2024年中考数学一轮复习专题：相似（含答案）

这是一份2024年中考数学一轮复习专题：相似（含答案），共13页。试卷主要包含了相似三角形的判定，相似三角形的性质，相似三角形模型，位似图形等内容，欢迎下载使用。
1、相似三角形的判定
定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。
定理：平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。
判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
判定2：三边成比例的两个三角形相似。
判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
判定4：两角分别相等的两个三角形相似。
2、相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；
相似三角形对应线段的比等于相似比；
相似三角形周长的比等于相似比；
相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3、相似三角形模型
模型一：A、8模型
已知：，结论
模型二：共边共角型
已知：，结论：
模型三：一线三角型
已知，如图①②③中：∠B=∠ACE=∠D.
结论：△ABC∽△CDE
模型四：相似与旋转
如图①，已知DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定的角度，连接BD、CE，得到如图②，结论：△ABD∽△ACE
模型五：垂直相似
如图，在Rt三角形ABC中，∠C=90°，CD为斜边AB上的高
结论：
4、位似图形
定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又叫位似比。
性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。
专题练习
一、选择题
1．在比例尺为的交通地图上，宝应到扬州的长度约为，则它的实际长度约为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在锐角中，D为边上一点，，将绕点C顺时针旋转后得到，且点D，B的对应点分别为A，E，交于点O，连接．下列结论错误的是（ ）

A．B．C．D．
3．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图， 等边三角形边长为， 点 D在边上（不与A，B重合），过点D作交于点E．当时，的周长比的周长减少了，面积减少了．当x在一定范围内变化时，和都随x的变化而变化，则与x，与x满足的函数关系分别是（ ）

A．反比例函数关系，一次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系D．一次函数关系，二次函数关系
5．如图，已知，，，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
6．下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（ ）
A．4，6，8，B．3，4，5，6C．5，，3，9D．8，6，2，1
7．如图，在中，点D、E分别在边上，则下列条件中：①；②；③；④，能使得以A，D，E为顶点的三角形与相似的条件有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，点是线段的黄金分割点，即，若表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则与的大小关系是( )
A．B．C．D．
二、填空题
9．已知，则 ．
10．已知，相似比为，若△ABC中的最大角是，则中的最大角为 °．
11．在比例尺为的扬州旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路实际长 ．
12．如图所示，在矩形中，，对角线、相交于点，过点作于点，点在线段上，并且满足，若，则矩形的面积为 ．
13．如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的位似比为．点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为，则点N的坐标为 ．
三、解答题
14．安顺白塔又叫望城塔，位于安顺新大十字的西秀山上，始建于元泰定三年（1326年），是安顺三大元代建筑之一．小聪来游玩白塔后，很想知道白塔的高度，于是他用所学的知识进行测量求解，测量方法如下，如图所示，先在点A处放一平面镜，小聪站在距A点1米的点B处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点M，再将平面镜沿NA方向移动3.6米至点D处（即米），小聪站在距D点1.6米的点E处，佮好再次在平面镜中看到塔的顶部点M，已知小明眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出白塔的高度MN（平面镜大小忽略不计）．

15．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，给出格点（顶点为网格线的交点）．
(1)画出关于点成中心对称的（点的对应点分别为）；
(2)在给定的网格中，以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到（点的对应点分别为），画出，并直接写出点的坐标．
16．如图, ,.
求证：
(1)；
(2)．
17．如图1，在矩形中，E为延长线上一点，且，交于点F，．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)如图2，G为上一点，，相交于点O，连接．若，且，求的长．
18．【经验积累】如图①，在正方形中，E是上任意一点，连接，过点A作，垂足为F．
(1)求证．
(2)①求证；
②若，则的值为
(3)【方法迁移】如图②，C是平分线上的一点，过点C作，垂足为P，Q是直线上的一个动点．若，则的最大值为 ．
参考答案：
1．C
2．D
3．B
4．D
5．B
6．C
7．C
8．C
9．
10．110
11．
12．
13．
14．解：根据题意得，
∴，
∴，即①；
∵，
∴，
∴＝，即②，
联立①②得：，
解得，
∴，
解得，
答：白塔的高度为米．
15．（1）如图所示，即为所求．
（2）如图所示，即为所求．点的坐标为．
16．（1）证明：∵，
∴，
即：，
∵，
∴；
（2）证明：由 (1) 可知，
则有，
∴．
17．（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴，
∴，
即．

（3）解：连接，如图所示：

∵，且，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵O为的中点，
∴，
∵，
∴．
由（2）可知：，则，设，则，
在中，，即，
解得：（负值舍去）．
∴，，
又∵，
∴，
∴在中，．
18．（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）①四边形是正方形，
，
由（1）知，
，
，
，
②，
，
，
，
，
故答案为：；
（3）截取，延长至点，使，在上去点使得，如图：
，
，
，，
，
，
，
，，
点在圆上，
当经过圆心时最大，
，，
的最大值为，
的最大值为．
故答案为：