08，山西省吕梁市汾阳市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

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2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 若分式的值为0，则的值为（ ）
A. 1B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件．根据分式的值为零的条件可以求出a的值．
【详解】解：由分式的值为零的条件得，，
解得，，，
故选：A．
2. 汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 免费下载【详解】解：A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
3. 若多边形的每个外角都为，则该多边形是（ ）
A. 六边形B. 七边形C. 八边形D. 九边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据多边形的外角和是就可以求出多边形的边数．
【详解】解：多边形的边数．
因此该多边形是九边形．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角的知识，掌握多边形的外角和是是解题的关键．
4. 华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功．此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．其中某一蛋白质分子的直径仅米，这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键．
【详解】解：．
故选：C．
5. 化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是分式的乘法运算，掌握运算法则是解本题的关键，先把能够分解因式的分子分解因式，再约分即可．
【详解】解：
；
故选B
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D. ．
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项正确，符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
7. 如图，与相交于点，，添加下列条件，能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．
【详解】解：A、不能证明，故此选项不合题意；
B、不能证明，故此选项不合题意；
C、不能证明，故此选项不合题意；
D、由可得，可利用证明，故此选项符合题意；
故选：D．
8. 如图，在中，点D、E分别是边、的中点，若的面积等于8，则的面积等于（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的中线与面积公式即可得到结论．
【详解】∵点D分别是边的中点，的面积等于8，
∴，
∵点E分别是边的中点，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的面积的计算，解题的关键是正确的识别图形．
9. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，设规定时间为天，则慢马的速度为里/天，快马的速度为里/天，再根据快马的速度是慢马的倍，列出方程即可．
【详解】解：设规定时间为天，
由题意得，，
故选B．
10. 如图，在等腰三角形中，，，是边上的中线，点，分别是，上的动点，连接，．当的值最小时，的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最短线路问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，利用垂线段最短性质找出点的位置是解题关键．过点作于，交于点P，根据等腰三角形三线合一的性质得到，即当，此时最小，再利用三角形内角和定理，分别求出和的度数，最后利用等边对等角的性质，即可求出的度数
【详解】解：如图，过点作于，交于点P，
等腰，，，
，，
垂直平分，
，
，
当，此时最小，
，，
，
，
，
，
，
故选A
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在答题卡中的横线上）
11. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了关于x轴对称点的性质，直接利用关于x轴对称的点，则其纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为：．
故答案为：．
12. 分解因式：=_________.
【答案】 (2x+3)(2x-3)
【解析】
【详解】利用平方差公式得：(2x+3)(2x-3).
13. 如图，在中，，平分交于点．若，，则的面积为______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．如图，作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算．
【详解】解：如图，作于H，

∵平分，，，
，
∴的面积为：．
故答案为：7．
14. 山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍．若设改良前的平均亩产量为，则可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，由改良前后平均亩产量间的关系，可得出改良后平均每亩的产量为，利用种植亩数=总产量÷亩产量，结合改良后种植亩数减少25亩，可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，且改良前平均每亩的产量为，
∴改良后平均每亩的产量为，
根据题意得：．
故答案为：．
15. 如图，点，分别为等边三角形的边，上的点，且，与相交于点，于点．若，，则的长为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由题中条件可得，得出，，进而得出，又，所以在中，求解的长，进而可得出结论．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：6
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明）
16. （1）计算：；
（2）分解因式：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查整式的混合运算及因式分解，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解题关键．
（1）先利用平方差公式及单项式乘以多项式运算法则去括号，再合并同类项即可得答案；
（2）先提取公因式3，再利用完全平方公式因式分解即可得答案．
详解】解：（1）
．
（2）
．
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查解分式方程，按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，再进行检验即可．
【详解】解：
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并得，，
系数化为1，得，，
经检验，是原方程的解，
所以，原方程的解为：
18. 下面是小白同学进行分式计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务：
（1）上述解题过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是______．
（2）请写出正确的计算过程，并求当时，该分式的值．
【答案】（1）三，去括号出现错误；
（2），
【解析】
【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式运算的顺序和相关法则．
（1）观察发现第三步开始出现错误，去括号出现错误；
（2）根据分式的混合运算法则进行化简，再把代入代简结果求值即可．
【小问1详解】
解：上述解题过程中，从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号出现错误；
故答案为：三，去括号出现错误；
【小问2详解】
解：





