中不含分母，判定即可．
【解答】解：A、＝，所以不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、＝，所以不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、＝＝，所以不是最简二次根式，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
七．同类二次根式（共1小题）
7．（2022春•玄武区期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】各式化为最简二次根式，利用同类二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、原式＝，符合题意；
B、原式＝2，不符合题意；
C、原式＝3，不符合题意；
D、原式不能化简，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了同类二次根式，几个二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的即为同类二次根式．
八．二次根式的混合运算（共1小题）
8．（2022春•邗江区期末）计算（+1）（﹣1）的结果等于 2 ．
【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝3﹣1
＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
九．二次根式的化简求值（共3小题）
9．（2022春•宿城区期末）若，则代数式x2﹣6x﹣9的值为（ ）
A．2022B．2004C．﹣2004D．﹣2022
【分析】由已知等式求出x﹣3的值，原式配方变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x＝3﹣，
∴x﹣3＝﹣，
则原式＝x2﹣6x+9﹣18＝（x﹣3）2﹣18＝2022﹣18＝2004．
故选：B．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（2022春•江都区期末）请阅读下列材料：
问题：已知，求代数式x2﹣4x﹣7的值．
小明的做法是：根据得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作为整体代入，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．
仿照上述方法解决问题：
（1）已知，求代数式x2+6x﹣8的值；
（2）已知，求代数式x3+2x2的值．
【分析】（1）根据x＝﹣3求出x+3＝，两边平方后求出x2+6x+9＝10，求出x2+6x＝1，再代入求出答案即可；
（2）根据x＝求出2x+1＝，两边平方求出4x2+4x+1＝5，求出x2+x＝1，再变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x＝﹣3，
∴x+3＝，
两边平方得：（x+3）2＝10，
即x2+6x+9＝10，
∴x2+6x＝1，
∴x2+6x﹣8＝1﹣8＝﹣7；
（2）∵x＝，
∴2x＝﹣1，
∴2x+1＝，
两边平方，得（2x+1）2＝5，
即4x2+4x+1＝5，
∴4x2+4x＝4，
即x2+x＝1，
∴x3+2x2
＝x3+x2+x2
＝x（x2+x）+x2
＝x×1+x2
＝x+x2
＝1．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，整式的加减等知识点，能够整体代入是解此题的关键．
11．（2022春•亭湖区校级期末）已知x＝2+，y＝2﹣，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2
（2）x2﹣y2．
【分析】可先把所求的式子化成与x+y和x﹣y有关的式子，再代入求值即可．
【解答】解：
∵x＝2+，y＝2﹣，
∴x+y＝4，x﹣y＝2，
（1）x2+2xy+y2＝（x+y）2＝42＝16；
（2）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×2＝8．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，灵活运用乘法公式可以简化计算．
一十．分式方程的解（共1小题）
12．（2022春•东海县期末）若关于x的方程无解，则m的值为 0或4 ．
【分析】求解方程可得x＝，再由方程无解可得m﹣4＝0，即可求m的值．
【解答】解：，
2（2x+1）＝mx，
4x+2＝mx，
（4﹣m）x＝﹣2，
∵方程无解，可分为以下两种情况：
①分式方程没有意义时，
x＝0或﹣，
此时m＝0，
②整式不成立时，
4﹣m＝0，
∴m＝4，
故答案为：0或4．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解方程无解的意义是解题的关键．
一十一．解分式方程（共1小题）
13．（2022春•广陵区期末）解方程．
（1）＝．
（2）+2＝．
【分析】（1）根据解分式方程的过程即可求解；
（2）根据解分式方程的过程即可求解．
【解答】解：（1）去分母，得
5（2x+1）＝x﹣1，
去括号，得
10x+5＝x﹣1，
移项，合并同类项，得
9x＝﹣6，
系数化为1，得
x＝﹣，
检验：把x＝﹣代入（x﹣1）（2x+1）≠0，
所以x＝﹣是原方程的解；
（2）去分母，得
1+2（x﹣2）＝x﹣1，
去括号，得
1+2x﹣4＝x﹣1，
移项，合并同类项，得
x＝2，
检验：把x＝2代入x﹣2＝0，
所以此方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是解分式方程时要验根．
一十二．分式方程的增根（共1小题）
14．（2022春•玄武区期末）分式方程＝a有增根，则a的值是 ﹣1 ．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x+1＝0，得到x＝﹣1，然后代入整式方程算出a的值即可．
【解答】解：方程两边同时乘以x+1得，x﹣a＝a（x+1），
∵方程有增根，
∴x+1＝0，解得x＝﹣1．
∴﹣1﹣a＝0，解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了分式方程的增根，先根据增根的定义得出x的值是解答此题的关键．
一十三．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）
15．（2022春•惠山区校级期末）某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前10天完成任务，设原计划每天植树x万棵，则列方程为（ ）
A．﹣＝10B．﹣＝10
C．﹣＝10D．﹣＝10
【分析】根据“提前10天完成任务”即可列出方程．
【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，
∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，
∵提前10天完成任务，
∴﹣＝10，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是利用题目中的等量关系，本题属于基础题型．
一十四．分式方程的应用（共3小题）
16．（2022春•连云港期末）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．
（1）求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
（2）若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于20%（不考虑其他因素），那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？
