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    专题21图形的相似(共50题)-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)
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    专题21图形的相似(共50题)-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)

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    这是一份专题21图形的相似(共50题)-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用),文件包含专题21图形的相似共50题-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练全国通用原卷版docx、专题21图形的相似共50题-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练全国通用解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共78页, 欢迎下载使用。

    1.(2022•凉山州)如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,若DE∥BC,,DE=6cm,则BC的长为( )
    A.9cmB.12cmC.15cmD.18cm
    【分析】根据=,得到=,根据DE∥BC,得到∠ADE=∠B,∠AED=∠C,得到△ADE∽△ABC,根据相似三角形对应边成比例即可得出答案.
    【解析】∵=,
    ∴=,
    ∵DE∥BC,
    ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
    ∴△ADE∽△ABC,
    ∴=,
    ∴=,
    ∴BC=15(cm),
    故选:C.
    2.(2022•连云港)△ABC的三边长分别为2,3,4,另有一个与它相似的三角形DEF,其最长边为12,则△DEF的周长是( )
    A.54B.36C.27D.21
    【分析】(1)方法一:设2对应的边是x,3对应的边是y,根据相似三角形的对应边的比相等列等式,解出即可;
    方式二:根据相似三角形的周长的比等于相似比,列出等式计算.
    【解析】方法一:设2对应的边是x,3对应的边是y,
    ∵△ABC∽△DEF,
    ∴==,
    ∴x=6,y=9,
    ∴△DEF的周长是27;
    方式二:∵△ABC∽△DEF,
    ∴=,
    ∴=,
    ∴C△DEF=27;
    故选:C.
    3.(2022•云南)如图,在△ABC中,D、E分别为线段BC、BA的中点,设△ABC的面积为S1,△EBD的面积为S2,则=( )
    A.B.C.D.
    【分析】根据三角形的中位线定理,相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可.
    【解析】在△ABC中,D、E分别为线段BC、BA的中点,
    ∴DE为△ABC的中位线,
    ∴DE∥AC,DE=AC,
    ∴△BED∽△BAC,
    ∵=,
    ∴=,
    即=,
    故选:B.
    4.(2022•武威)若△ABC∽△DEF,BC=6,EF=4,则=( )
    A.B.C.D.
    【分析】根据△ABC∽△DEF,可以得到,然后根据BC=6,EF=4,即可得到的值.
    【解析】∵△ABC∽△DEF,
    ∴,
    ∵BC=6,EF=4,
    ∴=,
    故选:D.
    5.(2022•十堰)如图,某零件的外径为10cm,用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.如果OA:OC=OB:OD=3,且量得CD=3cm,则零件的厚度x为( )
    A.0.3cmB.0.5cmC.0.7cmD.1cm
    【分析】根据相似三角形的判定和性质,可以求得AB的长,再根据某零件的外径为10cm,即可求得x的值.
    【解析】∵OA:OC=OB:OD=3,∠COD=∠AOB,
    ∴△COD∽△AOB,
    ∴AB:CD=3,
    ∵CD=3cm,
    ∴AB=9cm,
    ∵某零件的外径为10cm,
    ∴零件的厚度x为:(10﹣9)÷2=1÷2=0.5(cm),
    故选:B.
    6.(2022•台湾)△ABC的边上有D、E、F三点,各点位置如图所示.若∠B=∠FAC,BD=AC,∠BDE=∠C,则根据图中标示的长度,求四边形ADEF与△ABC的面积比为何?( )
    A.1:3B.1:4C.2:5D.3:8
    【分析】证明△CAF∽△CBA,推出CA2=CF•CB,推出AC=4,可得==,推出S△ACF:S△ACB=5:16,同法S△BDE:S△ABC=5:16,由此可得结论.
    【解析】∵∠C=∠C,∠CAF=∠B,
    ∴△CAF∽△CBA,
    ∴=,
    ∴CA2=CF•CB,
    ∴CA2=5×16=80,
    ∵AC>0,
    ∴AC=4,
    ∴==,
    ∴S△ACF:S△ACB=5:16,
    同法可证△BDE∽△BCA,
    ∵BD=AC,
    ∴=,
    ∴S△BDE:S△ABC=5:16,
    ∴S四边形ADEF:S△ABC=(16﹣5﹣5):16=3:8,
    故选:D.
    7.(2022•宿迁)如图,点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,以OA为一边作等腰直角三角形OAB,其中∠OAB=90°,AO=AB,则线段OB长的最小值是( )
    A.1B.C.2D.4
    【分析】根据三角形OAB是等腰直角三角形,当OB最小时,OA最小,再根据两点间的距离公式解答即可.
    【解析】∵三角形OAB是等腰直角三角形,
    ∴当OB最小时,OA最小,
    设A点坐标为(a,),
    ∴OA=,
    ∵≥0,
    即:﹣4≥0,
    ∴≥4,
    ∴当a2=时,OA有最小值,
    解得a1=,a2=﹣(舍去),
    ∴A点坐标为(,),
    ∴OA=2,
    ∵三角形OAB是等腰直角三角形,OB为斜边,
    ∴OB=OA=2.
    故选:C.
    8.(2022•孝感)如图,在矩形ABCD中,AB<BC,连接AC,分别以点A,C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧交于点M,N,直线MN分别交AD,BC于点E,F.下列结论:
    ①四边形AECF是菱形;
    ②∠AFB=2∠ACB;
    ③AC•EF=CF•CD;
    ④若AF平分∠BAC,则CF=2BF.
    其中正确结论的个数是( )
    A.4B.3C.2D.1
    【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可.
    【解析】根据题意知,BF垂直平分AC,
    在△AOE和△COF中,

    ∴△AOE≌△COF(AAS),
    ∴OE=OF,
    ∴AE=AF=CF=CE,
    即四边形AECF是菱形,
    故①结论正确;
    ∵∠AFB=∠FAO+∠ACB,AF=FC,
    ∴∠FAO=∠ACB,
    ∴∠AFB=2∠ACB,
    故②结论正确;
    ∵S四边形AECF=CF•CD=AC•OE×2=AC•EF,
    故③结论不正确;
    若AF平分∠BAC,则∠BAF=∠FAC=∠CAD=90°=30°,
    ∴AF=2BF,
    ∵CF=AF,
    ∴CF=2BF,
    故④结论正确;
    故选:B.
    9.(2022•山西)神奇的自然界处处蕴含着数学知识.动物学家在鹦鹉螺外壳上发现,其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的( )
    A.平移B.旋转C.轴对称D.黄金分割
    【分析】利用黄金分割比的意义解答即可.
    【解析】∵每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618,
    又黄金分割比为≈0.618,
    ∴其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618.这体现了数学中的黄金分割,
    故选:D.
    10.(2022•湘潭)在△ABC中(如图),点D、E分别为AB、AC的中点,则S△ADE:S△ABC=( )
    A.1:1B.1:2C.1:3D.1:4
    【分析】根据相似三角形的判定和性质定理解答即可.
    【解析】在△ABC中,点D、E分别为AB、AC的中点,
    ∴DE为△ABC的中位线,
    ∴DE∥BC,DE=BC,
    ∴△ADE∽△ABC,
    ∴S△ADE:S△ABC==.
    故选:D.
