第13讲 轴对称与旋转（压轴题组）-2022年中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

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问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．
独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将平行四边形ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此平行四边形ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】（1）EF=BF，理由见解析； （2）AG=BG，理由见解析； （3） ．
【详解】
解：（1）结论：EF=BF，理由如下：
如图，过点F作FH∥AD交BE于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵FH∥AD，
∴DE∥FH∥CB，
∵F为CD的中点，即DF=CF，
∴
∴EH=HB，
∵BE⊥AD，FH∥AD，
∴FH⊥EB，
∴EF=BF；
（2）结论：AG=BG，理由如下：
连接 ，
由折叠知识得： ， ，
∵DF=FC，
∴，
∴ ，
∴，
∴
∴ ，
∴DG∥BF，
∵DF∥BG，
∴四边形DFBG是平行四边形，
∴DF=BG，
∵ ，
∴ ，
∴AG=GB；
（3）如图，过点D作DJ⊥AB于点J，过点M作MT⊥AB于点T，
∵S平行四边形ABCD=AB×DJ，
∴DJ= ，
∵BC＝2，
∴ ，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∵ ，
∴ ，
∵DJ⊥AB，
∴∠DJB=∠JBH=∠DHB=90°，
∴四边形DJBH是矩形，
∴BH=DJ=4，
∴ ，
∵MT⊥AB，DJ⊥AB，
∴MT∥DJ，
∴ △ATM∽△ADJ，
∴ ，
∴，
设AT=x，则MT=2x，
根据折叠得： ，
∴MT=TB=2x，
∴3x=5，解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ △ADJ∽△A＇NH，
∴ ，
∴ ，
∴NH=2，
∴ ，
∴ ．
2．（2021·山东中区·九年级期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．
（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标 ；
（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．
（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接BC、、、．
①当四边形为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）(1，﹣2)，(1，2)；（2）y＝2（x﹣1）2﹣5；（3）①a＝；②≤a≤1或﹣≤a＜﹣
【详解】
解：（1）由y1＝（x﹣1）2﹣2知顶点坐标为（1，﹣2），
由y2＝﹣（x﹣1）2+2知顶点坐标为（1，2），
故答案为：（1，﹣2），（1，2）．
（2）∵y＝﹣2x2+4x+3y＝﹣2（x﹣1）2+5，
∴“同轴对称抛物线”的解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣5．
（3）①当x＝1时，y＝1﹣3a，
∴B（1，1﹣3a），
∴C（1，3a﹣1），
∴BC＝|1﹣3a﹣（3a﹣1）|＝|2﹣6a|，
∵抛物线L的对称轴为直线x＝＝2，
∴点B'（3，1﹣3a），
∴BB'＝3﹣1＝2，
∵四边形BB'C'C是正方形，
∴BC＝BB'，即|2﹣6a|＝2，
解得：a＝0（舍）或a＝．
②抛物线L的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1﹣4a），
∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，
∴整点数也是关于x轴对称出现的，
∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，
（i）当a＞0时，
∵L开口向上，与y轴交于点（0，1），
∴封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，
∴当x＝1时，﹣2≤1﹣3a＜﹣1，当x＝2时，﹣3≤1﹣4a＜﹣2，
解得：≤a≤1；
（ii）当a＜0时，
∵L开口向下，与y轴交于点（0，1），
∴封闭区域内在x轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，
∴当x＝2时，1＜1﹣4a≤2，当x＝﹣1时，5a+1＜0，
解得：，
综上所述：≤a≤1或﹣≤a＜﹣．
3．（2021·江苏·苏州市景范中学校二模）如图1，在中，，边，点分别在线段上，将沿直线翻折，点C的对应点是点；
（1）当分别是边的中点时，求出的长度；
（2）若，点到线段的最短距离是________；
（3）如图2，当点在落在边上时，
①点运动的路程长度是______；
②当时，求出的长度．
【答案】（1）；（2）；（3）①4；② .
