【突破压轴冲刺名校】 压轴专题03 函数与导数综合问题小题综合 2023届新高考数学复习尖子生30题难题突破（江苏专用）

这是一份【突破压轴冲刺名校】 压轴专题03 函数与导数综合问题小题综合 2023届新高考数学复习尖子生30题难题突破（江苏专用），文件包含突破压轴冲刺名校压轴专题03函数与导数综合问题小题综合原卷版docx、突破压轴冲刺名校压轴专题03函数与导数综合问题小题综合解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。

2023届新高考数学复习尖子生30题难题突破（江苏省专用）
一、单选题
1．（2022秋·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先证明为奇函数，再进行合理赋值逐个分析判断.
【详解】对A：∵为偶函数，则
两边求导可得
∴为奇函数，则
令，则可得，则，A成立；
对B：令，则可得，则，B成立；
∵，则可得
，则可得
两式相加可得：，
∴关于点成中心对称
则，D成立
又∵，则可得
，则可得
∴以4为周期的周期函数
根据以上性质只能推出，不能推出，C不一定成立
故选：C.
【点睛】对于抽象函数的问题，一般通过赋值结合定义分析运算.
2．（2022秋·江苏泰州·高三统考期中）已知函数，其中实数，则下列结论错误的是（ ）
A．必有两个极值点
B．有且仅有3个零点时，的范围是
C．当时，点是曲线的对称中心
D．当时，过点可以作曲线的3条切线
【答案】B
【分析】对求导，得到的单调性，判断的极值点个数可判断A；要使有且仅有3个零点，只需即可判断；当时，计算可判断C；设切点为，求出过点的切线方程，令，所以过点可以作曲线的切线条数转化为与图象的交点个数即可判断D.
【详解】对于A，，
令，解得：或，
因为，所以令，得或，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值,
所以A正确；
对于B，要使有且仅有3个零点，
只需即，所以，
所以的范围是，故B不正确；
对于C，当时，，
，
，所以点是曲线的对称中心，所以C正确；
对于D，，设切点为，
所以在点处的切线方程为：，
又因为切线过点，所以，
解得：，令，
所以过点可以作曲线的切线条数转化为与图象的交点个数.
,
令，解得：或，
因为，所以令，得或，
令，得，
则在上单调递增，在上单调递减，
，如下图所示，
当时，与图象有3个交点，即过点可以作曲线的3条切线，故正确，
故选：B
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3．（2022秋·江苏扬州·高三校考阶段练习）函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，已知，得出，则可求出函数在区间上为增函数，不等式可转化为，再根据函数的单调性即可求解.
【详解】解：根据题意，设，则导函数，
函数在区间上，满足，则有 ，
所以，即函数在区间上为增函数，
，
所以，
则有，
解得，
即此不等式的解集为，
故选：D.
4．（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）设函数，的最小值为，则的最大值为（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】C
【分析】对分类讨论求出，再分类讨论求出的最大值.
【详解】
设，不妨设，
所以，
所以，
所以，
当时，函数在上单调递减，
所以.
当时，函数在上单调递减，在单调递增，
所以.
所以.
当时，，
所以，
所以 所以在单调递减，
所以，所以在单调递增，所以.
所以的最大值为1.
当时，，在单调递减，没有最大值，
所以的最大值为1.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题解题的关键有两个，其一是分类讨论求出，其二是分类讨论求出的最大值.
5．（2022秋·江苏南京·高三江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知和分别是函数的两个极值点，且，则实数的值为（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】求导，将极值点问题转化为要有两个零点，且在零点两侧，单调性相反，参变分离后得到，构造，求导后得到单调性，极值最值情况，得到，由得到求出，求出.
【详解】定义域为R，，
要想函数有两个极值点，
则要有两个零点，且在零点两侧，单调性相反，
令，得，
令，定义域为R，
则，当时，，当，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在取得极大值，也是最大值，，
且当时，恒成立，当时，恒成立，
画出图象如下：
故，即，
其中，因为，所以，
故，解得：，
故，满足要求.
