94，山东省菏泽市牡丹区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份94，山东省菏泽市牡丹区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共27页。

2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上．
3．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
4．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
第I卷（选择题，共30分）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 如图是由若干个同样大的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，要求学生理解几何体的三种视图并能明白左视图的含义，能确定几何体左视图的形状等，解决本题的关键是牢记三视图定义及其特点，能读懂题意和从题干图形中获取必要信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法，对学生的空间想象能力有一定的要求．直接从左边观察几何体，确定每列最高的小正方体个数，即对应左视图的每列小正方形的个数，即可确定左视图．
【详解】解：从左边看几何体，第一列是2个正方体，第二列是4个正方体，第三列是3个正方体；
∴得到的左视图的小正方形个数依次应为2、4、3，
故选：B．您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3元/份2. 已知的一边，另两边长分别是3，4，若是边上异于，的一点，过点作直线截，截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线有（ ）条
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由，另两边长分别是3，4，可知△ABC是直角三角形，过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
【详解】解：如图，
∵，另两边长分别是3，4，
又∵，
∴，即△ABC是直角三角形，
∵过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，
∴只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，
∴过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形相似判定定理及其运用，解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似．
3. 把长为2 m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意依据较长一段长的平方等于较短一段的长与原绳长的积建立方程即可得出答案.
【详解】解：设较长一段的长为x m，则较短一段的长为（2-x ）m，
由题意得：.
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用，根据题意找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
4. 中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用“---”（图中虚线）的上方的黑点个数除以所有黑点的个数即可求得答案．
【详解】解：观察“馬”移动一次能够到达的所有位置，即用“●”标记的有8处，
位于“---”（图中虚线）的上方的有2处，
所以“馬”随机移动一次，到达的位置在“---”上方的概率是，
故选：C．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
5. 如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
【详解】如图，连接BC，
由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数定义，解直角三角形，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
6. 近视镜镜片的焦距（单位：米）是镜片的度数（单位：度）的函数，下表记录了一组数据：
在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的应用．根据表格数据可得近视镜镜片的焦距y(单位:米)与度数x(单位:度)成反比例，依此即可求解．
【详解】解：根据表格数据可得，，
所以近视镜镜片的焦距(单位：米)与度数x(单位:度)成反比例，
所以y关于x的函数关系式是：，
故选：B．
7. 2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是（ ）
A. 四边形与四边形的相似比为
B. 四边形与四边形的相似比为
C. 四边形与四边形的周长比为
D. 四边形与四边形的面积比为
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．两个位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点，对应边平行或共线．先利用位似的性质得到，然后根据相似的性质进行判断．
【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，点是线段的中点，
，
∴，
四边形与四边形的相似比为，周长的比为，面积比为．
故选：D．
8. 如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（ ）
A. 1或9B. 3或5C. 4或6D. 3或6
【答案】D
【解析】
【详解】以AB为对角线将图形补成长方形，由已知可得缺失的两部分面积相同，即3×6=x×(9-x)，解得x=3或x=6，故选D.
