【突破压轴冲刺名校】 压轴专题07 等式与不等式综合问题小题综合 2023届新高考数学复习尖子生30题难题突破（江苏专用）

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一、单选题
1．（2021秋·江苏泰州·高三靖江高级中学校联考阶段练习）正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据题干中等式变形，得到，对变形后使用基本不等式求解最小值.
【详解】变形为，则，即，令，（），则恒成立，则，（）单调递增，又，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2
故选：A
2．（2022·江苏南京·金陵中学校考二模）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用幂函数和指数函数的性质判断的范围，利用基本不等式判断的范围，构造新函数并利用导数讨论函数的单调性求出的范围，进而得出结果.
【详解】由，得，即，所以，
所以，则，即；
由，即；
设，则，
所以在上单调递增，且，
所以当时，即，
当时，即，
又，则，
所以，即，
综上，.
故选：A
3．（2022秋·江苏盐城·高三盐城市伍佑中学校考开学考试）已知正实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】A中，根据等式分离与，根据，可求得的范围；
B中，假设，根据数形结合，可得出有解；
C中，判断有无解即可，同样可以由数形结合得到；
D中，构造函数，由单调性即可判断.
【详解】因为，所以，故，即，故选项A错误；
若，则，作出函数与的图象如图所示：
显然有交点，则方程有解，故选项B错误；
若，则0，即，作出函数与的图象如图所示：
显然无交点，则方程无解，故选项C错误；
因为，则，
且，令，则，
所以在区间上单调递增，所以，即，
因此，故选项D正确.
故选：D
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
4．（2021秋·江苏南通·高三校联考开学考试）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】利用基本不等式或排序不等式得，从而可判断三个代数式不可能均大于，再结合特例可得三式中大于的个数的最大值.
【详解】法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.
5．（2022秋·江苏苏州·高三统考期中）已知实数，，，那么实数的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用余弦函数的单调性可得到，利用对数函数的单调性可得到，假设在中，，，角B的平分线交边AC于点D，利用长度关系和正弦定理可得到，然后利用作差法能得到，即可求解
【详解】由于可得，即，
又由于，所以，
假设在中，，，角B的平分线交边AC于点D，
所以，，，
所以,所以即，
所以，
所以，
所以即，解得，
在中，即，
所以，
由于即，所以，
所以，
因为，所以，
所以
故选：B
【点睛】关键点点睛：这道题的关键时计算出，需假设在中，，，角B的平分线交边AC于点D，然后利用相似三角形和正弦定理即可得到
6．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知函数，正实数a,b满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】B
【分析】先判断函数是严格递减的函数，且有对称中心，找出之间的关系可求.
【详解】，
故函数关于对称，又在上严格递减；
即
当且仅当时取得.
故选：B.
7．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先根据作差法比较与的大小关系，然后构造函数，利用导数判断函数单调性，借助函数的单调性即可比较与即与的大小关系.
【详解】已知，，
则
.
由于，所以，得.
令，则，，.
而且，
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减，
由于，，即.
若有两个解，则，，
所以，，所以，，
即，，
令（），则，
故在上单调递增，所以，
即在上，.
若，则有，即.
故，所以.
当时，有，故，即；
综上所述.
故选：D
【点睛】方法点睛：在比较大小中常用的方法有三种：
（1）作差法比较大小，即若，则，否则；
（2）作商法比较大小，即若（），则，否则；
（3）构造函数，根据函数单调性比较大小.
二、多选题
8．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）已知实数x，y满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】将等式改写成关于的一元二次方程，该方程必有根即可判断A；利用不等式可判断B；根据不等式可判断C；再由不等式以及的取值范围可判断D.
【详解】对于A，由题可知，此时必有满足等式，即该方程必有实数根；
所以，即可得；所以A错误；
对于B，由于，再根据不等式，
得，所以，
当且仅当时，不等式的等号成立，
当且仅当时，不等式的等号成立；
即B正确；
对于C，，再根据不等式，
得，即可得，
当且仅当时，不等式的等号成立，
当且仅当时，不等式的等号成立；
所以C正确；
对于D，由，可知，即；
当且仅当或时，不等式的等号成立，
由得，
而，即
所以，即可得；
当且仅当或时，不等式的等号成立；
所以；即D正确.