故选：C
6．（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为R，且是偶函数，记，也是偶函数，则的值为（ ）
A．－2B．－1C．0D．2
【答案】C
【分析】根据是偶函数，可得 ，求导推得，从而求得，再根据为偶函数，可推得，即4是函数的一个周期，由此可求得答案.
【详解】因为是偶函数，所以 ，
两边求导得 ，即，
所以 ，即，
令 可得 ，即 ，
因为为偶函数，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
，所以4是函数的一个周期，
所以,
故选∶C．
【点睛】方法点睛：此类有关抽象函数的求值问题，一般方法是要根据题意推导出函数具有的性质，比如函数的奇偶性单调性以及周期性，然后利用周期性求值.
7．（2022秋·江苏·高三江苏省新海高级中学校联考阶段练习）若直线与曲线和曲线都相切，则直线的条数有（ ）
A．1B．2C．3D．无数条
【答案】B
【分析】根据两函数解析式，在同一坐标系下画出函数图象，对两曲线进行求导，利用导函数的几何意义求出斜率的表达式，再根据三角函数和指数函数的值域，即可求出公切线与两曲线的切点位置，进而确定公切线的条数.
【详解】如图所示
设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，直线的斜率；
所以，，即在点处的斜率为，
，即在点处的斜率为，
得；
又因为，所以斜率
由得，或；
由得，；
因此，存在，和，使得，
即此时直线即为两条曲线的公切线；
同时，存在，和，使得，且；
所以，直线即为异于直线的第二条曲线的公切线；
综上可知，直线的条数有2条.
故选：B.
8．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）两条曲线与存在两个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题可得有两个不等正根，令，即有两个不等正根，然后利用导数研究函数的性质利用数形结合即得.
【详解】由题可知有两个不等正根，
即有两个不等正根，
令，则，
又，在上单调递增，
所以有两个不等正根，
设，则，
由可得单调递增，由可得单调递减，
且，
作出函数和的大致图象，
由图象可知当时，有两个正根，
即时，两条曲线与存在两个公共点.
故选：C.
【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；
（3）转化为两熟悉的函数图象的问题.
9．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习）若关于x的不等式对于任意恒成立，则整数k的最大值为（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
【答案】C
【分析】参变分离将恒成立问题转化为求函数最值问题，然后利用导数求最值可得.
【详解】对于任意恒成立
等价于对于任意恒成立
令，则
令，则
所以在上单调递增，又
所以在有且仅有一个根，满足，即
当时，，即，函数单调递减，
时，，即，函数单调递增，
所以
由对勾函数可知，即
因为，即，，
所以.
故选：C
10．（2022·江苏苏州·校考模拟预测）设函数，不等式对恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A．B．1C．D．0
【答案】D
【分析】先由定义证为奇函数，结合均值不等式可证，得在R上单调递增，故结合奇偶性与单调性，恒成立转化为对恒成立．
令，用导数法求最小值，即有.
【详解】因为，所以，所以为R上的奇函数．
因为，所以在R上单调递增．
不等式可转化为，
所以，即对恒成立．
令，则，
令，则．
当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．
所以，即，
所以，且当时，取最小值0，
故，即实数a的最大值为0．
故选：D.
【点睛】1.通常函数不等式恒成立问题涉及奇偶性与单调性可先进行转化；
2.含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.
一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起构造函数，用导数法对参数分类讨论.
当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.
11．（2022秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对已知不等式进行变形，通过构造新函数，结合导数的性质进行求解即可.
【详解】因为，不等式恒成立，即成立，即，进而转化为恒成立.
令，则，当时，，所以在上单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立.
因为，，所以，，所以对任意的恒成立，所以恒成立.
设，可得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以当时，函数取得最大值，最大值为，此时，所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：A
【点睛】关键点睛：利用构造函数结合导数的性质是解题的关键.