【点睛】本题考查了正方形的性质，图形的面积的计算，准确地区分和识别图形是解题的关键．
9. 如图，四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到设的面积分别为，如此下去，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1012
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、规律型等知识，首先求出、、，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．
【详解】四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可求：，，，
，
∴
故选：B．
10. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线交于点，交于点．设，则关于的函数图像大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了函数的图像、相似三角形的性质与判定等知识点，由三角形相似得出y与x的关系式是解题关键．
根据两角可得，再利用对应边成比例可得y与x的关系式，进而可得对应图像．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，
．
的垂直平分线交于点E，交于点H，
，，
∴，
∴，即，
．
∴对应函数图像为A选项．
故选：A．
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案．）
11. 请填写一个常数，使得关于的方程____________有两个不相等的实数根．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
【分析】设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案．
【详解】解：设这个常数为a，
∵要使原方程有两个不同的实数根，
∴，
∴，
∴满足题意的常数可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
12. 不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
下面有四个推断：
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40
所有合理推断的序号是_____．
【答案】②③
【解析】
【分析】利用频率估计概率对各个推断进行分析判断即可得到结论．
【详解】解：①概率要用多次反复试验的频率稳定值来估计，因此① 的推断不合理；
②推断合理；
③20×0.35=7，故推断合理；
④摸到红球是随机事件，当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率不一定是0.40，故④的推断不一定合理．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆（如图所示），它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为_____．
【答案】四丈五尺
【解析】
【分析】设出竹竿长度，根据同一时刻物高与影长成正比列出方程，即可得出结论．
【详解】解：设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴由相似相似原理可知：
解得x=45（尺）．
故答案为：四丈五尺．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
14. 如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，求反比例函数的解析式，由题意，首先根据B的坐标求出k，然后可设，再由正方形，建立关于a的方程，进而得解．
【详解】解：点的坐标为，且在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
点在反比例函数图像上，
设，
，
或，
，
，
，
故答案为：．
15. 如图，△ABC是边长为1的等边三角形，D，E为线段AC上两动点，且∠DBE=30°，过点D，E分别作AB，BC的平行线相交于点F，分别交 BC，AB于点H，G．现有以下结论：①S△ABC=；②当点D与点C重合时，FH=；③AE+CD=DE；④当AE=CD时，四边形 BHFG为菱形．则其中正确的结论的序号是________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】过A作AI⊥BC垂足为I，然后计算△ABC的面积即可判定①；先画出图形，然后根据等边三角形的性质和相似三角形的性质即可判定②；如图将△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABN，求证NE=DE；再延长EA到P使AP=CD=AN，证得∠P=60°，NP=AP=CD，然后讨论即可判定③；如图1，当AE=CD时，根据题意求得CH=CD、AG=CH，再证明四边形BHFG为平行四边形，最后再说明是否为菱形．
【详解】解：如图1，过A作AI⊥BC垂足为I，
∵是边长为1的等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，CI=，
∴AI=，
∴S△ABC=，故①正确；
如图2，当D与C重合时，
∵∠DBE=30°，是等边三角形，
∴∠DBE=∠ABE=30°，
∴DE=AE=，
∵GE//BD，
∴，
∴BG=，
∵GF//BD，BG//DF，
∴HF=BG=，故②正确；
如图3，将△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABN，
∴∠1=∠2，∠5=∠6=60°，AN=CD，BD=BN，
∵∠3=30°，
∴∠2+∠4=∠1+∠4=30°，
∴∠NBE=∠3=30°，
又∵BD=BN，BE=BE，
∴△NBE≌△DBE（SAS），
∴NE=DE，
延长EA到P使AP=CD=AN，
∵∠NAP=180°-60°-60°=60°，
∴△ANP为等边三角形，
∴∠P=60°，NP=AP=CD，
如果AE+CD=DE成立，则PE=NE，需∠NEP=90°，但∠NEP不一定为90°，故③不成立；
如图1，当AE=CD时，
∵GE//BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，∠GEA=∠C=60°，
∴∠AGE=∠AEG=60°，
∴AG=AE，
同理：CH=CD，
∴AG=CH，
∵BG//FH，GF//BH，
∴四边形BHFG是平行四边形，
∵BG=BH，
∴四边形BHFG为菱形，故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
16. 我国魏晋时期的数学家刘徽（263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率．

刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，…，割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．设圆的半径为R，圆内接正六边形的周长，计算；圆内接正十二边形的周长，计算；请写出圆内接正二十四边形的周长________，计算________．（参考数据：，）
【答案】 ①. 48Rsin7.5° ②. 3.12
【解析】
【分析】根据圆的内接正二十四边形的每条边所对应的圆心角是15°，可知：正二十四边形的周长为：，进而可求出π的近似值.
【详解】∵圆的内接正二十四边形的每条边所对应的圆心角是15°，
∴正二十四边形的周长为：，
∴，
故答案是：48Rsin7.5°，3.12.
【点睛】本题主要考查圆的内接正多边形的性质以及三角形函数的应用，根据题意，在直角三角形中应用正弦三角函数，是解题的关键.
