72，江苏省宿迁青华中学2023-2024学年九年级上学期第三次调研数学试题

这是一份72，江苏省宿迁青华中学2023-2024学年九年级上学期第三次调研数学试题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
友情提醒：请把答案答在答题纸上的规定区域内，否则答题无效．
一、单选题（每题3分，共24分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据合并同类项的法则、积的乘方运算法则和完全平方公式逐项计算，进而可得答案．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，故本选项运算错误，不符合题意；
C、，故本选项运算正确，符合题意；
D、，故本选项运算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方和完全平方公式等知识，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．
3. 某书店与一山区小学建立帮扶关系，连续6个月向该小学赠送书籍的数量分别如下（单位：本）：300，200，200，300，300，500这组数据的众数、中位数、平均数分别是（ ）您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3元/份A. 300，150，300B. 300，200，200
C. 600，300，200D. 300，300，300
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据众数，中位数的概念和平均数的求法计算即可．
【详解】众数：一组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数，这组数据中300出现了3次，次数最多，所以众数是300；
中位数：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，6个数据按顺序排列之后，处于中间的数据是300，300，所以中位数是；
平均数是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查众数，中位数和平均数，掌握众数，中位数的概念和平均数的求法是解题的关键．
4. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对的面上的汉字是 （ ）
A. 青B. 春C. 梦D. 想
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方体展开字型和型找对面的方法即可求解．
【详解】解：展开图中“点”与“春”对面，
“亮”与“想”是对面，
“青”与“梦”是对面；
故选：B．
【点睛】本题考查正方体的展开图；熟练掌握正方体展开图找对面的方法是解题的关键．
5. 如果，，那么下列不等式中不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：A、由a＜b，c＜0得到：a＋c＜b＋c，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、由a＜b，c＜0得到：ac＞bc，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、由a＜b，c＜0得到：ac＋1＞bc＋1，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、由a＜b，c＜0得到：ac2＜bc2，原变形错误，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是明确不等式的性质是不等式变形的主要依据．要认真弄清不等式的性质与等式的性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数是否等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
6. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：如图所示，
由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°，
∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°，
∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，连接AE．若AD平分∠OAE，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AE上的两点A，F，且AF＝EF，△ABE的面积为36，则k的值为（ ）
A. 6B. 9C. 12D. 24
【答案】D
【解析】
【分析】连接BD，由矩形的性质可得出．由角平分线的性质可得出，即可推出，从而证明，进而证明．设A点坐标为，由F点为AE的中点，即可用t表示出F点坐标，进而可用t表示出E点坐标．最后根据，即可求出k的值．
【详解】如图，连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，AC、BD为对角线，且交于点O，
∴．
∵AD平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
根据题意可设A点坐标为，
∵AF=EF，即F为点AE的中点，且E点纵坐标为0，
∴F点纵坐标为，
∵F点在反比例函数上，
∴．
∴．
∵，
∴，
解得：．
故选D
【点睛】本题考查矩形的性质，角平分线的性质，平行线的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征以及中点坐标公式，综合性强，较难．正确的连接辅助线是解答本题的关键．
8. 如图，在矩形中，，，P是上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】取AP的中点F，连接EF，作GH⊥AD于H，作ET⊥GH于T，根据已知得出，分别求得，进而求得，在中，勾股定理建立函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，取的中点F，连接，作于H，作于T，
设，
四边形是矩形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∴，
∴，
，
，
，
在中，
∴当时，取得最小值，
∵，
∴的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共30分）
9. 因式分解：___．
【答案】
【解析】
分析】先提公因式，再按照平方差公式分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查的是提公因式与公式法分解因式，掌握以上知识是解题的关键．
10. 当_______时，分式的值为零．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，关键是掌握分式的值为零的条件是分子为零，分母不等于零．根据题意可得，再解方程即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
11. 单项式的系数是________．
【答案】
【解析】
【分析】单项式的系数是字母前面的带符号数字．
【详解】解：的系数是．
故答案是：．
【点睛】本题考查单项式的系数，需要注意系数要带上符号．
12. 习总书记在二十大报告中指出人均国内生产总值从39800元增加到81000元．将数据81000用科学记数法表示应为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 已知圆锥的底面直径为6，高为4，则该圆锥的侧面积为____．
【答案】15π
【解析】
【分析】根据已知和勾股定理求出母线的长，根据扇形面积公式求出侧面展开图的面积.
【详解】解：∵底面直径为6，
∴半径r=3，底面圆周长为6π,
又∵圆锥的高h=4，
由勾股定理，母线=5，
∴圆锥侧面展开图的面积为：×6π×5=15π.
故答案为：15π.
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图是扇形，掌握扇形的面积的计算公式是解题的关键．
14. 不等式组的解集为_______．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】，
解①可得：x＞2，
解②可得：x＜3，
所以不等式组的解集为：2＜x＜3，
故答案为：2＜x＜3．
【点睛】此题考查解不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15. 如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为______．
【答案】
【解析】
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案．
【详解】解： 是的垂直平分线．，