当时
原式
19. 如图，在中，，，边的垂直平分线与交于点，与交于点，连接．求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，由，利用“等角对等边”即可得证．
【详解】证明：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴为等腰三角形．
20. 阅读下面材料，并完成相应的任务．
速算与代数推理
“速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式：
；
；
；
我们发现如下速算规律：十位数字是（是1至9的整数），个位数字是5的两位数平方的结果是．我们可以用所学知识证明这个结论．这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理．
任务：
（1）请根据上述规律计算：______；______．
（2）请证明上述阅读材料中的结论．
【答案】（1），
（2）证明见解析
【解析】
【分析】此题考查数字的变化规律，从简单情形考虑，找出一般规律，利用规律解决问题．
（1）运用题目中规律进行计算，即可求出答案；
（2），验证结论左右是否相等，只要把上面的结论的左边去掉括号化简看看是否等于右边即可判断；
【小问1详解】
，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
结论：，
证明：十位数字是（是1至9的整数），个位数字是5的两位数是，则，
，
∴成立；
21. 实践操作】
小聪想作的平分线，但没有量角器和圆规，只有一把带刻度的直角三角尺，于是他按如下方法操作：如图1，在，边上量取，分别过点，作交于点，交于点，与相交于点，作射线，则射线就是的平分线．请判断小聪的作法是否可行，并说明理由．
【小试牛刀】
在图2中用不同于小聪的作法作的平分线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】实践操作：小聪作法可行，理由见解析；小试牛刀：见解析
【解析】
【分析】此本题主要考查了复杂作图----作角平分线，全等三角形的判定与性质：
实践操作：利用证明即可解决问题．
小试牛刀：以为圆心，任意长为半径画弧分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，则即为的平分线．
【详解】解：实践操作：小聪的做法可行．理由如下：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分．
小试牛刀：如图，平分．
22. 2023年4月，省发展改革委分解下达我省教育强国推进工程2023年中央预算内投资4亿多元，包括公办幼儿园和义务教育学校2个建设专项．现某幼儿园建设工程由甲、乙两个工程队共同承担主体工程建设任务，已知甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天，甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．
（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？
（2）若甲、乙两队共同施工3天后，剩余部分由甲队单独施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高为原来的2倍，当甲队的总工作量不少于乙队的2倍时，甲队至少需单独施工多少天？
【答案】（1）甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天；
（2）甲队至少再单独施工3天．
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的应用，不等式的应用，解答时验根是学生容易忽略的地方．
（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要天，根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同建立方程求出其解即可；
（2）设甲队再单独施工a天，根据甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍建立不等式求出其解即可．
【小问1详解】
解：设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要天，
由题意，得，
解得：． 经检验，是原方程的解，
∴，
答：甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天；
【小问2详解】
设甲队再单独施工a天，
由题意，得，
解得：．
答：甲队至少再单独施工3天．
23. 综合与实践
在和中，，，，．
操作发现：
（1）如图1，连接，，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
特例分析：
（2）如图2，，点，，在一条直线上，连接，求的度数．
（3）如图3，，点，，在一条直线上，连接．
①求的度数；
②过点作于点，直接写出，，之间的数量关系．
【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）①，②，证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握类比推理的方法是解题的关键．
（1）可证，从而可证，即可求解；
（2）可证，可求，即可求解；
（3）①可证，从而可证，可求，即可求解；②由，可得，再结合等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：（1），，，
，
，
在和中
，
()，
；
（2）∵，，，
∴和是等边三角形，
∴，
，
，
在和中
，
()，
，
，
∴，
，
（3）①， ，，
∴，
，
，
，
在和中
，
()，
，
，
，
，
②∵，
∴，
，
．
∵，，，
∴，即，
∴．