【分析】（1）设第一次购进冰墩墩x个，由题意：第一次用22000元，很快销售一空，第二次又用48000元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．列出分式方程，解方程即可；
（2）设每个冰墩墩的标价为a元，由题意：全部销售完后的利润率不低于20%，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设第一次购进冰墩墩x个，则第二次购进冰墩墩2x个，
根据题意得：＝﹣10，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
答：该商家第一次购进冰墩墩200个．
（2）由（1）知，第二次购进冰墩墩的数量为400个．
设每个冰墩墩的标价为a元，
由题意得：（200+400）a≥（1+20%）（22000+48000），
解得：a≥140，
答：每个冰墩墩的标价至少为140元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
17．（2022春•无锡期末）“冰墩墩”和“雪容融”作为第24届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱，某文旅店订购“冰墩墩”花费6000元，订购“雪容融”花费3200元，其中“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多20元，并且订购“冰墩墩”的数量是“雪容融”的1.25倍．
（1）求文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”的数量分别是多少个；（请列分式方程作答）
（2）该文旅店以100元和80元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”，在“冰墩墩”售出，“雪容融”售出后，文旅店为了尽快回笼资金，决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，很快全部售完，若要保证文旅店总利润不低于6060元，求a的最小值．
【分析】（1）文旅店订购“雪容融”的数量为x个，则订购“冰墩墩”的数量为1.25x个，由题意：某文旅店订购“冰墩墩”花费6000元，订购“雪容融”花费3200元，其中“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多20元，列出分式方程，解方程即可；
（2）由题意：要保证文旅店总利润不低于6060元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）文旅店订购“雪容融”的数量为x个，则订购“冰墩墩”的数量为1.25x个，
由题意得：﹣＝20，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
则1.25x＝100，
答：文旅店订购“冰墩墩”的数量是100个，订购“雪容融”的数量是80个；
（2）由题意得：100××100+100××100×0.1a+80××80+80××（80﹣2a）﹣6000﹣3200≥6060，
解得：a≥8，
答：a的最小值为8．
【点评】此题考查分式方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
18．（2022春•梁溪区校级期末）为响应垃圾分类的要求，营造干净整洁的学习生活环境，创建和谐文明的校园环境．工大附中准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用18000元购买A种垃圾桶的组数量是用13500元购买B种垃圾桶的组数量的2倍．
（1）求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；
（2）该学校计划用不超过8000元的资金购买A、B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？
【分析】（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元，利用数量＝总价÷单价，结合用18000元购买A种垃圾桶的组数量是用135000元购买B种垃圾桶的组数量的2倍，列出分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（20﹣y）组，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过8000元，列出一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再取其中的最大整数值即可．
【解答】解：（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意，
∴x+150＝300+150＝450．
答：A种垃圾桶每组的单价为300元，B种垃圾桶每组的单价为450元．
（2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（20﹣y）组，
依题意得：300（20﹣y）+450y≤8000，
解得：y≤，
又∵y为正整数，
∴y的最大值为13．
答：最多可以购买B种垃圾桶13组．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
一十五．反比例函数的性质（共1小题）
19．（2022春•润州区校级期末）已知反比例函数y＝的图象的一个分支位于第三象限，则m的取值范围是 m＞1 ．
【分析】由反比例函数图象过第一、三象限，得到反比例系数m﹣1大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范围．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象的一个分支位于第三象限，
∴m﹣1＞0，
解得：m＞1；
故答案为：m＞1．
【点评】本题考查了反比例函数的性质．反比例函数y＝（k≠0），当k＞0时函数图象位于第一、三象限；当k＜0时，函数图象位于第二、四象限．
一十六．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）
20．（2022春•镇江期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个5×2的矩形DEFG网格，每个小正方形的边长都是1个单位长度，反比例函数（k≠0，x＞0）的图象经过格点A（小正方形的顶点），同时还经过矩形DEFG的边FG上的C点，反比例函数（k≠0，x＜0）的图象经过格点B，且S△ABC＝1，则k的值是（
A．2B．C．D．
【分析】根据两个反比例函数的图象关于y轴对称，进而可知点A、点B的横坐标，根据三角形ABC的面积可求CH，即点A、点C的纵坐标的差，设出两点坐标代入计算即可．
【解答】解：如图，小正方形的边长为1，
∵反比例函数（k≠0，x＞0）的图象与反比函数（k≠0，x＜0）的图象关于y轴对称，而AB＝3，
∴点A的横坐标为，点B的横坐标为﹣，
又∵S△ABC＝1，即AB•CH＝1，
∴CH＝，
由于点A、点C在反比例y＝的图象上，因此可设点A（，k），点C（，k），
由于CH＝，即k﹣k＝，
解得k＝，
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提，求出点A与点C纵坐标的差，即CH＝是解决问题的关键．
一十七．反比例函数图象上点的坐标特征（共3小题）
21．（2022春•宿豫区期末）若反比例函数y＝的图象经过点A（﹣3，4），则下列各点中也在这个函数图象的是（ ）
A．（﹣2，3）B．（4，﹣3）C．（﹣6，﹣2）D．（8，）
【分析】根据反比例函数y＝的图象经过点A（﹣3，4），可以得到k的值，从而可以判断各个选项是否符合题意，本题得以解决．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（﹣3，4），
∴k＝xy＝（﹣3）×4＝﹣12，
