湖北省2024届高考数学重难点模拟卷（一）

这是一份湖北省2024届高考数学重难点模拟卷（一），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知（为虚数单位），则（ ）
A．2B．C．4D．5
2．已知向量，，若与反向共线，则的值为（ ）
A．0B．C．D．
3．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知等差数列的前项和，若，数列的前项和为，且，则正整数的值为（ ）
A．12B．10C．9D．8
6．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为；W为信道带宽，单位为；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（ ）
A．B．C．D．3
7．已知正方体的棱长为为线段上的动点，则点到平面距离的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
8．已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，是上位于直线两侧的点，且点到直线与直线的距离相等，则直线与轴交点的横坐标的取值范围为（ ）
A．B．
C． D．
二、多选题
9．设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个周期为B．的图像关于直线对称
C． 的一个零点为D．在单调递减
10．18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布，那么当n比较大时，可视为X服从正态分布，其密度函数，.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布（且）.当时，对任意实数x，记，则（ ）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当，都增大时，概率单调增大
11．已知是抛物线的焦点，直线经过点交抛物线于A、B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．以为直径的圆与抛物线的准线相切
B．若，则直线的斜率
C．弦的中点的轨迹为一条抛物线，其方程为
D．若，则的最小值为18
三、填空题
12．在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于 .
13．如图，已知正三棱柱的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 .
14．已知函数f(x)＝，当x∈(－∞，m]时，f(x)∈，则实数m的取值范围是 .
四、解答题
15．设为数列的前项和，已知，.
(1)数列是否是等比数列？若是，则求出通项公式，若不是请说明理由；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
16．在内，角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角的值；
(2)若的面积为，，求的周长．
17．在平行六面体中，底面为正方形，，，侧面底面.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线和平面所成角的正弦值.
18．随着芯片技术的不断发展，手机的性能越来越强大，为用户体验带来了极大的提升．某科技公司开发了一款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有“容易”“适中”“困难”三个档次，并且下一关的难度与上一关的难度有关，若上一关的难度是“容易”或者“适中”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为，若上一关的难度是“困难”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为，已知第1关的难度为“容易”．
(1)求第3关的难度为“困难”的概率；
(2)用表示第关的难度为“困难”的概率，求．
19．如图，动点到两定点、构成，且，设动点的轨迹为．
（1）求轨迹的方程；
（2）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】利用复数的除法运算可求得，结合共轭复数定义和乘法运算即可求得结果.
【详解】根据题意由可得，
可得，所以.
故选：D
2．C
【分析】根据向量共线的坐标运算，求得参数，再结合向量线性运算的坐标运算求模长即可.
【详解】根据题意可得：，解得或；
当时，与共线同向，故舍去；
当时，，，
.
故选：C.
3．C
【分析】解不等式化简集合A，求出函数的定义域化简集合B，再利用并集的定义求解即得.
【详解】解不等式，得，即，
函数有意义，得，解得，则，
所以.
故选：C
4．B
【分析】由诱导公式和同角三角函数关系得到，再利用正切和角公式得到方程，求出，利用余弦二倍角，齐次化求出答案.
【详解】因为，
所以，
故，
因为，
所以，故，
解得，
所以.
故选：B．
5．D
【分析】由的关系求出通项公式，再由裂项相消求出，根据方程求解即可.
【详解】当时，，
当时，，符合上式，故，
所以，
故，
由可得，化简得，得（舍去负值）．
故选：D
6．D
【分析】由题意可知，分别将数据代入利用对数运算法则计算出，，即可求得.
【详解】根据题意，将，代入可得；
将，代入可得；
所以可知.
故选：D
7．B
【分析】根据棱锥的体积公式求得，再根据等体积转化法，确定的最大值，即可求得点到平面距离的最小值.
【详解】由题意得，
设点到平面的距离为，则由等体积转化法为，
当与重合时，最大，最大为，
此时最小，为.
故选：B.
8．A
【分析】利用点在椭圆上先求得椭圆方程，设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，结合条件得，化简斜率和可得直线斜率为定值，再根据韦达定理和判别式计算即可．
【详解】将代入中，得，所以椭圆的方程为．
由题意知，直线的斜率不为0，故设直线的方程为，
则，直线与轴交点的横坐标为，
由，得，
则，
．
因为，且点到直线与直线的距离相等，
所以，即，即，
整理得，
即，
即，所以．
由题意知，直线不经过点，故，
所以，得，
当时，由得，
由，解得，
故直线与轴交点的横坐标的取值范围为.
