2022-2023学年江苏省徐州市邳州市明德实验学校高一下学期第一次月考数学试题

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一、单选题（每题5分，共40分）
1. 已知向量，满足，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求得正确答案.
【详解】由得，
两边平方得，
所以.
故选：A
2. 已知平面向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出，通过求出的值，即可求出在上的投影向量.
【详解】解：由题意
，
∴，
，
解得：
∴在上的投影向量为：
故选：B.
3. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一，在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四个半圆的圆心均在正方形ABCD各边的中点（如图2），若点P在的中点，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量的数量积运算求解即可.
【详解】
如图，因为点P在的中点，取的中点为，
则有，则.
故选:D.
4. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算
【详解】.
故选：B
5. 已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量垂直，利用数量积运算可得，即，代入已知条件，求得，所以，得解
【详解】因为，所以
所以
又，，，,
所以，
故选：C．
6. 设平面向量均为单位向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用定义法进行判断即可.
【详解】充分性：因为向量均为单位向量，且“”，
所以，即，即
所以，所以.即充分性满足；
必要性：因为，所以.
而，
所以，
所以.即必要性满足.
故选：C
7. 若，，且，，则的值是（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】先计算和的取值范围，根据取值范围解出和的值，再利用
求解的值.
【详解】∵，∴.
∵，∴，
∴，.
∵，∴，
∴，
∴
.
又∵，
∴.
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换中和差角公式的运用，难度一般.解答时，要注意三角函数值的正负问题，注意目标式与条件式角度之间的关系，然后通过和差角公式求解.
8. 已知圆O中，弦PQ满足，则圆O半径的最小值为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】延长交圆于点，连接，则为圆的直径，将，转化为， 再用数量积展开，有求解.
【详解】如图所示：
延长交圆于点，连接，则为圆的直径，
所以又因为，为圆的弦，
所以， ，，
所以，
所以，
又因为，
所以当时，取得最小值，
所以圆半径的最小值为.
故选：A
【点睛】本题主要考查平面向量的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
二、多选题（每题5分，共20分，漏选得2分，选错或多选得0分）
9. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算，结合平面向量数量积、用坐标求向量的模、共线向量的坐标表示逐项计算判断作答.
【详解】
对于A，，，与不垂直，A不正确；
对于B，，有，B正确；
对于C，，有，C不正确；
对于D，，由选项C知，，D正确.
故选：BD
10. 已知O，N，P，I在△ABC所在的平面内，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则O是△ABC的外心
B. 若，则P是△ABC的垂心
C. 若，则N是△ABC的重心
D. 若，则I是△ABC的垂心
【答案】ABCD
【解析】
【分析】根据三角形外心、垂心、重心和内心的定义，结合平面向量的运算即可求得答案.
【详解】对A，根据外心的定义，易知A正确；
对B，，同理可得：，所以P是垂心，故B正确；
对C，记AB、BC、CA的中点为D、E、F，由题意，则，同理可得：，则N是重心，故C正确；
对D，由题意，，则I垂心，故D正确
故选：ABCD.
11. 已知向量，是平面内的一组基向量，O为内的定点，对于内任意一点P，当时，则称有序实数对为点P的广义坐标．若点A，B的广义坐标分别为，，关于下列命题正确的是（ ）
A. 线段A，B的中点的广义坐标为
B. A，B两点间的距离为
C. 若向量平行于向量，则
D 若向量垂直于向量，则
【答案】AC
【解析】
【分析】由题目给的定义结合向量的线性运算、向量的模长、向量的平行及垂直依次判断4个选项即可.
【详解】根据题意得，设A，B的中点为，则，
故线段A，B中点的广义坐标为，A正确；
，故，
当向量，是相互垂直的单位向量时，A，B两点间的距离为，否则距离不为，B错误；
与平行，当与存在时，结论显然成立，当与都不为时，设，
则，即，，，所以，故C正确；，当与为相互垂直的单位向量时，
与垂直的充要条件是，故D不正确.
故选：AC．
12. 中，，，，在下列命题中，是真命题的有（ ）
A. 若且，则为锐角三角形
B. 若，则为钝角三角形
C. 若，则为等边三角形
D. 若，则为直角三角形
【答案】BD
【解析】
【分析】利用平面向量数量积与向量夹角的关系可判断AB选项的正误；利用平面向量数量积可得出，可判断C选项的正误；利用平面向量数量积的运算可得出，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，，则，则角为锐角，
同理，由可知角为锐角，但角不一定是锐角，所以A选项错误；
对于B选项，，则，则角为钝角，所以B选项正确；
对于C选项，，可得，即，
即，故，故为等腰三角形，所以C选项错误；