    11.(2022•衡阳)在设计人体雕像时,使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,可以增加视觉美感.如图,按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像,那么该雕像的下部设计高度约是(结果精确到0.01m.参考数据:≈1.414,≈1.732,≈2.236)( )
    A.0.73mB.1.24mC.1.37mD.1.42m
    【分析】设下部高为x m,根据雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比,等于下部与全部的高度比列方程可解得答案.
    【解析】设下部的高度为xm,则上部高度是(2﹣x)m,
    ∵雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,
    ∴=,
    解得x=﹣1或x=﹣﹣1(舍去),
    经检验,x=﹣1是原方程的解,
    ∴x=﹣1≈1.24,
    故选:B.
    12.(2022•眉山)如图,四边形ABCD为正方形,将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC,点D,B,H在同一直线上,HE与AB交于点G,延长HE与CD的延长线交于点F,HB=2,HG=3.以下结论:①∠EDC=135°;②EC2=CD•CF;③HG=EF;④sin∠CED=.其中正确结论的个数为( )
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    【分析】利用旋转的性质,正方形的性质,可判断①正确;利用三角形相似的判定及性质可知②正确;证明△GBH∽△EDC,得到,即,利用△HEC是等腰直角三角形,求出,再证明△HGB∽△HDF即可求出EF=3可知③正确;过点E作EM⊥FD交FD于点M,求出,再证明∠DEC=∠EFC,即可知④正确.
    【解析】∵△EDC旋转得到△HBC,
    ∴∠EDC=∠HBC,
    ∵ABCD为正方形,D,B,H在同一直线上,
    ∴∠HBC=180°﹣45°=135°,
    ∴∠EDC=135°,故①正确;
    ∵△EDC旋转得到△HBC,
    ∴EC=HC,∠ECH=90°,
    ∴∠HEC=45°,
    ∴∠FEC=180°﹣45°=135°,
    ∵∠ECD=∠ECF,
    ∴△EFC∽△DEC,
    ∴,
    ∴EC2=CD•CF,故②正确;
    设正方形边长为a,
    ∵∠GHB+∠BHC=45°,∠GHB+∠HGB=45°,
    ∴∠BHC=∠HGB=∠DEC,
    ∵∠GBH=∠EDC=135°,
    ∴△GBH∽△EDC,
    ∴,即,
    ∵△HEC是等腰直角三角形,
    ∴,
    ∵∠GHB=∠FHD,∠GBH=∠HDF=135°,
    ∴△HBG∽△HDF,
    ∴,即,解得:EF=3,
    ∵HG=3,
    ∴HG=EF,故③正确;
    过点E作EM⊥FD交FD于点M,
    ∴∠EDM=45°,
    ∵ED=HB=2,
    ∴,
    ∵EF=3,
    ∴,
    ∵∠DEC+∠DCE=45°,∠EFC+∠DCE=45°,
    ∴∠DEC=∠EFC,
    ∴,故④正确
    综上所述:正确结论有4个,
    故选:D.
    13.(2022•乐山)如图,等腰△ABC的面积为2,AB=AC,BC=2.作AE∥BC且AE=BC.点P是线段AB上一动点,连结PE,过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F,M是线段EF的中点.那么,当点P从A点运动到B点时,点M的运动路径长为( )
    A.B.3C.2D.4
    【分析】如图,过点A作AH⊥BC于点H.当点P与A重合时,点F与C重合,当点P与B重合时,点F的对应点为F″,点M的运动轨迹是△ECF″的中位线,M′M″=CF″,利用相似三角形的性质求出CF″可得结论.
    【解析】如图,过点A作AH⊥BC于点H.
    当点P与A重合时,点F与C重合,当点P与B重合时,点F的对应点为F″,
    点M的运动轨迹是△ECF″的中位线,M′M″=CF″,
    ∵AB=AC,AH⊥BC,
    ∴BH=CH,
    ∵AE∥BC,AE=BC,
    ∴AE=CH,
    ∴四边形AHCE是平行四边形,
    ∵∠AHC=90°,
    ∴四边形AHCE是矩形,
    ∴EC⊥BF″,AH=EC,
    ∵BC=2,S△ABC=2,
    ∴×2×AH=2,
    ∴AH=EC2,
    ∵∠BFF″=∠ECB=∠ECF″,
    ∴∠BEC+∠CEF″=90°,
    ∠CEF″+∠F″=90°,
    ∴∠BEC=∠F″,
    ∴△ECB∽△F″CE,
    ∴EC2=CB•CF″,
    ∴CF″==6,
    ∴M′M″=3
    故选:B.
    14.(2022•湖州)在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点.如图,在6×6的正方形网格图形ABCD中,M,N分别是AB,BC上的格点,BM=4,BN=2.若点P是这个网格图形中的格点,连结PM,PN,则所有满足∠MPN=45°的△PMN中,边PM的长的最大值是( )
    A.4B.6C.2D.3
    【分析】在网格中,以MN为直角边构造一个等腰直角三角形,使PM最长,利用勾股定理求出即可.
    【解析】如图所示:△MNP为等腰直角三角形,∠MPN=45°,此时PM最长,
    根据勾股定理得:PM===2.
    故选:C.
    15.(2022•扬州)如图,在△ABC中,AB<AC,将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,点D在BC边上,DE交AC于点F.下列结论:①△AFE∽△DFC;②DA平分∠BDE;③∠CDF=∠BAD,其中所有正确结论的序号是( )
    A.①②B.②③C.①③D.①②③
    【分析】由旋转的性质得出∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE,AB=AD,∠E=∠C,进而得出∠B=∠ADB,得出∠ADE=∠ADB,得出DA平分∠BDE,可判断结论②符合题意;由∠AFE=∠DFC,∠E=∠C,得出△AFE∽△DFC,可判断结论①符合题意;由∠BAC=∠DAE,得出∠BAD=∠FAE,由相似三角形的旋转得出∠FAE=∠CDF,进而得出∠BAD=∠CDF,可判断结论③符合题意;即可得出答案.
    【解析】∵将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,
    ∴∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE,AB=AD,∠E=∠C,
    ∴∠B=∠ADB,
    ∴∠ADE=∠ADB,
    ∴DA平分∠BDE,
    ∴②符合题意;
    ∵∠AFE=∠DFC,∠E=∠C,
    ∴△AFE∽△DFC,
    ∴①符合题意;
    ∵∠BAC=∠DAE,
    ∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC,
    ∴∠BAD=∠FAE,
    ∵△AFE∽△DFC,
    ∴∠FAE=∠CDF,
    ∴∠BAD=∠CDF,
    ∴③符合题意;
    故选:D.
    16.(2022•泰安)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E为BC的中点,连接EO并延长交AD于点F,∠ABC=60°,BC=2AB.下列结论:①AB⊥AC;②AD=4OE;③四边形AECF是菱形;④S△BOE=S△ABC,其中正确结论的个数是( )
    A.4B.3C.2D.1
    【分析】通过判定△ABE为等边三角形求得∠BAE=60°,利用等腰三角形的性质求得∠EAC=30°,从而判断①;利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③,然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②;根据三角形中线的性质判断④.