的周长

故答案为：
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
16. 已知二次函数（其中x是自变量且），当时，y随x的增大而减小，且时，y的最大值为7，则a的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，由时，随的增大而减小，可得抛物线开口方向，进而求解．
详解】解：，
抛物线对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
抛物线开口向上，，
，
时，，
解得（舍或，
故答案为：．
17. 如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点上，点D落在处，交于点M．若，则的长为_____.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，先根据勾股定理求出，再根据求出即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
根据折叠的性质可知，，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
故答案为：．
18. 如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点C的坐标为，则的面积可以等于2；③是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则方程的两根为，3其中正确结论的序号为_______．
【答案】①④
【解析】
【分析】①根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标来判断a,b,c的正负情况，即可．
②根据图形可知AB的值大于2，利用三角形的面积求法，即可得面积会大于2．
③利用图形的对称性，离对称轴越小，函数值越大．
④把点代入抛物线，可求得x=3是方程的解，再利用图形的对称可求另一个解．
【详解】解：① 开口向下， a0， abc2,>， ，故错误．
③ ，从图像可知 到1的距离小于 到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值越大； ，故错误．
④把点（3，-1）代入抛物线得 ，即 ，∴，即x=3，是方程的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力，本题也可以采用一些特殊值代入法来解．
三、解答题（共96分）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，在进行此类运算时要理解绝对值的性质、零次幂的意义，负整数指数幂的意义以及特殊角的三角函数值．首先代入特殊角的三角函数值，去掉绝对值符号，以及零次幂、负整数指数幂的计算，最后进行合并同类二次根式即可求解．
详解】解：原式
．
20. 先化简，再求值：，其中x从0，1，2，3四个数中取一个合适的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
【详解】解：原式
,
由分式有意义的条件可知：，
且且，
不能取1，，3，
当时，
原式．
21. 某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果分为（优秀）、（良好）、（合格）、（不合格）四个等级，现从中随机抽查了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并绘制以下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）（良好）等级人数所占百分比是______________________；
（2）在扇形统计图中，（合格）等级所在扇形的圆心角度数是___________________；
（3）请补充完整条形统计图；
（4）若该校九年级学生共1000名，请根据以上调查结果估算：评价结果为（优秀）等级或（良好）等级的学生共有多少名？
【答案】（1）25%；（2）72°；（3）见解析；（4）700名
【解析】
【分析】（1）扇形统计图中D占10%，结合条形统计图中D有4人，先计算总人数，再求得B的人数，即可解题；
（2）计算C等级的人数，再求得C的比例，最后计算其圆心角度数即可；
（3）根据（1）中总人数，解得B的人数，作图见解析；
（4）计算样本A与B的总人数比例，再估算总体即可
【详解】解：（1）
，
故答案为：25%；
（2）
故答案为：72°；
（3）如图所示：
（4）由题意得：（名），
答：评价结果为等级或等级的学生共有700名．
【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估算总体等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
22. 如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】连接AC，证明△ACE≌△ACF，得到∠CAE=∠CAF，再利用角平分线的性质定理得到CB=CD．
【详解】解：连接AC，
∵AE=AF，CE=CF，AC=AC，
∴△ACE≌△ACF（SSS），
∴∠CAE=∠CAF，
∵∠B=∠D=90°，
∴CB=CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，解题的关键是连接AC，证明三角形全等．
23. 一只不透明的袋子中装有3个球，球上分别标有数字0，1，2，这些球除了数字外其余都相同，甲、以两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（不放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜．
（1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果；
（2）这样的游戏规则是否公平？请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）游戏不公平，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）根据题意列表，即可得答案；
（2）求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等，继而判定游戏是否公平．
【详解】列举所有可能：
（2）游戏不公平，理由如下：
由表可知甲获胜的概率=，乙获胜的概率=，乙获胜的可能性大，
所以游戏不公平．
【点睛】列表法与树状图法求概率．
24. 如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC（结果保留根号）．
【答案】山高BC=100+100米.
【解析】
【分析】作DF⊥AC于F．解直角三角形分别求出BE、EC即可解决问题
【详解】作于．
，米，
，
，
（米，
，
四边形是矩形，
（米，
，，
，
，，
，
，，
，
（米，
在中，，
（米，
（米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
25. 如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H．
（1）求证：直线HG是的切线；
（2）若，求CG的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，利用三角形中位线的定义和性质可得，再利用平行线的性质即可证明；
（2）先通过平行线的性质得出，设，再通过解直角三角形求出半径长度，再利用三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质分别求出BC，BG的长度，即可求解．
【小问1详解】
连接OD，
，
，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
直线HG是的切线；
【小问2详解】
由（1）得，
∴，
，
，
设，
，
，
在中，，
，
解得，
∴，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
，
，即，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．
26. 某服装厂生产品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发品牌服装件时，批发单价为元，与之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数为10的正整数倍．
（1）当时，与的函数关系式为__________．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发品牌服装件，服装厂的利润为元，问：为何值时，最大？最大值是多少？
【答案】（1） （2）18000元 （3）或；3800
【解析】
【分析】（1）将两点（100，100），（300，80）代入到一次函数解析式，利用待定系数法即可求解；
（2）将x=200代入到（1）求出y的值，最后求得答案；
（3）当时，求得y的最大值，当求得y的最大值，最后作答．
【详解】解：（1）当100≤x≤300时，设与的函数关系式为y=kx+b，(k≠0)，
将点（100，100），（300，80）代入y=kx+b ，(k≠0)，
，
解，得