【详解】
解：（1）设MN交于O
∵M、N分别为AC、BC的中点
∴AM=CM，CN=BN
∴MN∥AB（中位线定理），
∵，
∴MN垂直平分
∴，
∴且点落在AB上
∵∠C=90°
∴
∵
∴
（2）如图2中，过点N作NH⊥AB与H
∵，BC=8
∴
∵
∴
∵点是在以N为圆心， 长为半径的圆上，
∴当点落在线段NH上时，点到线段AB的距离最短
∴最短距离；
（3）①如图3-1所示，当点N与B重合时，的值最大，最大值=BC=8，
如图3-2中，当M与A重合时，的值最小，最小值=AB-=AB-AC=4
观察图形可知，当点落在AB上时，点的运动的路程长度为4
②如图3-3中，过点M作ME⊥AB于E，过点N作NF⊥AB于F，设CN=x，则BN=8-x，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
∵
∴
∴
由翻折的性质得：
∴
∵
∴
∴
∴
∴
解得
经检验是分式方程的解
∴
4．（2021·湖北当阳·一模）如图，在矩形中，，，点是边上的点（不与点，重合），将沿折叠，点是点的对应点；点是边上的点，将沿折叠，点是点的对应点，且点在直线上．
（1）若，求的长；
（2）若点是的中点，求的值；
（3）当点恰好落在边上时，求四边形的面积．
【答案】（1）1；（2）或；（3）或
【详解】
解：（1）将沿折叠，点是点的对应点，
∴△AED≌△A1ED，
∴，
∵将沿折叠，点是点的对应点，
∴≌，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴≌（AAS），
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
（2）由（1）知，∽，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴或，
在中，或；
（3）连接，交于点，
∵点恰好落在边上，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴△AED≌（AAS），
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
设，，
则，，，
在中，，
∴，
∵∽，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴四边形的面积,
综上：四边形的面积为或．
5．（2021·河北竞秀·一模）如图，平行四边形ABCD中，AB＝9，AD＝13，tanA＝，点P在射线AD上运动，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．
（1）如图1，点P在线段AD上，当∠DPA'＝20°时，∠APB＝ 度；
（2）如图2，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度；
（3）当点A'落在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，求线段PA的长度；
（4）直接写出：在点P沿射线AD运动过程中，DA′的最小值是多少？
【答案】（1）80或100；（2）线段PA的长度为；（3）线段PA的长度为或9或；（4）DA′的最小值是．
【详解】
解：（1）当在直线的右侧时，
△APB折叠得到△A'PB，
当在直线的左侧时，
，
故答案为：80或100；
（2）如图，作于，
平行四边形ABCD中，
设，
；
（3）①当点在上时，
；
②当点在上时，
由折叠可知，
四边形是菱形，
；
③当点在的延长线上时，
综上所述，线段PA的长度为或9或；
（4）如图，作于，连接，
的最小值是．
6．（2021·四川·中江县凯江中学校九年级期中）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，过点D（）且顶点P的坐标为（﹣1，3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CD的上方，连接MC，MD．求△MCD面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，设点Q是抛物线对称轴上的一点，连接QC，将线段QC绕点Q逆时针旋转90°，点C的对应点为F，连接PF交抛物线于点E，求点E的坐标．
【答案】（1）；（2）△MCD面积的最大值为，M的坐标：（3）
【详解】
解：（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点P的坐标为（﹣1，3），