    【解析】∵点E为BC的中点,
    ∴BC=2BE=2CE,
    又∵BC=2AB,
    ∴AB=BE,
    ∵∠ABC=60°,
    ∴△ABE是等边三角形,
    ∴∠BAE=∠BEA=60°,
    ∴∠EAC=∠ECA=30°,
    ∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°,
    即AB⊥AC,故①正确;
    在平行四边形ABCD中,AD∥BC,AD=BC,AO=CO,
    ∴∠CAD=∠ACB,
    在△AOF和△COE中,

    ∴△AOF≌△COE(ASA),
    ∴AF=CE,
    ∴四边形AECF是平行四边形,
    又∵AB⊥AC,点E为BC的中点,
    ∴AE=CE,
    ∴平行四边形AECF是菱形,故③正确;
    ∴AC⊥EF,
    在Rt△COE中,∠ACE=30°,
    ∴OE=CE=BC=AD,故②正确;
    在平行四边形ABCD中,OA=OC,
    又∵点E为BC的中点,
    ∴S△BOE=S△BOC=S△ABC,故④正确;
    正确的结论由4个,
    故选:A.
    17.(2022•绍兴)将一张以AB为边的矩形纸片,先沿一条直线剪掉一个直角三角形,在剩下的纸片中,再沿一条直线剪掉一个直角三角形(剪掉的两个直角三角形相似),剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD,其中∠A=90°,AB=9,BC=7,CD=6,AD=2,则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是( )
    A.B.C.10D.
    【分析】根据题意,画出相应的图形,然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法,求出剪掉的两个直角三角形的斜边长,然后即可判断哪个选项符合题意.
    【解析】如右图1所示,
    由已知可得,△DFE∽△ECB,
    则,
    设DF=x,CE=y,
    则,
    解得,
    ∴DE=CD+CE=6+=,故选项B不符合题意;
    EB=DF+AD=+2=,故选项D不符合题意;
    如图2所示,
    由已知可得,△DCF∽△FEB,
    则,
    设FC=m,FD=n,
    则,
    解得,
    ∴FD=10,故选项C不符合题意;
    BF=FC+BC=8+6=14,
    故选:A.
    18.(2022•连云港)如图,将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折,使得点A、B、D恰好都落在点O处,且点G、O、C在同一条直线上,同时点E、O、F在另一条直线上.小炜同学得出以下结论:①GF∥EC;②AB=AD;③GE=DF;④OC=2OF;⑤△COF∽△CEG.其中正确的是( )
    A.①②③B.①③④C.①④⑤D.②③④
    【分析】根据折叠的性质和矩形的性质分析判断①;通过点G为AD中点,点E为AB中点,设AD=2a,AB=2b,利用勾股定理分析求得AB与AD的数量关系,从而判断②;利用相似三角形的判定和性质分析判读GE和DF、OC和OF的数量关系,从而判断③和④;根据相似三角形的判定分析判断⑤.
    【解析】由折叠性质可得:DG=OG=AG,AE=OE=BE,OC=BC,
    ∠DGF=∠FGO,∠AGE=∠OGE,∠AEG=∠OEG,∠OEC=∠BEC,
    ∴∠FGE=∠FGO+∠OGE=90°,∠GEC=∠OEG+∠OEC=90°,
    ∴∠FGE+∠GEC=180°,
    ∴GF∥CE,故①正确;
    设AD=2a,AB=2b,则DG=OG=AG=a,AE=OE=BE=b,
    ∴CG=OG+OC=3a,
    在Rt△CGE中,CG2=GE2+CE2,
    (3a)2=a2+b2+b2+(2a)2,
    解得:b=a,
    ∴AB=AD,故②错误;
    在Rt△COF中,设OF=DF=x,则CF=2b﹣x=2a﹣x,
    ∴x2+(2a)2=(2a﹣x)2,
    解得:x=a,
    ∴DF=×a=a,2OF=2×a=2a,
    在Rt△AGE中,GE==a,
    ∴GE=DF,OC=2OF,故③④正确;
    无法证明∠FCO=∠GCE,
    ∴无法判断△COF∽△CEG,故⑤错误;
    综上,正确的是①③④,
    故选:B.
    19.(2022•达州)如图,点E在矩形ABCD的AB边上,将△ADE沿DE翻折,点A恰好落在BC边上的点F处,若CD=3BF,BE=4,则AD的长为( )
    A.9B.12C.15D.18
    【分析】证明△BEF∽△CFD,求得CF,设BF=x,用x表示DF、CD,由勾股定理列出方程即可求解.
    【解析】∵四边形ABCD是矩形,
    ∴AD=BC,∠A=∠EBF=∠BCD=90°,
    ∵将矩形ABCD沿直线DE折叠,
    ∴AD=DF=BC,∠A=∠DFE=90°,
    ∴∠BFE+∠DFC=∠BFE+∠BEF=90°,
    ∴∠BEF=∠CFD,
    ∴△BEF∽△CFD,
    ∴,
    ∵CD=3BF,
    ∴CF=3BE=12,
    设BF=x,则CD=3x,DF=BC=x+12,
    ∵∠C=90°,
    ∴Rt△CDF中,CD2+CF2=DF2,
    ∴(3x)2+122=(x+12)2,
    解得x=3(舍去0根),
    ∴AD=DF=3+12=15,
    故选:C.
    20.(2022•金华)如图是一张矩形纸片ABCD,点E为AD中点,点F在BC上,把该纸片沿EF折叠,点A,B的对应点分别为A′,B′,A′E与BC相交于点G,B′A′的延长线过点C.若=,则的值为( )
    A.2B.C.D.
    【分析】连接FG,CA′,过点G作GT⊥AD于点T.设AB=x,AD=y.设BF=2k,CG=3k.则AE=DE=y,由翻折的性质可知EA=EA′=y,BF=FB′=2k,∠AEF=∠GEF,因为C,A′,B′共线,GA′∥FB′,推出=,推出=,可得y2﹣12ky+32k2=0,推出y=8k或y=4k(舍去),推出AE=DE=4k,再利用勾股定理求出GT,可得结论.
    【解析】连接FG,CA′,过点G作GT⊥AD于点T.设AB=x,AD=y.
    ∵=,
    ∴可以假设BF=2k,CG=3k.
    ∵AE=DE=y,
    由翻折的性质可知EA=EA′=y,BF=FB′=2k,∠AEF=∠GEF,
    ∵AD∥CB,
    ∴∠AEF=∠EFG,
    ∴∠GEF=∠GFE,
    ∴EG=FG=y﹣5k,
    ∴GA′=y﹣(y﹣5k)=5k﹣y,
    ∵C,A′,B′共线,GA′∥FB′,
    ∴=,
    ∴=,
    ∴y2﹣12ky+32k2=0,
    ∴y=8k或y=4k(舍去),
    ∴AE=DE=4k,
    ∵四边形CDTG是矩形,
    ∴CG=DT=3k,
    ∴ET=k,
    ∵EG=8k﹣5k=3k,
    ∴AB=CD=GT==2k,
    ∴==2.
    解法二:不妨设BF=2,CG=3,连接CE,则Rt△CA'E≌Rt△CDE,推出A'C=CD=AB=A'B',==1,推出GF=CG=3,BC=8,在Rt△CB'F,勾股得CB'=4 则A'B'=2,
    故选:A.
    21.(2022•丽水)如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长是( )
    A.B.1C.D.2
    【分析】过点A作平行横线的垂线,交点B所在的平行横线于D,交点C所在的平行横线于E,根据平行线分线段成比例定理列出比例式,计算即可.
    【解析】过点A作平行横线的垂线,交点B所在的平行横线于D,交点C所在的平行横线于E,
    则=,即=2,
    解得:BC=,
    故选:C.
