浙江省杭州市拱墅区文澜中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份浙江省杭州市拱墅区文澜中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，再小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的）
1．（3分）抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）如图，是的直径，点在上，若，则的度数是（ ）
A．30°B．40°C．45°D．80°
4．（3分）在三角形纸片中，，，，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与相似的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，圆心在轴的负半轴上，半径为5的与轴的正半轴交于点，过点的直线与相交于，两点．则弦长的所有可能的整数值有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（3分）如图，矩形是由三个全等矩形拼成的，与、、、、分别交于点、、、、．设，，的面积依次为，，．若，则的值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
7．（3分）如图，点为的焦心，，，连结并延长交于点，作于点，过点作交于点，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
8．（3分）如图，在中，，，．将绕点旋转至，使，交边于点，则的长是（ ）
A．4B．C．5D．6
9．（3分）如图，是的直径，，，，则的半径为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把答案写在答题卡相应的位置上）
11．（4分）已知，，是，的比例中项，则__________．
12．（4分）如图，，是的弦，连结，延长，相交于点，已知，，则的度数是__________．
13．（4分）凸透镜成像们原理如图所示，．在凸透镜左侧，若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为5：4，则物体与缩小的实像之比为__________．
14．（4分）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为．小强骑自行车从拱梁一端沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面共需__________s．
15．（4分）如图1是某学校食堂墙壁上“光盘行动，从我做起”的长方形宣传画，画的左侧为一个圆盘上摆放一双筷子，画的下边缘为水平线，图2是其示意图，水平线上的点在圆心的正下方，筷子与右下方交于，两点，线段，分别垂直于点，．测得，，则圆盘的半径为__________cm．
图1 图2
16．（4分）如图，在中，，，为边上一动点（点除外），以为一边作正方形，连接，则的面积是__________，面积的最大值为__________．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）已知二次函数的图象经过点，．
（1）求二次函数的解析式．
（2）若将该抛物线向上平移个单位，可使它的顶点落在轴上，求的值．
18．（6分）如图，在中，，，为角平分线．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
19．（6分）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，且二次函数的对称轴直线，一次函数的图象与抛物线交于、两点．
（1）请求出点的坐标；
（2）请利用图象直接写出的大小．
（3）请利用图象直接写出当两函数的函数值的积小于0时的自变量取值范围．
20．（8分）如图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，．
（1）求证：点为的中点；
（2）若，，求的直径．
21．（8分）如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
22．（10分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边是够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设．
（1）若花园的面积为，求的值；
（2）若在处有一棵树与墙，的距离分别是16m和8m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值．
23．（10分）如图，是的直径．弦于点．是上一点，连接并延长交的延长线于点，连接，．
（1）求证：．
（2）连接．若平分，，，求的长．
24．（12分）【基础巩固】
（1）如图1，点，，在同一直线上，若，求证：；
图1 图2 图3
【尝试应用】
（2）如图2，是半圆的直径，弦长，，分别是，上的一点，，若设，，求出与的函数关系．
【拓展提问】
（3）已知是等边边上的一点，现将折叠，使点与重合，折痕为，点，分别在和上．如图3，如果，求的值（用含的代数式表示）．
2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学九年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，再小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的）
1．B
【分析】令，求出相应的的值，即可得到抛物线与轴的交点坐标．
【解答】解：∵抛物线，
∴当时，，
即抛物线与轴的交点坐标是，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确抛物线与轴交点，就是求出当时的值．
2．C
【分析】根据合比性质，可得答案．
【解答】解：由合比性质，得，
故选：C．
【点评】题考查了比例的性质，利用了合比性质：．
3．B
【分析】根据邻补角的性质求得的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求得的度数．
【解答】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．D
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案．
【解答】解：三角形纸片中，，，．
A、，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项错误；
B、，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选顷错误；
C、，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项错误；
D、，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键．
5．C
【分析】求出线段的最小值，及线段的最大值，从而可判断弦长的所有可能的整数值．
【解答】解：∵点的坐标为，圆的半径为5，
∴点的坐标为，
又∵点的坐标为，
∴，
①当垂直圆的直径时，的值最小，
连接，在中，；
故，
②当经过圆心时，的值最大，此时直径；
所以，，
综上可得：弦长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂直弦的直径平分弦，本题需要讨论两个极值点，有一定难度．
6．B
【分析】由条件可证明，且能求得其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合条件可求得．
【解答】解：∵矩形是由三个全等矩形拼成的，
∴，，
∴四边形，四边形是平行四边形，，
∴
∴，
∵，，
∴，，
∴，∴，
∴，，∴，，
∵，∴，∴．
故选：B．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7．B
【分析】首先根据30°所对的直角边等于斜边的一半得出．设，则．再根据重心的定义与性质以及直角三角形的性质得出，，然后利用平行线分线段成比例定理得出，进而求出．
【解答】解：∵，，∴．
设，则．
∵点为的重心，，连结并延长交于点，
∴，，
∵，∴，∴，∴．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形重心的定义与性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，也考查了直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，难度适中．
8．C
【分析】根据勾股定理，旋转的性质以及直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：在中，，，，
∴，
∵将绕点旋转至，
∴，，，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9．A
【分析】根据圆周角定理及推论解答即可．
【解答】解：方法一：
如图1，连接并延长交于点，连接，
图1
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵是直径，∴，