12．（2022秋·江苏南京·高三校考阶段练习）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，求导后可得，再构造，根据对称轴与1的关系分情况讨论，结合分析即可
【详解】设，则．
令，其图象为开口向上､对称轴为直线的抛物线．
①当，即时，在上单调递增，且，
所以在上恒成立，于是恒成立；
②当，即时，因为且，所以存在，使得时，，
所以在上恒成立，即在上单调递减，所以，不满足题意．综上，实数的取值范围是．
故选：．
【点睛】本题主要考查了构造函数分情况分析函数的单调性，从而分析函数的正负的问题，需要根据题意求导，化简后构造分析导函数中需要讨论正负的函数，再结合原函数的零点分析单调性求解，属于难题
13．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用多次求导的方法，列不等式来求得的取值范围.
【详解】的定义域是，，
令，
所以在区间递减；在区间递增.
要使有两个极值点，则，
此时，
构造函数，
所以在上递增，所以，
所以，
所以实数a的取值范围.
故选：D
【点睛】利用导数研究函数的极值点，当一次求导无法求得函数的单调性时，可利用二次求导的方法来进行求解.在求解的过程中，要注意原函数和导函数间的对应关系.
14．（2022秋·江苏扬州·高三统考阶段练习）当时，不等式有解，则实数m的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先令，构造导数证得在上存在使得，即满足题意，故排除D；再利用一次函数的单调性证得当时，在上恒成立，即可排除BC，实则至此已经可以选择A选项，然而我们可以进一步证得当时，题设不等式也成立，由此选项A正确.
【详解】当时，题设不等式可化为有解，
令，则问题转化为有解，
，
令，则，所以在上单调递增，
又，，故在上存在唯一零点，且，两边取自然对数得，
所以当时，，即，故单调递减；当时，，即，故单调递增；
所以，即在上存在使得，即有解，
即满足题意，故排除D.
由上述证明可得，即在上恒成立，
令，则，故在上单调递增；
所以当时，，即，故，
即当时，在上恒成立，显然题设不等式无解，矛盾，故排除BC；
当时，，即，故，
又，故，即至少有一解；
综上：，即选项A正确.
故选：A.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
15．（2022秋·江苏苏州·高三统考阶段练习）若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（ ）
A．B．1C．eD．
【答案】B
【分析】设出切点，求出，，根据斜率列出方程，得到，，构造，利用函数单调性和图象特征，求出，从而求出答案.
【详解】设直线与曲线相切于点，
直线与曲线相切于点，
则，且，所以，
，且，所以，
令，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且，，所以当时，，
因为，，即，
所以，
所以，故
故选：B
【点睛】对于不知道切点的切线方程问题，要设出切点，再根据斜率列出方程，进行求解.
二、多选题
16．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）若函数有两个极值点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A、B，有两个极值点，则在上有2个不同的根，分离参数画图可得a的范围及、的范围.
对于选项C，将代入可得关于的二次函数，求其范围即可.
对于选项D，运用比值代换法构造函数求导研究其范围.
【详解】由题意知，在上有2个不同的根，
又∵，
∴，即： ，
∴在上有2个不同的交点，
令，
∴，
，，
∴在上单增，在上单减，
又∵，，当时，，当时，，
∴的图象如图所示，
∴当时，与在上有2个不同的交点，.
故选项A项正确，选项B项错误；
对于C项，由题意知，，
∴，
又∵，∴，
令，则，则在上单调递增，
∴，即：.故选项C项正确；
对于D项，设，
∴，解得：
∴，
∴，，
令，
则，
令，则，，
∵，
∴
∴在上单调递增，
∴，
∴在上单调递增，
∴，
∴，
∴在上单调递增，
∴
∴，即：，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】极值点偏移问题的解法
(1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究F(x)的单调性获得不等式．
(2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.
17．（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知函数及其导函数的定义域均为R．记，若f(1－x)，g(x＋2)均为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数f(x)的图像关于直线x＝1对称
B．g(2023)＝2
C．
D．若函数g(x)在[1，2]上单调递减，则g(x)在区间[0，2024]上有1012个零点
【答案】ACD
【分析】根据偶函数的性质，结合函数的对称性的性质、函数的单调性逐一判断即可.
