2022-2023学年江苏省南通市如东县等2地高一下学期4月期中联考数学试题

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1. 已知集合，则集合A的子集个数为（ ）
A. 3B. 4C. 8D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A，再计算其子集个数.
【详解】因为，即，解得，
因此含有4个元素，
所以集合A的子集个数为.
故选：D
2. 已知非零向量，则“”是“”（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件

故选：B.
3. 已知实数满足（虚数单位），则（ ）
A. 5B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】根据已知条件，结合复数的四则运算及复数相等，即可求解．
【解答】因为，
则，，
故．
故选：C．
4. 时钟的分针从刻度12顺时针转到刻度6，相应的时针转过角度为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件得，再利用差角的正切公式，结合特殊角的三角函数值求解作答．
【详解】时钟的分针从刻度12顺时针转到刻度6，用时小时，而时钟的时针顺时针旋转1小时，转过的角度为，
因此，．
故选：A
5. 已知与是方程的两个根，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由一元二次方程根与系数的关系及同角三角函数基本关系式求解．
【详解】与是方程的两个根，
，两边平方得：，
，得．
即．
故选：D．
6. 求的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知结合和差角公式进行化简即可求解．
【详解】
故选：A．
7. 已知在中，，分别为边，上一点，且，，与交于，若，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量的基本定理可得，、分别为，的三等分点，将分别用两个线性运算表示，对应系数相等，即可求出答案．
【详解】
设，，
，
又，
，
得
代入得：
故选：B．
8. 正三角形的边长为3，点在边上，且，三角形的外接圆的一条弦过点，点为边上的动点，当弦的长度最短时，的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设为外接圆的圆心，结合垂径定理和正弦定理，可得，再由极化恒等式推出，于是问题转化为求的取值范围，然后结合三角函数知识与余弦定理，即可得解．
【详解】解：设为外接圆的圆心，
因为，所以，
当弦的长度最短时，，
在中，由正弦定理知，外接圆半径，即，
所以，
因为，即，
所以，
因为点为线段上的动点，
所以当点与点重合时，；
当点与点重合时，，
在中，由余弦定理知，
，
所以，
综上，，
所以．

故选：D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9. 若，，，，设，．下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，则D. 若是实数，则
【答案】BCD
【解析】
【详解】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
【解答】对于A，令，，，，满足，，但虚数不能比较大小，故A错误；
对于B，若，则，，故B正确；
对于C，，
则，即，，
，，
故，故C正确；
对于D，是实数，
则是实数，即，故D正确．
故选：BCD．
10. 下列说法中正确的为（ ）
A. 若向量，，则
B. 若与是共线向量，则点，，，必在同一条直线上
C. 若平面上不共线的四点，，，满足，则
D. 若非零向量，满足，则与的夹角是
【答案】AC
【解析】
【详解】由向量的坐标运算可得，判断A；根据共线向量的含义可判断B；根据向量的线性运算结合向量模的含义，可判断C；根据向量模以及向量夹角的计算，可判断D.
【解答】对于选项A，向量，，
则，则，
则，即选项A正确；
对于选项B，若与是共线向量，
则点，，，在同一条直线上或，即选项B错误；
对于选项C，若平面上不共线的四点，，，满足，
则，即，
则，即选项C正确；
对于选项D，已知非零向量，满足，
设，
则，即，
设与的夹角是，则，
又，则，即选项D错误．
故选：AC．
11. 在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作．给出下列结论，其中正确的为（ ）
A. 函数在上单调递增
B. 若，则
C. 若，，，则的最小值为0
D. 若，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用新函数的定义化简函数式为一般的三角函数式，然后三角函数关系式的变换判断各选项即可得到结论：利用两角差的正弦公式化简函数，然后由正弦函数性质判断A，利用齐次式求值法求值判断B，利用换元法结合二次函数性质求最小值判断C，利用二倍角公式变形结合二次函数性质判断D．
【详解】对于，因为，
当时，，，
由正弦函数的性质可知在，上不单调，故错误；
对于B，由，可得，
而，故正确；
对于C，，
令，因为，所以，则，
则有，
所以（1），
所以，故正确；
对于D，因为，
所以当时，，故正确．
故选：BCD．
12. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A. 若，则为的重心
B. 若为的内心，则
C. 若，为的外心，则
D. 若为的垂心，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，取的中点D，连接，结合奔驰定理可得到，进而即可判断A；
对B，设内切圆半径为，从而可用表示出，再结合奔驰定理即可判断B；
对C，设的外接圆半径为，根据圆的性质结合题意可得，从而可用表示出，进而即可判断C；
对D，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，根据题意结合奔驰定理可得到，，从而可设，则，代入即可求解，进而即可判断D．
【详解】对于A，取的中点D，连接，
由，则，
所以，
所以A，M，D三点共线，且，
设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得，，所以为的重心，故A正确；