    22.(2022•重庆)如图,△ABC与△DEF位似,点O是它们的位似中心,且相似比为1:2,则△ABC与△DEF的周长之比是( )
    A.1:2B.1:4C.1:3D.1:9
    【分析】根据两三角形位似,周长比等于相似比即可求解.
    【解析】∵△ABC与△DEF位似,点O是它们的位似中心,且相似比为1:2,
    ∴△ABC与△DEF的周长之比是1:2,
    故选:A.
    23.(2022•重庆)如图,△ABC与△DEF位似,点O为位似中心,相似比为2:3.若△ABC的周长为4,则△DEF的周长是( )
    A.4B.6C.9D.16
    【分析】根据位似图形是相似图形,相似三角形的周长比等于相似比,可以求得△DEF的周长.
    【解析】∵△ABC与△DEF位似,相似比为2:3.
    ∴C△ABC:C△DEF=2:3,
    ∵△ABC的周长为4,
    ∴△DEF的周长是6,
    故选:B.
    24.(2022•遂宁)如图,正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B,连接EC、GA,交于点O,GA与BC交于点P,连接OD、OB,则下列结论一定正确的是( )
    ①EC⊥AG;②△OBP∽△CAP;③OB平分∠CBG;④∠AOD=45°;
    A.①③B.①②③C.②③D.①②④
    【分析】由四边形ABCD、四边形BEFG是正方形,可得△ABG≌△CBE(SAS),即得∠BAG=∠BCE,即可证明∠POC=90°,可判断①正确;取AC的中点K,可得AK=CK=OK=BK,即可得∠BOA=∠BCA,从而△OBP∽△CAP,判断②正确,由∠AOC=∠ADC=90°,可得A、O、C、D四点共圆,而AD=CD,故∠AOD=∠DOC=45°,判断④正确,不能证明OB平分∠CBG,即可得答案.
    【解析】∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形,
    ∴AB=BC,BG=BE,∠ABC=90°=∠GBE,
    ∴∠ABC+∠CBG=∠GBE+∠CBG,即∠ABG=∠EBC,
    ∴△ABG≌△CBE(SAS),
    ∴∠BAG=∠BCE,
    ∵∠BAG+∠APB=90°,
    ∴∠BCE+∠APB=90°,
    ∴∠BCE+∠OPC=90°,
    ∴∠POC=90°,
    ∴EC⊥AG,故①正确;
    取AC的中点K,如图:
    在Rt△AOC中,K为斜边AC上的中点,
    ∴AK=CK=OK,
    在Rt△ABC中,K为斜边AC上的中点,
    ∴AK=CK=BK,
    ∴AK=CK=OK=BK,
    ∴A、B、O、C四点共圆,
    ∴∠BOA=∠BCA,
    ∵∠BPO=∠CPA,
    ∴△OBP∽△CAP,故②正确,
    ∵∠AOC=∠ADC=90°,
    ∴∠AOC+∠ADC=180°,
    ∴A、O、C、D四点共圆,
    ∵AD=CD,
    ∴∠AOD=∠DOC=45°,故④正确,
    由已知不能证明OB平分∠CBG,故③错误,
    故正确的有:①②④,
    故选:D.
    二.填空题(共17小题)
    25.(2022•宜宾)如图,△ABC中,点E、F分别在边AB、AC上,∠1=∠2.若BC=4,AF=2,CF=3,则EF= .
    【分析】由∠1=∠2,∠A=∠A,得出△AEF∽△ABC,再由相似三角形的性质即可得出EF的长度.
    【解析】∵∠1=∠2,∠A=∠A,
    ∴△AEF∽△ABC,
    ∴,
    ∵BC=4,AF=2,CF=3,
    ∴,
    ∴EF=,
    故答案为:.
    26.(2022•邵阳)如图,在△ABC中,点D在AB边上,点E在AC边上,请添加一个条件 ∠ADE=∠B或∠AED=∠C或=(答案不唯一) ,使△ADE∽△ABC.
    【分析】要使两三角形相似,已知一组角相等,则再添加一组角或公共角的两边对应成比例即可.
    【解析】∵∠A=∠A,
    ∴当∠ADE=∠B或∠AED=∠C或=时,△ADE∽△ABC,
    故答案为:∠ADE=∠B或∠AED=∠C或=(答案不唯一).
    27.(2022•河北)如图是钉板示意图,每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点,钉点A,B的连线与钉点C,D的连线交于点E,则
    (1)AB与CD是否垂直? 是 (填“是”或“否”);
    (2)AE= .
    【分析】(1)证明△ACM≌△CFD,得出∠CAM=∠FCD,由∠CAM+∠CMA=90°,得出∠FCD+∠CMA=90°,进而得出∠CEM=90°,即可得出AB⊥CD;
    (2)先利用勾股定理求出AB=2,再证明△ACE∽△BDE,利用相似三角形的性质即可求出AE的长度.
    【解析】如图1,
    在△ACM和△CFD中,

    ∴△ACM≌△CFD(SAS),
    ∴∠CAM=∠FCD,
    ∵∠CAM+∠CMA=90°,
    ∴∠FCD+∠CMA=90°,
    ∴∠CEM=90°,
    ∴AB⊥CD,
    故答案为:是;
    (2)如图2,
    在Rt△ABH中,AB===2,
    ∵AC∥BD,
    ∴∠CAE=∠DBE,∠ACE=∠BDE,
    ∴△ACE∽△BDE,
    ∴,
    ∴,
    ∴AE=,
    故答案为:.
    28.(2022•陕西)如图,在菱形ABCD中,AB=4,BD=7.若M、N分别是边AD、BC上的动点,且AM=BN,作ME⊥BD,NF⊥BD,垂足分别为E、F,则ME+NF的值为 .
    【分析】连接AC交BD于O,根据菱形的性质得到BD⊥AC,OB=OD=,OA=OC,根据勾股定理求出OA,证明△DEM∽△DOA,根据相似三角形的性质列出比例式,用含AM的代数式表示ME、NF,计算即可.
    【解析】连接AC交BD于O,
    ∵四边形ABCD为菱形,
    ∴BD⊥AC,OB=OD=,OA=OC,
    由勾股定理得:OA===,
    ∵ME⊥BD,AO⊥BD,
    ∴ME∥AO,
    ∴△DEM∽△DOA,
    ∴=,即=,
    解得:ME=,
    同理可得:NF=,
    ∴ME+NF=,
    故答案为:.
    29.(2022•新疆)如图,四边形ABCD是正方形,点E在边BC的延长线上,点F在边AB上,以点D为中心,将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合,连接EF交DC于点P,连接AC交EF于点Q,连接BQ,若AQ•DP=3,则BQ= .
    【分析】通过证明△BAQ∽△PFD,可得,即可求解.
    【解析】如图,连接DQ,
    ∵将△DCE绕点D顺时针旋转90°与△DAF恰好完全重合,
    ∴DE=DF,∠FDE=90°,
    ∴∠DFE=∠DEF=45°,
    ∵四边形ABCD是正方形,
    ∴∠DAC=45°=∠BAC,
    ∴∠DAC=∠DFQ=45°,
    ∴点A,点F,点Q,点D四点共圆,
    ∴∠BAQ=∠FDQ=45°,∠DAF=∠DQF=90°,∠AFD=∠AQD,
    ∴DF=DQ,
    ∵AD=AB,∠BAC=∠DAC=45°,AQ=AQ,
    ∴△ABQ≌△ADQ(SAS),
    ∴BQ=QD,∠AQB=∠AQD,
    ∵AB∥CD,
    ∴∠AFD=∠FDC,
    ∴∠FDC=∠AQB,
    又∵∠BAC=∠DFP=45°,
    ∴△BAQ∽△PFD,
    ∴,
    ∴AQ•DP=3=BQ•DF,
    ∴3=BQ•BQ,
    ∴BQ=,
    故答案为:.
