（冲刺高考）2024年四川省高考适应性训练数学试题

这是一份（冲刺高考）2024年四川省高考适应性训练数学试题，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ）
A．B．
C．D．
3．若直线：与直线：互相垂直，则的值为（ ）
A．B．C．或D．1或
4．已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（ ）．
A．30B．29C．28D．27
5．某校A､B､C､D､E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，且都不能在第3号位置，则不同的出场次序有（ ）种.
A．18B．36C．60D．72
6．如图，一个底面边长为cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（ ）
A．B．C．D．
8．设函数，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在有且仅有3个极大值点
②在有且仅有2个极小值点
③在单调递增
④的取值范围是
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
9．己知事件A，B是相互独立事件，且，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知双曲线C：的上、下焦点分别为，，过点作斜率为的直线l与C的上支交于M，N两点（点M在第一象限），A为线段的中点，O为坐标原点.若C的离心率为2，则（ ）
A．B．
C．可以是直角D．直线OA的斜率为
11．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意x，，，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．中常数项是 ．（写出数字）
13．在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .
14．设、是椭圆：（）与双曲线：（，）的公共焦点，曲线、在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是 .
四、解答题
15．在中，内角的对边分别为，且．
(1)求；
(2)线段上一点满足，求的长度．
16．已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值．
17．在图1的直角梯形中，，点是边上靠近于点的三等分点，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2．
(1)求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度，若不存在说明理由．
18．已知斜率为的直线交抛物线于、两点，线段的中点的横坐标为．
(1)求抛物线的方程；
(2)设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于、两点，分别在点、处作抛物线的切线，两条切线交于点，则的面积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及此时对应的直线的方程；若不存在，请说明理由．
19．已知函数．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)设，当时，函数的图象在函数的图象的下方，求的最大值．
参考答案：
1．B
【分析】直接利用交集的定义求解即可
【详解】，
故选：B
2．D
【分析】根据向量基底的定义解答即可.
【详解】因为能与，构成基底的向量与，不共面.
又，，，
则，，都分别与，共面，故ABC错误；
假设与，共面，
则存在，使得，
则，
所以共面，这与为基底矛盾，假设不成立，
所以与，不共面，可构成基底，故D正确.
故选：D.
3．D
【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可.
【详解】解：因为直线：与直线：互相垂直，
所以，解得或.
故选：D
4．B
【分析】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可
【详解】奇数项共有项，其和为，
∴．
偶数项共有n项，其和为，
∴．
故选：B．
5．B
【分析】因为在的前面出场，且，都不在3号位置，分在1号位置，在2号位置，在4号位置三种情况进行分类，在利用排列公式及可求出结果.
【详解】因为在的前面出场，且，都不在3号位置，则情况如下：
①在1号位置，又2、4、5三种位置选择，有种次序；
②在2号位置，有4,5号两种选择，有种次序；
③在4号位置，有5号一种选择，有种；
故共有种.
故选：B.
6．A
【分析】由水上升的体积得圆锥体积，然后求得圆锥的高、母线得侧面积．
【详解】依题意可得圆锥的体积，
又（其中h为圆锥的高），则cm，
则圆锥的母线长为cm，故圆锥的侧面积为．
故选：A．
7．A
【分析】由双曲线的定义，结合双曲线的离心率，得双曲线的方程及渐近线的方程，
再设，由双曲线的方程求点到两条渐近线的距离之和.
【详解】
设半焦距为c，延长交于点N，由于PM是的平分线，，
所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中点.
根据双曲线的定义可知，即，由于是的中点，
所以MO是的中位线，所以，
又双曲线的离心率为，所以，，所以双曲线C的方程为.
所以，，双曲线C的渐近线方程为，
设，T到两渐近线的距离之和为S，则，
由，即，
又T在上，则，即，解得，，
由，故，即距离之和为.
故选：A.
【点睛】由平面几何知识，，依据双曲线的定义，可将转化为用a表示，进而的双曲线的标准方程.
8．C
【分析】画出图象，根据在有且仅有5个零点，求出，④正确；数形结合得到有且仅有3个极大值点，可能有2个极小值点，也有可能有3个极小值点，①正确，②错误；整体法求出在单调递增.
【详解】第④，因为，故当时，，画出函数的图象如下：
因为在有且仅有5个零点，故，
解得，④正确；
第①，当，或，即，或时，取得极大值，故在有且仅有3个极大值点，①正确；
第②，当，即时，
当，，即，时，取得极小值，此时在有且仅有2个极小值点
当，即时，
当，或，即，或时，取得极小值，此时在有且仅有3个极小值点，②错误；
第③，当时，，
因为，所以，由于，
故在单调递增，③正确.
故选：C
9．AC
【分析】由独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解.
【详解】事件A，B是相互独立事件，且，
则，解得，，A选项正确，B选项错误；
，C选项正确；
，D选项错误.
故选：AC
10．ABD
【分析】ABC由直线的倾斜角，三角函数的诱导公式，余弦定理和双曲线的性质及离心率求出；D用点差法，结合中点和离心率，斜率公式求出.
【详解】
A：设直线的倾斜角为，因为直线的斜率为，所以，
则，所以，
由同角的三角函数关系可得，
在中由余弦定理可得：，
设，由双曲线定义可得，
因为离心率，
所以
将上述各式代入余弦定理可得，解得，
所以，故A正确；
B：延用A的解析，由互补角可知，
同理设，在中由余弦定理可得：，
由双曲线定义可得，
因为离心率，
所以
将上述各式代入余弦定理可得，解得，
所以，，
故B正确；
C：延用AB的解析，，，
在中由余弦定理可求得，
解得，
同理，在中由余弦定理可得，
因为，由余弦定理可得，故C错误；
D：设，
则，且A为线段的中点，
由点差法可得，
又，
所以，故D正确；
故选：ABD.