∵﹣2×3＝﹣6≠﹣1，故选项A不符合题意，
∵4×（﹣3）＝﹣12，故选项B符合题意，
∵﹣6×（﹣2）＝12≠﹣12，故选项C不符合题意，
∵8×＝12≠﹣12，故选项D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
22．（2022春•惠山区期末）在函数y＝﹣的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y1＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出y1，y2，y3的大小关系即可．
【解答】解：∵k＝﹣1＜0，
∴函数y＝﹣的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴点（﹣3，y1），（﹣1，y2）在第二象限，
∴y2＞y1＞0，
∵2＞0，
∴点（2，y3）在第四象限，
∴y3＜0，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
23．（2022春•连云港期末）点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，若y1＞y2，则a的取值范围是 ﹣1＜a＜1 ．
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上时，②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上时．
【解答】解：∵k＜0，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而增大，
①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＞a+1，
解得：无解；
②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＜0，a+1＞0，
解得：﹣1＜a＜1，
故答案为：﹣1＜a＜1．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当k＜0时，在图象的每一支上，y随x的增大而增大．
一十八．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
24．（2022春•锡山区期末）若反比例函数的图象过点（3，﹣1），则这个反比例函数的解析式为 y＝
【分析】用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式．
【解答】解：由题意知：k＝3×（﹣1）＝﹣3．
∴y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
【点评】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．
一十九．反比例函数与一次函数的交点问题（共4小题）
25．（2022春•灌云县期末）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）与反比例函数y＝的图象交于A（1，m），B（n，2）两点，与坐标轴分别交于M，N两点．则△AOB的面积为（ ）
A．3B．6C．8D．12
【分析】把A（1，m），B（n，2）分别代入y＝即可求出m，n，即可得到A、B的坐标，把A，B的坐标代入y＝kx+b求得一次函数的解析式，进一步M点的坐标，利用S△BOM﹣S△AOM求得△AOB的面积．
【解答】解：把A（1，m），B（n，2）分别代入y＝，得m＝4，n＝2，
∴A（1，4），B（2，2），
将点A（1，4）和B（2，2）代入一次函数y＝kx+b，得，
解得．
∴一次函数的表达式y＝﹣2x+6，
令x＝0，则y＝﹣2x+6＝6，
∴M（0，6），
∴S△AOB＝S△BOM﹣S△AOM＝﹣＝3，
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标图象，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
26．（2022春•邗江区期末）一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1•k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是 x＜﹣2或0＜x＜1 ．
【分析】根据图象可以知道一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1∙k2≠0）的图象的交点的横坐标，若y1＞y2，则根据图象可以确定x的取值范围．
【解答】解：如图，依题意得一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1∙k2≠0）的图象的交点的横坐标分别为x＝﹣2或x＝1，
若y1＞y2，则y1的图象在y2的上面，
x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．
故答案为x＜﹣2或0＜x＜1
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合的方法解决问题．
27．（2022春•吴江区期末）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝．（其中mk≠0）图象交于A（﹣4，2），B（2，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△ABO的面积；
（3）请直接写出当一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
【分析】（1）把A点坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式中，即可解得k、b、m、n的值；
（2）求出一次函数y＝kx+b与x轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式即可求出△ABO的面积；
（3）根据图象观察，当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数值大于反比例函数值．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（mk≠0）图象交于A（﹣4，2），B（2，n）两点．
根据反比例函数图象的对称性可知，n＝﹣4，
∴，解得，
故一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2，
又知A点在反比例函数的图象上，故m＝﹣8，
故反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）在y＝﹣x﹣2中，令y＝0，则x＝﹣2，
∴OC＝2，
∴S△AOB＝×2×2+×2×4＝6；
（3）根据两函数的图象可知：
当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数值大于反比例函数值．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题的知识点，解答本题的关键是用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，本题难度一般．
28．（2022春•亭湖区校级期末）已知反比例函数的图象与一次函数y2＝ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），
（1）求这两个函数的关系式；
（2）观察图象，写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围．
【分析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）利用图象即可得出所求不等式的解集，即为x的范围．