    30.(2022•嘉兴)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=60°,直尺的一边与BC重合,另一边分别交AB,AC于点D,E.点B,C,D,E处的读数分别为15,12,0,1,则直尺宽BD的长为 .
    【分析】根据正切的定义求出AB,证明△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质列出比例式,把已知数据代入计算即可.
    【解析】由题意得,DE=1,BC=3,
    在Rt△ABC中,∠A=60°,
    则AB===,
    ∵DE∥BC,
    ∴△ADE∽△ABC,
    ∴=,即=,
    解得:BD=,
    故答案为:.
    31.(2022•陕西)在20世纪70年代,我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”,在全国大规模推广,取得了很大成果.如图,利用黄金分割法,所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分,其中E为边AB的黄金分割点,即BE2=AE•AB.已知AB为2米,则线段BE的长为 ﹣1+ 米.
    【分析】根据BE2=AE•AB,建立方程求解即可.
    【解析】∵BE2=AE•AB,
    设BE=x,则AE=(2﹣x),
    ∵AB=2,
    ∴x2=2(2﹣x),
    即x2+2x﹣4=0,
    解得:x1=﹣1,x2=﹣1﹣(舍去),
    ∴线段BE的长为(﹣1+)米.
    故答案为:﹣1+.
    32.(2022•杭州)某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度,把标杆DE直立在同一水平地面上(如图).同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m,EF=2.18m.已知B,C,E,F在同一直线上,AB⊥BC,DE⊥EF,DE=2.47m,则AB= 9.88 m.
    【分析】根据平行投影得AC∥DF,可得∠ACB=∠DFE,证明Rt△ABC∽△Rt△DEF,然后利用相似三角形的性质即可求解.
    【解析】∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m,EF=2.18m.
    ∴AC∥DF,
    ∴∠ACB=∠DFE,
    ∵AB⊥BC,DE⊥EF,
    ∴∠ABC=∠DEF=90°,
    ∴Rt△ABC∽△Rt△DEF,
    ∴,即,
    解得AB=9.88,
    ∴旗杆的高度为9.88m.
    故答案为:9.88.
    33.(2022•娄底)如图,已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ,点D为边BC上的动点(与B、C不重合),将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处,连接BD′.给出下列结论:
    ①△ACD≌△ABD′;
    ②△ACB∽△ADD′;
    ③当BD=CD时,△ADD′的面积取得最小值.
    其中正确的结论有 ①②③ (填结论对应的应号).
    【分析】由题意可知AC=AB,AD=AD′,∠CAD=∠BAD′,即可根据SAS判断△ACD≌△ABD′;根据∠BAC=∠D′AD=θ,=,即可判断△ACB∽△ADD′;由△ACB∽△ADD′,得出=()2,根据等腰三角形三线合一的性质,当BD=CD,则AD⊥BC时,AD最小,△ADD′的面积取得最小值.
    【解析】由题意可知AC=AB,AD=AD′,∠CAD=∠BAD′,
    ∴△ACD≌△ABD′,故①正确;
    ∵AC=AB,AD=AD′,∠BAC=∠D′AD=θ,
    ∴=,
    ∴△ACB∽△ADD′,故②正确;
    ∵△ACB∽△ADD′,
    ∴=()2,
    ∵当AD⊥BC时,AD最小,△ADD′的面积取得最小值.
    而AB=AC,
    ∴BD=CD,
    ∴当BD=CD时,△ADD′的面积取得最小值,故③正确;
    故答案为:①②③.
    34.(2022•娄底)九年级融融陪同父母选购家装木地板,她感觉某品牌木地板拼接图(如实物图)比较美观,通过手绘(如图)、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点,即DE≈0.618AD.延长HF与AD相交于点G,则EG≈ 0.618 DE.(精确到0.001)
    【分析】根据黄金分割的定义可得=≈0.618,再根据题意可得EG=AE,即可解答.
    【解析】∵点E是AD的黄金分割点,且DE≈0.618AD,
    ∴=≈0.618,
    由题意得:
    EG=AE,
    ∴≈0.618,
    ∴EG≈0.618DE,
    故答案为:0.618.
    35.(2022•苏州)如图,在矩形ABCD中,=.动点M从点A出发,沿边AD向点D匀速运动,动点N从点B出发,沿边BC向点C匀速运动,连接MN.动点M,N同时出发,点M运动的速度为v1,点N运动的速度为v2,且v1<v2.当点N到达点C时,M,N两点同时停止运动.在运动过程中,将四边形MABN沿MN翻折,得到四边形MA′B′N.若在某一时刻,点B的对应点B′恰好与CD的中点重合,则的值为 .
    【分析】如图,设AD交AB′于点Q.设BN=NB′=x.利用勾股定理求出x(用k表示),再利用相似三角形的性质求出AM(用k表示),可得结论.
    【解析】如图,设AD交AB′于点Q.设BN=NB′=x.
    ∵=,
    ∴可以假设AB=2k,CB=3k,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴AD=BC=3k,CD=AB=2k,∠C=∠D=90°,
    在Rt△CNB′中,CN2+CB′2=NB′2,
    ∴(3k﹣x)2+k2=x2,
    ∴x=k,
    ∴NB′=k,CN=3k﹣k=k,
    由翻折的性质可知∠A′B′N=∠B=90°,
    ∴∠DB′Q+∠CB′N=90°,∠CB′N+∠CNB′=90°,
    ∴∠DB′Q=∠CNB′,
    ∵∠D=∠C=90°,
    ∴△DB′Q∽△CNB′,
    ∴DQ:DB′:QB′=CB′:CN:NB′=3:4:5,
    ∵DB′=k,
    ∴DQ=k,
    ∵∠DQB′=∠MQA′,∠D=∠A′,
    ∴△DQB′∽△A′QM,
    ∴A′Q:A′M:QM=DQ:DB′:QB′=3:4:5,
    设AM=MA′=y,
    则MQ=y,
    ∵DQ+QM+AM=3k,
    ∴k+y+y=3k,
    ∴y=k,
    ∴===,
    故答案为:.
    36.(2022•湖州)如图,已知在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,DE∥BC,=.若DE=2,则BC的长是 6 .
    【分析】由平行线的旋转得出∠ADE=∠B,∠AED=∠C,得出△ADE∽△ABC,由相似三角形的旋转得出,代入计算即可求出BC的长度.
    【解析】∵DE∥BC,
    ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,
    ∴△ADE∽△ABC,
    ∴,
    ∵=,DE=2,
    ∴,
    ∴BC=6,
    故答案为:6.
    37.(2022•武威)如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=9cm,点E,F分别在边AB,BC上,AE=2cm,BD,EF交于点G,若G是EF的中点,则BG的长为 cm.
    【分析】根据矩形的性质可得AB=CD=6cm,∠ABC=∠C=90°,AB∥CD,从而可得∠ABD=∠BDC,然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG,从而可得∠BEG=∠ABD,进而可得∠BEG=∠BDC,再证明△EBF∽△DCB,利用相似三角形的性质可求出BF的长,最后在Rt△BEF中,利用勾股定理求出EF的长,即可解答.