三、解答题：（本大题共8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 如图，在中，，D为的中点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若，是等边三角形，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）2．
【解析】
【分析】（1）先根据题意证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，即可求证结论；
（2）由是等边三角形及菱形的性质，证明，根据解直角三角形可求解答案．
【小问1详解】
证明：，，
四边形是平行四边形．
在中， D为的中点，
．
四边形是菱形．
【小问2详解】
是等边三角形，
，
四边形是菱形，
；
，
；
【点睛】本题主要考查菱形的判定和性质以及等边三角形的性质，涉及到直角三角形斜边中线性质，特殊三角函数值，解题的根据是熟练掌握菱形的判定和性质以及等边三角形的性质的运用．
18. 某水果店销售一种成本为20元/斤的水果，市场调研发现：当销售单价为30元/斤时，每月能售出500斤，若销售单价每涨1元，每月的销量就减少10斤．设销售单价为x元/斤（），每月的销售量为y斤．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在水果店对该水果投入不超过5000元的情况下，当销售单价定为多少元时，月销售利润可以达到8000元？
【答案】（1）
（2）销售单价应定为60元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用．
（1）根据原有销售量减去减少的销售量即可列出；
（2）利用一周的销售量×每件销售利润=一周的销售利润列出一元二次方程，据此求解即可．
小问1详解】
解：依题意得；
【小问2详解】
解：依题意得，
整理得，
解得．
当时，投入成本为（元），
，不符合题意，舍去；
当时，投入成本为（元），
，符合题意．
答：销售单价应定为60元．
19. 小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB= 8 m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少?（结果精确到0.1 m，参考数据：sin34°≈0.56， tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
【答案】
【解析】
【分析】过M点作ME⊥MN交CD于E点，证明四边形ABCM为矩形得到CM=AB=8，∠NMC=180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD=∠EMC，且∠CME=90°-∠CMN=28°，进而求出∠CMD=56°，最后在Rt△CMD中由tan∠CMD即可求解．
【详解】解：过M点作ME⊥MN交CD于E点，如下图所示：
∵C点在M点正下方，
∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，
∵房顶AM与水平地面平行，AB为墙面，
∴四边形AMCB为矩形，
∴MC=AB=8m，AB∥CM，
∴∠NMC=180°-∠BNM=180°-118°=62°，
∵地面上的点D经过平面镜MN反射后落在点C，结合物理学知识可知：
∴∠NME=90°，
∴∠EMD=∠EMC=90°-∠NMC=90°-62°=28°，
∴∠CMD=56°，
在Rt△CMD中，，代入数据：，
∴，
即水平地面上最远处D到小强的距离CD是．
【点睛】本题借助平面镜入射光线与反射光线相关的物理学知识考查了解直角三角形，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解答．
20. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EAD上点，且BE＝BD．
（1）求证：；
（2）若BD＝1，CD＝2，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠，根据等腰三角形的性质得到∠，由等角的补角相等得到∠，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到，化简即可得到结果．
【小问1详解】
证明：∵
∴∠
∴
即∠
又平分
∴∠，
∴．
【小问2详解】
解：由（1）可得
又，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
21. 有这样一个问题：探究函数y=的图象与性质．小慧根据学习函数的经验，对函数y=的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完成：
（1）函数y=的自变量x的取值范围是__________；
（2）列出y与x的几组对应值．请直接写出m的值，m=________；
（3）请在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的两条性质：
①_____________________________________________；
②_____________________________________________．
【答案】（1）x≠2；（2）m=3；（3）画图见解析；（4）可以从对称性、增减性、渐近性、最值、连续性、与坐标轴交点、图象所在象限方面作答
【解析】
【分析】（1）分式的分母不等于零；
（2）根据图表可知当y=0时所对应的x值为m，把y=0代入解析式即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；
（4）可以从对称性、增减性、渐近性、最值、连续性、与坐标轴交点、图象所在象限等方面作答．
【详解】(1)依题意得：x−2≠0，
解得x≠2，
故答案是：x≠2；
(2)把y=0代入y=2x−6x−2，得
0=2m−6m−2，
解得m=3.