【详解】因为f(1－x)是偶函数，
所以，所以函数函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，因此选项A正确；
因为g(x＋2)为偶函数，所以有，
因此函数关于直线对称，
由，
因此函数关于点对称，由
，所以函数的周期为4，
在中，令，得，
在中，令，得，
所以，故选项B不正确；
由，令，得，因此选项C正确；
因为函数关于点对称，且在[1，2]上单调递减，
所以函数在也单调递减，而函数关于直线对称，
所以函数在上单调递增，且，
所以当时，函数有两个零点，
当时，由函数的周期为4，
可知函数的零点的个数为，所以选项D说法正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：根据函数的对称性判断函数的周期是解题的关键.
18．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知函数有两个极值点，且，则下列结论正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】对于AB选项，函数有两个极值点，相当于函数的导函数有两个变号零点，即函数图像与直线有两个交点，由此可判断AB选项正误；
对于CD选项，由题有.则.
结合范围可判断CD选项正误.
【详解】函数有两个极值点，相当于函数的导函数有两个变号零点，即方程有两个根，因，则方程有根相当于图像与直线有两个交点.因，则在上单调递减，在上单调递增.结合时，，，
可做大致图像如下：
则由图可得，时，有两个极值点，故A正确；
又图可得，，，则B错误；
因，则，又因，
函数在上单调递增，则，故C错误；
因，则，令，
则，因，则在上单调递减，则，即，故D正确.
故选：AD
19．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）设定义在上的函数与的导数分别为与，已知，，且关于直线对称，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据函数与导数间的关系式，变形赋值，逐项验证即可.
【详解】因为，
所以
所以，
所以，
故D正确，
令时，，
所以，
由，
所以，
所以B选项正确，
因为，
所以，
所以函数图象关于点对称，
则函数的图象关于点对称，即为奇函数，
所以函数（为常数）为偶函数，图象关于直线对称，
所以函数的图象关于直线对称，
所以，
故C选项正确，
函数，则函数图象关于直线对称，符合题意，
所以，
故选项A不正确，
故选：BCD.
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，
(1)存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称.
(2)存在常数a使得，则函数图象关于直线对称.
20．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）若函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的，均满足：，，记，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于A选项，赋值即可判断；对于B选项，可根据题设条件，构造函数，求出解析式，即可判断；对于C选项， 通过对求导可得，即可判断；对于D选项，通过构造数列，结合裂项相消法以及等比数列求和公式即可求解.
【详解】令，得，即，故A正确；
因为，则，
又因为，是定义在上不恒为零的可导函数，所以可设，
因为，所以，即，则，
所以，则，故B错误；
令，所以，所以，
所以，所以，则，
所以，，，，
累加得：，所以选项C正确；
因为，
所以，
，
，
，
累加得：，即，
设，则，
所以，即，
所以，，，，
累加得，
所以，即
所以，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题属于综合题，难度较大，解决本题的关键是构造函数和构造数列，需熟悉基本初等函数的基础知识以及熟练运用数列求和的方法.
21．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数，为其导函数，则下列判断正确的是（ ）
A．在单调递增
B．在仅有1个零点
C．在有1个极大值
D．当时，
【答案】ABC
【分析】通过求导可分析A选项, 将方程 的根的问题转化为两个函数的图象交点问题, 从而可分析 B,C 选项, 举反例可分析D选项.
【详解】，,
当时，可得，此时，故在单调递增，A选项正确；
令，可得，作出函数和的函数图像，如图所示，
由图可知，函数和在仅有1个交点，即在仅有1个零点，故B正确；
由图可知在内有两个不同的交点，
设两个交点的横坐标为且，
当时，<,即；
当时，>,即；
故为极小值点，
当时，<,即；
故为极大值点，
所以在有1个极大值，C正确；
当，，故D错误；
故选：ABC.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值, 函数的零点和方程根的关系, 函数图象的应用, 属于较难题.