【解答】解：（1）∵函数y1＝的图象过点A（1，4），即4＝，
∴k＝4，
∴反比例函数的关系式为y1＝；
又∵点B（m，﹣2）在y1＝上，
∴m＝﹣2，
∴B（﹣2，﹣2），
又∵一次函数y2＝ax+b过A、B两点，
∴依题意，得，
解得，
∴一次函数的关系式为y2＝2x+2；
（2）根据图象y1＞y2成立的自变量x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练运用待定系数法是解本题的关键．
二十．反比例函数的应用（共2小题）
29．（2022春•邗江区期末）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．
（1）写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式；
（2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；
（3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？（说明：天数可以为小数，如3.14天等）
【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中利用待定系数法确定其解析式即可；
（2）分别利用两个函数值小于36即可求得x的取值范围，从而确定天数；
（3）分别求得销量不低于100万件的天数，相加后大于等于12天即可拿到特殊贡献奖，否则不能．
【解答】解：（1）当0＜x≤30时，设y＝k1x，把（30，120）代入得k1＝4，∴y＝4x；
当x≥30时，设y＝，把（30，120）代入得k2＝3600，
∴y＝；
（2）当0＜x≤30时，由4x＜36，
解得：x＜9，
即0＜x＜9；
当30＜x≤100时，由＜36，
解得：x＞100，
不合条件，
∴共有8天；
（3）当0＜x≤30时，又4x≥100得，x≥25，即25≤x≤30，有6天；
当x＞30时，由≥100，解得：x≤36，即30＜x≤36，有6天，
共有6+6＝12天，因此设计师可以拿到特殊贡献奖．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型，难度不大．
30．（2022春•连云港期末）某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图．并发现衰退时y与x成反比例函数关系．
（1）a＝ 19 ；
（2）当5≤x≤100时，y与x之间的函数关系式为 y＝0.2x﹣1 ；当x＞100时，y与x之间的函数关系式为 y＝ ；
（3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？
【分析】（1）利用第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克即可得到第100分钟相应的a值；
（2）分别代入直线和曲线的一般形式，利用待定系数法求得函数的解析式即可；
（3）分别令两个函数值为10求得相应的时间后相减即可得到结果．
【解答】解：（1）a＝0.2×（100﹣5）＝19；
（2）当5≤x≤100时，设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b
∵经过点（5，0），（100，19）
∴
解得：，
∴解析式为y＝0.2x﹣1；
当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝，
∵经过点（100，19），
∴＝19
解得：k＝1900，
∴函数的解析式为y＝；
（3）令y＝0.2x﹣1＝10解得：x＝55，
令y＝＝10，解得：x＝190
∴190﹣55＝135分钟，
∴服药后能持续135分钟；
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的实际应用，根据已知点得出函数的解析式是解题关键．
二十一．平行四边形的性质（共2小题）
31．（2022春•邗江区期末）在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，则▱ABCD的周长为 12或20 ．
【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【解答】解：如图1所示：
∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，
∴EC＝＝2，AB＝CD＝5，
BE＝＝3，
∴AD＝BC＝5，
∴▱ABCD的周长等于：20，
如图2所示：
∵在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB＝5，AC＝2，
∴EC＝＝2，AB＝CD＝5，
BE＝＝3，
∴BC＝3﹣2＝1，
∴▱ABCD的周长等于：1+1+5+5＝12，
则▱ABCD的周长等于12或20．
故答案为：12或20．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
32．（2022春•海州区期末）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是什么四边形？证明你的结论．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可证得AE＝CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF；
（2）先证明BE与DF平行且相等，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再连接EF，可以证明四边形AEFD是平行四边形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根据菱形的判定可以得到四边形是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
∵
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是菱形，理由如下：
解：由（1）可得BE＝DF，
又∵AB∥CD，
∴BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
连接EF，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF∥AE，DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴EF∥AD，
∵∠ADB是直角，
∴AD⊥BD，
∴EF⊥BD，
又∵四边形BFDE是平行四边形，
∴四边形BFDE是菱形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定以及菱形的判定，利用好E、F是中点是解题的关键．
二十二．平行四边形的判定与性质（共1小题）
33．（2022春•南京期末）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形ABCD为平行四边形；②对角线BD的长度不变；③四边形ABCD的面积不变；④四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是（ ）
A．①②B．①④C．①②④D．①③④
【分析】①正确．根据平行四边形的判定方法即可判断．
②错误．观察图形即可判断．
③错误．面积是变小了．
④正确．根据平行四边形性质即可判断．
【解答】解：∵两组对边的长度分别相等，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确，
∵向右扭动框架，
∴BD的长度变大，故②错误，
∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了，
∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误，