    【解析】∵四边形ABCD是矩形,
    ∴AB=CD=6cm,∠ABC=∠C=90°,AB∥CD,
    ∴∠ABD=∠BDC,
    ∵AE=2cm,
    ∴BE=AB﹣AE=6﹣2=4(cm),
    ∵G是EF的中点,
    ∴EG=BG=EF,
    ∴∠BEG=∠ABD,
    ∴∠BEG=∠BDC,
    ∴△EBF∽△DCB,
    ∴=,
    ∴=,
    ∴BF=6,
    ∴EF===2(cm),
    ∴BG=EF=(cm),
    故答案为:.
    38.(2022•温州)如图是某风车示意图,其相同的四个叶片均匀分布,水平地面上的点M在旋转中心O的正下方.某一时刻,太阳光线恰好垂直照射叶片OA,OB,此时各叶片影子在点M右侧成线段CD,测得MC=8.5m,CD=13m,垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2:3,则点O,M之间的距离等于 10 米.转动时,叶片外端离地面的最大高度等于 (10+) 米.
    【分析】解法一:作平行线OP,根据平行线分线段成比例定理可知PC=PD,由EF与影子FG的比为2:3,可得OM的长,同法由等角的正弦可得OB的长,从而得结论;
    解法二:作辅助线,构建直角△CND,证明△HMC∽△EFG,根据垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2:3,列比例式可得HM的长,由三角函数的定义可得CN的长,从而得OA=OB=,由此可解答.
    【解析】解法一:如图,过点O作OP∥BD,交MG于P,过P作PN⊥BD于N,则OB=PN,
    ∵AC∥BD,
    ∴AC∥OP∥BD,
    ∴=,∠EGF=∠OPM,
    ∵OA=OB,
    ∴CP=PD=CD=6.5,
    ∴MP=CM+CP=8.5+6.5=15,
    tan∠EGF=tan∠OPM,
    ∴==,
    ∴OM=×15=10;
    ∵DB∥EG,
    ∴∠EGF=∠NDP,
    ∴sin∠EGF=sin∠NDP,即=,
    ∴OB=PN=,
    以点O为圆心,OA的长为半径作圆,当OB与OM共线时,叶片外端离地面的高度最大,其最大高度等于(10+)米.
    解法二:如图,设AC与OM交于点H,过点C作CN⊥BD于N,
    ∵HC∥EG,
    ∴∠HCM=∠EGF,
    ∵∠CMH=∠EFG=90°,
    ∴△HMC∽△EFG,
    ∴==,即=,
    ∴HM=,
    ∵BD∥EG,
    ∴∠BDC=∠EGF,
    ∴tan∠BDC=tan∠EGF,
    ∴==,
    设CN=2x,DN=3x,则CD=x,
    ∴x=13,
    ∴x=,
    ∴AB=CN=2,
    ∴OA=OB=AB=,
    在Rt△AHO中,∵∠AHO=∠CHM,
    ∴sin∠AHO==,
    ∴=,
    ∴OH=,
    ∴OM=OH+HM=+=10,
    以点O为圆心,OA的长为半径作圆,当OB与OM共线时,叶片外端离地面的高度最大,其最大高度等于(10+)米.
    故答案为:10,(10+).
    39.(2022•绍兴)如图,AB=10,点C是射线BQ上的动点,连结AC,作CD⊥AC,CD=AC,动点E在AB延长线上,tan∠QBE=3,连结CE,DE,当CE=DE,CE⊥DE时,BE的长是 .
    【分析】如图,过点C作CT⊥AE于点T,过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J,连接EJ.由tan∠CBT=3=,可以假设BT=k,CT=3k,证明△ATC≌△CJD(AAS),推出DJ=CT=3k,AT=CJ=10+k,再利用勾股定理,构建方程求解即可.
    【解析】如图,过点C作CT⊥AE于点T,过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J,连接EJ.
    ∵tan∠CBT=3=,
    ∴可以假设BT=k,CT=3k,
    ∵∠CAT+∠ACT=90°,∠ACT+∠JCD=90°,
    ∴∠CAT=∠JCD,
    在△ATC和△CJD中,

    ∴△ATC≌△CJD(AAS),
    ∴DJ=CT=3k,AT=CJ=10+k,
    ∵∠CJD=∠CED=90°,
    ∴C,E,D,J四点共圆,
    ∵EC=DE,
    ∴∠CJE=∠DJE=45°,
    ∴ET=TJ=10﹣2k,
    ∵CE2=CT2+TE2=(CD)2,
    ∴(3k)2+(10﹣2k)2=[•]2,
    整理得4k2﹣25k+25=0,
    ∴(k﹣5)(4k﹣5)=0,
    ∴k=5和,
    ∴BE=BT+ET=k+10﹣2k=10﹣k=5或,
    故答案为:5或.
    40.(2022•达州)人们把≈0.618这个数叫做黄金比,著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.a=,b=,记S1=+,S2=+,…,S100=+,则S1+S2+…+S100= 5050 .
    【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1,S2=2,S100=100,…,利用规律求解即可.
    【解析】∵a=,b=,
    ∴ab=×=1,
    ∵S1=+==1,
    S2=+==2,
    …,
    S100=+==100,
    ∴S1+S2+…+S100=1+2+…+100=5050,
    故答案为:5050.
    41.(2022•成都)如图,△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若OA:AD=2:3,则△ABC与△DEF的周长比是 2:5 .
    【分析】先根据位似的性质得到△ABC和△DEF的位似比为OA:OD,再利用比例性质得到OA:OD=2:5,然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解.
    【解析】∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.
    ∴△ABC和△DEF的位似比为OA:OD,
    ∵OA:AD=2:3,
    ∴OA:OD=2:5,
    ∴△ABC与△DEF的周长比是2:5.
    故答案为:2:5.
    三.解答题(共9小题)
    42.(2022•宜宾)如图,点C是以AB为直径的⊙O上一点,点D是AB的延长线上一点,在OA上取一点F,过点F作AB的垂线交AC于点G,交DC的延长线于点E,且EG=EC.
    (1)求证:DE是⊙O的切线;
    (2)若点F是OA的中点,BD=4,sin∠D=,求EC的长.
    【分析】(1)要证明DE是⊙O的切线,只要证明OC⊥CD即可,根据题目中的条件和等腰三角形的性质、直角三角形的性质,可以得到∠OCD=90°,从而可以证明结论成立;
    (2)根据相似三角形的判定与性质和题目中的数据,可以求得DE和CD的长,从而可以得到EC的长.
    【解答】(1)证明:连接OC,如图所示,
    ∵EF⊥AB,AB为⊙O的切线,
    ∴∠GFA=90°,∠ACB=90°,
    ∴∠A+∠AGF=90°,∠A+∠ABC=90°,
    ∴∠AGF=∠ABC,
    ∵EG=EC,OC=OB,
    ∴∠EGC=∠ECG,∠ABC=∠BCO,
    又∵∠AGF=∠EGC,
    ∴∠ECG=∠BCO,
    ∵∠BCO+∠ACO=90°,
    ∴∠ECG+∠ACO=90°,
    ∴∠ECO=90°,
    ∴DE是⊙O的切线;
    (2)解:由(1)知,DE是⊙O的切线,
    ∴∠OCD=90°,
    ∵BD=4,sin∠D=,OC=OB,
    ∴=,
    即=,
    解得OC=2,
    ∴OD=6,
    ∴DC===4,
    ∵点E为OA的中点,OA=OC,
    ∴OF=1,
    ∴DF=7,
    ∵∠EFD=∠OCD,∠EDF=∠ODC,
    ∴△EFD∽△OCD,
    ∴,
    即,
    解得DE=,
    ∴EC=ED﹣DC=﹣4=,
    即EC的长是.
