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44， 安徽省阜阳市颍州区2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷
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这是一份44， 安徽省阜阳市颍州区2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2022年11月12日10时03分，我国天舟五号货运飞船昂首起航，于12时10分顺利实现了与中国空间站天和核心仓的快速对接，又一次创造了世界纪录.图中的航天图形是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. a10÷a5=a2
C. (a3)4=a12D. (a+3)2=a2+9
3.如图，AD，CE为△ABC的角平分线且交于O点，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO等于( )
A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°
4.如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB=∠CED=90°，AB=CD，BC=DE，则下列结论中不正确的是( )
A. △ABC≌△CDEB. E为BC中点
C. AB⊥CDD. CE=AC
5.已知多边形的内角和与外角和的总和为1440°，则这个多边形的边数为( )
A. 8B. 7C. 6D. 5
6.下列因式分解正确的是( )您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3元/份A. a4b−6a3b+9a2b=a2b(a2−6a−9)
B. x2−x+14=(x−12)2
C. x2−2x+4=(x−2)2
D. 4x2−y2=(4x+y)(4x−y)
7.若x=3，y=5，则代数式(1−x2y2)÷x+yy2的值是( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
8.A，B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h.若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为( )
A. 180x−180(1+50%)x=1B. 180(1+50%)x−180x=1
C. 180x−180(1−50%)x=1D. 180(1−50%)x−180x=1
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 1个
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=9，BD是△ABC的角平分线，点P、点N分别是线段BD和边AC上的动点，点M在边BC上，且BM=2，则PM+PN的最小值是( )
A. 3
B. 2 3
C. 3
D. 3.5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.把多项式2x3−8x分解因式的结果是______．
12.代数式2|x|−3有意义时，x应满足的条件是______．
13.如图，把△ABC沿着DE折叠，使点A落在四边形BCDE的内部，并且∠AEB=60°，∠ADC=30°，则∠A的度数是______．
14.如图1，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高．
(1)若∠B=45°，∠C=75°，则∠EAD的度数为______．
(2)如图2，AD平分∠BAC，点P是AD延长线上一点，过点P作PF⊥BC于点F，则∠P与∠B，∠C的数量关系是______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：
(1)(−2ab2)3⋅(a2b)2÷4ab5；
(2)[(x−y)2−(x+y)2)]÷2xy．
16.(本小题8分)
解方程：
(1)2x−1=3x；
(2)2x−4+5=2−x4−x．
17.(本小题8分)
先把代数式(1+1x−2)÷x−1x2−4x+4化简，然后再从0、1、2、3中选择一个合适字代入求值．
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，A(−5,1)，B(1,3)，C(−2,−1)．
(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1各点的坐标A1 ______；B1 ______；C1 ______．
(2)求△A1B1C1的面积．
19.(本小题10分)
如图，点A、E、F、C在一直线上，DE//BF，DE=BF，AE=CF.求证：AB//CD．
20.(本小题10分)
某工厂购进的甲乙两种原材料单价之比为2：3，将价值为2000元的甲种原材料和价值为1000元的乙种原材料配制成成品后，成品平均单价为每千克9元，求甲种原材料的单价．
21.(本小题12分)
如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF//AC交DE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：AD⊥CF；
(2)连接AF，猜想AF与CF的数量关系．
22.(本小题12分)
如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“偶平方差数”.如4=22−02，12=42−22，20=62−42，因此4，12，20都是“偶平方差数”．
(1)已知28是“偶平方差数”，则28= ______．