∵平行四边形ABCD的四条边不变，
∴四边形ABCD的周长不变，故④正确．
故所有正确的结论是①④．
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
二十三．菱形的性质（共1小题）
34．（2022春•工业园区期末）已知如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝6，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．
【分析】（1）先判断出四边形AODE是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得AC⊥BD，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠ABC＝60°，判断出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出OA、OB，然后得到OD，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴∠AOD＝90°，
∴四边形AODE是矩形；
（2）解：∵∠BCD＝120°，AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∵AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴OA＝×6＝3，OB＝×6＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB＝3，
∴四边形AODE的面积＝OA•OD＝3×3＝9．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，主要利用了有一个角是直角的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形，菱形与平行四边形的关系是解题的关键．
二十四．菱形的判定（共1小题）
35．（2022春•梁溪区校级期末）▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，添加以下条件，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC＝BDB．AC⊥BDC．∠ACD＝∠ACBD．BC＝CD
【分析】由平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、AC＝BD时，▱ABCD是矩形，故选项A符合题意；
B、AC⊥BD时，▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠ACD＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、BC＝CD时，▱ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定以及等腰三角形的判定等知识，掌握菱形的判定是解题的关键．
二十五．菱形的判定与性质（共1小题）
36．（2022春•宿迁期末）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
【分析】（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；
（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．
【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：连接DF，
∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S＝AC•DF＝10．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．
二十六．矩形的性质（共2小题）
37．（2022春•太仓市期末）菱形具有而矩形不一定有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．四条边都相等
C．对角相等D．对边平行
【分析】根据矩形的性质和菱形的性质逐一进行判断即可．
【解答】解：A．因为矩形和菱形都是平行四边形，对角线都互相平分，所以A选项不符合题意；
B．因为菱形的四条边相等，而矩形的四条边不行等，所以B选项符合题意；
C．因为矩形和菱形都是平行四边形，对角都相等，所以C选项不符合题意；
D．因为矩形和菱形的对边都相等且平行，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质、菱形的性质．
38．（2022春•建邺区期末）如图，四边形ABCD为矩形，O为AC中点，过点O作AC的垂线分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形．
（2）若AC＝8，EF＝6，求BF的长．
【分析】（1）由条件可先证四边形AFCE为平行四边形，再结合线段垂直平分线的性质可证得结论；
（2）由菱形的性质可求得AE＝CF＝5，设BF＝x，在Rt△ABF和Rt△ABC中，分别利用勾股定理可得到关于x的方程，可求得BF的长．
【解答】（1）证明：
∵O为AC中点，EF⊥AC，
∴EF为AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，FA＝FC，
∴∠EAC＝∠ECA，∠FAC＝∠FCA．
∵AE∥CF，
∴∠EAC＝∠FCA，
∴∠FAC＝∠ECA，
∴AF∥CE，
∴四边形AFCE平行四边形．
又∵EA＝EC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
（2）∵四边形AFCE是菱形，AC＝8，EF＝6，
∴OE＝3，OA＝4，
∴AE＝CF＝5，
设BF＝x，
在Rt△ABF中，AB2＝AF2﹣BF2，在Rt△ABC中，AB2＝AC2﹣BC2．
∴52﹣x2＝82﹣（x+5）2，
解得，
∴．
【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，掌握菱形的判定方法和菱形的性质是解题的关键，在求BF的长时，注意方程思想的应用．
二十七．矩形的判定（共1小题）
39．（2022春•启东市期末）在▱ABCD中，AC，BD交于点O，设∠DBC＝α°，∠BOC＝β°，若β关于α的函数解析式是β＝180﹣2α（0＜α＜90），则下列说法正确的是（ ）
A．BO＝BCB．OC＝BC
C．四边形ABCD是菱形D．四边形ABCD是矩形
【分析】由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证∠OCB＝α°，则∠DBC＝∠OCB，得OB＝OC，然后得AC＝BD，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵∠DBC＝α°，∠BOC＝β°，β＝180﹣2α，
∴2α°+β°＝180°，
∵∠DBC+∠BOC+∠OCB＝180°，
即α°+β°+∠OCB＝180°，
∴∠OCB＝α°，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出AC＝BD是解题的关键．
二十八．正方形的性质（共2小题）
40．（2022春•宿城区期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在DC，BC上，BF＝CE＝4，连接AE、DF，AE与DF相交于点G，连接AF，取AF的中点H，连接HG，则HG的长为（ ）
A．B．C．5D．2
【分析】先证明△ADE≌△DCF，进而得∠AGF＝90°，用勾股定理求得AF，便可得GH．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ADE＝∠C＝90°，AD＝DC＝BC，
∵BF＝CE，
∴CF＝DE，