    43.(2022•常德)如图,已知AB是⊙O的直径,BC⊥AB于B,E是OA上的一点,ED∥BC交⊙O于D,OC∥AD,连接AC交ED于F.
    (1)求证:CD是⊙O的切线;
    (2)若AB=8,AE=1,求ED,EF的长.
    【分析】(1)连接OD,证明△BOC≌△DOC根据全等三角形的性质得到∠ODC=∠OBC=90°,根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线;
    (2)过点D作DH⊥BC于H,根据勾股定理求出ED,根据矩形的性质、勾股定理求出BC,再根据相似三角形的性质求出EF.
    【解答】(1)证明:连接OD,
    ∵AD∥OC,
    ∴∠BOC=∠OAD,∠DOC=∠ODA,
    ∵OA=OD,
    ∴∠OAD=∠OAD,
    ∴∠BOC=∠DOC,
    在△BOC和△DOC中,

    ∴△BOC≌△DOC(SAS),
    ∴∠ODC=∠OBC=90°,
    ∵OD为⊙O的半径,
    ∴CD是⊙O的切线;
    (2)解:过点D作DH⊥BC于H,
    ∵ED∥BC,
    ∴∠OED=180°﹣∠ABC=90°,
    则四边形EBHD为矩形,
    ∴BH=ED,DH=BE=7,
    ∵AB=8,AE=1,
    ∴OE=3,
    ∴ED===,
    ∵CB、CD是⊙O的切线
    ∴CB=CD,
    设CB=CD=x,则CH=x﹣,
    在Rt△DHC中,DH2+CH2=CD2,即72+(x﹣)2=x2,
    解得:x=4,即BC=4,
    ∵ED∥BC,
    ∴=,即=,
    解得:EF=.
    44.(2022•广元)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O交AB于点D,点E是边BC的中点,连结DE.
    (1)求证:DE是⊙O的切线;
    (2)若AD=4,BD=9,求⊙O的半径.
    【分析】(1)连接OD,CD,根据已知可得∠ACD+∠DCB=90°,利用等腰三角形的性质可得∠OCD=∠ODC,根据直径所对的圆周角是直角可得∠CDB=90°,从而利用直角三角形斜边上的中线可得DE=CE,进而可得∠DCE=∠CDE,然后可得∠ODC+∠CDE=90°,即可解答;
    (2)利用(1)的结论可证△ACB∽△ADC,从而利用相似三角形的性质可求出AC的长,即可解答.
    【解答】(1)证明:连接OD,CD,
    ∵∠ACB=90°,
    ∴∠ACD+∠DCB=90°,
    ∵OC=OD,
    ∴∠OCD=∠ODC,
    ∵AC是⊙O的直径,
    ∴∠ADC=90°,
    ∴∠CDB=180°﹣∠ADC=90°,
    ∵点E是边BC的中点,
    ∴DE=CE=BC,
    ∴∠DCE=∠CDE,
    ∴∠ODC+∠CDE=90°,
    ∴∠ODE=90°,
    ∵OD是⊙O的半径,
    ∴DE是⊙O的切线;
    (2)解:∵AD=4,BD=9,
    ∴AB=AD+BD=4+9=13,
    ∵∠ACB=∠ADC=90°,∠A=∠A,
    ∴△ACB∽△ADC,
    ∴=,
    ∴AC2=AD•AB=4×13=52,
    ∴AC=2,
    ∴⊙O的半径为.
    45.(2022•常德)在四边形ABCD中,∠BAD的平分线AF交BC于F,延长AB到E使BE=FC,G是AF的中点,GE交BC于O,连接GD.
    (1)当四边形ABCD是矩形时,如图1,求证:①GE=GD;②BO•GD=GO•FC.
    (2)当四边形ABCD是平行四边形时,如图2,(1)中的结论都成立.请给出结论②的证明.
    【分析】(1)连接CG,过点G作GJ⊥CD于点J.证明△EAG≌△DAG(SAS),可得EG=DG,∠AEG=∠ADG,再证明△OBE∽△OGC,推出=,可得结论;
    (2)过点D作DT⊥BC于点T,连接GT.证明△EAG≌△DAG(SAS),推出EG=DG,∠AEG=∠ADG,再证明△OBE∽△OGT,推出=,可得结论.
    【解答】(1)证明:连接CG,过点G作GJ⊥CD于点J.
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠BAD=∠ABC=90°,AD=BC,
    ∵AF平分∠BAD,
    ∴∠BAF=∠DAF=45°,
    ∴∠AFB=∠BAF=45°,
    ∴BA=BF,
    ∵BE=CF,
    ∴AE=AB+BE=BF+CF=BC=AD,
    ∵AG=AG,
    ∴△EAG≌△DAG(SAS),
    ∴EG=DG,∠AEG=∠ADG,
    ∵AD∥FC,AG=GF,
    ∴DJ=JC,
    ∵GJ⊥CD,
    ∴GD=GC,
    ∴∠GDC=∠GCD,
    ∵∠ADC=∠BCD=90°,
    ∴∠ADG=∠GCO,
    ∴∠OEB=∠OCG,
    ∵∠BOE=∠GOC,
    ∴△OBE∽△OGC,
    ∴=,
    ∵GC=GD,BE=CF,
    ∴BO•GD=GO•FC;
    (2)解:过点D作DT⊥BC于点T,连接GT.
    ∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴AD=BC,AD∥BC,
    ∴∠DAG=∠AFB,
    ∵AF平分∠DAB,
    ∴∠DAG=∠BAF,
    ∴BAF=∠AFB,
    ∴AB=BF,
    ∴AE=AB+BE=BF+CF=BC=AD,
    ∵AG=AG,
    ∴△EAG≌△DAG(SAS),
    ∴∠AEG=∠ADG,
    ∵AD∥FT,AG=GF,
    ∴DJ=JT,
    ∵GJ⊥DT,
    ∴GD=GT,
    ∴∠GDT=∠GTD,
    ∵∠ADT=∠BTD=90°,
    ∴∠ADG=∠GTO,
    ∴∠OEB=∠OTG,
    ∵∠BOE=∠GOT,
    ∴△OBE∽△OGT,
    ∴=,
    ∵GC=GD,BE=CF,
    ∴BO•GD=GO•FC.
    46.(2022•孝感)问题背景:
    一次数学综合实践活动课上,小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1,已知AD是△ABC的角平分线,可证=.小慧的证明思路是:如图2,过点C作CE∥AB,交AD的延长线于点E,构造相似三角形来证明=.
    尝试证明:
    (1)请参照小慧提供的思路,利用图2证明:=;
    应用拓展:
    (2)如图3,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是边BC上一点.连接AD,将△ACD沿AD所在直线折叠,点C恰好落在边AB上的E点处.
    ①若AC=1,AB=2,求DE的长;
    ②若BC=m,∠AED=α,求DE的长(用含m,α的式子表示).