故选：BCD.
9．（2023春·江苏徐州·高三新沂市第三中学校考阶段练习）下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】A、B选项画出和的图象，数形结合进行比较，C选项构造函数，借助单调性进行判断，D选项作减法，借助对数运算及基本不等式进行比较.
【详解】
作出和的图象，如图所示，由图象可得，当时，，
当时，，，，故A，B正确.
令，则，在上单调递减，所以，故C错误.
，所以，故D正确.
故选：ABD.
10．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据均值不等式和常见的不等式放缩即可求解.
【详解】，，且，
所以，故选项A正确；
，
故选项B正确；
要证，
证，
即证，
由，，且，知，
所以，
故选项C正确；
要证，
即证，
因为，
所以，
前后取得等号条件分别是和，
所以不同时取得等号，故D选项正确；
故选：ACD.
11．（2020秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最小值为16
C．的最小值为8D．的最小值为2
【答案】ABD
【分析】根据选项逐个判断，A选项中由已知条件化为可求，B选项利用基本不等式可求最小值，C选项利用“1”的代换可求的最小值，D选项把两个变量化为一个变量，再利用基本不等式求解即可.
【详解】对于A，由已知得，，，又，，故A正确；
对于B，由已知得，当且仅当，时等号成立，所以，得，故B正确；
对于C，，当且仅当，时等号成立，故C错误；
对于D，由已知得，，，又，.又，，当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：ABD
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
12．（2021秋·江苏南通·高三统考期末）已知正数a，b满足，则（ ）
A．的最小值为2B．的最小值为4
C．的最小值为8D．的最小值为8
【答案】BD
【分析】先利用基本不等式求得判断B；再结合对勾函数的性质判断A；利用基本不等式取等号条件判断C,D.
【详解】对于B，因为a，b都是正数，，当且仅当，即时，等号成立，故，即的最小值为4，故B正确；
对于A，由选项B知，结合对勾函数性质知，故A错误；
对于C，，前一个等号成立的条件是，即，而后一个等号成立的条件是，即，等号不具有传递性，故，故C错误；
对于D，，两个等号成立的条件都是，即，等号具有传递性，故，故D正确；
故选：BD
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
13．（2021秋·江苏·高三校联考期末）已知实数，满足，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】由实数，满足，分离出，对ABCD一一验证.
对A.构造基本不等式；对BCD，把代入，消去b，用基本不等式或函数求最值.
【详解】
对于A：，
即.故A正确；
对于B：，
，不一定成立，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D: ，故D正确.
故选：AD
【点睛】利用基本不等式求最值：
（1）直接利用求最值；
（2）根据a 、b的等式关系，消元，再用基本不等式（或函数）求最值
14．（2021秋·江苏·高三校联考阶段练习）（多选）已知直线分别与函数和的图像交于点，，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据反函数的知识可得函数和的图像关于直线对称，然后可得，，然后利用均值不等式可判断A，利用可得，，然后可判断B，由可得，然后利用函数的单调性可判断C，由可得，然后可判断D.
【详解】
因为函数和的图像关于直线对称，
又因为直线的斜率1与直线的斜率的乘积为，
因此直线与直线互相垂直，显然直线也关于直线对称，
解方程组得所以直线和的交点为，
所以，，
，，，．
对于选项A，因为，，，
所以，故A正确；
对于选项B，因为，关于点对称，
所以有，
因此有，即，
因为点在直线上，而，
所以，因此，显然函数在上单调递增，
所以，故B正确；
对于选项C，因为，，，
所以，因此有，
设函数，，
因为，所以，因此函数单调递增，
当时，有，即，
因此有，故C错误；
对于选项D，因为，关于点对称，
所以，因此，
所以，
即，故D正确．
故选：ABD．
15．（2021秋·江苏·高三校联考阶段练习）若，，，，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】将转化为，将其看作函数的两个函数值，由函数的性质可知要使成立，须或.可判断选项A、B的对错；再由可得，进而可得，即可判断选项C、D的对错.