22．（2023秋·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考期末）已知是的导函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．将图象上所有的点向右平移个单位长度可得的图象
B．与的图象关于直线对称
C．与有相同的最大值
D．当时，与都在区间上单调递增
【答案】AC
【分析】首先求得的导函数，然后根据三角函数图像平移验证A选项的正误，根据函数的对称性验证B选项的正误，根据求三角函数的值域验证C选项的正误，根据求解三角函数的单调性验证D选项的正误.
【详解】，.
将的图像向右平移个单位得的图像，故A选项正确；
已知的图像与的图像关于直线对称，
，故B选项错误；
，其中，最大值为，
，其中，最大值为，故C选项正确；
当时，，，
当时，在上单调递增，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递减，
综上可知和在上单调性相同，但可能递增也可能递减，故D选项错误.
故选：AC
23．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）设定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据逆向思维得到 ，代入推出的对称轴 ，即可判断A选项；根据为奇函数推出对称中心，进一步得出，即的周期为4，即可判断C选项；由是由的图像变换而来，所以的周期也为4，进而判断B选项；再算出时的函数值以及一个周期内的值即可求解，判断D选项.
【详解】因为，所以.
因为，所以，
用去替，所以，所以.
因为，取代入得到，得，
所以，所以，
所以的图象关于直线对称，所以，故A正确；
因为为奇函数，则 过, 图像向右移动两个单位得到过，故图像关于对称，，所以，且.
因为，所以，则的周期，
所以，故C错误；
因为，，所以的周期也为4，
所以，，
所以，故B正确；
因为，，，，
所以，故D正确.
故选：ABD.
24．（2022秋·江苏南京·高三南京师大附中校联考阶段练习）已知函数是定义域为R的可导函数，．若是奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ）
A．
B．曲线在点处的切线的倾斜角为
C．是周期函数（是的导函数）
D．的图象关于点中心对称
【答案】BCD
【分析】根据函数奇偶性和对称性可知，也是奇函数，且可得出A错误；根据导数的几何意义求出得B正确；对求导，结合奇偶性和对称性可推出，故C正确；由为奇函数且，可得到的对称中心，即得到的对称中心.
【详解】解：由题意有，，
令，有，所以，故A错；
，令得，故B对；
为奇函数，即，
又因为，
所以，即，所以周期，故C对；
因为，，所以，
得，即关于对称，
所以；
即关于对称，故D对.
故选：BCD.
25．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）设定义在上的函数和的导数分别为和，若，，且为奇函数，则（ ）
A．B．的图象关于直线对称
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据为奇函数推出对称中心为，从而判断A；
根据可得，由，得，将代入，得的对称轴为，由，可得的图象关于点对称，从而判断B；
根据的对称轴和对称中心进而可得的周期，与的周期，从而可判断C；
再利用赋值法即可判断D.
【详解】解：由为奇函数，则过，图象向右平移一个单位得过，A选项正确；
又，则，
因为，则，
所以，
令，得，则，
所以，即，则关于直线对称，
两边求导得，
函数的图象关于点对称，B选项错误；
因为关于点对称，关于直线对称，
即，，
所以，则，
所以的周期；
所以，，
所以，C选项正确；
又函数关于直线对称，
所以函数在左右两侧单调性相反，且，
令，得，所以，
，D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：对于函数关于对称，等价于，关于对称，等价于或.
26．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）已知函数及其导数的定义域均为，对任意的实数，，恒有，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】方法一：举例一个符合题意的具体函数，由此函数的性质，可得答案；
方法二：由题意，根据不同的赋值，研究函数的对称性，周期性，利用得到的等式，求导，研究其导函数的性质，可得答案.
【详解】方法一：令，
，
，A对；，，B错；，，C错；，，D对.
方法二：令，则，解得，
且令，
令，即
令
∴，为奇函数，所以，，A正确.
由，
令
∴一个周期为4，∴，C不正确.
由，∴的一个周期也为4，D正确.
由
令，且由，
并不能推出，例如举可得，B错
故选：AD.