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(k为整数，且k≥0)，由这两个连续偶数构造的“偶平方差数”是4的倍数吗？为什么？
(3)根据上面的讨论，判断2020是不是“偶平方差数”，如果不是，请说明理由；如果是，请写成两个连续偶数平方差的形式．
23.(本小题14分)
如图1，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA(1)求证：AC=BD；
(2)连接OE，OE平分∠AED吗？说明理由；
(3)当α=60°时，取AC的中点M，BD的中点N，连接OM、MN、ON，如图2，试判断△OMN的形状，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：∵a2⋅a3=a5，
∴选项不符合题意；
∵a10÷a5=a5，
∴选项不符合题意；
∵(a3)4=a12，
∴选项不符合题意；
∵(a+3)2=a2+6a+9，
∴选项不符合题意，
故选：C．
运用同底数幂相乘、同底数幂除法、幂的乘方和完全平方公式进行逐一计算、辨别．
此题考查了同底数幂相乘、同底数幂除法、幂的乘方和完全平方公式的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
3.【答案】A
【解析】【分析】
根据角平分线的定义可得出∠BAC=60°、∠ACB=70°，结合三角形内角和可得出∠ABC=50°，由三角形的三条角平分线交于一点，可得出BO平分∠ABC，进而可得出∠ABO的度数，此题得解．
本题考查了三角形内角和定理、角平分线以及三角形的内心，利用角平分线的定义结合三角形内角和定理找出∠ABC的度数是解题的关键．
【解答】
解：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∠DAC=30°，∠ECA=35°，
∴∠BAC=2∠DAC=60°，∠ACB=2∠ECA=70°，
∴∠ABC=180°−∠BAC−∠ACB=50°．
∵△ABC的三条角平分线交于一点，
∴BO平分∠ABC，
∴∠ABO=12∠ABC=25°．
故选A．
4.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC和Rt△CDE中，
AB=CDBC=DE∴Rt△ABC≌Rt△CDE，
∴CE=AC，∠D=∠B，
∵∠D+∠DCE=90°，
∴∠B+∠DCE=90°，
∴CD⊥AB，
故A、C、D正确，
故选B．
首先证明△ABC≌△CDE，推出CE=AC，∠D=∠B，由∠D+∠DCE=90°，推出∠B+∠DCE=90°，推出CD⊥AB，即可一一判断．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，
(n−2)⋅180°+360°=1440°，
解得n=8．
故这个多边形的边数为8．
故选：A．
依题意，多边形的内角和与外角和为1440°，多边形的外角和为360°，根据内角和公式求出多边形的边数．
考查了多边形的外角和定理和内角和定理，熟练记忆多边形的内角和公式是解答本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、a4b−6a3b+9a2b=a2b(a2−6a+9)=a2b(a−3)2，故错误，不合题意；
B、x2−x+14=(x−12)2，故正确，符合题意；
C、x2−2x+4≠(x−2)2，故C错误，不合题意；
D、4x2−y2=(2x+y)(2x−y)，故错误，不合题意；
故选：B．
将各式因式分解，根据结果即可判断．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
7.【答案】D
【解析】解：原式=y2−x2y2⋅y2x+y
=(y+x)(y−x)y2⋅y2x+y=y−x，
当x=3，y=5时，
原式=5−3=2，
故选：D．
先通分算括号内的，把除化为乘，约分后将x，y的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
8.【答案】A
【解析】解：设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为：
180x−180(1+50%)x=1．
故选：A．
直接利用在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h，利用时间差值得出等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠DEA=90°，
在△DAC和△DAE中，
∠DAC=∠DAE∠C=∠DEAAD=AD,∴△DAC≌△DAE，
∴∠CDA=∠EDA，
∴①AD平分∠CDE正确；
无法证明∠BDE=60°，
∴③DE平分∠ADB错误；
∵△DAC≌△DAE，
∴AC=AE，
∵BE+AE=AB，AE=AC，
∴BE+AC=AB，
∴④BE+AC=AB正确；
∵∠BDE=90°−∠B，∠BAC=90°−∠B，
∴∠BDE=∠BAC∴②∠BAC=∠BDE正确．
故选：B．
根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．
本题考查了角平分线的性质；题目是一道结论开放性题目，考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．
10.【答案】D
【解析】解：如图所示，作点M关于BD的对称点M′，连接PM′，则PM′=PM，BM=BM′=1，
∴PN+PM=PN+PM′，
当N，P，M′在同一直线上，且M′N⊥AC时，PN+PM′的最小值等于垂线段M′N的长，
在Rt△AM′N中，∠A=30°，
∴M′N=12AM′=12×(9−2)=3.5，
∴PM+PN的最小值为3.5，
故选：D．
作点M关于BD的对称点M′，连接PM′，则PM′=PM，BM=BM′=1，当N，P，M′在同一直线上，且M′N⊥AC时，PN+PM′的最小值等于垂线段M′N的长，利用含30°角的直角三角形的性质，即可得到PM+PN的最小值．