【详解】∵，∴，∴，即.
构造函数，则
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，且当时，；
又，，要使成立，须，
若，则，若，则，故A正确，B错误.
由可得，
构造函数，
则，故函数在上单调递增，即，即
∴，∴
即，即，故D正确.
又∵，，，∴，故C正确.
故选：ACD.
【点睛】本题的关键是构造函数，将不等式问题转化为函数值的问题，利用函数的单调性来比较大小或求代数式的取值范围.
16．（2023·江苏南通·二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】证明，放缩可判断A，由，放缩可判断B，先证出，再放缩，根据再放缩即可判断C，可得，令，转化为，构造，利用导数判断单调性求函数最小值即可判断D.
【详解】由，可得，
，
令，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以，即，
由知，A正确；
由可得，可得（时取等号），
因为，所以，B正确；
时，，则，
，C错误；
，
令，则，
，
在单调递增，，，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：比较式子的的大小，要善于对已知条件变形，恰当变形可结合，，放缩后判断AB选项，变形，再令，变形，是判断D选项的关键，变形到此处，求导得最小值即可.
17．（2023春·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学校考开学考试）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】A选项，看出与互为反函数，确定也关于对称，求出，两点关于对称，，，，A选项，利用基本不等式进行证明；B选项，得到，，，构造，，求导得到其单调性，从而求出；C选项，由基本不等式得到，构造，求导得到其单调性，得到，得到；D选项，先根据得到，再用作差法比较大小.
【详解】与互为反函数，即两函数关于对称，
而与垂直，故也关于对称，
联立，解得：，
故，两点关于对称，
即，且，
不妨设，，
画出图象如下：
A选项，，当且仅当，即时等号成立，
又，故等号取不到，A正确；
因为，所以，所以，
因此，故，
又为与的交点，故，
所以，令，，
其中在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，B正确；
因为，，
所以，因此有，
设，，
因为，所以，因此在上单调递增，
当时，有，即，
因此，C错误；
因为，所以，
所以，
即，D正确.
故选：ABD
【点睛】互为反函数的两个函数的性质：①反函数的定义域和值域分别为原函数的值域与定义域；
②严格单调的函数存在反函数，但有反函数的函数不一定是单调的（比如反比例函数）；
③互为反函数的两个函数关于对称，
④奇函数不一定有反函数，若有反函数，则反函数也时奇函数；
⑤如果一个函数图象关于对称，那么这个函数一定存在反函数，并且其反函数就是它本身.
三、填空题
18．（2023春·江苏南京·高三校考开学考试）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为______．
【答案】18
【分析】画出图像，由题易知可得，再利用基本不等式可得答案.
【详解】如图：
因为
可得
即 ，所以
所以
当且仅当时取等号.
故答案为18
【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形和基本不等式的应用，熟练公式是解题的关键，属于中档题.
19．（2023秋·江苏扬州·高三校考期末）已知，，是正实数，且，则最小值为__________.
【答案】
【分析】由于，，是正实数，且，所以先结合基本不等式“1”的代换求的最小值，得，则，再根据基本不等式凑项法求的最小值，即可求得的最小值.
【详解】解：，由于，，是正实数，且，
所以
，当且仅当，即，所以时等号成立，
则的最小值为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
则最小值为.
故答案为：.
20．（2020·江苏南通·模拟预测）已知，，，则的最小值为________．
【答案】-1
【分析】由已知可得（关键转化），进而利用基本不等式求解.
【详解】,
当且仅当时取“=”，
最小值为7，最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，关键在于化归与转化，属较难试题.
21．（2020·江苏扬州·江苏省高邮中学校考三模）已知实数，满足，，且，则的最小值为________．
【答案】5
【分析】设，，则，可得，展开后利用基本不等式求解即可.
【详解】设，，
则，且，
当且仅当，即时取等号．此时，有解．
故答案为：5.