【点睛】面对抽象函数满足一定等式，可采用特殊函数法，利用满足题意的具体函数，逐一验证，可得答案；也可根据不同的赋值，研究函数的性质，常常研究的性质为奇偶性以及对称性以及周期性，也可得答案.
27．（2022秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）已知函数和，有相同的极小值，若存在，使得成立，则（ ）
A．
B．
C．当时，
D．当时，若的所有根记为，，，，且，则
【答案】ACD
【分析】首先根据两个函数极小值相同，分别求导，求出两个函数的极小值，解出b，然后将两个函数图像作出，根据图像可以判断出BC，对于D，首先根据题意得到对应的等式，然后变形，采用等量替换的方法，即可求解.
【详解】，，，
在上单调递减，上单调递增，
在处取得极小值，而，且，
在上单调递减，上单调递增，
在处取得极小值，依据题意，和有相同的极小值，
故，解得，故A正确；
作出函数图象如下图所示，若，则与、相交时，或者，故B错误.
由图像可知，当时，，所以，C正确；
若的所有根记为，，且时，
则有，，可得，
即，又
，同理可得，，则，故D正确.
故选：ACD.
28．（2022秋·江苏扬州·高三统考期中）已知函数及其导函数的定义域都为R，，，，则下列说法中正确的有（ ）
A．导函数为奇函数
B．2是函数的一个周期
C．
D．
【答案】ACD
【分析】选项A，根据，得到为偶函数，进而证明为奇函数即可；
选项B，化简得到为，，利用周期函数的性质，即可判断；
选项C，利用，化简即可判断
选项D，由，得，进而得到，计算即可判断
【详解】对于A，，得到关于对称，即关于轴对称，得到为偶函数，故为奇函数；证明如下：
若设可导函数为偶函数，则，两边求导，进而得到，故为奇函数；A正确；
对于B，因为为偶函数，故，可得，设，，可得，
，令，得，此时，，则可转换为，，
若2是函数的一个周期，则必有，故与不符，故B错误；
对于C，由，，当时，
则
，故此时，必有，故C正确；
对于D，由，得，为整数的同时也是偶数，，故D正确；
故选：ACD
29．（2022秋·江苏南京·高三南京师大附中校考期中）已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．当时，有2个零点
B．当时，恒成立
C．当时，是的极值点
D．若是关于的方程的2个不等实数根，则
【答案】BCD
【分析】对于A和B，由可得，令，利用导数得到的单调性和最值情况即可判断；对于C，将代入，利用导数得到的单调性即可判断；对于D，问题转化为有两个零点，证明，进而只需要证明，也即是，从而令，构造函数求出最值即可
【详解】对于A，令即，
令，则，
令，解得，
故当，，单调递增；当，，单调递减；
所以的最大值为，
又因为当时，；当时，，故如图所示，
当时，函数与有两个交点，此时有2个零点，故A错误；
对于B，由A选项可得，
当时，由，可整理得，即，故B正确；
对于C，将代入得，所以，
令，解得，
故当，，单调递增；当，，单调递减；
所以是的极大值点，故C正确；
对于D，由即，
因为是关于的方程的2个不等实数根，
所以，即，
所以等价于：有两个零点，证明，
不妨令，
由，
要证，只需要证明，
即只需证明：，
只需证明：，即，
令，
只需证明：，
令，
则，即在上为增函数，
又，所以．
综上所述，原不等式成立，即成立，故D正确，
故选：BCD
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
30．（2023·江苏南京·校考一模）定义在上的函数满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值，极大值为
B．有两个零点
C．若在上恒成立，则
D．
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再逐项分析即可判断作答.
【详解】，由得：，即，
令，而，则，即有，，
当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，
于是得在处取得极大值，A正确；
显然，即函数在上有1个零点，而时，恒成立，
即函数在无零点，因此，函数在定义域上只有1个零点，B不正确；
，，令，，
当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减，
因此，当时，，所以，C正确；
因函数在上单调递增，而，则，
又，则，即，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.