对于B，由为的内心，则可设内切圆半径为，
则有，
所以，
即，故B正确；

对于C，由为的外心，则可设的外接圆半径为，
又，
则有，
所以，
，
，
所以，故C错误；

对于D，如图，延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E，

由为的垂心，，则，
又，则，，
设，则，
所以，即，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD．
【点睛】关键点睛：解答D选项的关键是通过做辅助线（延长交于点D，延长交于点F，延长交于点E），根据题意，结合奔驰定理得到，，再设，得到，进而即可求解．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 若复数z满足，则的最小值为________．
【答案】1
【解析】
【分析】设，由条件可得，根据复数几何意义可求得最小值.
【详解】设，由可得，轨迹是以原点为圆心以2为半径的圆，
根据复数几何意义知，表示复平面内到的距离，
则最小值为，
故答案为：1
14. 水平放置的平行四边形，用斜二测画法画出它的直观图，如图所示.此直观图恰好是个边长为的正方形，则原平行四边形的面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据斜二测法的画图原则求出原平行四边形的边长和高，进而求面积.
【详解】由题设，，故原平行四边形中上下底的高，
平行四边形，，
所以原平行四边形的面积为.
故答案为：
15. 设，是平面上两个向量，若且，则__．
【答案】．
【解析】
【分析】由两角差的正切公式，结合平面向量数量积的运算求解即可．
【详解】因为，且，
，
，
又，
则，则，则，
又，
则.
故答案：．
16. 若是边上一点，且，，则的最大值为 __．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用正弦定理得出，由，再利用基本不等式求解即可．
【详解】因为，即，所，不妨设，则，，
在中，由正弦定理得，，又,所以，故，
又，所以，
得，得，所以为锐角，即
由，当且仅当时，取等号，
所以的最大值为．

故答案为：．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 已知复数，其中为虚数单位.
（1）若复数z为实数，求m的值；
（2）若，求m的值.
【答案】（1）或.
（2）2.
【解析】
【分析】（1）根据实数的定义，列方程求解即可.
（2）根据共轭复数的概念及复数代数形式的乘法法则、复数相等运算求解即可.
【小问1详解】
因为为实数，
所以，解得：或.
即：m的值为或.
【小问2详解】
设（），则，
又因为，
所以，
所以，解得：，或，
所以或，
所以或，解得：，
即：m的值为2.
18 已知向量，．
（1）若，求值；
（2）若，向量与的夹角为锐角，求的取值范围．
【答案】（1）
（2），，．
【解析】
【分析】（1）利用向量的坐标运算及两向量垂直的条件即可求解;
（2）根据向量夹角与向量数量积的关系及共线向量的充要条件即可求解.
【小问1详解】
若，则，
，
，，
，，，
，
.
【小问2详解】
向量与的夹角为锐角，则，
，，
，又，
，，
又当与的夹角为不符题意，
，
，
所以的取值范围为，，．
19. 设函数 ．
（1）当时，求的最大值；
（2）若且，求的值．
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，再利用三角函数的图像与性质求解即可．
（2）先得到，再利用两角差的余弦公式求解即可．
【小问1详解】

，
，，的最大值为，
的最大值为0；
【小问2详解】
由（1）知，，，
，，
；
综上，（1）的最大值为0，（2）.
20. 如图，在中，，，为内角，，的对边．已知，分别为边上两点，且，平分线，，，．

（1）求角的大小及边的长度；
（2）求的面积.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理得出，再结合题意和二倍角公式求出与的值，由余弦定理解方程求出的值；
（2）求出的面积，利用角平分线定理求出，由此求出的面积.
【小问1详解】
在中，，，由正弦定理得，，即，
又因为，所以，所以；
又因为，所以，所以，解得；
由余弦定理得，，即，
所以，解得或（舍去）；
所以.
【小问2详解】
由（1）得的面积为，
因为平分线，所以，
由正弦定理得，，
又因为，，
所以，即，所以，
所以的面积为.
21. 如图，半圆的直径为，为直径延长线上的点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形．设．

（1）当为何值时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值；
（2）克罗狄斯托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段的长取最大值时，求．
【答案】（1），最大面积为；
（2）60°
【解析】
【分析】（1）由余弦定理得，表示出四边形的面积，利用三角函数的性质，即可得出答案；
（2）由题意得，即，即的最大值为3，取等号时，利用余弦定理，即可得出答案．
【小问1详解】
在中，由余弦定理得，，
四边形的面积
，
当，即时，四边形的面积最大，且最大面积为；
【小问2详解】
，且为等边三角形，，，
，
，即的最大值为3，取等号时，
，
不妨设，
则，解得，
，
．
22. 如图所示中，，是的重心，边上的高为，过的直线与，分别交于点，，已知，．

（1）求的值；
（2）若，，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用重心的性质以及三点共线的充要条件即可求解；
（2）先解出与，再利用解三角形的知识求出和，将化简求解即可.
【小问1详解】
因为，，所以，，如图所示，

连接并延长交于点，因为是的重心，则为中点，
所以，
因为，，起点相同，终点共线，
所以，即.
【小问2详解】
设角所对的边分别为，又，，即，，
又，由余弦定理得，所以，
因为，又由（1）知，且，联立，消得到，
解得，，所以由，，得到，，
在中，由余弦定理得，
所以在中，由余弦定理，
，又,,
所以．