在△ADE和△DCF中，
，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠CDF+∠DEA＝90°，
∴∠AGF＝∠DGE＝90°，
∵点H为AF的中点，
∴GH＝AF，
∵AB＝6，BF＝4，
∴AF＝，
∴GH＝，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
41．（2022春•常熟市期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．
（1）当α＝20°时，求∠DAE的度数；
（2）判断△AEG的形状，并说明理由；
（3）当GF＝1时，求CE的长．
【分析】（1）由正方形的性质，求出∠ADE＝70°，再根据三角形内角和定理求解即可即可求解．
（2）由等腰三角形的性质可得DG是AE的垂直平分线，可得AG＝GE，由四边形内角和定理，可求∠GEA＝45°，即可求解．
（3）由正方形的性质和等腰直角三角形的性质可求AC，AG的长，在Rt△ACG中，利用勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AB＝AD，
∵∠CDE＝20°，
∴∠ADE＝70°，
∵DE＝AB，
∴DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°．
（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．
理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，
∴DG是AE的垂直平分线，
∴AG＝GE，
∴∠GAE＝∠GEA，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，
∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，
∴∠DEA+∠DEC＝135°，
∴∠GEA＝45°，
∴∠GAE＝∠GEA＝45°，
∴∠AGE＝90°，
∴△AEG为等腰直角三角形．
（3）如图，连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC＝AB＝，
∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，
∴GF＝AF＝EF＝1，
∴AG＝GE＝，
∵AC2＝AG2+GC2，
∴10＝2+（EC+）2，
∴EC＝（负根已经舍弃）．
【点评】本题考查了正方形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
二十九．正方形的判定（共1小题）
42．（2022春•海陵区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：
①存在无数个平行四边形MENF；
②存在无数个矩形MENF；
③存在无数个菱形MENF；
④存在无数个正方形MENF．
其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．
【解答】解：连接AC，MN，且令AC，MN，BD相交于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
只要OM＝ON，那么四边形MENF就是平行四边形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；
只要MN＝EF，OM＝ON，则四边形MENF是矩形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个矩形MENF，故②正确；
只要MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是菱形，
∵点E，F是BD上的动点，
∴存在无数个菱形MENF，故③正确；
只要MN＝EF，MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故选：C．
【点评】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线．
三十．旋转的性质（共5小题）
43．（2022春•高邮市期末）如图，在△ABC中，∠A＝52°，在平面内将△ABC绕点C旋转到△A'B'C位置，若A'B'⊥BC，则∠B的度数是（ ）
A．10°B．12°C．14°D．16°
【分析】A'B'⊥BC，垂足为O点，如图，先根据旋转的性质得到∠A＝∠CA′B′＝52°，CA＝CA′，则利用等腰三角形的性质得到∠CA′A＝∠A＝52°，则根据平角的定义计算出∠B′A′B＝76°，然后利用互余计算出∠B的度数．
【解答】解：A'B'⊥BC，垂足为O点，如图，
∵△ABC绕点C旋转到△A'B'C位置，
∴∠A＝∠CA′B′＝52°，CA＝CA′，
∵CA＝CA′，
∴∠CA′A＝∠A＝52°，
∴∠B′A′B＝180°﹣∠CA′A﹣∠CA′B′＝180°﹣52°﹣52°＝76°，
∵A'B'⊥BC，
∴∠A′OB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠B′A′B＝90°﹣76°＝14°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
44．（2022春•仪征市期末）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，连接CF，则CF的长是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】连接AC、AF，证明△ACF为等边三角形，求得AC便可得出结果．
【解答】解：连接AC、AF，
由旋转性质得，AC＝AF，∠CAF＝60°，
∴△ACF为等边三角形，
∴AC＝CF，
∵AC＝，
∴CF＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，关键是证明△ACF为等边三角形．
45．（2022春•工业园区校级期末）如图，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转到平行四边形A′B′C′D′的位置，使点B'落在BC上，B′C′与CD交于点E，若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为（ ）
A．B．C．D．1
【分析】由相似三角形的性质可求DD'的长，通过证明△CEB′∽△C'ED，可求解．
【解答】解：如图，连接DD'，
由旋转可知，∠BAB′＝∠DAD′，AB′＝AB＝3，AD′＝AD＝4，
∴△BAB′∽△DAD′，
∴AB：BB′＝AD：DD′＝3：1，∠AD′D＝∠AB′B＝∠B，
∴DD′＝，
又∵∠AD′C′＝∠AB′C′＝∠B，∠AD′D＝∠B＝∠AB′B，
∴∠AD′C′＝∠AD′D，即点D′，D，C′在同一条直线上，
∴DC′＝，
又∠C′＝∠ECB′，∠DEC′＝∠B′EC，
∴△CEB′∽△C'ED，
∴B′E：DE＝CE：C′E＝B′C：DC′，即B′E：DE＝CE：C′E＝3：，
设CE＝x，B'E＝y，
∴x：（4﹣y）＝y：（3﹣x）＝3：，
∴x＝，
∴CE＝，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，证明△CEB′∽△C'ED是解题的关键．
46．（2022春•邗江区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转后得△DCE，直线DA、BE相交于点F．取BC的中点G，连接GF，则GF长的最大值为 4 cm．
【分析】设∠BCE＝∠ACD＝α，可得∠CBE＝∠CEB＝∠CAD＝∠CDA＝90°﹣α，根据四边形内角和可得∠BFA＝90°，取AB的中点H，连接HG、HF，则HG＝AC，HF＝AB，继而可得FG≤HG+HF，即可得到答案．
【解答】解：取AB的中点H，连接HG、HF，如图：