本题主要考查了轴对称−最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
11.【答案】2x(x+2)(x−2)
【解析】解：原式=2x(x2−4)=2x(x+2)(x−2)，
故答案为：2x(x+2)(x−2)．
先提公因式，再利用公式，可进行因式分解．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
12.【答案】x≠±3
【解析】解：由题意得|x|−3≠0，
解得x≠±3．
故答案为：x≠±3．
根据分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围．
本题主要考查分式有意义的条件，由分母不等于0求解得答案是解题的关键．
13.【答案】45°
【解析】解：由翻折的性质可得，∠AED=180°−∠AEB2=180°−60°2=60°，
∠ADE=180°−∠ADC2=180°−30°2=75°，
∴∠A=180°−60°−75°=45°．
故答案为：45°．
根据翻折的性质以及三角形内角和定理进行计算即可．
本题考查三角形内角和定理，多边形的内角与外角，掌握三角形内角和定理以及翻折的性质是正确解答的关键．
14.【答案】15° ∠P=12∠B−12∠C
【解析】解：(1)在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−45°−75°=60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=12∠BAC=12×60°=30°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠BEA=90°，
∴∠BAE=90°−∠B=90°−45°=45°，
∴∠EAD=∠BAE−∠BAD=45°−30°=15°；
(2)∵PF⊥BC，
∴∠PFD=90°，
在△PFD中，∠P+∠PFD+∠PDF=180°，
在△ABD中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC，
即∠B+12∠BAC+∠ADB=180°，
∵∠PDF=∠ADB，
∴∠P+∠PFD=∠B+12∠BAC，
∴∠P+90°=∠B+12(180°−∠B−∠C)，
∴∠P+90°=∠B+90°−12∠B−12∠C，
∴∠P=12∠B−12∠C，
故答案为：∠P=12∠B−12∠C．
(1)根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAD的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE的度数，即可求出∠EAD的度数；
(2)在△PFD中，由三角形内角和定理得出∠P+∠PFD+∠PDF=180°，在△ABD中，由三角形内角和定理得出∠B+∠BAD+∠ADB=180°，再根据对顶角相等得出∠PDF=∠ADB，即可得出∠P+∠PFD=∠B+12∠BAC，在△ABC中，由三角形内角和定理得出∠BAC=180°−∠B−∠C，由此计算即可．
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形三个内角的和是180°是解题的关键．
15.【答案】解：(1)(−2ab2)3⋅(a2b)2÷4ab5
=−8a3b6⋅a4b2÷4ab5=−8a7b8÷4ab5=−2a6b3；
(2)[(x−y)2−(x+y)2)]÷2xy=(x2−2xy+y2−x2−2xy−y2)÷2xy=−4xy÷2xy=−2．
【解析】(1)先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；
(2)先利用完全平方公式计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练的进行计算是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原方程去分母得：2x=3(x−1)，
整理得：2x=3x−3，
解得：x=3，
检验：将x=3代入x(x−1)得3×2=6≠0，
故原方程的解为x=3；
(2)原方程去分母得：2+5(x−4)=x−2，
整理得：2+5x−20=x−2，
解得：x=4，
检验：将x=4代入(x−4)得4−4=0，
则x=4是分式方程的增根，
故原方程无解．
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
17.【答案】解：原式=x−2+1x−2⋅(x−2)2x−1
=x−2，
∵x−2≠0且x−1≠0，
∴x可以取3，
当x=3时，原式=3−2=1．
【解析】先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，约分得到原式=x−2，然后根据分式有意义的条件可以把x=3代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
18.【答案】(−5,−1) (1,−3) (−2,1)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
A1(−5,−1)；B1(1,−3)；C1(−2,1)，
故答案为：(−5,−1)；(1,−3)；(−2,1)；
(2)△A1B1C1的面积为6×4−12×2×6−12×4×3−12×2×3=9．
(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
19.【答案】证明：∵DE//BF
∴∠DEF=∠BFE∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
在△AFB和△CED中，
BF=DE∠BFA=∠DECAF=CE∴△AFB≌△CED(SAS)