对于D选项，，即，
即，即，化简可得，故，
即为直角三角形，所以D选项正确．
故选：BD．
【点睛】关键点点睛：熟练运用平面向量数量积的运算是解答本题的关键．
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 已知向量，，若向量与向量的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_________．
【答案】且
【解析】
【分析】根据向量与向量的夹角为钝角，可得，且向量与向量不共线，即可求得答案.
【详解】由题意得，
向量与向量的夹角为钝角，即，且向量与向量不共线，
则 ，且 ，
故 ，且 ，
解得且，
故答案为：且
14. 若平面上的三个力，，，作用于同一点，且处于平衡状态．已知，，且与的夹角为，则与的夹角为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意建立直角坐标系，得到力，，的坐标，再根据向量夹角坐标公式，即可求得结果.
【详解】
如图，以和的公共起点为原点，以的方向为轴正方向建立平面直角坐标系．
设，，．
因为，，且与的夹角为，
可得，，
所以，．
因为三个力，，作用于同一点，且处于平衡状态，
所以，所以，则，
所以．
设与的夹角为，则．
因为，所以，所以与的夹角为．
故答案为:.
15. 如图，在中，是的中点，若，则实数的值是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件将用表示即可求出的值
【详解】因为，所以为的中点，
因为是的中点，
所以，
所以,
因为，
所以，
故答案为：
16. 已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
分析】由，根据向量的线性运算以及数量积的运算律，可求得∠DAB＝；以菱形对角线交点为原点，对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，利用坐标表示出，得到关于t的二次函数，求得二次函数最小值即为所求．
【详解】由题意知：，
设，所以
故
由于，所以，
以AC与BD交点为原点，AC为x轴，BD为y轴建立如图所示的直角坐标系，
所以A（﹣，0），C（，0），D（0，1），B（0，﹣1），E（），
设F（0，t），
则＝（，t），＝，
所以
当t＝时，取最小值，
故答案为：
四、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）
17. 平面内给定三个向量，，.
（1）求满足的实数，；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把已知向量的坐标代入，解方程组即得解；
（2）解方程即得解.
【小问1详解】
解：因为，，，且，
，，解得，
【小问2详解】
解：，.
因为，，解得.
18. 已知均为锐角，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）求出后，由两角和的正弦公式求解；
（2）再求出，然后由两角差的余弦公式求解．
【详解】解：（1）∵，为锐角，∴
∴
（2）∵，，∴
．
【点睛】关键点点睛：本题考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式，同角间的三角函数关系，解题关键是确定“已知角”和“未知角”之间的关系，确定选用的公式和应用公式的顺序．在应用三角函数恒等变换公式时注意“单角”和“复角”的相对性．如在，求时，是单角，是两个单角的和，但象本题中求时，作为一个单角，作为一个单角，．由此直接应用公式求解．
19. 设向量，，其中.
（1）若，求实数x的值；
（2）已知且，若，求的值域.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】(1)根据给定条件结合向量的坐标运算，向量共线的坐标表示计算得解.
(2)由向量垂直的坐标表示求出，再借助数量积建立函数关系求解作答.
【小问1详解】
因向量，，则，
又，则有，即，于是得，
而，解得，
所以实数x的值是.
【小问2详解】
因为且，则，即，有，
，因，则，，即，
所以的值域.
20. 阅读一下一段文字：，，两式相减得 我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
（1）若AD＝6，BC＝4，求的值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据“极化恒等式”列出式子计算即可
（2）设，根据题目所给条件和“极化恒等式”列出关于 的方程组，解出 ，再根据“极化恒等式”计算出的值
【小问1详解】
【小问2详解】
设
，由（1）知 ，即 ①
,同理可得 ，即 ②
由①②解得
21. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）运用向量平行的条件和向量的模长公式，解方程可得，进而得到所求向量的坐标；
（2）由向量垂直数量积为零的条件求出，代入函数式子化简，利用余弦函数的性质，可得所求函数的最小值.
【小问1详解】
，
，
①
又
②
由①②得，
当时，（舍去）
当时，

【小问2详解】
由（1）知，
即


又
的取值范围为.
22. 如图，已知是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且，点Q为线段AP上一点.
（1）若，求实数的值；
（2）求·的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由平面向量基本定理可得，再由向量相等即可求解；
（2）由平面向量基本定理可得，再结合两项数量积的运算性质与二次函数的性质求解即可
【小问1详解】
由题意，
即，故，
因为Q为线段AP上一点，
设，又不共线，
所以，解得
所以；
【小问2详解】
，
由（1）知，，
，
所以
，
当时，，
所以的最小值为