∵△DEC是由△ABC绕C点旋转得到，
∴CE＝CB，CD＝CA，∠BCE＝∠ACD，
设∠BCE＝∠ACD＝α，则∠CBE＝∠CEB＝∠CAD＝∠CDA＝90°﹣α，
在四边形BCDF中，∠BFA＝360°﹣∠BCD﹣∠CDA﹣∠CBE＝360°﹣（90°+α）﹣2（90°﹣α）＝90°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，
∴AB＝5cm，
Rt△ABF中，HF＝AB＝cm，
∵HG是△ABC中位线，
∴HG＝AC＝cm，
而FG≤HF+HG＝4cm，
∴当F、H、G在一条直线上时，FG最大，最大值为HF+HG＝4cm，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查旋转的性质、直角三角形的性质及勾股定理、中位线定理，构建以FG为边的三角形，根据三角形三边关系得出FG的长度范围是解题的关键．
47．（2022春•启东市期末）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．
（1）如图1，点E在BC边上．
①依题意补全图1；
②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；
（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．
【分析】（1）①根据要求画出图形即可；
②过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H．证明△DCE≌△EHF（AAS），推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用勾股定理解决问题即可；
（2）由②可得△DCE≌△EHF，推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用等腰直角三角形的性质解决问题即可
【解答】解（1）图形如图所示．
过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝6，∠C＝90°，
∵∠DEF＝∠C＝90°，
∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEH＝∠EDC，
在△DEC和△EFH中，
，
∴△DEC≌△EFH（AAS），
∴EC＝FH＝2，CD＝BC＝EH＝6，
∴HB＝EC＝2，
∴Rt△FHB中，BF＝＝＝2．
（2）结论：BF+BD＝BE．
理由：过点F作FH⊥CB，交CB于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，
∵∠DEF＝∠DCE＝90°，
∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，
∴∠FEH＝∠EDC，
在△DEC和△EFH中，
，
∴△DEC≌△EFH（AAS），
∴EC＝FH，CD＝BC＝EH，
∴HB＝EC＝HF，
∴△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，
∴BD＝BC＝HE，BF＝BH，
∵HE+BH＝BE，
∴BF+BD＝BE．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三十一．中心对称图形（共1小题）
48．（2022春•广陵区期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
三十二．作图-旋转变换（共1小题）
49．（2022春•盱眙县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4），请按下列要求画图：
（1）将△ABC先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．
【分析】（1）根据点平移的规律得到A1（﹣1，0），B1（2，1），C1（3，3），然后描点即可；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征得到A2（5，﹣1），B2（2，﹣2），C2（1，﹣4），然后描点即可．
【解答】解：（1）如图：
（2）如图：
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
三十三．全面调查与抽样调查（共1小题）
50．（2022春•洪泽区期末）下列调查方式中，你认为最合适的是（ ）
A．了解全国观众对北京冬奥会的关注度，采取全面调查方式
B．“新冠”肺炎疫情期间检测地铁乘客的体温，采取抽样调查方式
C．了解一批医用口罩的质量，采取全面调查方式
D．了解双减政策下某县八年级学生平均每天的作业量，采取抽样调查方式
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、了解全国观众对北京冬奥会的关注度，采取抽样调查方式，故A不符合题意；
B、“新冠”肺炎疫情期间检测地铁乘客的体温，采取全面调查方式，故B不符合题意；
C、了解一批医用口罩的质量，采取抽样调查方式，故C不符合题意；
D、了解双减政策下某县八年级学生平均每天的作业量，采取抽样调查方式，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．
三十四．总体、个体、样本、样本容量（共1小题）
51．（2022春•邗江区期末）某区进行了一次期末考试，想了解全区7万名学生的数学成绩．从中抽取了1000名学生的数学成绩进行统计分析，以下说法：（1）这1000名考生的数学成绩是总体的一个样本；（2）每位学生的数学成绩是个体；（3）7万名学生是总体；（4）1000名学生是总体．其中说法正确的是 （1），（2） （填序号）
【分析】本题考查的是确定总体．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物．”．我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：本题考查的对象是全区7万名学生的数学成绩，故总体是全区7万名学生的数学成绩；个体是全区每一名学生的数学成绩；样本是1000名学生的数学成绩，样本容量是1000．故其中说法正确的是（1），（2）．
【点评】解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
三十五．频数与频率（共2小题）
52．（2022春•润州区校级期末）小明抛掷一枚硬币40次，正面朝上的频率是0.4，则正面朝上的频数是 16 ．
【分析】频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比），即频率＝频数÷总数．据此解答即可．
【解答】解：∵抛掷一枚硬币40次，正面朝上的频率是0.4，
∴正面朝上的频数是40×0.4＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了频数和频率，熟练运用频率公式计算是解题的关键．
53．（2022春•盱眙县期末）某班级40名学生在期中学情分析考试中，分数段在90～100分的频率为0.2，则该班级在这个分数段内的学生有 8 人．
【分析】利用频数＝总数×频率可得答案．
【解答】解：40×0.2＝8，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率＝．
三十六．频数（率）分布直方图（共2小题）
54．（2022春•丹阳市期末）某校举行学生安全知识竞赛后，从中抽取了部分学生成绩（成绩为正整数，满分为100分）进行统计分析，绘制统计图如下（未全完成）．已知A组的频数比D组小54．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）频数分布直方图中的a＝ 16 ，b＝ 40 ；
（2）扇形统计图中D部分所对的圆心角度数为 126 °；
（3）补全频数分布直方图；