∴∠A=∠C∴AB//CD【解析】由“SAS”可证△AFB≌△CED，可得∠A=∠C，可证AB//CD．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．
20.【答案】解：设甲种原材料的单价为x元/千克，则乙种原材料的单价为32x元/千克，
根据题意得：9×(2000x+100032x)=2000+1000，
解得：x=8，
经检验，x=8是所列方程的解，且符合题意．
答：甲种原材料的单价为8元/千克．
【解析】设甲种原材料的单价为x元/千克，则乙种原材料的单价为32x元/千克，利用总价=单价×数量，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠BDE=45°．
又∵BF//AC，
∴∠CBF=90°．
∴∠BFD=45°=∠BDE．
∴BF=DB．
又∵D为BC的中点，
∴CD=DB．
即BF=CD．
在△CBF和△ACD中，
BF=CD∠CBF=∠ACD=90°CB=AC，
∴△CBF≌△ACD(SAS)．
∴∠BCF=∠CAD．
又∵∠BCF+∠GCA=90°，
∴∠CAD+∠GCA=90°．
即AD⊥CF．
(2)CF=AF，
理由为：连接AF，如图所示，
由(1)知：△CBF≌△ACD，
∴CF=AD，
∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，
∴AF=AD，
∵CF=AD，
∴CF=AF．
【解析】(1)欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG=90°，需证明∠CAG=∠BCF，利用三角形全等，易证．
(2)要判断△ACF的形状，看其边有无关系．根据(1)的推导，易证CF=AF．
此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟记全等三角形的判定及性质定理是解题的关键．
22.【答案】82−62
【解析】解：(1)设较小的偶数为n，则较大的偶数为(n+2)．
∵28是“偶平方差数”，
∴28=(n+2)2−n2，
解得：n=6，
∴n+2=8．
∴28=82−62；
(2)两个连续偶数构造的“偶平方差数”是4的倍数．
理由：∵(2k+2)2−(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2−2k)=(4k+2)⋅2=4(2k+1)，
∴两个连续偶数构造的“偶平方差数”是4的倍数；
(3)假设2020是“偶平方差数”.设较小的偶数为x，则较大的偶数为(x+2)．
∴2020=(x+2)2−x2，
解得：x=504．
∴x+2=506．
∴2020=5062−5042．
(1)设较小的偶数为n，则较大的偶数为n+2，根据新定义列出方程，求得n的值，然后再按照新定义把28写成两个连续偶数平方差的形式；
(2)易得2k+2为较大的偶数，构造出“偶平方差数”后，进行因式分解，看因数里有没有4即可；
(3)设较小的偶数为x，则较大的偶数为x+2，假设2020是“偶平方差数”，根据新定义列出方程，看会不会得到符合题意的解．若会得到，按照新定义把2020写成两个连续偶数平方差的形式．
本题考查新定义及因式分解的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：若要求一个代数式是不是某个数的倍数，则需要把这个代数式因式分解，看因数里有没有这个数．
23.【答案】(1)证明：如图1，∵∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOC=∠BOD=α+∠BOC，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BOCOC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴AC=BD．
(2)解：OE平分∠AED，
理由：如图1，作OI⊥AC于点I，OL⊥BD于点L，
由(1)得△AOC≌△BOD，AC=BD，
∴S△AOC=S△BOD，
∴12AC⋅OI=12BD⋅OL，
∴OI=OL，
∴点O在∠AED的平分线上，
∴OE平分∠AED．
(3)解：△OMN是等边三角形，
证明：∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α=60°，
∴△AOB和△COD都是等边三角形，∠AOC=∠BOD=60°+∠BOC，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BOCOC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴AC=BD，∠ACO=∠BDO，
∵M、N分别是AC、BD的中点，
∴CM=AM=12AC，DN=BN=12BD，
∴CM=DN，
在△MOC和△NOD中，
CM=DN∠MCO=∠NDOOC=OD，
∴△MOC≌△NOD(SAS)，
∴OM=ON，∠COM=∠DON，
∴∠MON=∠COM+∠CON=∠DON+∠CON=∠COD=60°，
∴△OMN是等边三角形．
【解析】(1)由∠AOB=∠COD=α，得∠AOC=∠BOD=α+∠BOC，而OA=OB，OC=OD，即可根据“SAS”证明△AOC≌△BOD，得AC=BD；
(2)作OI⊥AC于点I，OL⊥BD于点L，因为△AOC≌△BOD，AC=BD，所以S△AOC=S△BOD，则12AC⋅OI=12BD⋅OL，所以OI=OL，即可证明OE平分∠AED；
(3)由OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α=60°，证明△AOB和△COD都是等边三角形，∠AOC=∠BOD=60°+∠BOC，即可证明△AOC≌△BOD，得AC=BD，∠ACO=∠BDO，因为CM=AM=12AC，DN=BN=12BD，所以CM=DN，即可证明△MOC≌△NOD，得OM=ON，∠COM=∠DON，则∠MON=∠COM+∠CON=∠DON+∠CON=60°，所以△OMN是等边三角形．