设二次函数的解析式为
将点代入，得
解得
二次函数的解析式为
（2）如图，过点作轴，交直线于点，
，
令，则
设直线的解析式为
则
解得
直线的解析式为
点M是二次函数图象上的点，是上的点，
设，
则
当时，
此时，△MCD面积的最大值为
（3）设点，如图，当时，过点作轴，交轴于点，过点作于点，
将线段QC绕点Q逆时针旋转90°，点C的对应点为F，
，，
,
设直线的解析式为，
则
解得
直线的解析式为
解得，
②如图，当时，过点作于点，过点作于点，
同理可得，
同理可得，直线的解析式为
解得，
③当时，旋转后的点与点重合，此时过的点的直线由无数条，不能确定点的坐标，根据题意舍去；
综上所述，．
7．（2021·湖北新洲·九年级期中）问题背景：（1）如图1，等边△ABC，点P在△ABC左侧且∠APC＝30°，将△APC绕点A顺时针旋转60°，画出图形．
探究思考：（2）在（1）的条件下，求证：PB＝AC；
拓展创新：（3）如图2，等边△ABC，∠AMC＝60°，AM＝6，CM＝4，直接写出BM的长 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2或2．
【详解】
（1）解：如图所示，
（2）证明：如图2，连接PP'，
由旋转得，AP'＝AP，∠PAP'＝60°，∠AP'B＝∠APC＝30°，
∴△APP'是等边三角形，
∴∠AP'P＝60°，AP＝AP'＝PP'，
∴∠PP'B＝60°﹣30°＝30°，
∵AP'＝PP'，∠PP'B＝∠AP'B，BP'＝BP'，
∴△AP'B≌△PP'B（SAS），
∴PB＝AB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，
∴PB＝AC．
（3）解：当点M在AC的右侧时，
如图3，将△ACM绕点A顺时针旋转60°得到△ABG，连接CG，过点B作MH⊥BG，交BG的延长线于点H，设AG交BC于点T，
由旋转得，AG＝AM，∠MAG＝60°，∠AGB＝∠AMC＝60°，BG＝CM＝4，∠ABG＝∠ACM，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠AGB＝∠ACB＝60°，
∵∠BTG＝∠ATC，
∴△BTG∽△ATC，
∴，
∵∠ATB＝∠CTG，
∴△ATB∽△CTG，
∴∠BAT＝∠BCG，∠AGC＝∠ABC＝60°，
∵∠BAG+∠ABG+∠AGB＝180°，
∴∠BCG+∠ACM+∠ACB＝180°，
∴点G、C、M三点共线，
∵AG＝AM，∠MAG＝60°，
∴△AGM是等边三角形，
∴GM＝AM＝6，
∵∠AGM＝∠AGB＝60°，
∴∠MGH＝60°，
∵MH⊥BG，
∴GH＝GM＝3，MH＝GM＝3，
∴BH＝BG+GH＝4+3＝7，
∴BM＝＝2，
当点M在AC的左侧时，
如图4，将△ACM绕点A顺时针旋转60°得到△ABG，连接BM，
同图3理可证，点G、B、M三点共线，GM＝AM＝6，BG＝CM＝4，
∴BM＝GM﹣BG＝6﹣4＝2，
综上所述，BM的长为2或2．
故答案为：2或2．
8．（2021·重庆八中九年级期中）在△ABC中，CA＝CB，CA⊥CB，点D是射线AC上一动点，连接BD，将BD绕点D逆时针旋转90°得ED，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段AC上时，若DE＝，BC＝3，求△ABD的周长；
（2）如图2，点D在AC延长线上，作点C关于AB边的对称点F，连接FE，FD，将FD绕点D顺时针旋转90°得GD，连接AG，求证：AG＝CE；
（3）如图3，点D在AC延长线上运动过程中，延长EC交AG于H，当BH最大时，直接写出的值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【详解】
（1）解：如图1，
在Rt△BCD中，BC＝3，BD＝DE＝，
∴CD＝1，
∴AD＝AC﹣CD
＝BC﹣AD
＝3﹣1
＝2，
∵CA＝CB，CA⊥CB，
∴AB＝＝3，
∴△ABD的周长是：3+2；
（2）证明：如图2，
连接BG交EF于N，连接CF交AB于M，AB与EF交于点P，DF与BG交于O，
∵∠BDE＝∠GDF＝90°，
∴∠BDE+∠ADF＝∠GDF+∠ADF，
即：∠BDG＝∠FDE，
∵DE＝BD，DG＝DF，
∴△BDG≌△EDF（SAS），
∴BG＝EF，
∴∠BGD＝∠DFE，
∵∠DOG＝∠FOB，
∴∠BNP＝∠ONF＝∠GDO＝90°，
∵∠BPN＝∠MPF，
∴∠CFE＝∠ABG，
∵CF＝2CM＝2AM＝AB，