（4）若成绩在80分以上为优秀，全校共有3000名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？
【分析】（1）由A组的频数比D组小54，D组频数为70可得a的值，再由a的值及A对应的百分比求出样本容量，用样本容量乘以B对应的百分比即可得出b的值；
（2）用360°乘以D组频数所占比例；
（3）先用样本容量乘以C组对应的百分比求出其频数，再根据各分组频数之和等于总数求出E组频数，从而补全图形；
（4）用总人数乘以样本中成绩优秀的学生人数所占比例即可．
【解答】解：（1）∵A组的频数比D组小54，D组频数为70，
∴A组频数a＝70﹣54＝16，
则样本容量为16÷8%＝200，
∴b＝200×20%＝40，
故答案为：16、40；
（2）扇形统计图中D部分所对的圆心角度数为360°×＝126°，
故答案为：126；
（3）C组频数为200×25%＝50（人），E组频数为200﹣（16+40+50+70）＝24（人），
补全直方图如下：
（4）3000×＝1410（人），
答：估计成绩优秀的学生有1410名．
【点评】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，理解统计图中数量之间关系是解决问题的关键．
55．（2022春•靖江市期末）为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：
请根据图表信息回答下列问题：
（1）频数分布表中的a＝ 25 ，b＝ 0.10 ；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）学校将每周课外阅读时间在8小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校2000名学生中评为“阅读之星”的有多少人？
【分析】（1）由阅读时间为0＜t≤2的频数除以频率求出总人数，确定出a与b的值即可；
（2）补全条形统计图即可；
（3）由阅读时间在8小时以上的百分比乘以2000即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：2÷0.04＝50（人），
则a＝50﹣（2+3+15+5）＝25；b＝5÷50＝0.10；
故答案为：25；0.10；
（2）阅读时间为6＜t≤8的学生有25人，补全条形统计图，如图所示：
（3）根据题意得：2000×0.10＝200（人），
则该校2000名学生中评为“阅读之星”的有200人．
【点评】此题考查了频率（数）分布表，条形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
三十七．条形统计图（共1小题）
56．（2022春•秦淮区期末）某校组织学生进行“青年大学习”知识竞赛活动，竞赛成绩分为ABCD四个等级，根据某班竞赛结果分别制作了条形统计图和扇形统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）求该班学生的总人数，并补全条形统计图．
（2）求出扇形统计图中C等级所对应的扇形圆心角度数．
（3）已知全校共400名学生，现选取每班知识竞赛A等级的学生参加校级竞赛，请你估算参加校级竞赛的人数．
【分析】（1）由两个统计图可知，“D等级”的频数是10人，占调查人数的25%，根据频率＝可求出答案；
（2）求出“C等级”所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
（3）求出样本中“A等级”所占的百分比，即可估计总体中“A等级”学生所占的百分比，进而求出相应的人数．
【解答】解：（1）10÷25%＝40（人），
“C等级”的人数为：40﹣4﹣20﹣10＝6（人），
答：该班学生的总人数为40人，补全统计图如下：
（2）360°×＝54°，
答：扇形统计图中C等级所对应的扇形圆心角度数是54°；
（3）400×＝40（名），
答：参加校级竞赛的大约有40名．
【点评】本题考查条形统计图，掌握频率＝是解决问题的前提．
三十八．折线统计图（共1小题）
57．（2022春•高新区校级期末）某工厂上半年生产总值增长率的变化情况如图所示，从图看，下列结论中不正确的是（ ）
A．1～5月份生产总值增长率逐月减少
B．6月份生产总值的年增长率开始回升
C．这半年中每月的生产总值不断增长
D．这半年中每月的生产总值有增有减
【分析】图中数据为生产总值增长率，而不是生产总值，根据折线统计图可知增长率均为正数，所以生产总值一直在增加，只是1～5月份生产总值增长率逐月减少，6月份生产总值的年增长率开始回升，
【解答】解：每年的增长率都是正数，说明生产总值每年都增长．因而D错误．A、B、C都正确．
故选：D．
【点评】本题考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
三十九．随机事件（共1小题）
58．（2022春•亭湖区校级期末）下列成语中，表示随机事件的是（ ）
A．守株待兔B．刻舟求剑C．水中捞月D．破镜重圆
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
【解答】解：A、守株待兔，是随机事件，故A符合题意；
B、刻舟求剑，是不可能事件，故B不符合题意；
C、水中捞月，是不可能事件，故C不符合题意；
D、破镜重圆，是不可能事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
四十．可能性的大小（共1小题）
59．（2022春•广陵区期末）转动如图的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有数字 2 的区域的可能性最小．
【分析】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比分别求出每种情况的可能性，再按发生的可能性从小到大的顺序排列即可．
【解答】解：指针落在标有1的区域内的可能性是；
指针落在标有2的区域内的可能性是＝；
指针落在标有数字3的区域内的可能性是；
所以指针指向标有数字2的区域的可能性最小，
故答案为：2．
【点评】此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性．
四十一．利用频率估计概率（共1小题）
60．（2022春•镇江期末）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图．
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近 0.50 （精确到0.01），假如你摸一次，你摸到白球的概率为 0.5 ；
（2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
（3）在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
【分析】（1）根据题意容易得出结果；
（2）由40×0.5＝20，40﹣20＝20，即可得出结果；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.50；假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.5；
（2）40×0.5＝20（个），40﹣20＝20（个）；
答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有20个、20个；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；
根据题意得：＝，
解得：x＝10；
答：需要往盒子里再放入10个白球．
【点评】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．大量反复试验下频率稳定值即概率；本题难度适中．
课外阅读时间（单位：小时）
频数（人数）
频率
0＜t≤2
2
0.04
2＜t≤4
3
0.06
4＜t≤6
15
0.30
6＜t≤8
a
0.50
t＞8
5
b