故答案是：3；
(3)如图所示：
(4) 由（3）中的图象得到：该函数图象是轴对称图形，该函数图象不经过原点等．
22. 2023年9月21日下午，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮面向全国青少年进行太空授课．在这堂生动有趣、知识点满满的航天课中，带着好奇心的孩子们拓宽了眼界、增长了知识，增强了民族自豪感，同时在心中根植下一颗颗关于科学梦、航天梦的种子．为了调查学生对科技知识的了解程度，某实验中学组织各年级学生开展科技知识竞赛活动，学校随机抽取20名学生的答卷成绩（每题5分，满分100分），并将他们的成绩（单位：分）统计如下：
85 80 95 100 90 95 85 65 75 85 80 80 90 95 75 80 60 80 95 85
根据数据绘制了如下的表格和统计图（如图）：
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）______，______，并补全表格；
（2）求这20个数据的中位数和众数；
（3）若已知九年级有2名男生和2名女生共4名学生得到满分，学校打算从这4名学生中任选2人给全年级学生普及相关知识，求恰好选中“1男1女”的概率．
【答案】（1）6；2；表格见解析
（2）中位数为85，众数为80
（3）
【解析】
【分析】（1）整理统计数据即可得到的值，再分别计算各组频率，完善表格即可；
（2）先将这20个数据按照从小到大的顺序排列，求解位于第10位和第11位成绩的平均数可得中位数，根据出现的次数最多的数是众数可得众数答案；
（3）先列表，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，补全表格如下；
∴，，
【小问2详解】∵将这20个数据按照从小到大的顺序排列为60，65，75，75，80，80，80，80，80，85，85，85，85，90，90，95，95，95，95，100，
∴中位数为位于第10位和第11位成绩的平均数，
故这20个数据的中位数为．
这组数据中80出现了5次，出现的次数最多，
这20个数据众数为80；
【小问3详解】
分别记2名男生为名女生为，列表如下：
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中“1男1女”的结果有8种，
恰好选中1男1女．
【点睛】本题考查的是整理数据，频数，频率的含义，众数，中位数的含义，利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．
23. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，轴，，点为的中点，已知点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求证：点在反比例函数的图象上；
（3）点分别在反比例函数图象的两支上，当四边形是菱形时，请求出点的坐标．
【答案】（1）
（2）详见解析 （3）点的坐标为或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，涉及了反比例函数解析式的求解、菱形的性质等知识点，掌握待定系数法求解解析式是解题关键．
（1）根据轴，可求出点，即可求解；
（2）由点为的中点可推出点与点关于原点对称，即可求解；
（3）根据菱形对角线互相垂直平分可得直线为第一、三象限的角平分线，即可求解；
【小问1详解】
解：在中，轴，，点，
点．
点在反比例函数的图象上，
．
反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
证明：四边形是平行四边形，且是的中点，
点与点关于原点对称，
由（1）得
当时，，
点在反比例函数的图象上；
【小问3详解】
解：四边形是菱形，
与互相平分．
∵点，且是的中点，
∴直线为第二、四象限的角平分线，
直线为第一、三象限的角平分线，
直线的解析式为．
联立
解得或
点的坐标为或．
24. （1）[问题探究]
如图1，在正方形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．

①求证：；
②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处．当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究与的数量关系，并说明理由．
（2）[迁移探究]
如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）①见解析；②不变化，，理由见解析；③，理由见解析；（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据正方形的性质证明，即可得到结论；
②作，垂足分别为点M、N，如图，可得，证明四边形是矩形，推出，证明， 得出，进而可得结论；
③作交于点E，作于点F，如图，证明，即可得出结论；
（2）先证明，作交于点E，交于点G，如图，则四边形是平行四边形，可得，都是等边三角形，进一步即可证得结论．
【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②的大小不发生变化，；
证明：作，垂足分别为点M、N，如图，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
③；
证明：作交于点E，作于点F，如图，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
作于点M，
则，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）；
证明：∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，垂直平分，
∴，
∵，
∴，
作交于点E，交于点G，如图，
则四边形是平行四边形，，，
∴，都是等边三角形，
∴，

作于点M，则，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键．（单位：度）
100
250
400
500
（单位：米）
x
…
-3
-2
0
1
1.5
2.5
m
4
6
7
…
y
…
2.4
2.5
3
4
6
-2
0
1
1.5
1.6
…
成绩
频率
____
_____
成绩
频率