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
22．（2020·江苏·高三专题练习）已知，，则的最大值是______.
【答案】
【解析】将化简、变形为，然后利用基本不等式和对勾函数，即可求解.
【详解】由题意，
，
设，则，当且仅当，即取等号，
又由在上单调递增，
所以的最小值为，即，
所以，
所以的最大值是.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中对式子进行变形、化简，以及合理利用换元法，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
23．（2020秋·江苏泰州·高三泰州中学校考阶段练习）已知非负实数，满足，则的最大值为__________.
【答案】
【解析】由，得，用换元法，令，，将问题转化为三角函数求最值，即可求得答案.
【详解】由题意得：，令，，
又，为非负实数，
，
，，即，
解得，.
故（其中），
，即，
，即
又在上单调递增，∴当时，取得最大值，
故当，时，取得最大值，最大值为.
故答案为：
【点睛】本题考查函数与不等式的综合运用，考查学生的化归与转化能力，属于难题.
24．（2021·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）若非负实数满足，则的最大值为_____.
【答案】
【解析】令，结合题意，得到，根据关于的方程必须有解，利用，求得以，即可求解.
【详解】令，
则，两边平方，可得， （1）
因为，
所以， （2）
由（1）（2）可得，
整理得，
因为关于的方程必须有解，所以，
解得，因为，所以，所以的最大值为16，
即的最大值为.
故答案为：.
【点睛】解答中把转化为关于的方程必须有解，结合二次函数的性质求解是解答本题的关键.
25．（2021秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知a，b，，记，则T最大值为________.
【答案】
【解析】将分子分母同除以ac，利用基本不等式可得分母 ，再将，分子分母同除以b，利用基本不等式求解.
【详解】，
而，
，
当且仅当 时，等号成立，
所以，.
当且仅当，即时取等号，
所以T最大值为
故答案为：
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
26．（2021秋·江苏南通·高三海安高级中学校考期中）在中内角，，的对边分别是，，，面积为，则的最大值是______.
【答案】
【分析】根据三角形面积公式及余弦定理，化简，再利用均值不等式得出，设，利用导数求最大值即可
【详解】（当仅当时取等号）.
设，，则，令得，不妨设且，当时，，当时，.所以当时有最大值，此时，所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于应用三角形面积公式及余弦定理，化简所给式子，再利用均值不等式是解题的关键，难点在于利用导数求函数的最大值，属于较难题目.
27．（2021秋·江苏南通·高三校联考期中）已知，，当最小时，恒成立，则的取值集合是___________.
【答案】或##
【分析】由，结合基本不等式可得最小时为1，进而得，利用二次函数得最大值，进而得，从而得解.
【详解】可化为
当且仅当时，等号成立，
此时，，
即.
因为，
所以
即或.
故答案为：或.
28．（2022·江苏·高三专题练习）已知，，且，则最小值为__________．
【答案】
【分析】首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.
【详解】，
结合可知原式，
且
，
当且仅当时等号成立.
即最小值为.
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
29．（2022秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知，且，则的最小值为___________．
【答案】
【分析】先由正态分布对称性求出，进而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
【详解】由正态分布的对称性可知：，解得：，
因为，所以，由基本不等式得：
，
当且仅当，即时等号成立，
所以不等式得最小值为
故答案为：
四、双空题
30．（2021·江苏·高三专题练习）已知函数在R数上单调递增，且，则的最小值为__________，的最小值为__________.
【答案】 . .
【解析】根据条件分析出，根据函数的单调性分析出的最小值.将待求式子变形为关于的式子，利用基本不等式以及函数单调性求解出的最小值.
【详解】解：因为在R上单调递增，则，
所以，所以，又因为，所以，则，
又因为，，
令函数，在恒成立，
在上单调递减，
所以，所以的最小值为，取等号时，
所以，又因为，取等号时，
且函数，，
在上递增，所以，
所以的最小值为，取等号时；
故答案为： ；.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求解最值时，一定要注意取等号的条件是否能满足，若不满足则无法直接使用基本不等式，转而利用对勾函数单调性分析更方便.