上海实验学校2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷

这是一份上海实验学校2023-2024学年高三下学期开学考试数学试卷，共8页。试卷主要包含了02等内容，欢迎下载使用。
一､填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1.已知集合，则__________.
2.抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为__________.
3.复数满足（为虚数单位），则__________.
4.若正数满足，则的最大值为__________.
5.若圆锥的侧面展开图是一个半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为__________.
6.已知，且，则__________.
7.某学校拟开展研究性学习活动，现有四名优秀教师将对三个研究性学习小组予以指导，若每个小组至少需要一名指导教师，且每位指导教师都恰好指导一个小组，则不同的指导方案数为__________.
8.高三年级某8位同学的体重分别为（单位：），现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是__________.
9.已知均为单位向量，且，则与的夹角为__________.
10.已知曲线，点是曲线上任意两个不同点，若，则称两点心有灵犀，若始终心有灵犀，则的最小值的正切值__________.
11.已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的两三项是，以此类推，则下列说法正确的是__________.
①第10个1出现在第46项；
②该数列的前55项的和是1012；
③存在连续六项之和是3的倍数；
④满足前项之和为2的整数幂，且的最小整数的值为440
12.已知函数的最小值为0，则的值为__________.
二､选择题（本大题共4题，满分20分）
13.上海市实验学校艺术节举行弹钢琴比赛，现有21位选手报名参赛，初赛成绩各不相同，取前10名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道21名同学成绩的（ ）
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
14.将函数的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿轴向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（ ）
A. B. C. D.
15.如图，三棱柱满足棱长都相等，且平面是棱的中点，是棱上的动点，设，随着增大，平面与底面所成钝二面角的平面角是（ ）
A.减小 B.先减小再增大 C.先增大再减小 D.增大
16.已知，函数在点处的切线均经过坐标原点，则（ ）
A. B.
C. D.
三､解答题（本大题共有5题，满分76分）
17.已知函数.
（1）求函数的最小值和单调增区间；
（2）设角为的三个内角，若，求.
18.如图，在正三棱柱中，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
19.已知数列的前项和为，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20.在平面直角坐标系中，点的坐标分别为和，设的面积为
，内切圆半径为，当时，记顶点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）已知点在上，且直线与相交于点，记的斜率分别为.
（i）设的中点为的中点为，证明：存在唯一常数，使得当时，；
（ii）若，当最大时，求四边形的面积.
21.已知函数.
（1）讨论函数的单调性：
（2）设分别为的极大值点和极小值点，记，证明：直线与曲线交于另一点；
（3）在（2）的条件下，判断是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
参考答案
一､填空题
1. 2. 3. 4.2 5.
6.2 7.36 8. 9. 10.2
11.①③④ 12.
二､选择题
13.B 14.A 15.C 16.C
三､解答题
17.解（1）
，单调增区间
（2），
或，
，且为锐角，，
，
.
18.证：（1）连交于点为中点，
且，
为中点，且，
且四边形是平行四边形，
，又平面平面平面.
（2）由（1）知为中点，所以，
所以，
又因为底面，而底面，所以，
则由，得，而平面，且，
所以面，
又平面，所以平面平面.
19.解：由①
当时，，所以
当时，②
①②式相减得，即
变形得
又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则
（2），可知数列是以为首项，为公差的等差数列，
可知数列是以3为首项，-3为公比的等比数列，
20.解：（1）由题意得，则，
由椭圆定义可知，动点在以为焦点，且长轴长为4的椭圆上，
又不能在直线上，的方程为：.
（2）（i）（法一）设，易知直线的方程为，
联立，得，
，即，
同理可得，，
，
欲使，则，即，
存在唯一常数，使得当时，.
（法二）设，易知的斜率不为零，否则与重合，
欲使，则将在轴上，又为的中点，则轴，这与过矛盾，
故，同理有，则，可得，
易知，且，
，即，同理可得，，
欲使，则，
存在唯一常数，使得当时，.
（ii）由（i）易知，且，
，
即，同理可得，，
，记，
当且仅当，即时取等，
由椭圆的对称性，不妨设此时，且直线和的夹角为，
则，不难求得，
此时，易知，且，
四边形的面积为.
21.（1）.
令得或.
当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）得.
（i）直线的方程为，即.
由得.
设，则.
令得.
当时，；当时，.所以在
单调递减，在单调递增.
因为，所以有且仅有2个零点，其中.
这表明方程的解集为，即直线与曲线交于另一点，且的横坐标为.
（ii）由（i）得，即.
假设存在常数，使得，则，所以，代入可得.
设，则.令得.
当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.
因为，所以存在唯一的，使得.此时
因此，存在常数，使得，且.