故答案填：
（2）当时，
元
答：零售商一次性批发200件，需要支付18000元
（3）当时
，抛物线开口向下
当时，随的增大而增大
又为10的正整数倍
时，最大，最大值是3800
当时，随的增大而减小
又为10的正整数倍
时，最大，最大值是3800
当时，
随的增大而增大
时，最大，最大值是3600
∴当或时，最大，最大值是3800
【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练运用函数的性质是解决问题的关键．
27. （1）【问题发现】
如图1，在中，，．将绕点B顺时针方向旋转，点A的对应点为点E，连接，则 ．
（2）【问题解决】
如图2，在中，，D为外一点，将绕点A按逆时针方向旋转，使点B与点C重合得，若，，探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形中，，垂足为C，，，，，请用含k的式子表示的长．
【答案】（1）（2），理由见详解（3）
【解析】
【分析】本题考查旋转的思想方法，通过旋转可得手拉手全等（相似），进而可转移边角关系，解决题目，熟练掌握旋转的辅助线思路是解题关键．
（1）由旋转可得是等腰直角三角形，即可求出的长．
（2）由题意可知，再证明，得即可；
（3）由题意可知，将绕点逆时针旋转至点与点重合，此时点落在点，证明，进而可在直角三角形中表示出的长度，等于的长度．
【详解】解：（1）在中，
，．
，
由旋转可得：，，
，
故答案为：．
（2），理由如下：
在中，，，
，
将绕点A按逆时针方向旋转，使点B与点C重合得，得，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3），，
垂直平分，
，
将绕点逆时针旋转至点与点重合，此时点落在点，如图：
，
，，
，
，，
，
，，
，，
，
即，
，
，
．
28. 已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接．

（1）直接写出结果；_____，_____，点A的坐标为_____，______；
（2）如图1，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，，点E，F分别为的边上的动点，，记的最小值为m．
①求m的值；
②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．
【答案】（1），2，，
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可求得、，从而可得，，由，可得，求得，在中，根据正切的定义求值即可；
（2）过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E， 由，即，再由，可得，证明，可得，设点P坐标为，可得，再进行求解即可；
（3）①作，且使，连接．根据证明，可得，即Q，F，H共线时，的值最小．作于点G，设，则，根据求出点Q的坐标，燃然后利用勾股定理求解即可；
②作轴，交于点T，求出解析式，设，，利用三角形面积公式表示出S，利用二次函数的性质求出S的取值范围，结合①中结论即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为：，
∵抛物线与x轴交于A、两点，
∴时，，解得：，，
∴，
∴，，
在中，，
故答案：，2，，；
【小问2详解】
解：过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E，
∵，，，
∴，
由（1）可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设点P坐标为，则，，
∴，解得：（舍），，
∴点P坐标为．
【小问3详解】
解：①如图2，作，且使，连接．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴Q，F，H共线时，的值最小．作于点G，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，则，
∴，解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，，
∴；

②如图3，作轴，交于点T，待定系数法可求解析式为，
设，，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与x轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、二次函数最值、用分割法求三角形面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．0
1
2
0
1
2
1
1
3
2
2
3