∴△GAB≌△ECF（SAS），
∴AG＝CE；
（3）如图3，
由（2）得，
△GAD≌△ECF，
∴∠GAB＝∠ECF，
∴∠GAB﹣∠CAB＝∠ECF﹣∠BCM，
∴∠CAB＝∠BCM＝45°，
∴∠GAC＝∠ECB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACH+∠ECB＝90°，
∴∠ACH+∠GAC＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∴点H在以AC为直径的⊙I运动，
如图4，
当BH过I时，BH最大，
不妨设半径AI＝CI＝HI＝1，
∴BC＝AC＝2，
∴IB＝＝，
作HT⊥AC于T，作EK⊥AD于K，
∴∠HTI＝∠ACB＝90°，
∴HT∥BC，
∴△HTI∽△BCI，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴HT＝，TI＝，
∵∠BCD＝∠BDE＝∠K＝90°，
BD＝DE，
由“一线三等角”得，
△BCD≌△DKE，
∴CD＝EK，BC＝DK＝2，
∵tan∠KCE＝tan∠HCT，
∴＝，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝．
9．（2021·河南汝阳·九年级期中）如图1，矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，且AD：AB＝AH：AE＝1：2．
（1）请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；
（2）如图2，矩形AEGH绕点A旋转一定角度，此时HD：GC：EB的结果与（1）的结果有变化吗？如有变化，写出变化后结果并说明理由；若无变化，请说明理由．
【答案】（1）HD：GC：EB＝1：：2；（2）无变化，见解析
【详解】
解：（1）如图1，作GF⊥CD于点F，连接AG，则∠DFG＝∠GFC＝90°，
∵四边形AEGH和四边形ABCD都是矩形，
∴∠D＝∠AHG＝∠EGH＝90°，AB＝DC，AE＝HG，
∴∠DHG＝180°﹣∠AHG＝90°，
∴四边形DFGH是矩形，
∴HG＝DF，HD＝GF，∠FGH＝90°，
∴，
∴，
∴＝，
∴＝，
整理得＝，
∵∠GFC＝∠AHG，
∴△GFC∽△AHG，
∴∠FGC＝∠HAG，
∴∠FGC+∠HGA＝∠HAG+∠HGA＝90°，
∴∠FGC+∠HGA+∠FGH＝180°，
∴点A、G、C在同一条直线上，
∴点G在矩形ABCD的对角线AC上，
由＝得＝＝＝，
∴FC＝2GF，
∴GC＝＝GF，
∴GF：GC：FC＝GF：GF：2GF＝1：：2，
∵∠FGH+∠EGH＝180°，
∴点E、G、F在同一条直线上，
∵∠B＝∠BCF＝∠CFE＝90°，
∴FC＝EB，
∴HD：GC：EB＝1：：2．
（2）无变化，
理由：由（1）得：＝＝，
∴＝，＝，
∵AE＝HG＝2AH，
∴AG＝＝AH，
∴AH：AG：AE＝AH：AH：2AH＝1：：2，
如图2，由旋转得，∠DAH＝∠CAG＝∠BAE，
∴△DAH∽△CAG∽△BAE，
∴＝＝，＝＝，
∴HD：GC：EB＝1：：2，
∴HD：GC：EB的结果无变化．
．
10．（2021·湖北汉川·九年级期中）如图，若抛物线（a、b、c为常数，且）与直线l交于点，，与x轴另一交点为．
（1）则抛物线的解析式为______；
（2）若将直线AC绕点A逆时针旋转90°交抛物线于点P．
①求点P的坐标，此时的值为______；
②若M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM，是否存在点M使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②存在，，．
【详解】
解：（1）将A、B、C三个点的坐标代入可得：
，
解得：，
∴解析式为：；
（2）①作点C关于x轴的对称点，交x轴为点D，则，作直线与抛物线交与点P，则点P为所求，
根据题意中可得：，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
由题意得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
将直线和抛物线的解析式联立得：，
解得（舍去）或，
∴点P的坐标为（4，5）；
根据图象可得：
，
，
∴此时；
②假设存在点M使．
设点，
∵，
∴，
∴，
解得或，（舍去）
当时，，
∴；
当，，
∴，
∴存在符合条件的点M，M的坐标为，．