此题重点考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
1.2022年11月12日10时03分，我国天舟五号货运飞船昂首起航，于12时10分顺利实现了与中国空间站天和核心仓的快速对接，又一次创造了世界纪录.图中的航天图形是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. a10÷a5=a2
C. (a3)4=a12D. (a+3)2=a2+9
3.如图，AD，CE为△ABC的角平分线且交于O点，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO等于( )
A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°
4.如图，在△ABC和△CDE中，若∠ACB=∠CED=90°，AB=CD，BC=DE，则下列结论中不正确的是( )
A. △ABC≌△CDEB. E为BC中点
C. AB⊥CDD. CE=AC
5.已知多边形的内角和与外角和的总和为1440°，则这个多边形的边数为( )
A. 8B. 7C. 6D. 5
6.下列因式分解正确的是( )您看到的资料都源自我们平台，家威杏 MXSJ663 低至0.3元/份A. a4b−6a3b+9a2b=a2b(a2−6a−9)
B. x2−x+14=(x−12)2
C. x2−2x+4=(x−2)2
D. 4x2−y2=(4x+y)(4x−y)
7.若x=3，y=5，则代数式(1−x2y2)÷x+yy2的值是( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
8.A，B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h.若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为( )
A. 180x−180(1+50%)x=1B. 180(1+50%)x−180x=1
C. 180x−180(1−50%)x=1D. 180(1−50%)x−180x=1
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 1个
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=9，BD是△ABC的角平分线，点P、点N分别是线段BD和边AC上的动点，点M在边BC上，且BM=2，则PM+PN的最小值是( )
A. 3
B. 2 3
C. 3
D. 3.5
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.把多项式2x3−8x分解因式的结果是______．
12.代数式2|x|−3有意义时，x应满足的条件是______．
13.如图，把△ABC沿着DE折叠，使点A落在四边形BCDE的内部，并且∠AEB=60°，∠ADC=30°，则∠A的度数是______．
14.如图1，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高．
(1)若∠B=45°，∠C=75°，则∠EAD的度数为______．
(2)如图2，AD平分∠BAC，点P是AD延长线上一点，过点P作PF⊥BC于点F，则∠P与∠B，∠C的数量关系是______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：
(1)(−2ab2)3⋅(a2b)2÷4ab5；
(2)[(x−y)2−(x+y)2)]÷2xy．
16.(本小题8分)
解方程：
(1)2x−1=3x；
(2)2x−4+5=2−x4−x．
17.(本小题8分)
先把代数式(1+1x−2)÷x−1x2−4x+4化简，然后再从0、1、2、3中选择一个合适字代入求值．
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，A(−5,1)，B(1,3)，C(−2,−1)．
(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1各点的坐标A1 ______；B1 ______；C1 ______．
(2)求△A1B1C1的面积．
19.(本小题10分)
如图，点A、E、F、C在一直线上，DE//BF，DE=BF，AE=CF.求证：AB//CD．
20.(本小题10分)
某工厂购进的甲乙两种原材料单价之比为2：3，将价值为2000元的甲种原材料和价值为1000元的乙种原材料配制成成品后，成品平均单价为每千克9元，求甲种原材料的单价．
21.(本小题12分)
如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF//AC交DE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：AD⊥CF；
(2)连接AF，猜想AF与CF的数量关系．
22.(本小题12分)
如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“偶平方差数”.如4=22−02，12=42−22，20=62−42，因此4，12，20都是“偶平方差数”．
(1)已知28是“偶平方差数”，则28= ______．
(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(k为整数，且k≥0)，由这两个连续偶数构造的“偶平方差数”是4的倍数吗？为什么？
(3)根据上面的讨论，判断2020是不是“偶平方差数”，如果不是，请说明理由；如果是，请写成两个连续偶数平方差的形式．
23.(本小题14分)
如图1，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA
(2)连接OE，OE平分∠AED吗？说明理由；