11．BD
【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.
【详解】令，得，因为，
所以，所以A错误；
令，得①，所以，
因为是奇函数，所以是偶函数，
所以②，由①②，
得，
即，
所以，
所以，是周期为3的函数，所以，
，
所以B正确，C错误；
因为，
在①中令得，
所以，
，所以D正确．
故选：BD．
【点睛】对于可导函数有：
奇函数的导数为偶函数
偶函数的导数为奇函数
若定义在R上的函数是可导函数，且周期为T，则其导函数是周期函数，且周期也为T
12．11
【分析】利用展开式的通项，找两项中的常数项即可求解.
【详解】的展开式中当，，2对应的次数分别为0，0，3和1，2，0时即为常数，
所以常数项为．
故答案为：11．
13．
【分析】设，在等腰中，求得，设的外心是，外接圆半径是，由正弦定理得，设外接球球心是，可得是直角梯形，设可得，把（）也用表示，然后可表示出外接球半径，利用三角恒等变换，换元法，变形后由基本不等式求得最小值，从而得球表面积的最小值．
【详解】设，在等腰中，，
设的外心是，外接圆半径是，
则，∴，
设外接球球心是，则平面，平面，则，
同理，，
又平面，所以，是直角梯形，
设，外接球半径为，即，
则，所以，
在直角中，，，
，，∴，
，
令，则，
，
当且仅当，时等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：.
【点睛】思路点睛：本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是用一个变量表示出球的表面积，前提是选定一个参数，由已知设，其他量都用表示，并利用三角函数恒等变换，换元法，基本不等式等求得最小值．考查了学生的运算求解能力，逻辑思维能力，属于难题．
14．
【分析】根据椭圆及双曲线的定义，设，则，中利用余弦定理可求得两个离心率之间的关系式，进一步即可求得范围.
【详解】设，由，
所以，
由，得，
化为，所以，
由，可得，
所以，所以，
故答案为：.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）由余弦边角关系及已知得，再由余弦定理即可求；
（2）由题设得，且，，在、应用正弦定理得、，即可求的长度．
【详解】（1）由题设及余弦定理知：，
所以，又，，
所以.
（2）
由题设，且，，
在中，则，
在中，则，
综上，可得，则，故.
16．(1)；
(2)10.
【分析】（1）根据关系及递推式可得，结合等比数列定义写出通项公式，即可得结果；
（2）应用裂项相消法求，由不等式能成立及指数函数性质求得，即可得结果.
【详解】（1）当时，，
所以，则，而，
所以，故是首项、公比都为2的等比数列，
所以.
（2）由，
所以，
要使，即，
由且，则.
所以使得成立的的最小值为10.
17．(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由直角梯形边长可知，连接交于点，由线面垂直的判定定理可证明平面，即可得出结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用二面角的大小为解方程即可求得线段的长度为.
【详解】（1）根据题意，由直角梯形边长可知；
又点是边上靠近于点的三等分点，所以，可得为等边三角形；
连接，交于点，如下图所示：
可得四边形为菱形，所以，
即折起后，如下图所示：
易知，又，满足，即；
又，平面，所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
（2）以为坐标原点，分别以为轴，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：
则；
可得，
假设存在点满足题意，设，
所以，则，
由（1）可知平面，利用易得平面的一个法向量可取为
设平面的一个法向量为，
则，可得；
所以，解得或（舍），
此时，可得；
即线段的长度为.
18．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）设点、，由已知可得出，利用斜率公式以及抛物线的方程可求得的值，由此可得出抛物线的方程；
（2）设点、，分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出，求出两切线的方程，进而可求得点的坐标，分析可得出，求出，利用二次函数的基本性质可求得面积的最小值，及其对应的直线的方程.
【详解】（1）解：设点、，因为直线的斜率为，则，
因为线段的中点的横坐标为，则，
，可得，
所以，抛物线的方程为.
（2）解：设点、，易知点，
若直线的斜率不存在，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，
设直线的方程为，联立可得，
，由韦达定理可得，，
由焦点弦长公式可得，
对函数求导得，则直线的方程为，即，
同理可知，直线的方程为，
联立可得，即点，
则，，
所以，，即，
且，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的面积存在最小值，且最小值为，
此时，直线的方程为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
19．(1)
(2)答案见详解
(3)
【分析】（1）对函数求导后，利用，求解即可；
（2）对函数求导后，讨论的范围，考查的正负即可；
（3）依题意，恒成立，不等式化为，构造函数，求得的最大值，令最大值小于零，即，构造函数，考查函数的单调性，进一步分析即可.
【详解】（1）由题，函数的定义域为，
则，，
由于曲线在点处的切线与直线垂直，
则，所以，
解得，.
（2），
故当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，令，得，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上所述：
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）依题知，当时，恒成立，
即恒成立，
化简为，
设，
则，
当时，恒成立，
故在单调递增，
此时不符合题意；
当时，，
令，得，令，得，
所以在单调递增，在单调递减，
则恒成立，
化为，
设，
则恒成立，
则在上单调递增，
又，且，，
故的最大值为.
【点睛】方法点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.