故选:A．
【点睛】方法点睛：①利用圆锥曲线的几何性质或方程根的判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．②利用已知参数的范围，求新参数的范围，这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．③利用已知的或隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．④将待求量表示为关于其他变量的函数，利用导数或基本不等式等求其值域，从而确定参数的取值范围．如本题需先设直线的方程为，并得到的关系，再根据直线与椭圆的位置关系得到的取值范围．
9．ABC
【分析】对于选项A，通过计算函数的周期；
对于选项B，将代入函数，若所得结果为或，则B选项正确；
对于选项C，计算，将代入函数，若结果为0，则选项C正确；
对于选项D，当，则，然后分析在上的单调性.
【详解】因为函数，所以它的一个周期为，故A正确；
令，求得为最小值，故的图像关于直线对称，故B正确；
对于，令，可得，
故的一个零点为，故C正确；
当，，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在上没有单调性，故D错误．
故选：ABC
10．AC
【分析】根据结合正态曲线的对称性，可判断A;由定义即可判断B;根据正态分布的准则可判断C,D.
【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，故A正确；
对于B, 当时，，故B错误；
对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值,
即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在中的概率为0.6826，是常数，
故由可知，C正确，D错误，
故选：AC
11．AD
【分析】A：利用抛物线的定义求得的中点M准线的距离即可判断；B：联立直线与抛物线，然后由条件和根与系数的关系即可判定；C：设，结合选项AB可得：，，消去m即可判定；D：可得结合基本不等式即可判定.
【详解】A：由抛物线的方程可得焦点，准线方程为：，
设，则的中点，
利用焦点弦的性质可得，而的中点M准线的距离：
，
以为直径的圆与该抛物线的准线相切，因此A正确；
B：设直线的方程为，联立，
整理可得：，易知，可得，
，解得，
，解得，
，因此B不正确；
C：设，结合A、B可得：，
，消去m可得：，因此C错误；
D：若，则抛物线，不妨设，，
，
当且仅当时取等号，因此D正确．
故选：AD．
.
【点睛】方法点睛：直线与抛物线交于两点，与对称轴交点，则，进而可以使用基本不等式求与有关的最值问题.
12．
【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列定义及性质求得公比，然后根据等比数列的求和公式即得.
【详解】设等比数列的公比为，则,
又数列也是等比数列，则，
∴,
∴，即,
∴,即,
∴，,
所以.
故答案为：.
13．
【分析】曲面最值问题一般都化曲为平，变成两点间线段最短.
【详解】
如图将正三棱柱侧面展开2次，可知曲面上的最小值即为对角线=
故答案为：
14．
【分析】先分类讨论，求解在不同区间的最值，利用最值取得的条件对参数进行讨论．
【详解】当时，，
令，则或；，则，
函数在上单调递减，在单调递增，
函数在处取得极大值为，
在出的极小值为.
当时，，
综上所述，的取值范围为
故答案为：
15．(1)是等比数列，；
(2)证明见解析.
【分析】（1）应用求得且，注意验证，即可判断是否为等比数列，进而写出通项公式；
（2）由（1）得，裂项相消法求，即可证结论.
【详解】（1）由题设，即，且，
又时，，可得，
综上，是公比为2的等比数列，通项公式为.
（2）由题设，故，
所以
，又，
所以，得证.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，求出角；
（2）由余弦定理和面积公式得到方程，求出，进而求出周长.
【详解】（1）由，得
由正弦定理，得．
．
．
又，
．
又，
．
又，
．
（2）由（1）知，
①
又，故，
，②
又，
由①②，得，故，
∴，
故，周长为.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理可证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】（1）因为底面为正方形，
所以，又侧面底面，
侧面底面，且平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）因为，，连接，
则为正三角形，取中点，则，
由平面及平面，得，
又，所以底面，
过点作交于，
如图以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，.
设平面的法向量，
所以
令，则，可得平面的法向量.
所以，
故直线和平面所成角的正弦值为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据概率事件的关系分析求解即可；
（2）利用概率分布结合等比数列求解第关的难度为“困难”的概率即可.
【详解】（1）已知第1关的难度为“容易”，则第 2关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为，
故第3关的难度是“困难”的概率为；
（2）由题意可得，表示第关的难度为“困难”的概率，表示第关的难度为“困难”的概率，
则，整理可得：，
根据题意得，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即.
19．（1）3x2-y2-3=0（x>1）；（2）
【详解】（1）设的坐标为，显然有，且，
当时，点的坐标为，
当时，，由，
有，即，化简可得，，而点也在曲线，
综上可知，轨迹的方程为；
（2）由，消去并整理，得，
由题意，方程有两根且均在内．设f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，
∴，解得，且，
设，的坐标分别为，，由及方程有
，，
∴，
由，且，得且，
故的取值范围是．
考点：1．圆锥曲线轨迹；2．直线与双曲线相交综合题．