(3)当α=60°时，取AC的中点M，BD的中点N，连接OM、MN、ON，如图2，试判断△OMN的形状，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：∵a2⋅a3=a5，
∴选项不符合题意；
∵a10÷a5=a5，
∴选项不符合题意；
∵(a3)4=a12，
∴选项不符合题意；
∵(a+3)2=a2+6a+9，
∴选项不符合题意，
故选：C．
运用同底数幂相乘、同底数幂除法、幂的乘方和完全平方公式进行逐一计算、辨别．
此题考查了同底数幂相乘、同底数幂除法、幂的乘方和完全平方公式的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
3.【答案】A
【解析】【分析】
根据角平分线的定义可得出∠BAC=60°、∠ACB=70°，结合三角形内角和可得出∠ABC=50°，由三角形的三条角平分线交于一点，可得出BO平分∠ABC，进而可得出∠ABO的度数，此题得解．
本题考查了三角形内角和定理、角平分线以及三角形的内心，利用角平分线的定义结合三角形内角和定理找出∠ABC的度数是解题的关键．
【解答】
解：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∠DAC=30°，∠ECA=35°，
∴∠BAC=2∠DAC=60°，∠ACB=2∠ECA=70°，
∴∠ABC=180°−∠BAC−∠ACB=50°．
∵△ABC的三条角平分线交于一点，
∴BO平分∠ABC，
∴∠ABO=12∠ABC=25°．
故选A．
4.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC和Rt△CDE中，
AB=CDBC=DE∴Rt△ABC≌Rt△CDE，
∴CE=AC，∠D=∠B，
∵∠D+∠DCE=90°，
∴∠B+∠DCE=90°，
∴CD⊥AB，
故A、C、D正确，
故选B．
首先证明△ABC≌△CDE，推出CE=AC，∠D=∠B，由∠D+∠DCE=90°，推出∠B+∠DCE=90°，推出CD⊥AB，即可一一判断．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：设多边形的边数为n，根据题意列方程得，
(n−2)⋅180°+360°=1440°，
解得n=8．
故这个多边形的边数为8．
故选：A．
依题意，多边形的内角和与外角和为1440°，多边形的外角和为360°，根据内角和公式求出多边形的边数．
考查了多边形的外角和定理和内角和定理，熟练记忆多边形的内角和公式是解答本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A、a4b−6a3b+9a2b=a2b(a2−6a+9)=a2b(a−3)2，故错误，不合题意；
B、x2−x+14=(x−12)2，故正确，符合题意；
C、x2−2x+4≠(x−2)2，故C错误，不合题意；
D、4x2−y2=(2x+y)(2x−y)，故错误，不合题意；
故选：B．
将各式因式分解，根据结果即可判断．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
7.【答案】D
【解析】解：原式=y2−x2y2⋅y2x+y
=(y+x)(y−x)y2⋅y2x+y=y−x，
当x=3，y=5时，
原式=5−3=2，
故选：D．
先通分算括号内的，把除化为乘，约分后将x，y的值代入计算即可．
本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式的基本性质，把所求式子化简．
8.【答案】A
【解析】解：设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为：
180x−180(1+50%)x=1．
故选：A．
直接利用在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h，利用时间差值得出等式即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠DEA=90°，
在△DAC和△DAE中，
∠DAC=∠DAE∠C=∠DEAAD=AD,∴△DAC≌△DAE，
∴∠CDA=∠EDA，
∴①AD平分∠CDE正确；
无法证明∠BDE=60°，
∴③DE平分∠ADB错误；
∵△DAC≌△DAE，
∴AC=AE，
∵BE+AE=AB，AE=AC，
∴BE+AC=AB，
∴④BE+AC=AB正确；
∵∠BDE=90°−∠B，∠BAC=90°−∠B，
∴∠BDE=∠BAC∴②∠BAC=∠BDE正确．
故选：B．
根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．
本题考查了角平分线的性质；题目是一道结论开放性题目，考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．
10.【答案】D
【解析】解：如图所示，作点M关于BD的对称点M′，连接PM′，则PM′=PM，BM=BM′=1，
∴PN+PM=PN+PM′，
当N，P，M′在同一直线上，且M′N⊥AC时，PN+PM′的最小值等于垂线段M′N的长，
在Rt△AM′N中，∠A=30°，
∴M′N=12AM′=12×(9−2)=3.5，
∴PM+PN的最小值为3.5，
故选：D．
作点M关于BD的对称点M′，连接PM′，则PM′=PM，BM=BM′=1，当N，P，M′在同一直线上，且M′N⊥AC时，PN+PM′的最小值等于垂线段M′N的长，利用含30°角的直角三角形的性质，即可得到PM+PN的最小值．
本题主要考查了轴对称−最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
11.【答案】2x(x+2)(x−2)
【解析】解：原式=2x(x2−4)=2x(x+2)(x−2)，
故答案为：2x(x+2)(x−2)．