    【分析】(1)证明△CED∽△BAD,由相似三角形的性质得出,证出CE=CA,则可得出结论;
    (2)①由折叠的性质可得出∠CAD=∠BAD,CD=DE,由(1)可知,,由勾股定理求出BC=,则可求出答案;
    ②由折叠的性质得出∠C=∠AED=α,则tan∠C=tanα=,方法同①可求出CD=,则可得出答案.
    【解答】(1)证明:∵CE∥AB,
    ∴∠E=∠EAB,∠B=∠ECB,
    ∴△CED∽△BAD,
    ∴,
    ∵∠E=∠EAB,∠EAB=∠CAD,
    ∴∠E=∠CAD,
    ∴CE=CA,
    ∴.
    (2)解:①∵将△ACD沿AD所在直线折叠,点C恰好落在边AB上的E点处,
    ∴∠CAD=∠BAD,CD=DE,
    由(1)可知,,
    又∵AC=1,AB=2,
    ∴,
    ∴BD=2CD,
    ∵∠BAC=90°,
    ∴BC===,
    ∴BD+CD=,
    ∴3CD=,
    ∴CD=;
    ∴DE=;
    ②∵将△ACD沿AD所在直线折叠,点C恰好落在边AB上的E点处,
    ∴∠CAD=∠BAD,CD=DE,∠C=∠AED=α,
    ∴tan∠C=tanα=,
    由(1)可知,,
    ∴tanα=,
    ∴BD=CD•tanα,
    又∵BC=BD+CD=m,
    ∴CD•tanα+CD=m,
    ∴CD=,
    ∴DE=.
    47.(2022•泰安)如图,矩形ABCD中,点E在DC上,DE=BE,AC与BD相交于点O,BE与AC相交于点F.
    (1)若BE平分∠CBD,求证:BF⊥AC;
    (2)找出图中与△OBF相似的三角形,并说明理由;
    (3)若OF=3,EF=2,求DE的长度.
    【分析】(1)根据矩形的性质和角平分线的定义,求得∠3=∠6,从而求证BF⊥AC;
    (2)根据相似三角形的判定进行分析判断;
    (3)利用相似三角形的性质分析求解.
    【解答】(1)证明:如图,
    在矩形ABCD中,OD=OC,AB∥CD,∠BCD=90°,
    ∴∠2=∠3=∠4,∠3+∠5=90°,
    ∵DE=BE,
    ∴∠1=∠2,
    又∵BE平分∠DBC,
    ∴∠1=∠6,
    ∴∠3=∠6,
    ∴∠6+∠5=90°,
    ∴BF⊥AC;
    (2)解:与△OBF相似的三角形有△ECF,△BAF,△EBC,理由如下:
    由(1)可得∠1=∠4,BF⊥AC,
    ∴∠AFB=∠BFC=90°,
    ∴△ABF∽△BOF,
    ∵∠1=∠3,∠EFC=∠BFO,
    ∴△ECF∽△BOF,
    ∵∠1=∠6,∠CFB=∠BCD=90°,
    ∴△EBC∽△OBF;
    (3)解:∵△ECF∽△BOF,
    ∴,
    ∴,即3CF=2BF,
    ∴3OA=2BF+9①,
    ∵△ABF∽△BOF,
    ∴,
    ∴BF2=OF•AF,
    ∴BF2=3(OA+3)②,
    联立①②,可得BF=1±(负值舍去),
    ∴DE=BE=2+1+=3+.
    48.(2022•杭州)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,连接DE,EF.已知四边形BFED是平行四边形,=.
    (1)若AB=8,求线段AD的长.
    (2)若△ADE的面积为1,求平行四边形BFED的面积.
    【分析】(1)证明△ADE∽△ABC,根据相似三角形对应边的比相等列式,可解答;
    (2)根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得△ABC的面积是16,同理可得△EFC的面积=9,根据面积差可得答案.
    【解析】(1)∵四边形BFED是平行四边形,
    ∴DE∥BF,
    ∴DE∥BC,
    ∴△ADE∽△ABC,
    ∴==,
    ∵AB=8,
    ∴AD=2;
    (2)∵△ADE∽△ABC,
    ∴=()2=()2=,
    ∵△ADE的面积为1,
    ∴△ABC的面积是16,
    ∵四边形BFED是平行四边形,
    ∴EF∥AB,
    ∴△EFC∽△ABC,
    ∴=()2=,
    ∴△EFC的面积=9,
    ∴平行四边形BFED的面积=16﹣9﹣1=6.
    49.(2022•江西)如图,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,∠ACD=∠ABE.
    (1)求证:△ABC∽△AEB;
    (2)当AB=6,AC=4时,求AE的长.
    【分析】(1)根据两角相等可得两三角形相似;
    (2)根据(1)中的相似列比例式可得结论.
    【解答】(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,
    ∴∠ACD=∠BCA,
    ∵∠ACD=∠ABE,
    ∴∠BCA=∠ABE,
    ∵∠BAC=∠EAB,
    ∴△ABC∽△AEB;
    (2)解:∵△ABC∽△AEB,
    ∴=,
    ∵AB=6,AC=4,
    ∴=,
    ∴AE==9.
    50.(2022•宁波)【基础巩固】
    (1)如图1,在△ABC中,D,E,F分别为AB,AC,BC上的点,DE∥BC,BF=CF,AF交DE于点G,求证:DG=EG.
    【尝试应用】
    (2)如图2,在(1)的条件下,连结CD,CG.若CG⊥DE,CD=6,AE=3,求的值.
    【拓展提高】
    (3)如图3,在▱ABCD中,∠ADC=45°,AC与BD交于点O,E为AO上一点,EG∥BD交AD于点G,EF⊥EG交BC于点F.若∠EGF=40°,FG平分∠EFC,FG=10,求BF的长.
    【分析】(1)证明△AGD∽△AFB,△AFC∽△AGE,根据相似三角形的性质得到=,进而证明结论;
    (2)根据线段垂直平分线的性质求出CE,根据相似三角形的性质计算,得到答案;
    (3)延长GE交AB于M,连接MF,过点M作MN⊥BC于N,根据直角三角形的性质求出∠EFG,求出∠MFN=30°,根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可.
    【解答】(1)证明:∵DE∥BC,
    ∴△AGD∽△AFB,△AFC∽△AGE,
    ∴=,=,
    ∴=,
    ∵BF=CF,
    ∴DG=EG;
    (2)解:∵DG=EG,CG⊥DE,
    ∴CE=CD=6,
    ∵DE∥BC,
    ∴△ADE∽△ABC,
    ∴===;
    (3)解:延长GE交AB于M,连接MF,过点M作MN⊥BC于N,
    ∵四边形ABCD为平行四边形,
    ∴OB=OD,∠ABC=∠ADC=45°,
    ∵MG∥BD,
    ∴ME=GE,
    ∵EF⊥EG,
    ∴FM=FG=10,
    在Rt△GEF中,∠EGF=40°,
    ∴∠EFG=90°﹣40°=50°,
    ∵FG平分∠EFC,
    ∴∠GFC=∠EFG=50°,
    ∵FM=FG,EF⊥GM,
    ∴∠MFE=∠EFG=50°,
    ∴∠MFN=30°,
    ∴MN=MF=5,
    ∴NF==5,
    ∵∠ABC=45°,
    ∴BN=MN=5,
    ∴BF=BN+NF=5+5.
    声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2022/6/27 11:36:33;用户:账号1;邮箱:yzsysx1@xyh.cm;学号:25670025
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