在中，，，
∴，
∴的半径为．
方法二：如图2，连接，
图2
∵是直径，∴
∵
∴，∴，
在中，，∴圆的半径为．
故选：A．
【点评】本题主要考查了圆周角定理及推论，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．
10．C
【分析】先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增減性，则可求得的取值范围．
【解答】解：∵二次函数，
∴图象的开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵二次函数的图象经过点和，且，
∴或，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把答案写在答题卡相应的位置上）
11．
【分析】根据比例中项的定义计算即可．
【解答】解：∵，，是，的比例中项，
∴，∴．
故答案为：
【点评】本题考查比例中项，解题的关键是掌握比例中项的定义．
12．20°
【分析】由三角形外角的性质求出，由圆周角定理得到的度数是．
【解答】解：∵，，
∴，
∴的度数是．
故答案为：20°．
【点评】本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质，关键是由圆周角定理得到度数的一半。
13．
【分析】如图，根据题意得，再证明，则利用相似三角形的性质得到，然后利用得到的比值．
【解答】解：如图，，
∵，∴，∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：常常构造“”型或“”型相似图，利用三角形相似的性质得到对应边之间的关系．
14．36
【分析】10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则，一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则到对称轴的时间可以求得，进而即可求得之间的时间．
【解答】解：设在10秒时到达点，在26秒时到达，
∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，
∴，关于对称轴对称．则从到需要16秒，则从到需要8秒．
∴从到需要（秒）．
∴从到需要（秒）．
故答案为：36．
【点评】本题考查了二次函数们应用，注意到、关于对称轴对称是解题的关键．
15．25
【分析】连接，过点作于点，交于点，易证四边形、是矩形，从而得出，，，设，则可求，，根据勾股定理建立关于的方程，即可求出的值，最后在中根据勾股定理即可求出半径．
【解答】解：如图，连接，过点作于点，交于点，
∵线段，分别垂直于点，
∴，∴，
∵水平线上的点在圆心的正下方，∴，
∴四边形、都是矩形，
∴，，，
∵，，
∴，，
设，则，，
在中，，
在中，，
又∵，
∴，
∴，∴，∴，
即圆盘的半径为25cm．
故答案为：25．
【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，添加合适的辅助线，构造直角三角形，运用勾股定理建立关于的方程是解题的关键．
16．10；8
【分析】过点作于点，作于点，作于点．由，，得到，根据公股定理得出就可以计算的面积，再证，求得，设，则，易证，，所以，当时，面积的最大值为8．
【解答】解：过点作，交的延长线于点，作，交的延长线于点，作于点．
∵，，∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，即，∴，
设，则，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即当时，面积的最大值为8．
故答案为：10；8．
【点评】本题考查了正方形性质、三角形相似的判定和性质、三角形全等的判定和性质、二次函数的极值等，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【分析】（1）运用二次函数的交点是即可求出这个函数的解析式；
（2）根据平移规律即可得到，即可得到，解得．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点，．
∴，∴，
故此二次函数的解析式为：；
（2）∵，
∴将该抛物线向上移个单位，得到，
∵顶点落在轴上，
∴，∴，∴的值为4．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
18．【分析】（1）根据已知条件得到，则易证；
（2）通过（1）中的相似三角形的对应边成比例来讣算．
【解答】（1）证旫：∵，，
∴，
∵平分，∴，
∵，，∴
解：（2）∵，∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形们判定，角平分线定义，相似三角形的性质和判定，黄金分割等知识点的综合运用．
19．【分析】（1）利用二次函数的对称性即可求得点的坐标；
（2）观察图象即可求得；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点，且二次函数的对称轴直线，
∴；
（2）由图象可知，当或时，．
（3）由图象可知，两函数的函数值的积小于0时的自变量取值范围是．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性项，数形结合是解题的关键．
20．【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理即可解答；
（2）利用垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴点为的中点；
（2）解：∵，∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的直径为20．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键．
21．【分析】（1）和中，易知（平行线的内错角），而和是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；
（2）在中，由勾股定理易求得的长，再根据勾股定理可求出的长．
【解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，∴，
∵，，∴，∴，
在中，，，
∴．
【点评】此题主要考查的是平行四边形的性质、相似二角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是熟记判定三角形相似的各种方法和各种性质．
22．【分析】（1）根据题意得出长×宽=192，进而得出答案；
（2）由题意可得出：，再利用二次函数增减性求得最值．
【解简】解：（1）∵，则，∴，
船得：，，
答：的值为12或16；
（2）∵，∴，
∴，
∵在处有一株树与墙，的距离分别是16m和8m，
∵，∴，
∴当时，取到最大值为：，
答：花园面积的最大值为192平方米．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出与的函数关系式是解题关键．
23．【分析】（1）连接，根掘圆内接四边形则性质可得，然后根据垂径定理可得，然后根据圆周角定理可得，进而得证；
（2）连接，，，先证为等边二角形，根据等腰三角形的性质求出，根据垂径定理求出的长度，进而求出，然后根据勾股定理求出的长度，然后判断为等腰直角三角形，即可求出的长．
【解答】（1）证明：连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
又，
∴，
∵弦，是的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，，，设与交于点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
义，，
∴，∴是等边三角形，
∴，
又，，∴，
∵弦，是的直径，，，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，
又，∴，
又，∴，∴，
∴，
∴．
【点评】本题属于圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．
24．【分析】（1）利用已知得出，进而利用相似三角形的判定方法得出即可；
（2）利用（1）得出，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到和的数量关系，进而求出与的函数关系式；
（3）首先证明，表示出，，，，，，再利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，∴；
（2）解：∵是的直径，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
由（1）可得，∴，即，
∴；
（3）解：连接，，
图3
∵与关于对称，
∴，，，
∵，
∵
∴
∴，
设，，，
∵，∴，
∴，
∴，，
∵
∴，∴，
由前两项得，①，
由应两项得，，
∴，
∴，
解得，，
由（1）得，
∴．
【点评】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，圆的有关知识，勾股定理以及二次函数最值等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．