先提公因式，再利用公式，可进行因式分解．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
12.【答案】x≠±3
【解析】解：由题意得|x|−3≠0，
解得x≠±3．
故答案为：x≠±3．
根据分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围．
本题主要考查分式有意义的条件，由分母不等于0求解得答案是解题的关键．
13.【答案】45°
【解析】解：由翻折的性质可得，∠AED=180°−∠AEB2=180°−60°2=60°，
∠ADE=180°−∠ADC2=180°−30°2=75°，
∴∠A=180°−60°−75°=45°．
故答案为：45°．
根据翻折的性质以及三角形内角和定理进行计算即可．
本题考查三角形内角和定理，多边形的内角与外角，掌握三角形内角和定理以及翻折的性质是正确解答的关键．
14.【答案】15° ∠P=12∠B−12∠C
【解析】解：(1)在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−45°−75°=60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=12∠BAC=12×60°=30°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠BEA=90°，
∴∠BAE=90°−∠B=90°−45°=45°，
∴∠EAD=∠BAE−∠BAD=45°−30°=15°；
(2)∵PF⊥BC，
∴∠PFD=90°，
在△PFD中，∠P+∠PFD+∠PDF=180°，
在△ABD中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC，
即∠B+12∠BAC+∠ADB=180°，
∵∠PDF=∠ADB，
∴∠P+∠PFD=∠B+12∠BAC，
∴∠P+90°=∠B+12(180°−∠B−∠C)，
∴∠P+90°=∠B+90°−12∠B−12∠C，
∴∠P=12∠B−12∠C，
故答案为：∠P=12∠B−12∠C．
(1)根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAD的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE的度数，即可求出∠EAD的度数；
(2)在△PFD中，由三角形内角和定理得出∠P+∠PFD+∠PDF=180°，在△ABD中，由三角形内角和定理得出∠B+∠BAD+∠ADB=180°，再根据对顶角相等得出∠PDF=∠ADB，即可得出∠P+∠PFD=∠B+12∠BAC，在△ABC中，由三角形内角和定理得出∠BAC=180°−∠B−∠C，由此计算即可．
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形三个内角的和是180°是解题的关键．
15.【答案】解：(1)(−2ab2)3⋅(a2b)2÷4ab5
=−8a3b6⋅a4b2÷4ab5=−8a7b8÷4ab5=−2a6b3；
(2)[(x−y)2−(x+y)2)]÷2xy=(x2−2xy+y2−x2−2xy−y2)÷2xy=−4xy÷2xy=−2．
【解析】(1)先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；
(2)先利用完全平方公式计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，准确熟练的进行计算是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原方程去分母得：2x=3(x−1)，
整理得：2x=3x−3，
解得：x=3，
检验：将x=3代入x(x−1)得3×2=6≠0，
故原方程的解为x=3；
(2)原方程去分母得：2+5(x−4)=x−2，
整理得：2+5x−20=x−2，
解得：x=4，
检验：将x=4代入(x−4)得4−4=0，
则x=4是分式方程的增根，
故原方程无解．
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
17.【答案】解：原式=x−2+1x−2⋅(x−2)2x−1
=x−2，
∵x−2≠0且x−1≠0，
∴x可以取3，
当x=3时，原式=3−2=1．
【解析】先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，约分得到原式=x−2，然后根据分式有意义的条件可以把x=3代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
18.【答案】(−5,−1) (1,−3) (−2,1)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
A1(−5,−1)；B1(1,−3)；C1(−2,1)，
故答案为：(−5,−1)；(1,−3)；(−2,1)；
(2)△A1B1C1的面积为6×4−12×2×6−12×4×3−12×2×3=9．
(1)根据轴对称的性质作图即可．
(2)利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
19.【答案】证明：∵DE//BF
∴∠DEF=∠BFE∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
在△AFB和△CED中，
BF=DE∠BFA=∠DECAF=CE∴△AFB≌△CED(SAS)
∴∠A=∠C∴AB//CD【解析】由“SAS”可证△AFB≌△CED，可得∠A=∠C，可证AB//CD．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定和性质是本题的关键．
20.【答案】解：设甲种原材料的单价为x元/千克，则乙种原材料的单价为32x元/千克，
根据题意得：9×(2000x+100032x)=2000+1000，
解得：x=8，
经检验，x=8是所列方程的解，且符合题意．
答：甲种原材料的单价为8元/千克．
【解析】设甲种原材料的单价为x元/千克，则乙种原材料的单价为32x元/千克，利用总价=单价×数量，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠BDE=45°．
又∵BF//AC，
∴∠CBF=90°．
∴∠BFD=45°=∠BDE．
∴BF=DB．
又∵D为BC的中点，
∴CD=DB．
即BF=CD．
在△CBF和△ACD中，
BF=CD∠CBF=∠ACD=90°CB=AC，
∴△CBF≌△ACD(SAS)．
∴∠BCF=∠CAD．
又∵∠BCF+∠GCA=90°，
∴∠CAD+∠GCA=90°．
即AD⊥CF．
(2)CF=AF，
理由为：连接AF，如图所示，
由(1)知：△CBF≌△ACD，
∴CF=AD，
∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，
∴AF=AD，
∵CF=AD，
∴CF=AF．
【解析】(1)欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG=90°，需证明∠CAG=∠BCF，利用三角形全等，易证．
(2)要判断△ACF的形状，看其边有无关系．根据(1)的推导，易证CF=AF．
此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟记全等三角形的判定及性质定理是解题的关键．
22.【答案】82−62
【解析】解：(1)设较小的偶数为n，则较大的偶数为(n+2)．
∵28是“偶平方差数”，
∴28=(n+2)2−n2，
解得：n=6，
∴n+2=8．
∴28=82−62；
(2)两个连续偶数构造的“偶平方差数”是4的倍数．
理由：∵(2k+2)2−(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2−2k)=(4k+2)⋅2=4(2k+1)，
∴两个连续偶数构造的“偶平方差数”是4的倍数；
(3)假设2020是“偶平方差数”.设较小的偶数为x，则较大的偶数为(x+2)．
∴2020=(x+2)2−x2，
解得：x=504．
∴x+2=506．
∴2020=5062−5042．
(1)设较小的偶数为n，则较大的偶数为n+2，根据新定义列出方程，求得n的值，然后再按照新定义把28写成两个连续偶数平方差的形式；
(2)易得2k+2为较大的偶数，构造出“偶平方差数”后，进行因式分解，看因数里有没有4即可；
(3)设较小的偶数为x，则较大的偶数为x+2，假设2020是“偶平方差数”，根据新定义列出方程，看会不会得到符合题意的解．若会得到，按照新定义把2020写成两个连续偶数平方差的形式．
本题考查新定义及因式分解的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．用到的知识点为：若要求一个代数式是不是某个数的倍数，则需要把这个代数式因式分解，看因数里有没有这个数．
23.【答案】(1)证明：如图1，∵∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOC=∠BOD=α+∠BOC，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BOCOC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴AC=BD．
(2)解：OE平分∠AED，
理由：如图1，作OI⊥AC于点I，OL⊥BD于点L，
由(1)得△AOC≌△BOD，AC=BD，
∴S△AOC=S△BOD，
∴12AC⋅OI=12BD⋅OL，
∴OI=OL，
∴点O在∠AED的平分线上，
∴OE平分∠AED．
(3)解：△OMN是等边三角形，
证明：∵OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α=60°，
∴△AOB和△COD都是等边三角形，∠AOC=∠BOD=60°+∠BOC，
在△AOC和△BOD中，
OA=OB∠AOC=∠BOCOC=OD，
∴△AOC≌△BOD(SAS)，
∴AC=BD，∠ACO=∠BDO，
∵M、N分别是AC、BD的中点，
∴CM=AM=12AC，DN=BN=12BD，
∴CM=DN，
在△MOC和△NOD中，
CM=DN∠MCO=∠NDOOC=OD，
∴△MOC≌△NOD(SAS)，
∴OM=ON，∠COM=∠DON，
∴∠MON=∠COM+∠CON=∠DON+∠CON=∠COD=60°，
∴△OMN是等边三角形．
【解析】(1)由∠AOB=∠COD=α，得∠AOC=∠BOD=α+∠BOC，而OA=OB，OC=OD，即可根据“SAS”证明△AOC≌△BOD，得AC=BD；
(2)作OI⊥AC于点I，OL⊥BD于点L，因为△AOC≌△BOD，AC=BD，所以S△AOC=S△BOD，则12AC⋅OI=12BD⋅OL，所以OI=OL，即可证明OE平分∠AED；
(3)由OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α=60°，证明△AOB和△COD都是等边三角形，∠AOC=∠BOD=60°+∠BOC，即可证明△AOC≌△BOD，得AC=BD，∠ACO=∠BDO，因为CM=AM=12AC，DN=BN=12BD，所以CM=DN，即可证明△MOC≌△NOD，得OM=ON，∠COM=∠DON，则∠MON=∠COM+∠CON=∠DON+∠CON=60°，所以△OMN是等边三角形．
此题重点考查等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、角平分线的性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
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